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第 22 讲 开普勒三大定律应用
1．（新课标）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的
16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为（ ）
A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．16：1
一.知识回顾
1.开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
所有行星绕太阳运动的轨道
开普勒第一定律(轨道定律) 都是椭圆，太阳处在椭圆的
一个焦点上
对任意一个行星来说，它与
开普勒第二定律(面积定律) 太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
所有行星的轨道的半长轴的
＝k，k是一个与行星
开普勒第三定律(周期定律) 三次方跟它的公转周期的二
无关的常量
次方的比值都相等
2. 开普勒三定律的理解与应用
（1）微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若
行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为 a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动
可看作匀速直线运动，由S ＝S 知v·Δt·a＝v·Δt·b，可得v＝。行星到太阳的距离越大，行星的速
a b a b a
率越小，反之越大。
（2）行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。半径等于半长轴。
（3）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
（4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k值不同，故该
定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
二.例题精讲：例1．地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的公转轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示．天文学家
哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是 1986年，预测下次飞近地球将在
2061年左右．若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r ，远日点与太阳中心的距离为r ．下
1 2
列说法正确的是（ ）
A．哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的 倍
√753
B．哈雷彗星在近日点的速度一定大于地球的公转速度
C．哈雷彗星在近日点和远日点的速度之比为
√r ：√r
2 1
D．相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积和地球与太阳连线扫过的面积相等
例2．根据开普勒定律可知，火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．火星运动到近日点时的线速度最小
B．火星运动到远日点时的加速度最小
C．太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
D．太阳对火星的万有引力大于火星对太阳的万有引力
例3．“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜（FAST）。通过FAST测量水星与
太阳的视角 （水星B、太阳S分别与地球A的连线所夹的角），如图所示。若视角的正弦值最
大为a，地球θ和水星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则水星与地球的公转周期的比值为（
）A． B．√ 1 C．√ a 3 D．
√3 a2
( )
√a3
a3 1-a
例4．开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相
等，即a3 ，其中a表示椭圆轨道半长轴，T表示公转周期，比值k是一个对所有行星都相同
=k
T2
的常量。同时，开普勒第三定律对于轨迹为圆形和直线的运动依然适用：圆形轨迹可以认为中
心天体在圆心处，半长轴为轨迹半径；直线轨迹可以看成无限扁的椭圆轨迹，长轴为物体与星
球之间的距离。已知：星球质量为M，在距离星球的距离为r处有一物体，该物体仅在星球引力
的作用下运动。星球可视为质点且认为保持静止，引力常量为 G，则下列说法正确的是
（ ）
4π2
A．该星球和物体的引力系统中常量k=
GM
√2GM
B．要使物体绕星球做匀速圆周运动，则物体的速度为v=
r
C．若物体绕星球沿椭圆轨道运动，在靠近星球的过程中动能在减少
√ r
D．若物体由静止开始释放，则该物体到达星球所经历的时间为t=πr
8GM
三.举一反三，巩固练习
1. 某行星周围的卫星绕其做圆周运动的轨道半径 r与运行周期T的关系如图所示。行星
的半径为R ，万有引力常量为G，图中a、b为已知量。下列说法正确的是（ ）
0A．绕该行星表面运行卫星的周期为aR3
0
b
4aπ2
B．该行星的质量为
bG
C．该行星的密度为 3bπ
aGR3
0
D．该行星表面的重力加速度为 4b
aR3
0
2. 中国对火星探测不懈追求，火星与地球距离最近的时刻最适合登陆火星和在地面对火
星进行观测。设定火星、地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道在同一平面内，火星绕太阳运动的
轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的k倍（k＞1），地球绕太阳运动的周期为T 。如图为
0
某时刻火星与地球距离最近时的示意图，则到火星与地球再次距离最近所需的最短时间为（
）
3 2
A． k2 T B． k3 T
0 0
3 2
k2-1 k3-13 2
C．k2+1T D．k3+1T
0 0
3 2
k2 k3
3. 如图，地球在椭圆轨道上运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。A、B、C、D是地球运
动轨道上的四个位置，其中A距离太阳最近，C距离太阳最远；B和D点是弧线ABC和ADC
的中点。则地球绕太阳（ ）
A．做匀速率的曲线运动
B．经过A点时的加速度最小
C．从B经A运动到D的时间小于从D经C运动到B的时间
D．从A经D运动到C的时间大于从C经B运动到A的时间
4. 在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达
六个半小时，那便是金星，如图所示。下面说法正确的是（ ）
A．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点
B．地球在金星与太阳之间
C．金星绕太阳公转一周时间小于365天
D．相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
5. 2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此
时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R ，天王星和地球的公转周期分别为T和T ，
0 0
则天王星与太阳的距离为（ ）A．√
3
T2
R 0
B．√T3
R 0
T2 T3
0 0
C．√
3
T2
0 R 0
D．√T3
0 R 0
T2 T3
6. 如图，三个质点a、b、c的质量分别为m 、m 、M（M远大于m 及m ），在万有引
1 2 1 2
力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为 r ：r
a b
＝1：4，则下列说法中正确的有（ ）
A．a、b运动的周期之比为T：T ＝1：8
a b
B．a、b运动的周期之比为T：T ＝1：4
a b
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线13次
7. （多选）如图所示，在某行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期
为T，则行星（ ）
A．从b到c的运动时间等于从d到a的时间
B．从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间
T
C．从a到b的时间t ＜
ab
4
T
D．从c到d的时间t ＜
cd
4
8. （多选）我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像
探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为 H，绕行周期为T ；月球绕地球公转的周期为T ，公转轨道半径为R ；地球半径为R ，月球半径为R ，忽
M E 0 E M
略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．月球与地球的质量之比为
T2
E
(R
M
+H) 3
T2 R3
M 0
B．若光速为C，信号从卫星传输到地面所用时间为√R 2+(H+R ) 2-R
0 M E
c
T 2 T 2
C．由开普勒第三定律可得 M = E
(R +H) 3 (R +R ) 3
M 0 E
T 2 3πR3
D．由开普勒第三定律可得 M = 2
(R +H) 3 GT2R3
M 2 1
