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第25课 正弦定理与余弦定理在实际中的应用（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中， ， ，则该平行四边
形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先运用余弦定理求出 ，再求解出 ，从而解出平行四边形ABCD的面积.
【详解】解：设AC与BD交于点O，在 中，
，
所以 ，
故平行四边形ABCD的面积 ．
故选：A．
2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，
由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表
示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬 ）在某地利用
一表高为 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为 ，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：
， ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意有 ，可得 ，从而可得
【详解】由图1可得 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
该地的纬度约为北纬 ，
故选： ．
3．（2022·全国·高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．
现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角
仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的
距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】根据题意可得 ， ，然后利用余弦定理即得.
【详解】如图，由题可知 ，∴ ， ，又 ，
∴ ，
∴ （米）．
故选：A.
4．（2023春·全国·高一期中）如图，在 ABC中，∠BAC= ，点D在线段BC上，AD⊥AC， ，
则sinC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中利用正弦定理得 结合平方关系求解即可
【详解】在 中， ，解得 又 所以
故选：B.二、多选题
5．（2023秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考开学考试）在 中，角 、 、 的对边分别是 、
、 ．下面四个结论正确的是（ ）
A． ， ，则 的外接圆半径是4
B．若 ，则
C．若 ，则 一定是钝角三角形
D．若 ，则
【答案】BC
【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出 ，可判断B,由余弦定
理可判断C，取特殊角可判断D.
【详解】由正弦定理知 ，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及 可得， ，即 ，由 ，知 ，故B正确；
因为 ，所以C为钝角， 一定是钝角三角形，故C正确；
若 ，显然 ，故D错误.
故选：BC
6．（2023·重庆·统考三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长
度的是（ ）
A．a，b， B． ， ，
C．a， ， D． ， ，b
【答案】ACD【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.
【详解】法一、根据三角形全等的条件 可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定
三角形；
法二、对于A项，由余弦定理可知 ，可求得 ，即A正确；
对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；
对于C项，由正弦定理可知 ，即C正确；
对于D项，同上由正弦定理得 ，即D正确；
故选：ACD.
7．（2023春·四川眉山·高一校联考期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．在 中， ，
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，则 必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】对于选项 在 中，由正弦定理可得 ，即可判断出正误；对于
选项 在锐角 中，由 ，可得 ，即可判断出正误；对于选项
在 中，由 ，利用正弦定理可得： ，得到 或 即
可判断出正误；对于选项 在 中，利用余弦定理可得： ，代入已知可得 ，
又 ，即可得到 的形状，即可判断出正误.
【详解】对于 ，由 ，可得： ，利用正弦定理可得： ，正确；
对于 ，在锐角 中， ， ，
， ，
，因此不等式 恒成立，正确；对于 ，在 中，由 ，利用正弦定理可得： ，
，
， ，
或 ，
或 ，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题， 错误.
对于 ，由于 ， ，由余弦定理可得： ，
可得 ，解得 ，可得 ，故正确.
故选： .
【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应
用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
三、填空题
8．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个
半径为 的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测
得小球的高度差 为 ，则圆弧的半径为 .
【答案】120【详解】
如图所示，设圆弧圆心为 ，半径为 ，三个小球的球心自左至右分别为 ， ， ，设 ，
由题意可知， ，
且 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成
功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻
地面上点 观测点观测到点D的仰角分别为 ，若 间距离为10千米（其中向量 与 同
向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离 约为 千米（结果保留整数，参考数据：
）.
【答案】
【分析】利用正弦定理求得 ，由此求得 .
【详解】在三角形 中， ，由正弦定理得 ，
，
所以 千米.
故答案为：
四、解答题
10．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）如图,在平面四边形 中,
, .
(1)试用 表示 的长;
(2)求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件将 用 表示,再在 中利用余弦定理求解即可;(2)在 中先用余弦定理将 用 表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.
【详解】（1） （ ）, , ,
，则
在 中,
,
,则 .
（2）在 中,
,
则当 时,取到最大值 .
故 的最大值是
【二层练综合】
一、单选题
1．（2022秋·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔 的高度
为 ，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为 ，沿直线步行 后在B点观察塔顶，仰角为
，若 ，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出AD，BD，再利用余弦定理计算作答.
【详解】依题意，在 中， ，则 m，
在 中， ，则 m，
在 中， ，由余弦定理得： ，
即 ，解得 m，即有 ，
所以他的步行速度为 .
故选：D
二、多选题
2．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 (A为塔顶，
B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得 .测绘兴
趣小组利用测角仪可测得的角有： ，则根据下列各组中的测量
数据可计算出塔 的高度的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 分析每一个选项
的条件看是否能求出塔 的高度.
【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.A. 在 中，已知 ，可以解这个三角形得到 ，再利用 、 解直角 得
到 的值；
B. 在 中，已知 无法解出此三角形，在 中，已知 无法解出此三角形，也无
法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔 的高度；
C. 在 中，已知 ，可以解 得到 ,再利用 、 解直角 得到
的值；
D.
如图，过点 作 ,连接 .
由于 ,
所以 ，所以可以求出 的大小，
在 中，已知 可以求出 再利用 、 解直角 得到 的值.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 判断一个三角形能不能解出
来常利用该原理.
三、填空题
3．（2023·四川眉山·校考三模）在锐角 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且
，则 的取值范围是 ．
【答案】【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为 ，根据 为锐角三角形可得
， 以及 ，再由正弦定理可得 ，利用两角和的正弦展开式和
的范围可得答案.
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为 ，所以 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
由 ， 可得 ，
所以 ， ，
由正弦定理得
.
故答案为： .
四、解答题
4．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．(1)求B；
(2)如图，若D为 外一点，且 ， ， ， ，求AC．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得 ，进而得 ，
从而得到 ；
（2）连接BD，由已知得 ， ，可得 ，利用正弦定理可得 ，最
后利用余弦定理求得 ．
【详解】（1）由 ，
得 ，
即 ，
由正弦定理，得 ，
整理，得 ，
∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ；
（2）连接BD，因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ．
在 中，由余弦定理可得
，
所以 ．
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·山西阳泉·统考三模）设 内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD【分析】由 ，得到 或 ，推出 ，判断AB；由 得到C
正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.
【详解】因为 中， ，所以 或 ，
当 时， ，由于 无意义，A错误；
当 时， ，
此时 ，故 ，B正确；
因为 ，所以 ，由大角对大边，得 ，C正确；
因为 ，所以 ，
即 ，
令 ， ，
则 ，所以 单调递减，
又 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
2．（2023春·全国·高一期末）已知D是 的边BC上一点，且 ， ， ，
则 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】设 ， ， ，则 ， ，再在 和 中分别列出余弦定
理，根据 联立可得 ，再结合 ，得到 ，进而消去 ，结合基本不等式 求解最大值即可
【详解】
设 ， ， ，则 ， ．
在 中， ；
在 中， ．
因为 ，所以 ，
所以 ，整理 ①．
因为 ，所以 ．
在 中， ，
即 ，结合①可得
，所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成
立．
故答案为：
