文档内容
第 45 讲 综合运用动力学、动量观点、能量观点分析解决多物体
多过程问题
1.（2021河北） 如图，一滑雪道由 和 两段滑道组成，其中 段倾角为 ， 段水平，
段和 段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为 的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若
后质量为 的滑雪者从顶端以 的初速度、 的加速度匀加速追赶，恰好在坡底
光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为 ，重力加速度取
， ， ，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，
求：
（1）滑道 段的长度；
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）设斜面长度为 ，背包质量为 ，在斜面上滑行的加速度为 ，由牛顿第二定律有
解得滑雪者质量为 ，初速度为 ，加速度为 ，在斜面上滑行时间为 ，
落后时间 ，则背包的滑行时间为 ，由运动学公式得
联立解得 或 故可得
（2）背包和滑雪者到达水平轨道时的速度为 、 ，有
滑雪者拎起背包的过程，系统在光滑水平面上外力为零，动量守恒，设共同速度为 ，有
解得
2.（2021广东） 算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，
使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框
b，甲、乙相隔 ，乙与边框a相隔 ，算珠与导杆间的动摩擦因数
。现用手指将甲以 的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为 ，方向不变，
碰撞时间极短且不计，重力加速度g取 。
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a；
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。【答案】（1）能；（2）0.2s
【解析】
（1）甲乙滑动时的加速度大小均为 甲与乙碰前的速度v，则
1
解得v=0.3m/s
1
甲乙碰撞时由动量守恒定律 解得碰后乙的速度v=0.2m/s
3
然后乙做减速运动，当速度减为零时则
可知乙恰好能滑到边框a；
（2）甲与乙碰前运动的时间
碰后甲运动的时间
则甲运动的总时间为
一.知识回顾
1.解动力学问题的三个基本观点
（1）力的观点：用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题。
（2）能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题。
（3）动量观点：用动量定理和动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题。
2.力学规律的选用原则（1）如果要列出各物理量在某一时刻的动力学关系式，可用牛顿第二定律。
（2）研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理涉及时间的
问题或动能定理涉及位移的问题去解决问题。
（3）若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守
恒定律机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
（4）在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系
统机械能的减少量，即转变为系统内能的量。
（5）在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系
统机械能与其他形式能量之间的转换，这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决。
3.解题技巧
（1）认真审题，提炼已知条件和隐含已知条件。
（2）通过画运动轨迹图和v-t图像，再现运动过程。
（3）明确研究对象，分析其不同的运动阶段的受力情况、运动特点、各力做功及系统能量转
化情况，用已知量和未知量列出相关方程。一个方程不能求解，则通过方程组求解。
二.例题精析
例1．如图所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，
半径R＝0.5m，物块A以V ＝6m/s的速度滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与
0
直轨上P处静止的物块B碰撞，碰后粘在一起运动。P点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段，光
滑段交替排列，每段长度都为L＝0.1m。物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ＝0.25，A、B的
质量均为m＝1kg（重力加速度g取10m/s2；A、B视为质点，碰撞时间极短）。
（1）求A滑过Q点时的速度大小V和受到的弹力F大小；
（2）若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，求k的数值；
（3）求碰后AB滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度V 与n的关系式。
AB
1 1
【解答】解：（1）由机械能守恒定律可得： mv2=mg•2R+ mv2
2 0 2
v2
在Q点由牛顿第二定律有：F+mg＝m
R联立解得：v＝4m/s，F＝22N
1 1
（2）AB碰撞前A的速度为v ，由机械能守恒定律可得： mv2= mv2
A 2 0 2 0
AB碰撞后以共同速度v 前进，设向右为正方向，由动量守恒定律可得：mv ＝（m+m）v
P A P
1
故总动能E = ⋅2mv2
k 2 P
滑块每经过一段粗糙段损失的机械能ΔE＝fL＝μ•2mgL
E
k= k
ΔE
联立代入数据解得：k＝18
（3）AB整体滑到第n个光滑段上损失的能量；E'＝nE
k
1 1
从AB碰撞后运动到第n个光滑段的过程中，由能量守恒定律可得： ⋅2mv2- ⋅2m⋅v2 =
2 P 2 AB
E'
代入解得：v =√9-0.5n m/s
AB
答：（1）求A滑过Q点时的速度大小为4m/s，受到的弹力F大小为22N；
（2）若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，k的数值为18；
（3）碰后AB滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度v 与n的关系式为v =√9-0.5n m/s。
AB AB
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，一质量M＝3.0kg、长L＝5.15m的长木板B静止放置于光滑水平面上，其
左端紧靠一半径R＝10m的光滑圆弧轨道，但不粘连。圆弧轨道左端点 P与圆心O的连线PO
与竖直方向夹角为60°，其右端最低点处与长木板B上表面相切。距离木板B右端d＝2.5m处
有一与木板等高的固定平台，平台上表面光滑，其上放置有质量 m＝1.0kg的滑块D。平台上
方有一固定水平光滑细杆，其上穿有一质量M ＝2.0kg的滑块C，滑块C与D通过一轻弹簧连
0
接，开始时弹簧处于竖直方向。一质量 m＝1.0kg的滑块A从P点静止开始沿圆弧轨道下滑。
A下滑至圆弧轨道最低点并滑上木板B，带动B向右运动，B与平台碰撞后即粘在一起不再运
动。A随后继续向右运动，滑上平台，与滑块D碰撞并粘在一起向右运动。A、D组合体在随
后运动过程中一直没有离开平台，且C没有滑离细杆。A与木板B间动摩擦因数为μ＝0.75。
忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）滑块A到达圆弧最低点时对轨道压力的大小；
（2）滑块A滑上平台时速度的大小；
（3）若弹簧第一次恢复原长时，C的速度大小为0.5m/s。则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大？
1 1
【解答】解：（1）从P点到圆弧最低点，由动能定理mgR(1-cos60°)= mv2- mv2
2 1 2 p
在最低点，由牛顿第二定律可知 v2
F -mg=m 1
N R
由牛顿第三定律可知F '＝F ＝20N
N N
（2）假设物块A在木板B上与B共速后木板才到达右侧平台，以AB系统，由动量守恒定律
mv ＝（M+m）v
1 2
1 1
由能量关系μmgx = mv2- (M+m)v2
相 2 1 2 2
解得：x相 ＝5m＜5.15m
1
B板从开始滑动到AB共速的过程中，对B由动能定理μmgx = Mv2
B 2 2
解得x ＝1.25m＜2.5m
B
即 假 设 成 立 ； B 撞 平 台 后 ， A 在 B 上 继 续 向 右 运 动 ， 对 A 由 动 能 定 理
1 1
-μmg(L-s )= mv2- mv2
相 2 3 2 2
解得：v ＝2m/s
3
（3）由题分析可知弹簧初态一定是压缩，则弹簧第一次恢复原长时，C的速度方向向左，以
AD和C系统，由动量守恒定律
mv ＝2mv +Mv
3 4 5
三者速度相同时弹性势能最大，由动量守恒定律mv ＝（2m+M）v
3 6
1 1 1
由能量关系可知E = ⋅2mv2+ Mv2+ (2m+M)v2
pmax 2 4 2 5 2 6
解得：E ＝2J
pmax
答：（1）滑块A到达圆弧最低点时对轨道压力的大小为20N；（2）滑块A滑上平台时速度的大小为2m/s；
（3）若弹簧第一次恢复原长时，C的速度大小为0.5m/s。则随后运动过程中弹簧的最大弹性势
能是2J。
2. 如图所示，光滑轨道abcd固定在竖直平面内，ab水平，bcd为半圆，圆弧轨道的半径
R＝0.32m，在b处与ab相切。在直轨道ab上放着质量分别为m ＝2kg、m ＝1kg的物块A、
A B
B（均可视为质点），用轻质细绳将A、B连接在一起，且A、B间夹着一根被压缩的轻质弹
簧（未被拴接）。轨道左侧的光滑水平地面上停着一质量为M、长L＝0.5m的小车，小车上表
面与ab等高。现将细绳剪断，之后A向左滑上小车，B向右滑动且恰好能冲到圆弧轨道的最
高点d处。物块A与小车之间的动摩擦因数μ＝0.2，小车质量M满足1kg≤M≤3kg，重力加速
度g取10m/s2。求：
（1）物块B运动到圆弧轨道的最低点b时对轨道的压力大小。
（2）细绳剪断之前弹簧的弹性势能E 。
P
（3）物块A在小车上滑动过程中产生的热量Q（计算结果可含有M）。
【解答】解：（1）物块B在最高点d时，由牛顿第二定律可得
m g＝m v2
B B d
R
物块B从b到d，由动能定理可得
1 1
﹣m g•2R= m v2- m v2
B 2 B d 2 B b
物块B在b点时，由牛顿第二定律可得
F ﹣m g＝m v2
N B B b
R
联立以上方程可得F ＝60N
N
由牛顿第三定律可知物块对轨道的压力大小：F ′＝F ＝60N
N N
（2）弹簧释放过程，取向左为正方向，由动量守恒定律可得m v ﹣m v ＝0
A A B B
1 1
由机械能守恒可得E = m v 2+ m v 2
P A A B B
2 2
联立以上方程可得E ＝12J
P
（3）假设A恰好滑到小车左端时与小车有共同速度v，由动量守恒定律可得
m v ＝（ m +M）v
A A A
1 1
由能量守恒可得μm g•L= m v 2- （ m +M）v2
A A A A
2 2
联立以上方程可得M＝2 kg
当1kg≤M≤2kg时，A与小车最终有共同速度，由能量守恒可得物块 A在小车上滑动过程中产生
1 1
的热量Q = m v 2- （ m +M）v2
1 A A A
2 2
4M
解得Q =
1
M+2
当2kg＜M≤3kg时，A将从小车左端滑出，可得Q ＝μm gL
2 A
解得Q ＝2J
2
答：（1）物块B运动到圆弧轨道的最低点b时对轨道的压力大小为60N；
（2）细绳剪断之前弹簧的弹性势能E 为12J。
P
4M
（3）当1kg≤M≤2kg时，物块A在小车上滑动过程中产生的热量为 ；当2kg＜M≤3kg时，
M+2
物块A在小车上滑动过程中产生的热量为12J。
3. 如图所示，水平轨道左端与长L＝1.25m的水平传送带相接，传送带逆时针匀速运动
的速度v ＝1m/s。轻弹簧右端固定在光滑水平轨道上，弹簧处于自然状态。现用质量m＝0.1kg
0
的小物体（视为质点）将弹簧压缩后由静止释放，到达水平传送带左端 B点后，立即沿切线进
入竖直固v定的光滑半圆轨道最高点并恰好做圆周运动，经圆周最低点C后滑上质量为M＝
0.9kg的长木板上，竖直半圆轨道的半径R＝0.4m，物块与传送带间动摩擦因数μ＝0.8，物块
与木板间摩擦因数μ ＝0.25．取g＝10m/s2．求：
2
（1）物块到达B点时速度v 的大小。
B
（2）弹簧被压缩时的弹性势能E 。
p
（3）若长木块与水平地面间动摩擦因数μ ≤0.026时，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木
3
板长度S的范围是多少（设最大静动摩擦力等于滑动摩擦力）。【解答】解：（1）物体在光滑半圆轨道最高点恰好做圆周运动，由牛顿第二定律得：
v2
mg=m B
R
v❑=√gR=2m/s
B
1
（2）物块被弹簧弹出过程中，物块和弹簧组成的系统机械能守恒：E❑= mv2
P 2 A
因为 1m/s，所以物体在传送带上一直做匀减速运动
v❑＞v❑=
B 0
1 1
物块在传送带上滑行过程由动能定理得：-f❑L= mv2- mv2
1 2 B 2 A
（N）
f❑=μ❑mg=0.8
1 1
联立解得：
E❑=1.2J
P
1 1
（3）物块从B到C过程中由机械能定律得：mg•2R= mv2 - mv2
2 C 2 B
联立解得： m/s
v❑=2√5
C
讨论：1、当 时，小物块恰好不会从长木板上掉下长度为
μ❑=0 S❑
3 1
小木块和长木板共速为v，由动量守恒定律：
mv❑=(M+m)v
C
1 1
由功能关系：μ❑mgS❑= mv2 - (M+m)v2
2 1 2 C 2 ❑
解得S ＝3.6m
1
2、当 0.026时，小物块恰好不会从长木板上掉下长度为
μ❑= S❑
3 2
物块在长木板上滑行过程中，对长木板受力分析：上表面受到的摩擦力
f❑=μ❑mg=0.25N
2 2
下表面受到的摩擦力 0.26N
f❑≤μ❑(M+m)g=
2 3
所以长木板静止不动，对物块在长木板上滑行过程
1
由动能定理得：-f❑S❑=0- mv2
2 2 2 C
所以
S❑=4m
2
所以木块长度的范围是3.6m≤S≤4m
答：（1）物块到达B点时速度v 的大小为2m/s。
B
（2）弹簧被压缩时的弹性势能 为1.2J。
E❑
P
（3）若长木块与水平地面间动摩擦因数μ ≤0.026时，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木
3
板长度S的范围是3.6m≤S≤4m
4. 如图所示，在同一竖直平面上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面底部的压缩弹簧
的顶端，此时小球距斜面顶端的高度为H＝2L，解除弹簧的锁定后，小球沿斜面向上运动．离
开斜面后，达到最高点时（此时A球的速度恰好水平）与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰
撞，碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，
1
O点的投影O′与P的距离为 L．已知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度
2
为g，不计空气阻力．求：
（1）球B在两球碰撞后瞬间受到悬绳拉力的大小；
（2）球A在两球碰撞前瞬间的速度大小；
（3）弹簧的弹力对球A所做的功．
【解答】解：（1）设球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小为，1
由动能定理得：﹣mgL＝0- mv
B
2，解得：v
B
=√2gL，
2
v2
对B球，由牛顿第二定律得：T﹣mg＝m ，解得：T＝3mg；
r
（2）设球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小为 v ，球A在两球碰撞后一瞬间的速度大小为
0
v ，
A
两球碰撞过程动量守恒，以A的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：2mv ＝2mv +mv ，
0 A B
1 1 1
由机械能守恒定律得： •2mv 2= •2mv 2+ mv 2，
0 A B
2 2 2
1 3
解得：v = √2gL，v = √2gL；
A 0
4 4
（3）碰后球A做平抛运动，设碰后一瞬间球A距O′的高度为h，
1 L
由平抛运动规律得：h= gt2， =v t，解得：h＝L，
A
2 2
弹簧将球A弹起到A碰B的过程中，由能量守恒定律得：
1 57
W弹 ＝2mg•3L+ •2mv
0
2，解得：W弹 = mgL；
2 8
答：（1）球B在两球碰撞后瞬间受到悬绳拉力的大小为3mg；
3
（2）球A在两球碰撞前瞬间的速度大小为 √2gL；
4
57
（3）弹簧的弹力对球A所做的功为 mgL．
8
