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4.4 构造函数常见方法（精练）（提升版）
题组一 直接型
1．（2022·重庆）已知定义在 上的奇函数 ，且其图象是连续不断的，满足 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
令 ，
，则 ， 在 单调递减．
又 为 上的奇函数， ， ，
， ．
而 ，
， ，即 ，故选： ．
2．（2022·江苏）设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导数，f（2）＝0，当x＜0时，f'（x）﹣
2x+1＜0，则使得函数f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
【答案】C
【解析】因为x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，所以f′（x）＜2x﹣1＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，
又f（x）是偶函数，所以f（2）＝0，f（﹣2）＝0，
所以使f（x）＞0成立的x的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C．3．（2021·四川）设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且 分别是
的导数，当 时， 且 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，可设 ，则 为奇函数，又当 时
，所以 在R上为增函数，且 ， 转化为
,当 时，则 ，当 ，则 ，则 ，故解集是 ，
故选C.
4．（2021·四川）设函数 在 上存在导函数 ，且有 ， ；若 ，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，所以 在 上单调递增
由 ，得 ，即 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 .故选：D
题组二 加乘型
1．（2022·河北承德）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，因为当 时， ，所以 在 上单调递
减．
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 为偶函数，所以 在 上单调递增．
又不等式 可化为 ，即 ，所以
且 ，得 或 ．故选：A.
2．（2022·四川雅安）定义在R上的偶函数 的导函数为 ，且当 时， ．则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，因为 是偶函数，所以 为偶函数，
当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
则 ，即 ，则 ，故A错误；
，即 ，故B错误；
，即 ，故C错误；，即 ，则 ，故D正确.
故选：D.
3．（2022·陕西渭南）设函数 的定义域为 ， 是函数 的导函数， ，
则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，则 ，
令 ， ，则 ，即 在 上单调递增，
对于A， ，即 ，A正确；
对于B， ，即 ，B不正确；
对于C， ，即 ，C不正确；
对于D， ，即 ，有 ，D不正确.
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 的图象关于点 对称，若对任意的
有 （ 是函数 的导函数）成立，且 ，则关于x的不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 的图象关于点 对称，所以函数 是奇函数，因为 ，所以 ．
令 ，则 在R上单调递增．又 ， ，
所以 ， ．
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ．故选：C．
5（2022·广东）已知定义在 上的函数 满足 为偶函数，且当 ，有 ，
若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为定义在 上的函数 满足 为偶函数，
所以函数 关于直线 对称，即 .
因为当 ，有 ，即 ，
故令 ，则 在 上单调递增，
因为 ，
所以 关于点 对称，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以
所以，当 时， ，所以 .
当 时， ，所以 且 ，即无解.所以，不等式 的解集是
故选：A
6．（2022·广东广州·三模）设 为函数 的导函数，已知 ，则
（ ）
A． 在 单调递增 B． 在 单调递减
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
【答案】D
【解析】由题意知： ， ，令 ，则 ，显然当
时， ， 单减，
当 时， ， 单增，故A，B错误； 在 上有极小值 ，令
，则 ，
又 ，则 ，故 在 上有极小值 ，C错误；D正确.
故选：D.
7．（2022·四川攀枝花）已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时，
，若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令函数 ，则 ，因为定义域为 的 是奇函数，所以函数
为偶函数；当 时，因为 ，所以 ，即 ，所以在 上为单调递增，
， ，
，因为 ，所以 ，
根据 在 上单调递增，所以 ．即 ．故选：D．
题组三 减除型
1．（2022·广西）函数 的导函数为 ，对 ，都有 成立，若 ，则不
等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，都有 成立，∴ ，
令 ，则于是有 ，所以 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，∵不等式 ，
∴ ，即不等式 的解集是 .故选：B．
2．（2022·江苏·昆山柏庐高级中学）已知 的定义域是 ， 为 的导函数，且满足
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，所以函数 在区间 上单调递增，所以
，解之得 或 ，即原
不等式的解集为 ，故选：B.
3．（2022·四川攀枝花）设 是定义在R上的连续奇函数 的导函数，当 时，
，则使得 成立的x的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 .
则 ，所以 在 上单调递减.
又 ，所以当 时， ，而 ，所以 ；
所以当 时， ，而 ，所以 .
在 中，令x=1可得： .所以当 时都要 .
又 是定义在R上的连续奇函数，所以 ，当 时， .
所以 可化为： 或 或 ，解得： 或 或 .
综上所述： .故选：B4．（2022·全国·高三专题练习） 在 上的导函数为 ， ，则下列不等式成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
， ， 在 上单调递增，
，即 ， .
故选：A.
5．（2022·天津外国语大学附属外国语学校）己知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足
且 为偶函数， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ， ， 在定义 上单调递减；①
又 为偶函数， ， ， ，
则不等式 ，即 ，由①得 ，故选：C．
6．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知函数 的定义域为 ，且对任意 ，
恒成立，则 的解集是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】设 ，该函数的定义域为 ，
则 ，所以 在 上单调递增．
由 可得 ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
所以原不等式的解集是 ，故选：D．
7．（四川省眉山第一中学2022届高考适应性考试数学（理）试题）已知可导函数 的定义域为 ，
满足 ，且 ，则不等式 的解集是________．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，可得 在 上单调递减，
不等式 ，即 ，即 ，所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，又因为 ，所以不等式的解集为： ，故答案为： ．
8．（河北省衡水市部分学校2022届高三下学期4月联考数学试题）已知函数 的导函数为 ，定义
域为 ，且满足 ，则不等式 恒成立时m的取值范围为
__________.
【答案】
【解析】由题意，函数 的定义域为 ，因为 ，可得 ，
设 ，可得 ，所以函数 在 上单调递减，
又由 ，所以 ，且 ，
则 ，解得 ，即m的取值范围为 .
故答案为： .
题组四 三角函数型
1．（2021·河南新乡市·高三一模）设函数 是定义在 上的奇函数，函数 的导函数为 ，
且当 时， ， 为自然对数的底数，则函数 在 上的零点
个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 .
令 ，因为 ，所以 等价于 .当 时，
， 在 上单调递增，又 是定义在 上的奇函数，所以 也
是定义在 上的奇函数，从 在 上单调递增，又 ，所以 在 上只有 个零点，从而可
得 在 上只有 个零点.
故选：B.
2．（2022·湖北）奇函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A．（ ，π） B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，因为当 时，有 ，
所以，当 时， ，
所以，函数 在( 内为单调递减函数，
所以，当 时，关于 的不等式 可化为 ，即 ，
所以 ；
当 时， ，则关于 的不等式 可化为 ，即
因为函数 为奇函数，故 ，也即
所以 ，即 ，
所以， ．综上，原不等式的解集 .
故选：D．
3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上
恒有 成立，则下列不等式成立的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，由 在 上恒有 成立，即
在 上为增函数，又由
为偶函数，
，故A错误.
偶函数 在 上为增函数， 在 上为减函数，，故B正确；
， ，故C错
误；
， ，故D错误.
故选：B
4．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知可导函数 是定义在 上的奇函数．当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，则
则函数 在 上单调递增，又可导函数 是定义在 上的奇函数
则 是 上的偶函数，且在 单调递减，
由 ，可得 ，则 ，则 时，不等式
可化为
又由函数 在 上单调递增，且 ， ，
则有 ，解之得
故选：D
题组五 题意型
1．（2022·江西赣州）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， 取得极大值，则 ， ，
故 ．故选：D
2．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a，b， ，e为自然对数的底数，且 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由 ， ， 得 ， ， ，
构造函数 ，求导得 ，令 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， 在 上单调递减，所以 .
故选：A．
3．（2022·新疆乌鲁木齐）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
又 ， ， ，
又 ，所以 .故选：A.
4（2022·辽宁大连·二模）下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，则当0
