文档内容
7.2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）
题组一 线线垂直
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别是
的中点，G是 的重心，将 沿 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 的射影为点
G．证明：
【答案】证明见解析；
【解析】连接 ，因 是等边三角形， 是 的中点， 是 的重心，所以 在 上，
，
又点 在平面 的射影为点 ，即 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且平面 底面
， ， ＝ ＝ ，证明：【答案】证明见解析
【解析】证明：取 的中点 ，连 ， ，
∵ 为等边三角形，且 是边 的中点，
∴ ，
∵平面 底面 ，且它们的交线为 ，
∴ 平面 ，则 ，
∵ ，且
∴ 平面 ，
∴ ；
3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中， 底面
．证明：
【答案】证明见解析；
【解析】证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，故 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
， ， 是 的中点，点 在棱 上．
(1)求四棱锥 的全面积；
(2)求证： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴ ,
同理可得 ,∴
.
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥A⊂D，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF 平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝⊂AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE 平面PDC，∴PE⊥AF．
⊂
5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱 中，底面是等腰三角形， ，
侧面 底面ABC．
(1)若D是BC的中点，求证： ；
(2)过侧面 的对角线 的平面交侧棱于M，若 ，求证：截面 侧面 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：∵ ，D是BC中点，∴ ，
∵底面 侧面 ，交线为BC，
∴ 侧面 ，
又∵ 侧面 ，∴ ；
(2)证明：取 中点E，连接DE，ME，
在 中，D，E分别是BC， 的中点，∴ 且
又 且 ，∴ 且 ，
∵ ，
∴ 且 ，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴ ，
由（1）知 面 ，∴ 侧面 ，
又∵ 面 ，
∴面 侧面 ．
6．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥 中，平面 平面 ，底面
为矩形，点E在AD上，且 ， ， 为 的中点， ， ．(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：如图所示，连接 ，因为平面 平面 ，且 ， 为 AB的中点，
所以 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，因为四边形 为矩
形， ，所以 ， ，且
，所以 ，所以 ，又
因为 且 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
（2）解：设 ，点 到平面 的距离为 ，由（1）知 平面 ，所以 ，所以
，因为 ，即 ，所以
，解得 ，即点 到平面 的距离为 .7．（2022·河南安阳）如图，在三棱锥 中，底面ABC是直角三角形， ， ，D
为AB的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求点A到平面PDC的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为底面 是直角三角形， ，所以 ，
因为D为AB的中点，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .(2)连接 ， ，
由（1），因为 ， ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
因为直角三角形 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以在等腰 中， 边上的高为 ，
所以 ，
设点A到平面PDC的距离为 ，因为 ，
所以 ，则 ，所以点A到平面PDC的距离为 .
8．（2022·四川成都）如图，四棱锥 中，四边形 为直角梯形， 在底面 内的
射影分别为 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为 在底面 内的射影为 ，所以面 面 ，
又因为 ，面 面 ， 面
所以 面 ，
又因 面 因此 ，
同理 ，
又 , 面 , 面
所以 面 ，又 面 ,所以 ，
连接 ，易得 ， ，又 ，
故 ，
又 , 面 , 面
因此 面 ，
又 面
即 ；
(2)
在 中 .
在 中 .
把 到平面 的距离看作三棱锥 的高h，
由等体积法得， ，
故 ，即 ，
故 到平面 的距离为 ．
题组二 线面垂直
1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱 中， ，点 是 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若侧面 为菱形，求证： 平面 .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）连接 交 于 ，连接 ，由 为三棱柱，则 为平行四边形，所以
是 中点，又 是 的中点，故在△ 中 ， 面 ， 面 ，所以
平面 .
（2）由 ，而 ， 面 ，所以 面 ，又 面
，则 ，由侧面 为菱形，故 ，又 ， 面 ，故
平面 .
2．（2022·山东省莱西市第一中学）如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， ， 是
的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ，
∵ 是 的中点，∴ ， ，
∵ 和 都垂直于平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，从而 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
(2)证明∵ 垂直于平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
由（1）可知： ，∴ 平面 ．
3．（2022·山东菏泽）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是梯形， ，且 ，
， .(1)若F为PA的中点，求证 平面PCD
(2)求证 平面PCD.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示
因为E、F分别为PD、PA中点，
所以 ，且 ，
又因为 ，且 ，
所以 且 ，
所以四边形EFBC为平行四边形，
所以 ，
因为 平面PCD， 平面PCD，
所以 平面PCD
(2)因为 ，F为PA中点，
所以 ，则 ，
因为 ， 平面PCD，
所以 平面PCD.4．（2022·北京平谷）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 分别为 ， 的
中点.设平面 与平面 交于直线
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ∥ .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】(1)因为 平面 ， 平面 ， 所以 .
因为 ， ， 所以 平面 .
(2)在 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为平面 与平面 交于直线 ，所以 ∥ .
5．（2022·北京通州）如图，在三棱维 中， ，平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)求证： 平面 .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)在三棱维 中，因 ， ， 平面 ，
于是得 平面 ，而 平面 ，
所以 .
(2)在平面 内过点A作 于 ，如图，
因平面 平面 ，平面 平面 ，则有 平面 ，而 平面 ，
于是得 ，由（1）知 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
6．（2022·广西钦州）如图，在三棱锥V—ABC中，M，N分别为的棱VA，VB的中点， ，
，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．
(1)求证：AB//平面CMN；
(2)求证：AB⊥平面VBC．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：因为M，N分别为的棱VA，VB的中点，
所以 ，
又 平面CMN， 平面CMN，
所以AB//平面CMN；
(2)证明：因为 ， ，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，所以 ，
因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC 平面ABC ， 平面VAC，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，
所以 平面 .
7．（2022·广东江门）如图，四棱锥 的底面是矩形，E为侧棱 的中点，侧面 是正三角形，
且侧面 底面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)当 为何值时，使得 ？
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
又侧面 是正三角形，E为侧棱 的中点，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 平面 ；
(2)设 的中点为 ，连接 ，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 是 在平面 上的射影，
要使得 ，只需要 ，
在矩形 中，设 ，
由 ，可知 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以当 为何值时，使得
8．（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面
PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点， .证明：(1) 平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.
∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴ ， .
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形DEFM为平行四边形.
∴ ，
∵ 平面PDC， 平面PDC.
∴ 平面PDC.
(2)
∵ 四边形ABCD为正方形，∴ .又平面ABCD⊥平面PAB，平面 平面 ， 平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵ 平面PAB，∴ .
连接AF，∵ ，F为PB中点，∴ .
又 ，AD， 平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
9．（2022·河南·新蔡县第一高级中学）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M是
上异于C，D的点.
(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点P，使得 平面 ？说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为 的中点，理由见解析.
【解析】(1)由题知，平面 平面 ，且交线为 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故 ，
因为M为半圆弧 上异于C，D的点，且 为直径，所以 ，
又 ，且 、 平面 ，所以 平面 ；
(2)当P为 的中点时， 平面 ，证明如下：
连接 和 交于O，因为 为矩形，所以O为 中点，
连接 ，因为P为 中点，所 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .10．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形 中， ， ， ，并将直角梯形
绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线 平面ADF；
(2)求证：直线 平面ADF；
(3)当平面 平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面
ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)证明：在直角梯形 中， ， ，将直角梯形 绕 边旋转至 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ；
(2)证明：依题意可得 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
(3)证明：因为平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
过点 作 ，交 于点 ，若选①， ， ，所以 ，
所以 ，此时 ，
所以
如图过点 作 交 的延长线于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，显然平面 与平面 不垂直；
若选②： ，则 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
若选③： ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
题组三 面面垂直
1．（2022·四川省内江市第六中学）如图，底面 是边长为2的菱形， 平面 ，
， 与平面 所成的角为 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求几何体 的体积
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：因为 是边长为2的菱形， ，所以 和 都是边长为2的
正三角形，因为 平面 ，所以 、 ，又因为 与平面 所成的角为 ，
所以 ，所以 ，取 中点 ，连接 、 ，又因为 ， ，所
以四边形 为矩形，于是 平面 ， ， ，又因为
，取 中点 ，连接 、 ，因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 为平面 与平面 构成二面角的平面角，又因为 ，， ，所以 ，所以 ，所以平面 平
面 ．
（3）解：因为 平面 平面 所以平面 平面 设 的中点 ，连接 ，
有 因为平面 平面 所以 面 ，即 是四棱锥B-CDEF的高易求
所以
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）在直三棱柱 中，已知侧面 为正方形，
，D，E，F分别为AC，BC， 的中点， ，证明：平面 ⊥平面 ；
【答案】证明见解析
【解析】由题设条件可知，∵ 四边形 为正方形∴ ∵ E，F分别为BC， 的中点∴∴ 又∵ ∴ ∴
，又∵ 且 ∴ 平面 ，又BF 平面 ，∴平面 ⊥平
面 .
3（2022·全国·高三专题练习（文））如图，四面体 中， ，E为
AC的中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明详见解析(2)
【解析】(1)由于 ， 是 的中点，所以 .
由于 ，所以 ，
所以 ，故 ，
由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
(2)依题意 ， ，三角形 是等边三角形，所以 ，
由于 ，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 .
，所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 .
由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由于 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小值.
过 作 ，垂足为 ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，
所以 .
过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ，
所以 ,
所以 .4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， ，
．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)设P是棱 上一点，且 ，求三棱锥 体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接 .三棱柱 中， ， ．则
，则 ，则 ，∴
，又∵ ，∴ ，又 ，∴ 平面 ，∵ 平面
，∴平面 平面 ．（2）取AB的中点D，连接CD，∵ ，∴ ，又由（1）知平面 平面 ，平
面 平面 则 平面 ，且 ．则三棱锥 的体积为
，则三棱柱 的体积为6，∵ ，∴在四边形 中，
，又∵四棱锥 的体积为 ，∴三棱锥 的体积为
．
5．（2022·福建龙岩）如图，平行四边形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ，
的点， 为线段 的中点， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 .
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)连接 交 于 ，连接 ，易得 为 中点，又 为线段 的中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
(2)由余弦定理得： ，即 ，则 ，则 ，平行四边形 为矩形，则 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 ，又 是半圆弧 上的点，则 ，又
， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则平面 平面
.
6．（2022·辽宁）如图，在直四棱柱 中，四边形 为菱形，且 为棱
上的一个动点.已知 .
(1)当 点为 的中点时，证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接 ，交 于点 ，连接 ，在菱形 中， 为 的中点，又 点为 的中点，
所以 ，因为 平面 平面 ，
所以 平面 ；
(2)连接 ,在直三棱柱中， 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
由勾股定理可知， ，
在菱形 中， 为 中点，且 ，所以 ，
且 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
由于 共面， 则 ,而 ，
故 ,故 ,
所以 ，
因为 ，所以 .
