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2025新教材数学高考第一轮复习
3.2 函数的单调性与奇偶性
五年高考
考点1 函数的单调性
1.(2021全国甲文,4,5分,易)下列函数中是增函数的为( )
A. f(x)=-x B. f(x)=(2) x
3
C. f(x)=x2 D. f(x)=√3 x
2.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (
)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
3.(2020新高考Ⅱ,7,5分,中)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是
( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
4.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=
e−(x−1)2 .记a=f
(√2),b=f (√3),c=f (√6),则(
2 2 2
)
A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
5.(2020新高考Ⅰ,8,5分,难)若定义在 R的奇函数 f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足
xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
6.(2022北京,14,5分,难)设函数f(x)={−ax+1,x0 时
f(x)=log x,则f(-3)= ( )
3
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.(2024届山东日照校际联考,3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是(
)
A.y=e-x-ex B.y=x-2
C.y=2|x| D.y=cos x
4.(2023北京海淀模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
1
A.y=√xB.y=
x2
3x−3−x
C.y=lg|x| D.y=
2
5.(2023江苏连云港一模,3)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时, f(x)单调递增,则
f(-2), f(π), f(-3)的大小关系是 ( )
A. f(π)>f(-2)>f(-3)
B. f(π)>f(-3)>f(-2)
C. f(π)f(a)>f(b) B. f(a)>f(c)>f(b)
C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(c)>f(b)>f(a)4.(2023 江苏常州一模,5)若函数 f(x)、g(x)分别为 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-
g(x)=ex,则有( )
A. f(2)0的解集为(
)
A.⌀
B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
8.(多选)(2024届湖南长沙周南中学入学考,10)济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏,柱
与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的
链条,在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.如果建立适当的平面直角坐标系,那
a x x
么悬链线可以表示为函数 f(x)= ( − ),其中a>0,则下列关于悬链线函数 f(x)的性质判
2
ea+e a
断正确的是( )
A. f(x)为偶函数
B. f(x)为奇函数
C. f(x)的单调递减区间为(-∞,0)D. f(x)的最大值是a
9.(多选)(2024届重庆南开中学开学考,9)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增
的是 ( )
A.y= 1 B.y=x+sin x
x3
C.y=xcos x D.y=log ( +x)
2 √x2+1
10.(2024届山东日照校际联考,15)若f(x)=lg| 20 |+b是奇函数,则a+b= .
a+
1−x
11.(2024 届山东枣庄三中质检,21)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时, f(x)=
(1) x x+3.
−
2 3
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
3.2 函数的单调性与奇偶性
五年高考考点1 函数的单调性
1.(2021全国甲文,4,5分,易)下列函数中是增函数的为( )
A. f(x)=-x B. f(x)=(2) x
3
C. f(x)=x2 D. f(x)=√3 x
答案 D
2.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (
)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
答案 D
3.(2020新高考Ⅱ,7,5分,中)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是
( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
答案 D
4.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=
e−(x−1)2 .记a=f
(√2),b=f (√3),c=f (√6),则(
2 2 2
)
A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
答案 A
5.(2020新高考Ⅰ,8,5分,难)若定义在 R的奇函数 f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足
xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
答案 D
6.(2022北京,14,5分,难)设函数f(x)={−ax+1,x0 时
f(x)=log x,则f(-3)= ( )
3
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 A
3.(2024届山东日照校际联考,3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是(
)
A.y=e-x-ex B.y=x-2
C.y=2|x| D.y=cos x
答案 C
4.(2023北京海淀模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
1
A.y=√xB.y=
x2
3x−3−x
C.y=lg|x| D.y=
2
答案 C
5.(2023江苏连云港一模,3)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时, f(x)单调递增,则f(-2), f(π), f(-3)的大小关系是 ( )
A. f(π)>f(-2)>f(-3)
B. f(π)>f(-3)>f(-2)
C. f(π)f(a)>f(b) B. f(a)>f(c)>f(b)
C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(c)>f(b)>f(a)
答案 C
4.(2023 江苏常州一模,5)若函数 f(x)、g(x)分别为 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-
g(x)=ex,则有( )
A. f(2)0的解集为(
)
A.⌀
B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
答案 B
8.(多选)(2024届湖南长沙周南中学入学考,10)济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏,柱
与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的
链条,在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.如果建立适当的平面直角坐标系,那
a x x
么悬链线可以表示为函数 f(x)= ( − ),其中a>0,则下列关于悬链线函数 f(x)的性质判
2
ea+e a
断正确的是( )
A. f(x)为偶函数
B. f(x)为奇函数
C. f(x)的单调递减区间为(-∞,0)
D. f(x)的最大值是a
答案 AC
9.(多选)(2024届重庆南开中学开学考,9)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y= 1 B.y=x+sin x
x3
C.y=xcos x D.y=log ( +x)
2 √x2+1
答案 ABD
10.(2024届山东日照校际联考,15)若f(x)=lg| 20 |+b是奇函数,则a+b= .
a+
1−x
答案 -11
11.(2024 届山东枣庄三中质检,21)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时, f(x)=
(1) x x+3.
−
2 3
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解析 (1)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(1) −x −x+3 x−3,
− =2x+
2 3 3
x−3
又因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x)=2x+ ,
3
{(1) x x+3
− ,x≥0,
所以f(x)=-2x+3−x,所以f(x)= 2 3
3 3−x
−2x+ ,x<0.
3
(2)因为当x≥0时, f(x)=(1) x x+3,y=(1) x单调递减,y=-x+3也单调递减,因此f(x)在[0,+∞)
−
2 3 2 3
上单调递减,(两个减函数的和仍为减函数)
又f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
因为f(t2-2t)+f(2t2-k)<0在t∈R上恒成立,
所以f(t2-2t)<-f(2t2-k),又因为f(x)为奇函数,
所以f(t2-2t)k-2t2在t∈R上恒成立,即3t2-2t-k>0在t∈R上恒成立,所以Δ=4+12k<0,即k<- .
3
故实数k的取值范围是 ( 1).
−∞,−
3
解题关键
解决(2)的关键是根据奇函数的性质,推出 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,再将不等式 f(t2-2t)
+f(2t2-k)<0恒成立,转化为t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0在t∈R上恒成立.
