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微点突破 3 含弹簧的机械能守恒问题
目标要求 知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。
1．由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧
弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。
2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性
势能有最大值。
3．对同一弹簧，弹性势能的大小为E ＝kx2，弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量
p
和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。
例1 (2023·广东惠州市模拟)如图所示，质量为m的小球从静止下落，落在与A点等高处、
竖直放置静止的轻弹簧上，到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，图中与C
点等高处是小球到达的最低点。不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．从O到C，小球重力势能减小、动能增大，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒
B．从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统
机械能不守恒
C．到达B点时，小球的动能最大，弹性势能最小
D．从O到A，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统机械能守恒
答案 D
解析 到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，此时加速度为 0，速度达到最
大，所以从O到C，小球重力势能减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统
机械能守恒，故A错误；从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地
球、弹簧组成的系统机械能守恒，故B错误；到达B点时，小球的动能最大，弹性势能最
小的点是A点，故C错误；从O到A，只有重力做功，小球重力势能减小，动能增大，小
球、地球组成的系统机械能守恒，故D正确。
例2 (2023·江苏连云港市模拟)如图所示，竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的小
滑块，一原长为l的轻质弹簧左端固定在O点，右端与滑块相连。直杆上还有b、c、d三个
点，b点与O点在同一水平线上且Ob＝l，Oa、Oc与Ob的夹角均为37°，Od与Ob的夹角
为53°。现将滑块从a点静止释放，在滑块下滑到最低点d的过程中，弹簧始终处于弹性限
度内，重力加速度为g，sin 37°＝0.6。下列说法正确的是( )A．滑块在b点时动量最大
B．滑块从a点到c点的过程中，弹簧弹力的总冲量为零
C．滑块在c点的速度大小为
D．滑块从c点下滑到d点的过程中机械能的减少量为mgl
答案 D
解析 从a到b，弹簧对滑块有沿弹簧向下的拉力，滑块的速度不断增大。从 b到c，弹簧
对滑块有沿弹簧向上的拉力，开始时拉力沿杆向上的分力小于滑块的重力，滑块仍在加速，
所以滑块在b点时速度不是最大，动量也不是最大，故A错误；从a下滑到b点和从b下滑
到c点的时间不相等，结合对称性可知弹簧弹力的总冲量不为零，故B错误；由题图可知，
a、c两处弹簧的形变量相同，故滑块从 a到c，弹力做功为零，只有重力做功，则有
mg·2ltan 37°＝mv2，可得滑块在c点的速度大小为v＝，故C错误；滑块从c点下滑到d点
c c
的过程中，有ΔE＝mv2＋mgl(tan 53°－tan 37°)，解得ΔE＝mgl，故D正确。
c
例3 (2024·浙江省名校协作体模拟)如图所示，一顶角为直角的“ ”形光滑细杆竖直放
置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，此
时弹簧为原长l 。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内，且弹簧
0
始终保持水平，已知弹簧的长度为l时，弹性势能为k(l－l)2，重力加速度为g，下列说法正
0
确的是( )
A．金属环在最高点与最低点加速度大小相等
B．左边金属环下滑过程机械能守恒
C．弹簧的最大拉力为3mg
D．金属环的最大速度为2g
答案 A
解析 左边金属环下滑过程，除重力以外，弹簧的弹力对它做功，故对金属环而言，下滑过
程中机械能不守恒，故B错误；金属环下降h′达到最低点时，速度减小为0，形变量最大
为2h′，根据两金属环与弹簧系统机械能守恒有 2mgh′＝k(2h′)2，解得h′＝，弹簧的最
大伸长量Δx＝2h′＝
弹簧的最大拉力为F ＝kΔx＝2mg，故C错误；
T在最高点时金属环只受重力和支持力作用，此时重力沿杆方向的分力提供加速度，有 a ＝
1
gsin 45°
在最低点，可知F ＝2mg
T
根据牛顿第二定律可知F cos 45°－mgsin 45°＝ma ，解得a＝gsin 45°，则a＝a
T 2 2 1 2
金属环在最高点与最低点加速度大小相等，故A正确；
当金属环的加速度为0时，速度最大，金属环受力如图所示，金属环受到重力、杆的弹力和
弹簧的弹力，沿杆方向加速度为0，即合力为0，有mgsin 45°＝Fcos 45°，又F＝kΔx，解得
形变量Δx＝，根据几何知识，两个小球下降的高度为h＝，对两个金属环和弹簧根据机械能
守恒，有2mgh＝k(Δx)2＋×2mv2，解得v＝g，故D错误。
例4 (2024·河北保定市期中)如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，一劲度系数为k
＝200 N/m的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg 的物体A，
一轻细绳绕过定滑轮，一端系在物体 A上，另一端与质量也为m的小球B相连，细绳与斜
面平行，斜面足够长。用手托住小球B使细绳伸直且刚好没有拉力，然后由静止释放，不
计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小。
答案 (1)30 N (2)0.2 m (3)1 m/s
解析 (1)弹簧恢复原长时，根据牛顿第二定律，
对B有mg－F ＝ma
T
对A有F －mgsin 30°＝ma，解得F ＝30 N。
T T
(2)初态弹簧压缩量x＝＝0.1 m
1
当A速度最大时，A的加速度为0，
则有mg＝kx＋mgsin 30°
2
弹簧伸长量x＝0.1 m
2
所以A沿斜面上升x＋x＝0.2 m。
1 2
(3)因x＝x，故弹性势能改变量ΔE＝0，
1 2 p
由系统机械能守恒有：mg(x＋x)－mg(x＋x)sin 30°＝×2mv2
1 2 1 2
解得v＝1 m/s。
1．(多选)(2024·广东东莞市模拟)“蹦极”被称为“勇敢者的游戏”。将一根自然长度为OA
的弹性轻绳一端系在人身上，另一端固定在跳台边缘。人从跳台由静止下落开始计时，下落
过程中速度随时间的变化如图所示，图中t 、t 、t 三个时刻分别对应A、B、C三个点，t
A B C B
时刻是图像最高点，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．重力加速度大小为
B．人从A点运动到B点这一过程中，人的重力势能转化为动能
C．人在下落过程中，弹性绳对人先做正功再做负功
D．人从A点运动到C点这一过程中，人的机械能一直减少
答案 AD
解析 由题图可知，人从跳台下落到A点的过程，人做自由落体运动，可得重力加速度大
小为g＝，故A正确；人从A点运动到B点这一过程中，人的重力势能转化为人的动能和弹
性绳的弹性势能，故B错误；人在下落过程中，弹性绳的形变量一直增大，弹性势能一直
增大，故弹性绳对人一直做负功，故 C错误；人从A点运动到C点这一过程中，人与弹性
绳组成的系统机械能守恒，由于下落过程中，弹性绳弹性势能一直增大，故人的机械能一直
减少，故D正确。
2.(2024·四川宜宾市第二中学开学考)如图，圆心为O 的光滑半圆环固定于竖直面，轻弹簧
1
上端固定在O 正上方的O 点，c是OO 和圆环的交点；将系于弹簧下端且套在圆环上的小
1 2 1 2
球从a点静止释放，此后小球在a、b间做往复运动。若小球在a点时弹簧被拉长，在c点
时弹簧被压缩，aO⊥aO。则下列说法正确的是( )
1 2
A．小球在b点受到的合力为零
B．弹簧在a点的伸长量可能小于弹簧在c点的压缩量
C．弹簧处于原长时，小球的速度最大
D．在a、b之间，小球机械能最大的位置有两处答案 D
解析 套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在a、b间做往复运动，表明小球在a
点的合力不等于零，合力的方向沿着a点的切线向上；因为系统的机械能守恒，a点和b点
关于OO 对称，所以小球在b点受到的合力不等于零，合力的方向b点的切线向上，A错
1 2
误；小球从a点到c点运动的过程中，小球在a点时动能最小，等于零，小球在a点时位置
最低，小球在a点时的重力势能最小，那么，小球在a点时的机械能最小；又因为小球和弹
簧组成的系统机械能守恒，所以小球在a点时，弹簧的弹性势能最大，那么，小球在a点时
弹簧的形变量最大，所以弹簧在a点的伸长量一定大于弹簧在c点的压缩量，B错误；小球
受到重力、弹簧的弹力、圆环的支持力，这三个力的合力为零时，小球的速度最大，此时弹
簧不处于原长状态，C错误；因为系统的机械能守恒，所以弹簧处于原长时，小球的机械能
最大；在a、b之间，弹簧处于原长的位置有两处，D正确。
3.(2024·贵州省模拟)如图所示，质量为2m的金属环A和质量为m的物块B通过光滑铰链用
长为2L的轻质细杆连接，金属环A套在固定于水平地面上的竖直杆上，物块B放在光滑水
平地面上，原长为L的轻弹簧水平放置，右端与物块B相连，左端固定在竖直杆上O点，
此时轻质细杆与竖直方向夹角θ＝30°。现将金属环A由静止释放，A下降到最低点时θ变
为60°。不计一切阻力，重力加速度为g，则在金属环A下降的过程中，下列说法中正确的
是( )
A．金属环A和物块B组成的系统机械能守恒
B．金属环A的机械能先增大后减小
C．金属环A降到最低点时物块B的速度最大
D．弹簧弹性势能最大值为2(－1)mgL
答案 D
解析 A下降过程，弹簧逐渐伸长，对B的拉力水平向左，对物块B做负功，金属环A和
物块B组成的系统机械能不守恒，故A错误；在金属环A下降过程中，轻杆一直对A做负
功，则A的机械能一直减小，故B错误；下降过程中B的速度先增大后减小，动能先增大
后减小，故C错误；A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，当A下降到最低点时A的重力势
能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹簧的弹性势能最大，根据机械能守恒定律可得弹簧的
弹性势能最大值为E＝2mg×2L(cos 30°－cos 60°)＝2(－1)mgL，故D正确。
p
4.(2023·福建福州市期中)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固
定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、
右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与
滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最
大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度v 的大小。
m
答案 (1)30° (2)2g
解析 (1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，此时A的加速度
为零
由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0
则sin α＝，α＝30°
(2)初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为 Δx，对B：kΔx＝
mg
因α＝30°，则C球离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零，A、B、
C三小球和弹簧组成的系统机械能守恒，有4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝(5m)v 2，联立解得v
m m
＝2g。
