文档内容
苏州市 2023~2024 学年第二学期学业质量阳光指标调研卷
高二数学
2024.6
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1 ．本卷共 4 页，包含单项选择题（第 1 题～第 8 题）、多项选择题（第 9 题～第 1l 题）、
填空
题（第 12 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 19 题）．本卷满分 150 分，答题时间为
120 分钟，答题结束后，请将答题卡交回.
2 ．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡
的规定位置.
3 ．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用
0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1. 函数f(x) = -x2 +1 在[1, 1. 1] 上的平均变化率为 ( )
A. 0.21 B. 2. 1 C. －0.21 D. -2. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均变化率的公式计算即可.
【详解】函数 f(x) = -x2 +1在[1, 1. 1] 上的平均变化率 = - 2.1 .
故选:D
2. 设全集U = {-3, -1, 0, 1, 3} ，集合 A = {-1, 0, 1} ， B = {y y = 3x, x ∈ A} ，则 A∩ C B = (
U
)
A. {-3, 0, 3} B. {-1, 0, 1} C. {-1, 1} D. {0}
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合B ，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】 B = {y y = 3x, x ∈ A} = {-3, 0,
3} ， 则C B = {-1, 1}，
U
所以 A∩ C B = {-1, 1} .
U
第 1页/共 17页故选：C.
3. 对于满足 n ≥ 4 的任意正整数 n ， 4 × 5 × . . . × n = ( )
A. A
3
B. A
4
C. A
n—4
D. A
n—3
n n n n
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列数公式即可判断.
【详解】易得 4× 5 × . . . × n = A
n-3
，
n
故选：D.
4. 已知 a,b ∈ R ,则“a > b > 0 ”是“ a +1 > b +1 ”的什么条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可.
【详解】充分性： a > b > 0 → a +1 > b +1 ，充分性成立；
必要性：当a = —2, b = —1 时， a +1 > b +1 成立，但 a b > 0 ”是“ a +1 > b +1 ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于常考题.
5. 已知幂函数 f(x) = ( m2 + m —1 ) x —2m+1 在(0, +∞) 上单调递减，则实数m 的值为 ( )
A. —2或 1 B. —1或 2 C. 1 D. —2
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】因为幂函数 f(x) = ( m2 + m —1 ) x —2 m+1 在(0, +∞) 上单调递减，
1
所以 ，解得 m = 1 .
故选：C.
第 2页/共 17页6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的 5 个白球和 3 个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜
色 后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的
是黄 球的概率为 ( )
3 3 4 1
A. B. C. D.
16 8 5 2
【答案】B
【解析】
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件 A 为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白
色， 事件B 为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，
则 P(B ) = P (A). P ( B A ) +P ( A ) . P ( B A )
故选：B.
7. 设 a = ， b = log 2 ， c = + sin ，则
3
A. a > b > c B. c > b > a C. a > c > b D. b > a > c
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较 a, b ，构造函数 f (x ) = x — sin x ，利用导数判断
函数
的单调性，即可比较 , sin 的大小，进而可比较b, c 的大小，即可得解.
因为 a = = log 3 = log 27 > log 25 = log 5 > log 4 = log 2 ，
3 3 3 3 3 3
所以a > b ，
令 f (x ) = x — sin x ，则 f/(x) = 1— cos x
≥ 0 ， 所以 f (x )在R 上为增函数，
所以 即 — sin 所以 > sin
则b = log 2 > log + sin ，即b
3 3
> c ，
综上所述， a > b > c
. 故选：A.
第 3页/共 17页8. 已知 5 名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有 ( )
A. 48 种 B. 60 种 C. 66 种 D. 72 种
【答案】B
【解析】
【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可得.
1 4
【详解】若甲站在正中间，则共有 A A 种排法，
1 4
1 1 3
若甲不站在正中间，先排甲有 C 种，再排乙有 C 种，最后三人任意排有 A
2 3 3
1 1 3
种， 则共有 C C A 种排法，
2 3 3
1 4 1 1 3
综上，共有 A A + C C A = 24+36 = 60 种不同排法.
1 4 2 3 3
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题 目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的有 ( )
A. 若随机变量x ， y 满足经验回归方程 = —0.02x + 49.76 ，则x ， y 的取值呈现正相关
B. 若随机变量X ~ N (3, σ ) ，且 P(X > 6) = 0. 15 ，则 P(X < 0) = 0.15
C. 若事件 A, B 相互独立，则 P(A | B) = P(A)
D. 若 5 件产品中有 2 件次品，采取无放回的方式随机抽取 3 件，则抽取的 3 件产品中次品数为 1 的概率
是
3
5
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据回归方程即可判断A；根据正态分布的对称性即可判断 B；根据相互独立事件的概率公式及
条 件概率公式即可判断C；根据古典概型的概率公式即可判断 D.
【详解】对于 A ，因为随机变量x ， y 满足经验回归方程 = —0.02x + 49.76
， 所以x ， y 的取值呈现负相关，故 A 错误；
对于 B ，因为随机变量 X ~ N (3, σ ) ，且 P(X > 6) = 0.
15 ， 所以 P(X < 0) = P (x > 6) = 0.15 ，故 B 正确；
对于 C ，若事件 A, B 相互独立，则 P(AB) = P (A)P (B) ，
第 4页/共 17页所以P(A | B) = = P (A) ，故 C 正确；
对于 D ，由题意抽取的 3 件产品中次品数为 1 的概率 ，故 D 正确.
故选：BCD.
10. 拐点（Inflection Point）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线
穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．
设 函数 f(x) 对于区间 ( a , b) 内任一点都可导 ，且函数 g(x) = f /(x) 对于区间 ( a , b) 内任一点都可
导 ，若
彐x ∈ (a, b) ，使得g/(x ) = 0 ，且在 x = x 的两侧g /(x) 的符号相反，则称点 ( x , f (x )) 为曲线y =
0 0 0 0 0
f(x) 的
拐点．以下函数具有唯一拐点的有 ( )
= x3 + x2 B. f ， x > 0
C. f(x) = a x — x2 （ a > 0 ，且 a ≠ 1 ） D. f(x) = ln x + sin x
【答案】AC
【解析】
【分析】拐点即二阶导数的变号零点，求出二阶导数以后逐一分析即可，其中 D 需要找到两个拐点即可
排 除 D.
对于 A： g = 3x2 + 2x ， g/ = 6x + 2 ，令 g/ = 0 得 x = -
)
当 x > — 时，g/(x) > 0 ，当x < — 时，g/(x) < 0 ， 所以 (| — , | 是函数 f (x)
( ,
的拐点，
故 A 正确；
对于 B ： g (x ) = f/ (x ) = x2 — ， g / (x ) = 2x + ， x > 0 ，令 g /( x ) = 0 ，方程无解， 所以
( )
f x
无拐
点，故 B 错误；
对于 C ： g (x) = f/ (x) = ax ln a — 2x ， g / (x) = ax ln2 a — 2 ，令 g/ (x) = 0 得 x =
log ， 当 a > 1 且 x > log 时， g /
(x)
> 0 ，当 a > 1 且当 x < log
a a a
时， g /
(x)
< 0 ，
当0 < a < 1且 x > log 时， g
/(
x
)
< 0 ，当 0 < a < 1且 x < log 时， g
/(
x
)
> 0 ，
a a
— log ，所以 是函数f (x) 唯一拐点，故
第 5页/共 17页C
正确；
第 5页/共 17页( ) ( ) ( )
对于 D ：g x = f/ x = + cos x ，g / x = — — sin x ，因 (
0, g / 0 ，所以 g/(x) = 0
为 g/ ( π ) |( 2 , | 在
至少有一个零点x 且为变号零点，
1
( ) )
又因为 g / — | > 0, g/ ( —π ) < 0 ，所以 g/(x) = 0 在(| —π, — | 至少有一个零点x 且为变号零
|( , ( , 2
点所以 f (x)
有拐点但不唯一，故 D 错
误. 故选：AC
11. 已知定义域为 R 的连续函数f(x) 满足 e x f(x —y) = ex+yf(x) + f(—y) ， f(—1) = —e2 ，则 ( )
A. f(0) = 0 B. e x f(x) 为奇函数
C. f(x) 在(—∞, 0) 上单调递减 D. f(x) 在(0, +∞) 上的最大值为 1
【答案】ABD
【解析】
【分析】令 x = y = 0 ，即可判断 A； 由 e
x
f(x —y) = ex+yf(x) + f(—y) ，得
ex—y f(x — y) = e x f(x) + e — y f(—y) ，令 g (x) = e x f(x) ，则 g (x —y ) = g (x)+ g (—y ) ，令 x = y
= 0 ，即 可判断 B ；关于x 求导得，g/(x —y ) = g/(x) ，从而可求出 g(x) d 的解析式，进而可求出f
(x)
的解析式， 再利用导数即可判断 CD.
【详解】对于 A ，令 x = y = 0 ，
则 f (0) = f (0) + f (0) ，所以 f (0) = 0 ，故 A 正确；
对于 B ，由 e x f(x — y) = ex+yf(x) + f(—y) ，得 ex—y f(x — y) = e x f(x) + e — y f(—y) ，
令 g(x) = e x f(x) ，则 g(x —y ) = g (x)+ g(—y ) ，
令 x = y = 0 ，则 g(0) = g (0) + g(0) ，所以 g(0)
= 0 ， 令y = x ，则 g(0) = g (x)+ g(—x) = 0 ，
所以 g(x) 为奇函数，即 e x f(x) 为奇函数，故 B 正
确； 由 g(x —y ) = g (x)+ g(—y ) ，
关于x 求导得， g/(x —y ) = g/(x) ，
第 6页/共 17页令—y = Δx, h (x) = g/(x) ，
所以 h (x) = C （C 为常数），即 g/(x) =
C ， 所以 g(x) = Cx + t （C, t 为常数），
因为 g (0) = 0, g (—1) = e —1 × ( —e 2 ) = —e ，
所以 = ex ，所以 f
， 则
当 x <1时， f/(x) > 0 ，当 x >1时， f/(x) < 0 ，
所以 f (x) 在 (—∞, 1) 上单调递增，在 (1, +∞) 上单调递
减， 所以 f (x) = f (1) = 1 ，故 C 错误；D 正确.
max
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：由 ef(x — y) = ex+yf(x) + f(—y) ，得出 ex—y f(x — y) = ef(x) + e — y f(—y) ，
x x
是解 决本题的关键.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 89 被 6 除所得的余数为 .
【答案】
2 【解
析】
【分析】把 89 用二项式定理展开，把问题转化为 29 被 6的余数.
【详解】 89 = (6 + 2)9 = C069 + C168 × 2 + C267 × 22 +……C86 × 28 + C929 ，
9 9 9 9 9
展开式的前 9项都能被 6整除，只有最后一项不能被 6整除，所以问题转化为 29 被 6的
余数， 而 29 = 512 ，被 6除的余数为 2 ，所以 89 被 6除的余数为 2 .
故答案为： 2
13. 已知随机变量x ， y 的五组观测数据如下表：
x 1 2 3 4 5
第 7页/共 17页y e 一1. 1 e 1.6 a e 6.5 e9
由表中数据通过模型 y = emx+n 得到经验回归方程为 = e2.6x一3.8 ，则实数a 的值为 .
【答案】
e4 【解析】
【分析】令 z = ln y ，则 = 2.6x 一 3.8 ，求出x, z ，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得
解. 【详解】令 z = ln y ，
因为 = e2.6x一3.8 ，所以 = 2.6x 一 3.8 ，
所以 2.6 × 3 一 3.8 = ，解得 a = e4 .
故答案为： e4 .
14. 已知函数 f(x) = x3 + ax2 + bx + c(a, b, c ∈ R) ，若关于x 的不等式 f(x) < 0 的解集为{x | x < t + 3 且 x ≠
t} ，
则f(x) 的极小值为 .
【答案】 一
4 【解析】
【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式，借助导数可得其单调性即可得其极小值.
【详解】 由题意可得 f(x) = x3 + ax2 + bx + c = (x 一 t 一 3)(x 一
t)2 ， 即 f/ (x ) = (x 一 t)2 + 2(x 一 t 一 3)(x 一 t) = 3 (x 一 t)(x 一 t
一 2) ，
当 x ∈(一∞, t ) (t + 2, +∞) 时， f/(x) > 0 ，当 x ∈(t, t + 2) 时， f/(x) < 0 ，
故f(x) 在(一∞, t ) 、 (t + 2, +∞) 上单调递增，在 (t, t + 2) 上单调递
减， 共有f(x) 的极小值为 f (t + 2) = (t + 2 一 t 一 3)(t + 2 一 t)2 =
一1× 22 = 一4 . 故答案为： 一4 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 (1一 3x)n （其中 x ∈ R n ∈ N* ）的展开式中第 2 项的二项式系数与第3 项的二项式系数之和为
36 .
（1）求n ；
第 8页/共 17页（2）记(1 — 3x)n = a + a x + a x2 + . . . + a xn ，求 — + — + ... + (—1)n 的值.
0 1 2 n
【答案】（1） 8
（2） 255
【解析】
【分析】（1）根据第 2 项的二项式系数与第3 项的二项式系数之和为 36得 C 1 + C 2 = 36 ，即可求
n n
n ；
先令 x = 0 ，则 a = 1 ，再令 x = - ，则 28 = a — 即可求解.
0 0
【小问 1 详解】
由题意，二项式 (1— 3x)n 的通项公式为T = C r (—3x)r ，
r +1 n
根据第 2 项的二项式系数与第3 项的二项式系数之和为 36得
C1 + C2 = 36 ，即 n2 + n — 72 = 0 ， n ∈ N*
n n
解得 n = 8 .
【小问2 详解】
由（1）可知 (1— 3x)8 = a + a x + a x2 + … +
0 1 2
a x8 ， 令 x = 0 ，则 a = 1 ，
8 0
令 则 28 = a —
0
16. 已知某射击运动员每次射击命中 10 环的概率为 ，每次射击的结果相互独立，共进行 4 次射
击.
（1）求恰有 3 次命中 10 环的概率；
（2）求至多有 3 次命中 10 环的概率；
（3）设命中 10 环的次数为 X ，求随机变量 X 的数学期望 E(X) 和方差D(X) .
【答案】（1）
（2）
（3） ； DX =
【解析】
【分析】（1）直接根据二项分布的概率公式计算即可；
（2）用对立事件法求概率；
第 9页/共 17页（3）直接代入二项分布的期望和方差公式即可.
【小问 1 详解】
设运动员每次射击命中 10 环为随机变量ξ, 则由题意可知 则恰有 3 次命中 10 环的概率
即
【小问2 详解】
至多有 3 次命中 10 环的概率即 = 1— P = 1— C
【小问 3 详解】
17. 已知函数 为奇函数.
（1）设函数 + t ，求 g + ... + g 的值；
（2）若关于x 的方程 f ( 4x + 3 ) + f ( —a . 2x — a ) = 0 有实数根，求实数a 的取值范围.
【答案】（1） 2023
（2） a ≥ 2
【解析】
【分析】（1） 由函数 f (x )为奇函数可得 f (0) = 0 ，即可求出a ，再求出 g(x)+ g(1— x) 的值即可得
解； （ 2 ） 先 判 断 函 数 f (x ) 的 单 调 性 ， 根 据 函 数 f (x ) 为 奇 函 数
可 得 f (4x + 3) = — f ( —a . 2x — a ) = f ( a . 2x + a ) ，则问题转化为关于x 的方程 4x + 3 = a . 2x +
a ，分离参数，
再结合基本不等式即可得解.
【小问 1 详解】
函数的定义域为 R ，
因为函数 为奇函
数， 所以 = 0 ，即 = 0 ，所以
t = 1，
经检验，符合题意，
第 10页/共 17页因为 f (x ) 为奇函数，所以f ( x) + f (x) = 0 ，
所以 + ... + g
g 「( 1 | + ) g ( 2023 | )7 | + 「g ( 2 ) | + ( g2 022)7 | | +「 .. . +( 20g2 3) ( | +1 g | |
(| (| |( |( (| |(
L 2024 , 2024 , 」 L 2024 , 2024 , 」 L 2024 , 2024 , 」
2
=
【小问 2 详解】
因为 y = 2x +1是 R 上的增函数，且恒大于
零， 所以 f (x )在R 上单调递减，
由 f (4x + 3) + f ( a .2 x a ) = 0 ，
得 f (4x + 3) = f ( a . 2 x a ) = f ( a . 2 x + a ) ，
所以 4x + 3 = a . 2x + a ，即 a = = 2x + 1+
因为关于x 的方程 f (4x + 3) + f ( a .2x a ) = 0 有实数根，
所以关于x 的方程 a = 2x +1+ 2 有实数
根，
当且仅当 2x +1 = ，即 x = 0 时取等号，
所以 a ≥ 2 .
18. 某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的
红、 蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取 1 顶帽子，学校统计学生
所领帽
第 11页/共 17页子的颜色，得到了如下2 × 2 列联表.
红色 蓝色 合计
男 20 25 45
女 40 15 55
合计 60 40 100
（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；
（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为 1 号到 7 号的 7 个箱子，现
从 中随机选取 4 个箱子，
①求所选的 4 个箱子的标号数之和为奇数的概率；
②记所选的箱子中有 X对相邻序号（如：所选箱子的标号为 1 ，2 ，3 ，5 ，则 1 ，2 和 2 ，3 为 2 对相邻序
号，
所以 X = 2 ），求随机变量 X 的分布列和数学期望 E(X) .
附： ，其中 n = a +b + c + d .
0 05
α 0. 1 . 0.01
x 2.706 3.841 6.635
a
【答案】（1）有 99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关” .
（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；
（2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学
期望公式计算出结果；
【小问 1 详解】
零假设 H :喜好红色或蓝色与性别无关，
0
第 12页/共 17页所以，根据独立性检验，没有充分证据推断 H 成
0
立， 因此有 99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别
有关” . 【小问2 详解】
①根据题意可知箱子的标号有 4 个奇数 3 个偶数，
标号为 1 号到 7 号的 7 个箱子，现从中随机选取 4 个箱
子， 设事件 A 记为所选的 4 个箱子的标号数之和为奇
数，
②标号为 1 号到 7 号的 7 个箱子，现从中随机选取 4 个箱
子， 则选取 4 个箱子的所有情况有
[1234, 1235, 1236, 1237, 1245, 1246, 1247, 1256, 1257, 1267, 1345, 1346, 1347, 1356, 1357,
1367,)
{ 1 4 5 6 , 1 4 5 7 , 1 4 6 7 , 1 5 6 7 , 2 3 4 5 , 2 3 46, 2347, 2356, 2357, 2367, 2456, 2457, 2467, 2567,
3457, 3467, 3567, 4567
l
J
记所选的箱子中有 X对相邻序号，可得 X = 0, 1, 2, 3, 则
所以随机变量 X 的分布列为
X 3
4
P
35
因此数学期望
19. 已知函数 f (x) = (x +1)ln x .
（1）求曲线y = f(x) 在x = 1处的切线方程；
（2）若关于x 的不等式 f (x) > m(x 1) 在(1, +∞) 上恒成立，求实数 m 的最大值；
（3）若关于x 的方程 f(x) + ax2 + (a +1)x +1 = 0(a ∈ R) 有两个实根x， x (x ≠ x ) ，求
1 2 1 2
证：
第 13页/共 17页【答案】（1） y = 2x —
2 （2） 2
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（ 2 ） 由 题 意 可 得 (x +1)ln x — m(x —1) > 0 在 (1, +∞) 上 恒 成 立 ， 则 可 构 造
函 数 g (x) = (x +1)ln x — m(x —1) ，求导后分m ≤ 2及m>2 讨论其单调性，在 m>2 时结合零点
的存在性定理 研究，即可得 m 的具体范围，即可得其最大值；
（3）借助因式分解可将原问题转化为 ln x + ax +1 = 0 有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范
围，
t = t =
借助换元法 ，令 ， ，可得 两式作差可得 ，从而
1 2 a =
—
将证明
2
( t )
1— 1
|
1 1 t |( t t 1 — n2
—2a < + 转化为证明ln 1 + 2 , > 0 ，借助换元法令 1 = n > 1 ，即证 ln n + > 0 ，
构造相
x x t t t 2n
1 2 2 2 . 1 2
t
2
应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得 即
1
[ a (t ) > (t — 3)
可得 { — — 3 ，两式作差即可得证 + < a + 3 .
l — a 1 t 2 ( t2 )
【小问 1 详解】
又 f (1) = (1+1)ln1 = 0 ，则有y — 0 = 2 (x —1)
， 即曲线y = f(x) 在 x = 1处的切线方程为 y =
2x — 2 ； 【小问2 详解】
由题意可得 (x +1)ln x — m(x —1) > 0 在(1, +∞) 上恒成立，
令 g (x) = (x +1)ln x — m(x —1) ，则 g/ (x ) = ln x +1+ — m ，
第 14页/共 17页则当 x ∈(1, +∞) 时， α/(x) > 0 ，故 g/(x) 在(1, +∞) 上单调递增，
则当 时， g / = ln1+1+ — m = 2 — m ，
当 m ≤ 2时， g/(x) > 2 — m ≥ 0 ，故 g(x) 在(1, +∞) 上单调
递增， 有 g(x) > g(1) = 2ln1— m(1—1) = 0 ，符合要求，
当 m>2 时， 由 g/ = 2 — m < 0 ， g / = ln em +1+ — m = 1 +
则存在 x ∈ (1, em ) ，使 g/(x ) = 0 ，即当 x ∈(1, x ) 时，
0 0 0
g/(x) < 0 ， 当 x ∈(x , +∞) ， g/(x) > 0 ，
0
故 g(x) 在 (1, x ) 上单调递减，在 (x , +∞) 上单调递增，
0 0
则 g(x ) < g(1) = 0 ，不符合要求，故舍
0
去， 综上所述， m ≤ 2 ，故实数 m 的最大
值为 2 ； 【小问 3 详解】
f (x) + ax2 + (a +1)x +1 = (x +1)ln x + (ax +1)(x +1) = (x +1)(ln x + ax
+1) = 0 ， 由x > 0 ，即有ln x + ax +1 = 0 有两个实根x， x (x ≠ x ) ，
1 2 1 2
令 μ(x) = ln x + ax +1 ， μ/ (x ) = + a ，
当 a ≥ 0 时， μ/ (x ) = + a > 0 恒成立， μ(x) = 0 不可能有两个实根，故
)
舍去； 当 a < 0 ，则 x ∈ 时， 当 x ∈ (| — , +∞ |
( ,
时， μ/(x) < 0 ，
) )
故 μ(x)在 (| 0, — | 上单调递增，在 (| — , +∞ | 上单调递
( , ( ,
减， 则有 —1+1= — ln > 0 ，即 a
∈
又 μ(1) = ln1+ a +1= a +1> 0 ，
不妨令 x < x ，则有 0 < x < 1 < — < x ，
1 2 1 2
第 15页/共 17页ax
有 { 一 1 ，令t 1 = ， t 2 = ，即有
ax
2
a ( t2 t )
则有 +1 一 ln 一 即ln t 一 ln t = 一 1 ，
1 2
tt
1 2
一 < +
即 则要证 2a ，只需证
一 < t
1
，
+ t
2
一
1 1
故h ( x ) 在 (1, +∞) 上单调递减，故 h (x ) < h (1) = ln1+ = 0 ，
2
一
1 2
即有 ln n + n > 0 在 n > 1时恒成立，故一2a < + 得证；
2 n
由（2）可知，当 m = 2 时， f (x) > m(x 一1) 在 (1, +∞) 上恒成立，
1
由 0 < x < 1 < 一 < x ，则t > 1 、 0 < t < 1 ，
1 a 2 1 2
第 16页/共 17页第 16页/共 17页又 ，即 ，即
即 ，则有 a
整理得a (t -t ) > t2 -t2 -3(t -t ) ，即 a > t + t - 3 ，即 t + t < a + 3 ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即 < a + 3；
综上， -2a < < a + 3 得证.
x x
1 2
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令t = ， 从而将证明
1
-2a < < a + 3 转换为证明 -2a < t + t < a + 3 .
x x 1 2
1 2
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