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中考数学几何专项练习：相似模型--母子型相似
一、解答题
1．如图， 中，点 在边 上，且 ，若 ， ，则 的长为 ．
2．如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
3．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，
▱
BE＝3，求AD的长．
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4．在 中， ， 垂直平分 ，分别交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
5．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上， 于点G， 于点F，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求CD的值．
6．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，
(1)求证：△DAC∽△ABC；
(2)求△ACD的面积．
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7．如图，在菱形 中， 为边 延长线上一点，连接 分别交 和 于 和 两点．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)已知 ， ．求当该菱形 改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长．
8．如图，点P是菱形 的对角线 上一点，连接 并延长交 于点E，交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的长．
9．（1）【基础模型】：
如图1，在 中， 为 上一点， ．求证： ．
（2）【尝试应用】：
如图2，在平行四边形 中， 为 上一点， 为 延长线上一点， ，若 ，
，求 的长．
（3）【更上层楼】：
如图3，在菱形 中， 是 上一点， 是 内一点， ， ，
， ，请直接写出菱形 的边长．
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10．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求 的值．
11．解答下列各题：
（1） [基础巩固]
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
（2）[尝试应用]
如图2，在平行四边形ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点， ∠AEF＝∠D．若AE＝6，BF＝5，
求CD的长．
（3）[拓展提高]
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝ ∠BAD，AE＝
3，DF＝4，求菱形ABCD的边长．
12．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与 C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到
△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．
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（1）求证：△APF∽△EPC；
（2）求证：PA2＝PG•PF
（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．
13．如图， ， ， ， ．点 从点 出发，以 的速度沿 向点
匀速运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速运动，当一个点到达终点时，另一
个点随之停止．
（1）求经过几秒后， 的面积等于 面积的 ？
（2）经过几秒， 与 相似？
14．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连
接AG．
（1）求证：AG＝CG；
（2）求证：△AEG∽△FAG；
（3）若GE•GF＝9，求CG的长．
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15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，联结DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E
交DB于点G，垂足为点G．
（1）求证：EB2＝EG•EA；
（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC．求证：BE＝CE．
16．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且
DE＝DC．
（1）请证明∠ACD＝∠BDE；
（2）若AB＝mAD，求 的值（用含m的式子表示）
（3）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点A'恰好落在DE的延长线上，求 的值．
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17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
(1)求证：AF＝CF；
(2)求证：AF2＝EF•GF；
(3)若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
18．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连
接AG．
(1)求证：AG＝CG；
(2)若GE•GF＝9，求CG的长．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点
D，CG⊥AD于点G，连接EG．
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(1)求证：CD2＝DG•DA；
(2)如图1，若点D是BC中点，求证：CF＝2EF；
(3)如图2，若GC＝2，GE＝2 ，求证：点F是CE中点．
20．模型建立：
(1)如图1，在 中， 是 上一点， ，求证： ；
(2)类比探究：如图2，在菱形 中， 、 分别为边 、 上的点，且 ，射线
交 的延长线于点 ，射线 交 的延长线于点 ．
①求证： ；
②若 ， ， ，求 的长．
21．已知矩形 ，点E、F分别在 、 边上运动，连接 、 ，记 、 交于点P．
-
(1)如图1，若 ， ， ，求线段 的长度；
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(2)如图2，若 ， ，求 ；
(3)如图3，连接 ，若 ， ， ，求 的长度．
22．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求 的最小值．
23．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝ GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝ ，求BE的长．
24．在△ABC中，点D是BC上一点，点E是AD上一点，且ED＝BD，∠EBC＝∠BAC，BE的延长线交AC于点
F．
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(1)求证：△AEF∽△BAF；
(2)如图2，若AD⊥BC，AE＝6，DE＝12，求AF的长；
(3)如图3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的长．
25．在△ABC中，P为边AB上一点．
(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证： ＝AP•AB；
(2)若M为CP的中点，AC＝4．
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求BP的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求BP的长．
26．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足 ，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点D是不是 的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在 中， ， ， ，若点D是 的“理想点”，求CD的长．
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