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查漏补缺 01 代数式求值及代数式规律问题
（2 考点 6 大题型）
考点一：代数式求值
【题型一】整式及其运算
易错点01：运用乘法公式时，应对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)
(3a-b)，不能运用平方差公式.
易错点02： 整式相乘的注意事项：1）计算过程要注意符号；2）最后有同类项时，必须合并，从而得到最简
结果.
解题大招01：幂的混合计算时可能用到以下公式：
1) 2） 3)
4) 5)
【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用
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同底数幂的运算法则进行计算.
解题大招02：整式的混合运算运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先
去小括号，再去中括号，最后去大括号.
【中考真题】
1．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n=2mn B．m6÷m2=m3
C．(−mn) 2=−m2n2 D．m2 ⋅m3=m5
2．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y−3x y2=−x2y B．4x8y2÷2x2y2=2x4
C．(x−y)(−x−y)=x2−y2 D．(x2y3) 2 =x4 y6
3．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别
为m，n(m>n)．若小正方形面积为5，(m+n) 2=21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
4．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式−x2my3与单项式2x4 y2−n的和仍是一个单项式，则在平面直
角坐标系中点(m,n)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数
乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结
果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进
行推断，正确的是（ ）
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A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+1025
6．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，若面积S =12，周长C =16，则
矩形AEOH 矩形OFCG
S +S = ．
正方形EBFO 正方形HOGD
7．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足(m−2023) 2+(2024−m) 2=2025，则
(m−2023)(2024−m)= ．
8．（2023·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ．
9．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，
an+bm=4．
（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
10．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同
学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S ,S ．
1 2
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(1)请用含a的式子分别表示S ,S ；当a=2时，求S +S 的值；
1 2 1 2
(2)比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
【模拟训练】
⏟2n+2n+⋅⋅⋅+2n=28
1．（2024·河北邯郸·二模）若 ，则n=（ ）
8个2n
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（2024·云南怒江·一模）已知m是方程x2−3x+1=0的根，求代数式m3−8m+4的值（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
1
3．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式4x y2与− x3y的积为mxny3，则m,n的值为（ ）
3
4 4
A．m=− ,n=4 B．m=−12,n=−2 C．m= ,n=3 D．m=−12,n=3
3 3
4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知¿是方程组¿的解，则(a+b)(a−b)= ．
5．（2025·青海西宁·二模）已知实数x、y、z满足√x−4+(y−2) 2+|z+3|=0，则(x−y+z) 2025的值是
．
6．（2025·河北石家庄·一模）现有A,B,C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图所示）．若要拼成一个
长为3a+2b，宽为2a+b的矩形，则需要A种纸片和C种纸片合计 张．
7．（2025·陕西西安·一模）先化简，再求值：n(m+4n)−(m−2n) 2，其中m=2,n=1．
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8．（2025·山东泰安·一模）先化简，再求值：
( 4 ) x3
(1) x+2+ ÷ ，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．
x−2 x2−4x+4
3
(2)[(x+2y)(x−2y)−(x−2y) 2]÷(−2y)，其中x=−1，y=− ．
2
9．（2025·河北石家庄·一模）规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：
52−32=2×8;132−112=6×8．
验证：212−192是“如意式”；
证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．
【题型二】分式的运算及其化简运算
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易错点01：判断一个代数式是否是分式的方法：
1）看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式.
x2y
2）判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看，如 是分式，不是整式.
x
易错点02：运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；
②隐含条件：分式的分母不等于0.
易错点03：分式运算的结果必须化成最简分式或整式.
易错点04：分式乘方运算时，一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方.
解题大招01：分式有意义、无意义或值为0的条件
条件
对于分式 来说
分式有意义 分母不等于零，即B≠0
分式无意义 分母等于零，即B=0
分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可）
分式值为0
解题大招02：分式的混合运算运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加
减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 此外，也应仔细观察式子的
特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.
【中考真题】
A y x−y
1．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算 − 的结果为 ，则A=（ ）
xy+ y2 x2+xy xy
A．x B．y C．x+ y D．x−y
√x−3
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x+2
1 1
3．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足ab=1，那么 + 的值为 ．
a2+1 b2+1
( 2 ) a2−2a+1
4．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值： 1− ÷ ，其中a=√2+1．
a+1 a+1
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( 2 ) m2−4
5．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值： 1+ ⋅ ，请为m选择一个合适的数代入求值．
m−2 m
a2−b2 1−a−b
6．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： + ，并求值（请从小宇和小丽的对话中
a2−2ab+b2 a−b
确定a，b的值）
7．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
1−m2 m−1 m−3
(2)化简： ÷ ⋅ ．
|m−3| 2 m+1
【模拟训练】
a b 1 1
1．（2024 广东模拟预测）设p= − ，q= − ，则p，q的关系是（ ）
a+1 b+1 a+1 b+1
A．p=q B．p>q C．p+q=0 D．p<q
1 ( 2ab−b2 )
2．（2024·河北·模拟预测）如图，若a=6b，则 a− 的值在（ ）
a−b a
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程x2−2x−c=0的两个不相等的实数根，则
(1 1) ab
+ ⋅ 值为（ ）
a b (a−b) 2+4ab
1 1
A． B． C．2 D．4
4 2
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( 1 1 ) 2
4．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）（新考法）试卷上一个正确的式子 + ÷★= ，被小
a+b a−b a+b
颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ．
( x ) x2−1
5．（2024·四川眉山·二模）先化简，再求值： −1 ÷ ，其中x的值是不等式组¿的整数解．
x2+x x2+2x+1
(
4m+4) m+2
6．（2024·广东广州·一模）已知A= m+ ÷ ．化简A；若点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上
m m2
的一点，求A的值．
【题型三】利用整体思想解决代数式求值问题
代数式求值问题常用处理办法：
①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式
②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，
③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果；
【中考真题】
1．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为
．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
3．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为
．
3(a−2b)+3b
4．（2024·北京·中考真题）已知a−b−1=0，求代数式 的值.
a2−2ab+b2
5．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式
6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：
若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是 ．
2x+4 y
6．（2023·北京·中考真题）已知x+2y−1=0，求代数式 的值．
x2+4xy+4 y2
( x 2 ) 1
7．（2023·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值： − ÷ ，其中x满足x2−3x−4=0．
x+1 x−1 x2−1
【模拟训练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）若实数a，b满足a−2b+3=0，则代数式2024−3a+6b的值为（ ）
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A．2015 B．2033 C．2044 D．无法确定
2．（2024·江苏南通·一模）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则(2m−3n) 2+(m+2n)(m−2n)的最大
值为（ ）
44 16
A．24 B． C． D．−4
3 63
3．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x²+2x−2=0的一个根，则代数式2a²+4a+2019的值为
（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．−2023
1
4．（2024·四川南充·二模）若m是方程x2−2x−1=0的一个实数根，则m2(m−3)+2m− +1的值为
m
（ ）
A．2 B．±√6 C．2√2 D．±2√2
( xy−y2 ) x2+ y
5．（2024·四川成都·一模）若实数x满足x2−4x+ y=0，则 1− ÷ 的值为 ．
x2−y2 x+ y
6．（2024·四川成都·二模）已知x+2y=5，3a−4b=7，则代数式(9a−4 y)−2(6b+x)的值为 ．
7．（2024·北京·模拟预测）已知∶2x2−5x−11=0，求代数式(2x+1)(x−4)−(2x−3) 2的值．
8．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的
化简与求值中应用极为广泛．
1 1
议一议：求代数式5(x−2y)−3(x−2y)+8(x−2y)−4(x−2y)的值，其中x= ，y= ．
2 3
1 1
x= ,y= (x−2y)
2 3
把 代入后求 把 看成一个字母a，这个代数式可以简化为
5a−3a+8a−4a
值．
(1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程；
(2)【简单应用】已知a+b=−3，则6(a+b)−3a−3b+11的值为__________．
考点二： 代数式规律题
【题型一】数字变化类规律题
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解题大招01：周期型规律题常见处理办法：
①.找出第一周期的几个数，确定周期数
②.算出题目中的总数和待求数
③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
④ .最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
解题大招02：推理型规律题常见处理办法：①依题意推出前3~4项规律的表达式；
②类推第N项表达式.
解题大招03：给出一个三角形数阵，求第m排第n个数的时候，先求第m-1排最后一个数，然后加上n就
是所求的数字了.
例如：（m，n）=
【中考真题】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（
）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
2．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数√2,2,√6,2√2,√10,2√3,⋯,√2n,⋯，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A．7√2 B．8√2 C．√58 D．4√7
20
3．（2023·湖南常德·中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数
2023
若排在第a行b列，则a−b的值为( )
1
1
1 2
2 1
1 2 3
3 2 1
1 2 3 4
4 3 2 1
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……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
4．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：1×2−2=22×0
第2个：4×3−3=32×1
第3个：9×4−4=42×2
第4个：16×5−5=52×3
按照以上规律，第n个等式为 ．
5．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a 为数表中第i行第j列位置的
(i,j)
数字，如a =4，a =8，a =22．若a =2024，则m= ，n= ．
(1,2) (3,2) (5,4) (m,n)
6．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8
分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究
后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）．
7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图
所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
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观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b) 7展开的多项式中各项系数之和为 ．
8．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位
于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…如
果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：
．
9．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，
92−72=8×4，…．
(1)尝试：132−112=8×___________．
(2)归纳：(2n+1) 2−(2n−1) 2=8×___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【模拟训练】
1．（2025·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：a+b，a2+3b，a3+5b，a4+7b，⋯，第n个
多项式是（ ）
A．an+(2n+1)b B．an+(2n−1)b C．a2n+(2n−1)b D．a2n+(2n+1)b
12
2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数y= (x>0)的图象，点A(2,6)，过点A作y轴的垂线，
x
垂足为点C，在射线CA上，依次截取A A =A A =A A =A A =CA，过点A ，A ，A ，A 分别作x
1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4
轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点B ，B ，B ，B ．按照上述方法则线段A B 的长度为（ ）
1 2 3 4 11 11
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11 60 1 27
A． B． C． D．
2 11 2 5
3．（2025·山东聊城·一模）1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，
5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025
个数中，偶数的个数为（ ）
A．676 B．675 C．674 D．1350
4．（2025·浙江宁波·一模）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，
先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的
点与圆周上表示哪个数字的点重合？ （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如
图所示，点A、F对应的数分别为−2和−1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻
转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
1 3 5 7
6．（2023·云南临沧·模拟预测）按一定规律排列的数： ，− ， ，− ，……，则这列数的第n个数
2 5 10 17
是（ ）
2n+1 2n−1
A．(−1) n+1 B．
n2 n2+1
2n−1 2n−1
C．(−1) n D．(−1) n+1
n2+1 n2+1
7．（2025·江苏南京·模拟预测）在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它
主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符
之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“22”翻译成明文为
“N”，密文“22−50”翻译成明文为“NJ”．密文“12−1−50−28”翻译成明文为“ ”．
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8．（2025·山东枣庄·一模）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端
的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，
15，……，我们把第一个数记为a ，第二个数记为a ，第三个数记为a ，……，第n个数记为a ，则
1 2 3 n
a −a ＝ ．
60 12
9．（2025·江西·模拟预测）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展
做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“
”表示的数是6728，“ ”表示的数是6708，若已知一个用这
种方式表示的四位数中含有“”、“ ”和两个空位，则这个四位数是 ．
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10．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的
数为
11．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b) n（n 为非负整
数）展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．
(a+b) 0=1
(a+b) 1=a+b
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b) 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
则(a+b) 2024展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示）
12．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题．
指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下．
序号 表示结果
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第1个等式 4×1×4+9=(1+4) 2
第2个等式 4×2×5+9=(2+5) 2
第3个等式 4×3×6+9=(3+6) 2
第4个等式 4×4×7+9=(4+7) 2
第5个等式 4×5×8+9=(5+8) 2
…… ……
(1)根据表中你发现的规律，写出第10个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
13．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式：
①1×3+1=4=22
②2×4+1=9=32
③3×5+1=16=42
④4×6+1=25=52
……
(1)请根据你发现的规律填空：6×8+1=________=________；
(2)用含n的等式表示上面的规律：_________；
(3)用你发现的规律解决下列问题：
( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )
计算 1+ 1+ 1+ 1+ ⋯ 1+ ．
1×3 2×4 3×5 4×6 2023×2025
【题型二】图形变化类规律题
解题大招01：图形固定累加型
解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a，在确定出后一个图形在前一个
图形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数
n有关的关系式为a+b(n-1).
解题大招02：图形渐变累加型
解题技巧：对于个数不固定,
1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出
关系式即可.
2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数,在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)
来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系,从而
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总结规律推导出关系式.
【中考真题】
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正
方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（
）
A．90 B．91 C．92 D．93
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个
图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图
中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图
形，第1幅图形中“●”的个数为a ，第2幅图形中“●”的个数为a ，第3幅图形中“●”的个数为a ，
1 2 3
1 1 1 1
…，以此类推，那么
+ + +⋅⋅⋅+
的值为（ ）
a a a a
1 2 3 19
20 61 589 431
A． B． C． D．
21 84 840 760
4．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“ ”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案
用了2个“ ”，第2个图案用了6个“ ”，第3个图案用了12个“ ”，第4个图案用了20个“ ”，
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……，依照此规律，第n个图案中“ ”的个数为 （用含n的代数式表示）．
8
5．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有P ,P ,P ,⋯P 等点，它
x 1 2 3 2024
们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积
从左到右依次为S ,S ,S ,⋯,S ，则S +S +S +⋯+S = ．
1 2 3 2023 1 2 3 2023
6．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、
润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷
（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为CH ，乙烷
4
的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式
2 6 3 8
为 ．
7．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】
【规律发现】
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请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“ ”的个数为 ；
1×2 2×3
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为 ，第2个图案中“★”的个数可表示为 ，第3个图案中
2 2
3×4 4×5
“★”的个数可表示为 ，第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，第n个图案中“★”的个
2 2
数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n
个图案中“ ”的个数的2倍．
【模拟训练】
1．（2025·陕西汉中·二模）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小
平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，
第3个图形共有22个小平行四边形， ，则第30个图形中共有 个小平行四边形．
⋯
2．（2025·山东枣庄·一模）如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（Δ）组成如下
图案：
结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当正整数n= 时，使得红色无人机（〇）比黄色
无人机（△）的个数多28台．
3．（2025·陕西渭南·一模）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种
多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形
数”；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为“正方形数”，则第n(n≥1)个“正方形数”可
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以用n表示为 ．
4．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案
中有3个“ ”，第2个图案中有9个“ ”，第3个图案中有18个“ ”……按此规律
第n个图案中有 个“ ”．（用含n的代数式表示）
5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再
以CF为边作第3个正方形FCGH…按照这样的规律作下去，第2024个正方形的面积为 ．
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20，小明先在1号箱
子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下：
①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．
②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．
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③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2024圈，求4号箱内有 颗红球．
7．（2024·山西·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构
为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度
如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 cm．
8．（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列
直角三角形组成的，其中OA =1，A A =A A =A A =⋅⋅⋅=A A =1，且每个三角形都以点O为
0 0 1 1 2 2 3 n−1 n
顶点．
(1)求tan∠A OA 的值．
5 6
(2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且
这个图形的周长（实线部分）为a，则a最接近哪个整数？
9．（2025·安徽合肥·一模）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑白两色棋子在
方形格状的棋盘上博弈．现用黑白棋子围成下列图案：
(1)第n个图案中黑色棋子的个数为________，白色棋子的个数为________．
(2)结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第n个图案中黑色棋子比白色棋子多21个时，求n的值．
【题型三】点坐标的规律探索
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解题大招01：1）根据下角标的周期规律，确定第n个点的象限：用n除以周期，看余数.
2）对比各点的横坐标与纵坐标，探索各点横，纵坐标之间存在的关系，从而求出第n个图形横、纵坐标.
3）观察平面直角坐标系中点的位置变化，探索出点的位置的循环规律，再根据这个规律找到目标点的坐
标.
【中考真题】
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现
它关于点(1,0)中心对称．若点A (0.1,y )，A (0.2,y )，A (0.3,y )，……，A (1.9,y )，A (2,y )
1 1 2 2 3 3 19 19 20 20
都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y + y + y +⋯⋯+ y + y 的值是
1 2 3 19 20
（ ）
A．−1 B．−0.729 C．0 D．1
2．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的
点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当
余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后，到达点P (2,2)，其平移过程如
3
下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则点Q的坐标为（ ）
16
A．(6,1)或(7,1) B．(15,−7)或(8,0) C．(6,0)或(8,0) D．(5,1)或(7,1)
3．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，
他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到
100×(1+100) n(1+n)
1+2+3+4+⋯+100= ．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n= （n
2 2
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是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点A (x ,y )，其中i=1,2,3,⋯,n,⋯，
i i i
且x ,y 是整数．记a =x + y ，如A (0,0)，即a =0,A (1,0)，即a =1,A (1,−1)，即a =0,⋯，以
i i n n n 1 1 2 2 3 3
此类推．则下列结论正确的是（ ）
A．a =40 B．a =43 C．a =2n−6 D．a =2n−4
2023 2024 (2n−1)2 (2n−1)2
4．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C ⋯叫作“正方形的渐
1 1 2 3 4 5
开线”，其中C´C ，C´C ，C´C ，C´C ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环．当OA=1时，点C
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2023
的坐标是( )
A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．(2022，0)
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为
(3,0)，△OAB是等边三角形，点B坐标是(1,0)，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方
向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A ，A 的坐
1 1
标是(2,0)；第二次滚动后，A 的对应点记为A ，A 的坐标是(2,0)；第三次滚动后，A 的对应点记为A ，
1 2 2 2 3
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( √3 1)
A 的坐标是 3− , ；如此下去，……，则A 的坐标是 ．
3 2 2 2024
√3 √3
6．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y= x− 与x轴相交于点A ，以OA 为边作等边三角形
3 3 1 1
OA B ，点B 在第一象限内，过点B 作x轴的平行线与直线l交于点A ，与y轴交于点C ，以C A 为边作
1 1 1 1 2 1 1 2
等边三角形C A B （点B 在点B 的上方），以同样的方式依次作等边三角形C A B ，等边三角形
1 2 2 2 1 2 3 3
C A B ⋯，则点A 的横坐标为 ．
3 4 4 2024
7．（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0)．把
△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，
同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A OB ；第二次旋转将△A OB 绕着原点O顺时针旋转60°，
1 1 1 1
同时边长扩大为△A OB ，边长的2倍，得到△A OB ，…．依次类推，得到△A OB ，则
1 1 2 2 2033 2033
△A OB 的边长为 ，点A 的坐标为 ．
2023 2033 2023
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【模拟训练】
(3 √3)
1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图所示A (1,√3)，A , ，A (2,√3)，A (3,0)作折线
1 2 2 2 3 4
A A A A 关于点A 的中心对称图形，再作出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以
1 2 3 4 4
此类推，得到一个大的折线，现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动
时间为t．当t=2025时，点P的坐标为（ ）
( √3) ( √3) ( √3)
A． 1012.5,− B． 2022, C．(2016.0) D． 1010,
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2．（2024·全国·模拟预测）观察规律 =1− , = − , = − ,⋅⋅⋅，运用你观察到的规
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
律解决以下问题：如图，分别过点P (n,0)(n=1、2、⋯)作x轴的垂线，交y=ax2(a>0)的图象于点A ，
n n
1 1 1
交直线y=−ax于点B ．则 + +⋅⋅⋅+ 的值为（ ）
n A B A B A B
1 1 2 2 2024 2024
2022 2023 2025a 2024
A． B． C． D．
2023a 2024a 2024 2025a
3．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(2,0)，以点O为圆心，
OA长为半径作圆，C是⊙O上一动点，连接BC，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转90°得BD，连接
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π
CD．若点C从点A出发，按照逆时针方向以每秒 个单位长度运动，则第2023秒时，点D的坐标是
2
（ ）．
A．(3,2) B．(2,3) C．(1,2) D．(2,1)
4．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O ，O ，
1 2
π
O ，……成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第
3 2
2016秒时，点P的坐标是（ ）
A．(2014,0) B．(2015,−1) C．(2015,1) D．(2016,0)
5．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，
如(0,1),(−1,2),(0,2),(1,2),(2,3),(1,3),(0,3)，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是
（ ）
A．(43,45) B．(44,45)
C．(−43,45) D．(−42,45)
6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，把Rt△ABO置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐
标为(3,0)，点P是Rt△ABO内切圆的圆心．将Rt△ABO沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次
与x轴重合，第一次滚动后圆心为P ，第二次滚动后圆心为P ，依此规律，第2025次滚动后，Rt△ABO
1 2
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内切圆的圆心P 的坐标是 ．
2025
10
7．（2022·陕西西安·模拟预测）在反比例函数y= (x>0)的图象上，有一系列点A 、A 、A 、…、A 、
x 1 2 3 n
A ，若A 的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点A 、A 、
n+1 1 1 2
A 、…、A 、A 作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依
3 n n+1
次记为S ，S ，S ，…，S ，则S = ，S +S +S +...+S = （用n的代数式表示）
1 2 3 n 3 1 2 3 n
8．（2024·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：
A(0,1)，A (2,0)，A (3,2)，A (5,1)，A (6,3)，…．
1 2 3 4
【归纳·应用】
(1)直接写出点A 的坐标为______；点A 的坐标为______；
6 12
(2)若点A 的坐标为(3036,1013)，求n的值．
2n
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9．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）如图（1），是边长为1的正方形OBB C，以对角线OB 为一边作第2个
1 1
正方形OB B C ，再以对角线OB 为一边作第3个正方形OB B C ，…依次下去，则：
1 2 1 2 2 3 2
(1)第2个正方形的边长＝ ；第10个正方形的边长＝ ．第n个正方形的边长为__________．
(2)如图（2）所示，若以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，则点B 的坐标是
3
________，点B 的坐标是__________，点B 的坐标是___________．
5 2014
28
