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专练 38 证明
命题范围：证明方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·大庆联考]用反证法证明命题：“若a2＋b2＋c2＋d2＝0，则a，b，c，d都为
0”．下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c，d都不为0
B．假设a，b，c，d至多有一个为0
C．假设a，b，c，d不都为0
D．假设a，b，c，d至少有两个为0
2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
又∵a，b，c不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac).
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
此证法是( )
A．分析法 B．综合法
C．分析法与综合法并用 D．反证法
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，
要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证
明”中的思维方法相匹配是( )
A.①—分析法，②—综合法
B．①—综合法，②—分析法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第二步中，假设n＝k
时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为( )
A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)
B.1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)
C.1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)
D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)
6．在△ABC中，sin A sin Cb>c，且a＋b＋c＝0，求证
0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
9．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数( )
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
二、填空题
10．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是____________．
11．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时应假设__________________．
12．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是______________．
[能力提升]
13．[2022·广东茂名模拟]一个二元码是由0和1组成的数字串xx…x(n∈N*)，其中
1 2 n
x(k＝1，2，…，n)称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发
k
生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码xx…x 的码元满足如下
1 2 7
校验方程组：，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.已知一个这种
二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么用上述校验方程组可
判断k等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
14．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整
除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b不都能被5整除
C．a，b至少有一个能被5整除
D．a，b至多有一个能被5整除
15．设a，b∈R，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
16．[2022·山东昌乐二中模拟]已知向量a ＝(1，1)，b ＝(，0)，a ＝a －(a·b )b
1 n n＋1 n n n＋1 n＋
(n∈N*)，则＋＋…＋＝________．
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