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\s\up7(第2讲 电场能的性质)
素养目标 1.理解描述电场能量的概念，如电势、电势差、电势能等．(物理观念) 2.具
有分析匀强电场中电势差与电场强度的关系的观念．(物理观念) 3.电势高低、电势能大小
的判断方法．(科学思维)
一、电场力做功和电势能
1．电场力做功
(1)特点：静电力做功与实际路径无关，只与初末位置有关．
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离．
②W ＝qU ，适用于任何电场．
AB AB
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时静电
力所做的功．
(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即W ＝E
AB pA
－E ＝－ΔE .
pB p
(3)电势能具有相对性．
二、电势、等势面、电势差
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因零电势点的选取不同而不同．
2．等势面
(1)定义：电场中电势相等的各点构成的面．
(2)特点
①在等势面上移动电荷，电场力不做功．
②等势面一定与电场线垂直，即与场强方向垂直．
③电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．
④等差等势面的疏密表示电场的强弱(等差等势面越密的地方，电场线越密).
直
观
常见电场中的电场线与等势面
情
境3.电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力所做的功W 与移动的电
AB
荷的电量q的比值．
(2)定义式：U ＝.
AB
(3)电势差与电势的关系：U ＝φ － φ ，U ＝－U .
AB A B AB BA
三、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．电势差与电场强度的关系式： U ＝ Ed ，其中d为电场中两点间沿场强方向的距离．
2．电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向电势降低最快
的方向．在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿场强方向每单位距离上降低的电势．
1．思维辨析
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关．( )
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零．( )
(3)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低．( )
(4)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功．( )
(5)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向． ( )
2．(2021·辽宁卷)等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，
实线表示电场线，虚线表示等势线．将同一负电荷先后置于 a、b两点，电势能分别为E
pa
和E ，电荷所受电场力大小分别为F 和F ，则( )
pb a b
A．E >E ，F >F
pa pb a b
B．E >E ，F F
pa pb a bD．E 0)的点电荷固定在正方体的两个顶
点上，a、b是正方体的另外两个顶点．则( )A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
1．[对电势、电势能的理解](多选)电子束焊接机中的电场线如图中虚线所示，P、Q是
电场中的两点．K为阴极，A为阳极，在两极之间加上高压，就会有电子从K极由静止被
加速．则( )
A．P点的电势高于Q点的电势
B．P点的电场强度小于Q点的电场强度
C．电子在P点的电势能大于在Q点的电势能
D．电子由P运动到Q，电场力做负功
2．[静电力做功与电势能变化的关系]如图所示，O点为光滑绝缘水平面上正方形区域
ABCD的几何中心，该区域有一匀强电场，方向水平由Q指向P.一带负电小球从P点以速
度v 沿PQ方向射入电场．以下说法正确的是( )
0
A．小球由P向Q做减速运动
B．电场中A 点的电势低于C点的电势
C．小球由P向Q运动的过程中，电势能不断减小
D．该小球若从M点沿MN方向射入，则小球将向BC边偏转
考点 电场线、等势面和带电粒子轨迹问题
1．常见等势面比较
电场 等势面(实线)图样 重要描述匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的
两电荷连线的中垂面为等势面
电场
在电荷连线上，中点电势最低；
等量同种正点电荷
在连线的中垂线上，中点电势最
的电场
高
2.电场线与带电粒子在电场中的运动轨迹
电场线 运动轨迹
(1)粒子在电场中的运动轨迹是客观存在的．
(1)电场中并不存在，是为研究电场方便而人
为引入的． (2)轨迹上每一点的切线方向即粒子在该点的
速度方向，但加速度的方向与速度的方向不一
(2)曲线上各点的切线方向即该点的场强方
定相同
向，同时也是正电荷在该点所受电场力的方向
3.电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”
(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况．
(2)三不知时要用“假设法”——电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷
运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则
要用假设法分别讨论各种情况．
典例2 (2023·全国甲卷)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非
匀强电场，可以使发散的电子束聚集．下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚
线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )1．[电场线性质的应用]避雷针附近的电场分布如图所示，细实线为电场线，虚线为等
势面，等势面和电场线关于避雷针所在的竖直线对称分布，粗曲线为某带电粒子仅在电场
力作用下的运动轨迹，A、B、C为轨迹上的三个点，A、B是关于避雷针所在的竖直线对
称的两点，C点在竖直线上，则( )
A．A、B两点的电场强度相同
B．此时避雷针的尖端聚集大量正电荷
C．粒子在A点具有的电势能比在C点的电势能大
D．粒子在A点具有的动能比在C点的动能大
2．[等势面性质的应用]如图所示，虚线a、b、c、d、e代表电场中的五个相邻等势面，
相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带正电的试探电荷仅在静电力作用下通过该区域
时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则( )
A．M点的电势高于N点
B．M点的电场强度比N点的大
C．该试探电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D．该试探电荷在M点的动能大于在N点的动能
考点 电势差与电场强度的关系
1．应用公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场．(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．由E＝得到的两个重要推论
推论1：匀强电场中的任一线段AB的中心C的电势φ ＝，如图甲所示．
C
推论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则U ＝ U (或φ －φ ＝φ －
AB CD A B C
φ )，如图乙所示．
D
3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路
典例3 (多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所
示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B． 坐标原点处的电势为 1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
1．[匀强电场的性质]如图所示，等腰三角形ABC处于匀强电场中，AB＝AC＝L，∠A
＝120°，电场线与三角形平面平行．一电荷量为＋q的点电荷若从C点移到A点，电场力
所做的功为qU；若从A点移到B点，电场力所做的功也为qU.该匀强电场的电场强度大小
为( )
A. B.
C. D.
2．[匀强电场中场强与电势差的关系]如图所示，矩形的四个顶点a、b、c、d为匀强电场中的四个点，ab＝2bc＝2 m，电场线与矩形所在的平面平行．已知a点电势为15 V，b
点电势为9 V，c点电势为6 V．一带电粒子从a点以速度v＝100 m/s射入电场，v 与ab边
0 0
的夹角为45°，一段时间后粒子经过ab边的中点e.不计粒子的重力，下列判断正确的是(
)
A．d点电势为10 V
B．电场强度的大小为6 V/m
C．粒子从a点到e点所用的时间为×10－2 s
D．粒子从a点到e点，其电势能增大
考点 电场中的功能关系
1．求电场力做功的几种方法
(1)由公式W＝Flcos θ计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcos θ.
(2)由W ＝ qU 计算，此公式适用于任何电场．
AB AB
(3)由电势能的变化计算：W ＝ E － E .
AB pA pB
(4)由动能定理计算：W ＋W ＝ΔE .
电场力 其他力 k
2．电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化．
典例4 (2023·全国乙卷)(多选)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方．从P
点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动
其一段轨迹如图所示．M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM＝ON，则小球( )
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
1．[带电质点在复合场中运动] 如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带
电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向
相反，则小球从M运动到N的过程( )A．动能增加mv2
B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2
D．电势能增加2mv2
2．[应用能量观点分析带电体在电场中的运动]如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直
杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中
点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可
视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖
直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为零电势点，试确定A点的电势．
答案及解析
1．思维辨析
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关．(√)
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零．(×)
(3)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低．(×)
(4)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功．(×)
(5)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向． (×)
2．(2021·辽宁卷)等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，
实线表示电场线，虚线表示等势线．将同一负电荷先后置于 a、b两点，电势能分别为E
pa
和E ，电荷所受电场力大小分别为F 和F ，则( )
pb a bA．E >E ，F >F
pa pb a b
B．E >E ，F F
pa pb a b
D．E 0)的点电荷固定在正方体的两个顶
点上，a、b是正方体的另外两个顶点．则( )A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
解析： b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误；如图所示，
a、b两点的电场强度可视为E 与E 、E 与E 的合场强，其中E ∥E ，E ∥E ，且知E ＝
3 4 1 2 1 3 2 4 1
E ，E ＝E ，故合场强E 与E 大小相等、方向相同，B、C正确；由于φ<φ，负电荷从低
3 2 4 a b a b
电势移到高电势过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误．故选BC.
1．[对电势、电势能的理解](多选)电子束焊接机中的电场线如图中虚线所示，P、Q是
电场中的两点．K为阴极，A为阳极，在两极之间加上高压，就会有电子从K极由静止被
加速．则( )
A．P点的电势高于Q点的电势
B．P点的电场强度小于Q点的电场强度
C．电子在P点的电势能大于在Q点的电势能
D．电子由P运动到Q，电场力做负功
解析：阳极电势高，阴极电势低，所以P点电势低于Q点的电势，电子在P点的电势
能大于在Q点的电势能，A错误，C正确；电场线越密场强越强，所以P点的电场强度小
于Q点的电场强度，B正确；电子从K极由静止被加速，所以电子由P运动到Q做加速运
动，电场力做正功，D错误．
答案：BC
2．[静电力做功与电势能变化的关系]如图所示，O点为光滑绝缘水平面上正方形区域
ABCD的几何中心，该区域有一匀强电场，方向水平由Q指向P.一带负电小球从P点以速
度v 沿PQ方向射入电场．以下说法正确的是( )
0A．小球由P向Q做减速运动
B．电场中A 点的电势低于C点的电势
C．小球由P向Q运动的过程中，电势能不断减小
D．该小球若从M点沿MN方向射入，则小球将向BC边偏转
解析：小球带负电，可知小球所受电场力沿着 PQ方向，与小球的初速度方向相同，
小球做加速运动，故A错误；根据匀强电场的等势面和电场线垂直可知，C点的电势等于
P点的电势，A点的电势等于Q点的电势，沿着电场线的方向电势逐渐降低，可知电场中
A 点的电势高于C点的电势，故B错误；小球所受电场力的方向与小球的运动方向相同，
电场力做正功，则小球的电势能不断减小，故C正确；小球所受电场力沿着PQ方向，该
小球若从M点沿 MN方向射入，则小球将向AD边偏转，故D错误．
答案：C
考点 电场线、等势面和带电粒子轨迹问题
典例2 (2023·全国甲卷)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非
匀强电场，可以使发散的电子束聚集．下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚
线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
解析：A图中电子做曲线运动，合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析如图甲所示，可
见与电场力的受力特点相符，A正确；B图中电子做曲线运动，合力指向轨迹凹侧，对电
子受力分析如图乙所示，可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；C图中电子做曲线
运动，合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析如图丙所示，可见与电场力的受力特点相互矛
盾，C错误；D图中电子做曲线运动，合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析如图丁所示，
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误．故选A.1．[电场线性质的应用]避雷针附近的电场分布如图所示，细实线为电场线，虚线为等
势面，等势面和电场线关于避雷针所在的竖直线对称分布，粗曲线为某带电粒子仅在电场
力作用下的运动轨迹，A、B、C为轨迹上的三个点，A、B是关于避雷针所在的竖直线对
称的两点，C点在竖直线上，则( )
A．A、B两点的电场强度相同
B．此时避雷针的尖端聚集大量正电荷
C．粒子在A点具有的电势能比在C点的电势能大
D．粒子在A点具有的动能比在C点的动能大
解析：根据对称性，A、B两点的电场强度大小相同，方向不同，A错误；电场线从无
穷远终止于负电荷，由电场线方向可知避雷针的尖端聚集大量负电荷，B错误；由运动轨
迹可知，电场力指向轨迹的凹侧，可知该带电粒子带负电，电场线的方向由电势高的等势
面指向电势低的等势面，可知φ >φ ，又E ＝qφ，粒子在A点具有的电势能比在C点的电
A C p
势能小，C错误；运动过程中，只有电场力做功，动能和电势能之间相互转化，动能和电
势能之和保持不变，粒子在A点具有的电势能比在C点的电势能小，则粒子在A点具有的
动能比在C点的动能大，D正确．
答案：D
2．[等势面性质的应用]如图所示，虚线a、b、c、d、e代表电场中的五个相邻等势面，
相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带正电的试探电荷仅在静电力作用下通过该区域
时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则( )
A．M点的电势高于N点
B．M点的电场强度比N点的大
C．该试探电荷在M点的电势能大于在N点的电势能D．该试探电荷在M点的动能大于在N点的动能
解析：由于电场线垂直等势面，试探电荷所受静电力沿电场线切线方向且指向轨迹的
凹侧，试探电荷带正电，因此可以判断电场线的分布情况，如图所示，所以 M点的电势低
于N点的电势，故A错误；等差等势面的疏密表示电场强弱，所以M点的电场强度小于N
点的电场强度，故B错误；由电势能与电势的关系E ＝qφ可知，带正电的粒子在电势越高
p
的位置，电势能越大，所以该试探电荷在M点的电势能小于在N点的电势能，又由能量守
恒定律可知，试探电荷在M点的动能大于在N点的动能，故C错误，D正确．
答案：D
考点 电势差与电场强度的关系
典例3 (多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所
示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B． 坐标原点处的电势为 1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
解析： 如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电
势差与bc间电势差相等，故O点电势为 1 V，选项B正确；分析可知，在x轴上，每0.5
cm长度对应电势差为1 V，10 V对应的等势线与x轴交点e坐标为(4.5,0)，在△aOe中，
Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为 3.6 cm，代入公式E＝得， E ＝ 2.5
V/cm，选项A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点
的高 7 eV，选项C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝eU＝9 eV，选项D正
确．故选ABD.
1．[匀强电场的性质]如图所示，等腰三角形ABC处于匀强电场中，AB＝AC＝L，∠A
＝120°，电场线与三角形平面平行．一电荷量为＋q的点电荷若从C点移到A点，电场力所做的功为qU；若从A点移到B点，电场力所做的功也为qU.该匀强电场的电场强度大小
为( )
A. B.
C. D.
解析：同一电荷＋q从C移动到A电场力做的功与从A移动到B电场力做的功均为
qU，说明U ＝U ＝U，则有φ －φ ＝φ －φ ，解得φ ＝，又BC边中点电势也为，则A
CA AB C A A B A
与BC边中点(设为O)连线即为等势线，又三角形为等腰三角形，所以等势线 AO⊥BC，故
电场线与BC平行，则电场强度E＝＝，D正确．
答案：D
2．[匀强电场中场强与电势差的关系]如图所示，矩形的四个顶点a、b、c、d为匀强电
场中的四个点，ab＝2bc＝2 m，电场线与矩形所在的平面平行．已知a点电势为15 V，b
点电势为9 V，c点电势为6 V．一带电粒子从a点以速度v＝100 m/s射入电场，v 与ab边
0 0
的夹角为45°，一段时间后粒子经过ab边的中点e.不计粒子的重力，下列判断正确的是(
)
A．d点电势为10 V
B．电场强度的大小为6 V/m
C．粒子从a点到e点所用的时间为×10－2 s
D．粒子从a点到e点，其电势能增大
解析：根据匀强电场中平行等距的两线段间电势差相等，则有φ －φ ＝φ －φ，解得
a b d c
φ ＝12 V，A错误；由于φ＝＝12 V，则d点与e点的电势相等，则电场线如图所示，故E
d e
＝＝＝ V/m＝3 V/m，B错误；粒子能从a点到e点，说明其带正电，所受电场力的方向沿
场强方向，粒子做类平抛运动，沿de方向粒子做匀速直线运动，则有t＝＝ s＝×10－2 s，
C正确；粒子从a点到e点，所受电场力的方向沿场强方向，则电场力做正功，其电势能
减小，D错误．
答案：C
考点 电场中的功能关系
典例4 (2023·全国乙卷)(多选)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方．从P
点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动其一段轨迹如图所示．M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM＝ON，则小球( )
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
解析：由题意知，OP>OM，OM＝ON，则根据点电荷的电势分布情况可知 φ ＝
M
φ >φ ，则带负电的小球在运动过程中，电势能先减小后增大，且E >E ＝E ，则带负电
N P pP pM pN
的小球在M点的机械能等于在N点的机械能，A错误，B、C正确；从M点运动到N点的
过程中，电场力先做正功后做负功，D错误．故选BC.
1．[带电质点在复合场中运动] 如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带
电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向
相反，则小球从M运动到N的过程( )
A．动能增加mv2
B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2
D．电势能增加2mv2
解析：A错：动能变化量ΔE ＝m(2v)2－mv2＝mv2.B对，D错：重力和电场力做功，机
k
械能增加量等于电势能减少量．带电小球在水平方向做向左的匀加速直线运动，由运动学
公式得(2v)2－0＝2x，则电势能减少量等于电场力做的功ΔE ＝W ＝qEx＝2mv2.C错：在
p电 电
竖直方向做匀减速到零的运动，由－v2＝－2gh，得重力势能增加量ΔE ＝mgh＝mv2.
p重
答案：B
2．[应用能量观点分析带电体在电场中的运动]如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直
杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中
点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可
视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖
直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为零电势点，试确定A点的电势．
解析：(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中静电力做的总功为
零，由几何关系可得BC的竖直高度h ＝
BC
根据动能定理有mg·＝－
解得v ＝.
C
(2)小球从A到C，重力和静电力均做正功，所以由动能定理有 mg·3R＋W ＝－0，又
电
根据静电力做功与电势能的关系有W ＝E －E ＝－qφ －(－qφ )
电 pA pC A C
又因为φ ＝0，可得φ ＝－.
C A
答案：(1) (2)－
