文档内容
3.2.1 函数的性质（一）（精练）（提升版）
题组一 单调区间（无参）
1．（2022·北京）下列函数中，在 为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A不正确， 在每一个单调区间上增，在 不是增函数， 时函数不存在；B是对
称轴为 ，在 不是增函数；C在 为减函数，D求导得可 ，可
知D正确故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）下列关于函数 的结论，正确的是（ ）
A．f(x)在(0，+∞)上单调递增
B．f(x)在(0，+∞)上单调递减
C．f(x)在(-∞，0]上单调递增
D．f(x)在(-∞，0]上单调递减
【答案】D
【解析】由题意可得， 作出函数f(x)的图像如图所示，
由图可知，函数f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可得 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
二次函数 的对称轴为 ，且在 上的单调递增区间为 ，
根据复合函数的单调性，可知函数 的单调递增区间是 .故选：B.
4（2021·安徽）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， 的单调递增区间是 .故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ．由 ，得 ．
因为函数 是关于 的递减函数，且 时， 为增函数，所以
为减函数，所以函数 的单调减区间是 ．故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是【答案】D
【解析】因为函数 ，作出函数 的图象，
如图所示：
由图可知，递增区间是 ，递减区间是 和 ．故选：D．
题组二 已知单调性求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）函数 ，对于任意 ，当 时，
都有 成立的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】根据题意，当 ，都有 成立时，函数 在定义域内为单调减函数.
所以 解得 ，反之也成立
即 是 时，都有 成立的充要条件
所以其必要不充分条件对应的a的取值范围包含区间 ，故选项CD正确.故选：CD.
2．（2022·河北）（多选）已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值可以是（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【解析】因为函数 是 上的减函数，所以 ，解得 ，故选：CD
3（2022·江西）已知函数 ，是R上的增函数，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】若 是 上的增函数，则应满足 ，解得 ，即
.故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，则实数a的取值范围为
________.
【答案】
【解析】若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，
即函数g(x)＝ax2＋x在(0，1)内单调递增，
当a＝0时，g(x)＝x在(0，1)内单调递增，符合题意，
当a>0时，g(x)的对称轴 ，
g(x)在(0，1)内单调递增，符合题意，
当a<0时，需满足g(x)的对称轴 ，解得－ ≤a＜0，
综上，a≥－ .
故答案为：
5．（2022·江苏泰州）若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围为
___________.
【答案】
【解析】由 知，
,
∵函数 在 上是减函数，
，又 ，
∴ ，即 在 上恒成立，
而 ， ，
．
故答案为： ．
6．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数 在区间 上为增函数，则实数a的
取值范围是________．
【答案】
【解析】 ，
因为函数在区间 上为增函数，所以 ，解得： .故答案为：7．（2021·江西）已知函数 ，对 ，且 都有 成立，
则实数 的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为对 ，且 都有 成立，
所以函数 在 上单调递增.
所以函数 必须满足3个条件：（1）分段函数的上面一段是增函数；（2）分段函数的下面一段是增函
数；（3）上面一段函数的最大值小于等于下面一段函数的最小值.
所以 ，解得 .故答案为：
8．（2022·河南）若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】由 可得 ，解得 ，
函数 是由 和 复合而成，
又 对称轴为 ，开口向下，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 为减函数，
所以 的单调增区间为 ，因为 在区间 内单调递增，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故答案为： ．
题组三 奇偶性的判断
1．（2022·安徽省）下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A， ， ， ，故 为非奇非偶函数，
对于B， ，定义域为 ， ， 为偶函数，
对于C， ， 为偶函数，
对于D，易知定义域为R, ， ， 为奇函数．
故选：D
2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上有相同单调性的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 为奇函数且在 上递增，A、B： 、 非奇非偶函数，排除；
C： 为奇函数，但在 上不单调，排除；
D： ，显然 且定义域关于原点对称，在 上递增，满足.
故选：D
3．（2022·江西南昌·二模）若 为奇函数，则 （ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．0
【答案】A
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
又 ，可得 .故选：A.
4．（2022·广东）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数，递增区间是 B． 是偶函数，递减区间是
C． 是奇函数，递减区间是 D． 是奇函数，递增区间是
【答案】C
【解析】将函数 去掉绝对值得 ，
画出函数 的图象，如图，观察图象可知，函数 的图象关于原点对称，
故函数 为奇函数，且在 上单调递减，
故选：C
5．（2022·内蒙古包头市）设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】C
【解析】由 得： ， 定义域为 ；
又 ，
为定义域内的偶函数，可排除BD；
当 时， ，
在 上单调递减， 单调递增， 在 上单调递减，可排除A；为偶函数且在 上单调递减， 在 上单调递增，C正确.
故选：C.
6．（2021·全国高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，由 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，该函数为非奇非偶函数，A选项不满
足条件；
对于B选项，由 ，可得 ，即函数 的定义域为 .
，该函数为奇函数，
当 时， ，
所以，函数 在 上单调递减，B选项满足条件；
对于C选项，由 ，解得 ，所以，函数 的定义域为 ，
，该函数为奇函数，
当 时， ，该函数在 上为增函数，C选项不满足条件；对于D选项，函数 的定义域为 ，
，该函数为奇函数，
当 时， ，该函数在 上为增函数，D选项不满足条件.
故选：B.
7．（多选）（2022·海南）下列函数中是偶函数，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】A，因为 ， 是偶函数，在区间 上为增函数，
符合题意；
B，因为 ， 是奇函数，且在区间 上为减函数，不符合题意；
C，因为 ， 是偶函数，当 时，
单调递减，不符合题意；
D，因为 ， 是偶函数，且在区间 上为增函数，符合题意.
故选：AD
8．（2021·全国高三）下列函数中是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）.A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，函数 的定义域为 ， ，
该函数为偶函数，且在区间 上单调递增，则该函数在区间 上单调递减，不符合题意；
对于B，函数 的定义域为 ， ，
该函数为偶函数，当 时， 是增函数，
故函数 在区间 上单调递增，则该函数在区间 上单调递减，不符合题意；
对于C，函数 的定义域为 ，定义域不对称，即该函数为非奇非偶函数，不符合
题意；
对于D，函数 的定义域为 ，
，该函数为偶函数，
当 时， ，易见该函数在区间 上单调递减，
则该函数在区间 上单调递增，符合题意.
故选：D.
题组四 奇偶性的应用
1．（2022·山西吕梁）已知函数 为定义在R上的奇函数，且当 时， ，则当时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时，则 ，因为 是奇函数，所以 .故选：D
2．（2021·河南）已知 为奇函数，当 时， ，则当 时，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 为奇函数，所以 ，即 ．
当 时， ， ．故选：C
3．（2022·四川）若 是定义在R的奇函数，且 是偶函数，当 时， ，
则 时， 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 是偶函数，所以函数 的图象关于 对称，
所以 ，
因为 是定义在R的奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
当 时，有 ，
所以 ，所以 ，故选：B
4．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数 ，则“ ”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数 定义域为R，函数 为偶函数，
则 , ，
而 不恒为0，因此， ，解得 或 ，
所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2021·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））函数 ，存在常数
a，使得 为偶函数，则 可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 是偶函数，
不可能是奇函数，因此 和 都是偶函数，
为偶函数，则 ，
为偶函数，则 ， ，
只有 时， ，故选：B．6．（2022·福建福州·高三期末）已知函数 为偶函数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，当 时，则 ，即 ， ，
∵ 为偶函数，∴ ，即 ，
∴ ， ，∴ ，故选： .
7．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））若函数 是定义在
上的偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为 是 上的偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，所以 ．
故选：C.
8．（2021·山东菏泽·高三期中）已知 为奇函数，当 时， ，则曲线
在点（1，2）处的切线方程是___________.
【答案】【解析】当 时， ，所以 ，又因为 为奇函数，所以 ，所以
，即 ，所以 ，所以 ，所以曲线
在点（1，2）处的切线方程是 ，即
故答案为：
9．（2022·河北）已知函数 是 上的奇函数，当 时， ，则函数的解析式为
______．
【答案】
【解析】因为函数 是 上的奇函数，所以 ，又当 时， ，设 ，则
，则 ，因为 为奇函数，所以 ，所以 ，所以
故答案为：
10．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 是奇函数，则 ___________.
【答案】
【解析】因为 是奇函数，
所以 ，即 ，即
即 ，
即即 ，所以 ，解得 ，
经检验符合题意；故答案为：
11（2022·山东临沂·二模）已知函数 是偶函数，则 __________．
【答案】2
【解析】由 得 的定义域为 ，
则∵ 是偶函数，故f(-1)=f(1)，
即 ，解得m=2．
此时 ，而 ，
故 确为偶函数，故m=2．
故答案为：2．
12．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 为奇函数，则 ______．
【答案】2或
【解析】函数 为奇函数，其定义域为
由 ，解得 或
当 时， ，则 ，满足条件.
当 时， ，则 ，满足条件.
故答案为：2或
13．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 是偶函数，则 ___________．
【答案】【解析】由题意知： 是偶函数，则 ，
即： 即： 即： ，解得：
.
故答案为： .
14．（2022·山东枣庄·一模）已知函数 是偶函数，则实数 的值为______．
【答案】2
【解析】由题意知：定义域为R，函数 是偶函数，则
，即 ，化简 ，解得 .答案为：2.
题组五 单调性与奇偶性应用之比较大小
1．（2022·安徽·寿县第一中学）若 为定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 为偶函数且在 上单调递减知： 在 上单调递增，
，又 ， ， ，故
，所以 .故选：D.
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的定义域为 ，因为 ，
所以 为偶函数，所以 ， ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ，
因为 在 上为增函数，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，故选：A
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数 的图象关于直线 对称，且
在 上单调递增，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的图象关于直线 对称可得 ，结合奇函数的性质可知
， .
由奇函数的性质结合 在 上单调递增可得 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
故选：C
4．（2022·福建·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数 ，则 为偶函数，且当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，所以 ，又 ，
， ，所以 .故选：B.
5．（2022·江西景德镇·三模（理））已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】记 .因为，所以当 时，，所以 在 上单调递增函数，所以当 时， ，即
，所以 .
记 .
因为，所以 在 上单调递减函数，所以当 时， ，即 ，所以
.所以 .
记 .
因为，所以当 时，，所以 在 上单调递增函数，所以当 时， ，即
，所以 .所以 .综上所述： .故选：B
6．（2022·山西吕梁）已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ，所以 ，所以 .故选：B.
7．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知函数 ，则下述
关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】∵ ，∴f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴ .
∵ ，∴ ，故选：A.
8（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知函数 ， ， （ 为自然对
数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
当 时 ， 为减函数，则 ，得 ，即 ．
由 ，则 为偶函数，
又 ，则 ，即 为增函数，又 ，
所以，当 时 ， 为增函数．
令 且 ，则 ，即 递增，
所以 ，即 在 上恒成立，取 ，得 ，
所以 ，故 ，
综上， ．
故选： ．
9．（2022·河南）已知 ， ， ，其中 且 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】由题意可知， ， ， ，所以 ，
， .
令 ，则 ， ， ；
又 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
如图所示；因为 ，所以 ，所以 ，又 ， ，且
在 上单调递减，所以 .故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）设 是定义域为R的偶函数，且在 上单调递增，若
， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意 是定义域为R的偶函数，
，
， ，， ， ， ，
由于 在 上单调递增，所以 .故选：D
题组六 单调性与奇偶性应用之解不等式
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 （ 为常数）为奇函数，则满足 的实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 为奇函数，所以 ，
，得 所以 ，
任取 ，则 ，
则 ，
所以， ，则函数 为 上的增函数，由 ，解得 .故选：A.
2．（2022·吉林）已知函数 是奇函数，则使得 的 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，得 ，所以 ，定义域为 ，
，满足 为奇函数，
因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，
又 ， ，所以使得 的 的取值范围是 ．
故选：C.
3．（2022·河南许昌）已知函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 上是减函数， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 上是减函数，所以，函数 在
上是增函数，所以 ，即有 ，所以 或 ，解得
或 ．故选：D．
4．（2022·山东聊城·二模）已知 为 上的奇函数， ，若对 ， ，当 时，
都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，设 ，
则 在 上单调递减，
而 ，
则 ，解得： ；
因为 为R上的奇函数，所以 ，
则 为R上的偶函数，故 在 上单调递增，
，
则 ，解得： ；
综上，原不等式的解集为 .
故选：B.
5．（2022·辽宁葫芦岛·一模）函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 为奇函数， ，又 ， ，
则 可化为： ，在 单调递增， ，解得： ，
的取值范围为 .故选：C.
6．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））已知函数 为偶函数，且当 时， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，所以函数 在 上单调递增，又因为函数 为 上的偶函数，所以函数
在 上单调递减．则不等式 ，
即 等价于 ，解得 或 ．
故选：D．
7．（2022·四川遂宁·三模（文））设函数 且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
，
，函数 在 上是奇函数．
当 时，函数 单调递增，因此函数 在 上单调递增．
又 ，
则 ，即 ，
即 ，
，即 ，而 ，
，即 ，而 ，
，
解得 ．
实数 的取值范围为 ．
故选：B．
8．（2022·河南·三模）已知 为定义在R上的奇函数， ，且 在 上单调递增，
在 上单调递减，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 为定义在R上的奇函数，所以 的图象关于点 对称，
且 ，又 ，所以 ．
依题意可得，当 或 时， ．所以 等价于 或 ，
解得 或 ．
故选：D
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 ，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对 ，其定义域为 ，且 ，故 为 上的奇函数；
又当 时， ，其在 单调递减；
当 时， ，其在 单调递减；
又 是连续函数，故 在 上都是单调减函数；
则 ，即 ，
则 ，解得 .故选：D.
10．（2022·河南·宝丰县）已知函数 ，则关于x的不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以函数 为偶函数，
当 时，有 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 恒成立，
所以函数 在区间 上单调递增，又函数 为偶函数，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以关于 的不等式 可转化为 ，解得 .
关于x的不等式 的解集为 ，
故选：B.
