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选择题考点专项 17 “小船过河”与“关联速度”
问题
1.(轻绳关联)如图，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球(大小不可忽略，系绳
延长线过球心)、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直
墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中( )
A.玩具小车做减速运动
B.玩具小车做加速运动
C.绳对球的拉力大小变小
D.绳对球的拉力大小变大，球处于超重状态
2.(轻绳关联)如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ ＝37°的固定光滑斜面
1
上，轻绳跨过光滑定滑轮分别连接 P与小车，P与滑轮间的轻绳平行于斜面，
小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的轻绳和水平方向成
夹角θ ＝37°时(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，下列判断正确的是( )
2
A.P的速率为v B.P的速率为0.8v
C.绳的拉力等于0.6mg D.绳的拉力小于0.6mg3.(轻绳关联)如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球，小球 a、b分别套在
水平和竖直杆上。某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为 37°，此时a、
b两球的速度大小之比为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A. B.
C. D.
4.(轻杆关联)(多选)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙
球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为
4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点 3 m时，
下列说法正确的是( )
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，甲球的速度达到最大
5.(轻杆关联)一轻杆两端分别固定质量为 m 和m 的两个小球 A和B(可视为质
A B
点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置 1开始下滑，如图所示，当轻杆到达
位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v ，已知此时轻杆与水平方
1
向成θ＝30°角，B球的速度大小为v ，则( )
2A.v ＝v B.v ＝2v
2 1 2 1
C.v ＝v D.v ＝v
2 1 2 1
6.(接触关联)如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端倚靠在物块的光
滑竖直侧壁上，物块向左以速度大小v运动时，直杆绕O点做圆周运动且始终
与物块间有弹力。当直杆与水平方向的夹角为 θ时，直杆上与物块接触的A点
线速度大小( )
A. B.
C.vsin θ D.vcos θ
7.(接触关联)如图所示，长为L的轻直棒一端可绕固定轴O转动，另一端固定一
质量为m的小球，小球搁在水平升降台上，升降平台以速度 v匀速上升。下列
说法正确的是( )
A.小球做匀速圆周运动
B.当棒与竖直方向的夹角为α时，小球的速度为
C.棒的角速度逐渐增大
D.当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为8.(最短时间渡河)(多选)宽为d的一条河，越靠近河中心水的流速越大，小船在
静水中的速度为v ，渡河时船头垂直河岸，则下列说法正确的是( )
0
A.渡河时间为
B.此种方式渡河，所用的时间最短
C.小船渡河的轨迹为直线
D.小船到达河中心时速度最大
9.(最小位移渡河)(多选)如图，小船以大小为 v ＝5 m/s，船头与上游河岸成 θ＝
1
60°角的速度(在静水中的速度)从A处过河，经过一段时间正好到达正对岸 B处。
已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的( )
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移是90 m
10.(船速小于水速前提下的最小位移渡河)为了备战皮划艇比赛，某队员在河中
进行训练。若河岸平直，河面宽 150 m，水流速度大小为4 m/s，皮划艇相对静
水的速度大小为2 m/s，则皮划艇渡河的最短航程为( )
A.100 m B.150 m
C.225 m D.300 m
11.(最小速度渡河)如图，某河流中水流速度大小恒为 v ，A处的下游C处有个
1
漩涡，漩涡与河岸相切于 B点，漩涡的半径为r，AB＝r。为使小船从A点出发
以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为( )A.v B.v
1 1
C.v D.v
1 1
12.(正交分解法研究小船渡河)甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽
为H，河水流速为v ，划船速度均为v，出发时两船相距H，甲、乙两船船头均
0
与河岸成60°角，如图所示。已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正
确的是( )
A.甲、乙两船到达对岸的时间不同
B.甲船在A点右侧靠岸
C.两船可能在未到达对岸前相遇
D.甲船也在A点靠岸选择题考点专项17 “小船过河”与“关联速度”问题
1．A [设球的质量为m，速度为v，绳子拉力为F ，拉球的绳子与竖直方向夹
T
角为θ，由于球的半径不能忽略，易知球在上升的过程中，θ逐渐增大。将球的
速度分解为沿绳子和垂直于绳子方向，车与球在沿绳子方向上速度相等，可知
v ＝vcos θ，球上升的过程中，随着θ增大，车速逐渐减小，因此玩具小车做
车
减速运动，A正确，B错误；由于球匀速运动，所受合力为零，则在竖直方向
上F cos θ＝mg，可得F ＝，随着θ逐渐增大，绳子拉力逐渐增大，而球匀速
T T
运动，处于平衡状态，C、D错误。]
2．B [小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的轻绳和水平
方向成夹角θ ＝37°时，小车沿绳子方向的分速度大小等于P的速率，则有v ＝
2 P
vcos θ ＝0.8v，故A错误，B正确；小车在向右匀速运动过程中，绳子与水平
2
方向的夹角θ 逐渐减小，根据v ＝vcos θ ，可知物体P的速度逐渐增大，物体
2 P 2
P做加速运动，物体P有沿斜面向上的加速度，则有F >mgsin θ ＝0.6mg，故
T 1
C、D错误。]
3．A [由题意可知a、b球沿细线方向的分速度相同，即v sin 37°＝v cos 37°，
a b
解得＝，故A正确。]
4．BD [设轻杆与竖直方向的夹角为 θ，则v 在沿杆方向的分量为 v ＝v cos
1 1杆 1
θ，v 在沿杆方向的分量为v ＝v sin θ，而v ＝v ，图示位置时，有 cos θ
2 2杆 2 1杆 2杆
＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，A错误，B正确；当
甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，
C错误，D正确。]
5．C [球A与球形容器球心等高，速度v 方向竖直向下，速度分解如图所示，
1
有v ＝v sin 30°＝v ，球B此时速度方向与杆成 α＝60°角，因此v ＝v cos 60°
11 1 1 21 2
＝v ，沿杆方向两球速度相等，即v ＝v ，解得v ＝v ，故C正确。]
2 21 11 2 1
6．A [直杆与箱子接触点的实际运动即合运动，方向垂直于杆指向左下方，沿水平方向的分速度为v，即v sin θ＝v，解得v ＝，故A正确。]
实 实
7．D [小球受重力、平台的弹力和棒的作用力，因为升降平台以速度v匀速上
升，平台的弹力和棒的作用力变化，即小球受到的合力大小变化，小球做的不
是匀速圆周运动，A错误；
棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上，如图所示，合
速度v ＝ωL，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，v＝ωLsin α，所以v ＝，
实 实
ω＝，平台向上运动，夹角增大，角速度减小，B、C错误，D正确。]
8．ABD [合运动与分运动的关系具有独立性，每个分运动都按照各自的规律
独立运行，因此船渡河时间是船头垂直河岸的分速度的结果，船渡河时船头垂
直于河岸，则渡河的时间为t＝，故A正确；因为渡河时船头垂直河岸，在垂直
河岸方向分运动的速度等于船在静水中的速度 v ，沿船头方向的分位移最小，
0
所用时间最短，故B正确；因为水流速度不是恒定的，越靠近河中心水的流速
越大，合速度的方向和大小都改变，因此小船渡河的轨迹不是直线，故 C错误；
小船到达河中心时，小船沿船头方向的分速度大小不变，水流方向的分速度达
到最大值，两个分运动速度垂直，合运动的速度为 v ＝，即小船到达河中心时，
合
合速度最大，故D正确。]
9．BD [河中水流速度为v ＝v cos 60°＝2.5 m/s，A错误；小船以最短位移渡
2 1
河的时间为t＝＝ s＝24 s，B正确；当船头方向指向正对岸时过河时间最短，
则小船渡河的最短时间为t ＝＝ s＝36 s，C错误；小船以最短时间渡河时到
min
达对岸沿水流方向的位移是x＝v t ＝2.5×36 m＝90 m，总位移s＝＝90 m，D
2 min
正确。]
10．D [根据矢量的合成法则，当合速度方向与皮划艇相对静水的速度方向垂
直时，皮划艇渡河的航程最短，则有s ＝·d＝×150 m＝300 m，故D正确。]
min
11．B [根据题意得，tan θ＝，解得θ＝37°，小船航行时在静水中速度的最小
值为v ＝v sin 2θ，解得v ＝v ，故B正确。]
2 1 2 112．D [将两船的运动分解为垂直于河岸方向和沿河岸方向，在垂直于河岸方
向上，两船的分速度相等，河宽一定，所以两船渡河的时间相等，故 A错误；
乙船的合速度垂直于河岸，有vcos 60°＝v ，所以有v＝2v ，两船渡河的时间为
0 0
t＝，则甲船在沿河岸方向上的位移为x＝(v ＋vcos 60°)t＝2v ×＝H，可知甲船
0 0
恰好能到达河对岸的A点，故B、C错误，D正确。]
