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专题 07 几何图形与相关实际问题
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·陕西西安·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心
O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°29'，∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°31' B．64°31' C．54°31' D．54°29'
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的
关键．由平行线的性质得到∠OFB=24°31'，由对顶角的性质得到∠POF=∠2=30°，再根据三角形外
角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵AB∥OF
，
∴∠1+∠OFB=180°，
∵∠1=155°29'，
∴∠OFB=24°31'，
∵∠POF=∠2=30°，
∴∠3=∠POF+∠OFB=30°+24°31'=54°31'．
故选C．
2．（2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为
如图2的扇形环面（由扇形OAB挖去扇形OCD），∠AOB=108°，OC的长度是10cm，OA的长度是
30cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是（ ）
A．160πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．480πcm2
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【答案】B
【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是：
108π×302 108π×102
− =240π(cm2)，
360 360
故选：B
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，用一个半径为6cm的滑轮将物体G向上拉升，若物体G的上升速度为
π
cm/s ，上升的时间为4s，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则图中线段OP在这段时间内
6
扫过的面积（单位：cm2）是（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【答案】C
π 2
【分析】本题考查了弧长公式以及扇形面积公式，先得出物体G的上升距离是 ×4= π(cm)，再设点
6 3
n 2
P旋转路径所对的圆心角为n，列式 ×2π×6=2× π，解出n=40°，最后运用扇形面积公式列式计
360 3
算，即可作答．
π
【详解】解：∵物体G的上升速度为 cm/s，上升的时间为4s，
6
π 2
∴物体G的上升距离是 ×4= π(cm)，
6 3
则在这个时间内，设点P旋转路径所对的圆心角为n，
n 2
∴ ×2π×6=2× π，
360 3
解得n=40°，
40
∴线段OP在这段时间内扫过的面积= ×π×62=4π(cm2)，
360
故选：C．
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4．（2025·广东深圳·一模）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为
单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE=80°，车轮半径为30cm，当
BC=70cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（ ）（结果精确到1cm，参
考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，依题意可得AP=30cm，
BC=70cm，∠ABE=80°，求出CH的长即可得解．
【详解】解：如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，
依题意可得：AP=30cm，BC=70cm，∠ABE=80°，
∴CH=BC⋅sin80°≈70×0.98=68.6(cm)，
∴坐垫C离地面高度约为68.6+30=98.6≈99(cm)，
故选：A．
5．（24-25九年级下·全国·期末）某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面AB的长度为20m，坡度为
1:1（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面
AD的坡度为1:2，改造后背水坡AD的长度为（ ）
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A．20√2m B．10√10m C．10√2m D．400√2m
【答案】B
【分析】过点A作AE⊥DC于点E，利用坡比的定义得出AE的长，再得出DE的长，利用勾股定理得出
答案．
本题考查了坡比的计算，勾股定理，熟练掌握坡比的计算是解题的关键．
【详解】解：过点A作AE⊥DC于点E，
∵背水坡坡面AB的长度为20m，坡度为AE:BE=1:1，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE=45°，
∴AE=BE=ABsin45°=10√2(m)，
∵背水坡坡面AD的坡度为1:2，
AE 1
∴ = ，
DE 2
∴DE=20√2(m)，
∴AD=√AE2+DE2=10√10(m)，
故选：B．
6．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC.如图，无人机
在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB=α，点C处的俯角∠DPC=45∘，点A，B，C在同一条水
平直线上.若AP=45m，tanα=3，则河流的宽度BC为（ ）
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A．30m B．25m C．20m D．15m
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟记俯角的含义是解本题的关键，在Rt△PAB中，利用
tanα=3可得AB=15，然后在等腰直角三角形PAC中，利用BC=AC−AB即可求解.
【详解】解：∵∠DPB=α
∴∠PBA=α
∵tanα=3
AP
∴ =3
AB
1 1
∴AB= AP= ×45=15，
3 3
∵∠DPC=45∘
∴∠PCA=45∘
∴△PAC为等腰直角三角形，
∴BC=AC−AB=45−15=30m，
故选：A
7．（2024·甘肃张掖·二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》
中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1． 筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知
圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，
则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
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A．(4−√7)米 B．2米 C．3米 D．(4+√7)米
【答案】A
【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．熟练掌握垂直于弦的直径平分弦，并
1
且平分弦所对的两条弧是解题的关键．连接OC交AB于点D，连接OA，根据垂径定理得到AD= AB，
2
根据勾股定理求出OD，即可得到答案．
【详解】解：连接OC交AB于点D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
1
∴AD= AB=3（米），
2
在Rt△OAD中，
OD=√OA2−AD2=√42−32=√7，
∴CD=OC−OD=4−√7．
故选A．
8．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，R 为待测电阻，R 为可调电阻，R，R ，R 为已知
y x 1 2
电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节R 的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有
x
R R
y = 2 ，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过R 的电阻求得R 的
R R x y
1 x
电阻，现已知R =2Ω，R =8Ω．当R =4Ω时电流表读数为0，那么此时将R 减小3Ω，则R 需要如何
1 2 x y x
变，电流表示数才能为0？
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A．增大12Ω B．增大8Ω C．减小3Ω D．减小1Ω
【答案】A
R R
【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据 y = 2 ，R =2Ω，R =8Ω，R =4Ω，求出R =4Ω，
R R 1 2 x y
1 x
R R
因为将R 减小3Ω，故把R =1Ω代入 y = 2 算出调整后的R =16Ω，即可作答．
y y R R x
1 x
R R
【详解】解：∵ y = 2 ，R =2Ω，R =8Ω，R =4Ω，
R R 1 2 x
1 x
R 8Ω
∴ y = ，
2Ω 4Ω
∴R =4Ω，
y
∵将R 减小3Ω，
y
∴调整后的R =1Ω，
y
∵电流表示数才能为0，
R R
∴ y = 2 ，
R R
1 x
∵R =2Ω，R =8Ω，R =1Ω，
1 2 y
1Ω 8Ω
=
则 ，
2Ω R
x
解得R =16Ω，
x
∴16Ω−4Ω=12Ω，
即R 增大12Ω，
x
故选：A．
9．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，测得C
点的俯角β，则建筑物AB与CD的高度之比为（ ）
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tanα sinα tanβ sinβ
A． B． C． D．
tanα−tanβ sinα−sinβ tanβ−tanα sinβ−sinα
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练
掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
过D点作DE⊥AB于点E，得四边形BCDE是矩形，得出BC=DE，BE=CD，根据平行的性质
∠ADE=∠α，∠ACB=∠β，根据锐角的正切值表示出AB和AE，然后利用AB−AE=BE，即可求解．
【详解】如图，过D点作DE⊥AB于点E，
根据题意可得：AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AED=∠BED=∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC=DE，BE=CD，
∵从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角β，
∴∠ADE=∠α，∠ACB=∠β，
在Rt△ADE中
AE
tanα= ，
DE
∴ AE=tanα⋅DE，
在Rt△ADE中，
AB
tanβ=
BC
∴ AB=tanβ⋅BC，
AB AB tanβ⋅BC tanβ⋅BC tanβ
∴ = = = = ，
CD AB−AE tanβ⋅BC−tanα⋅DE (tanβ−tanα)BC tanβ−tanα
故选：C．
10．（2024·山东临沂·模拟预测）菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性
和实用性，活动角α的取值范围宜为60°≤α≤120°（如图2），亮亮选购了折叠后如图3所示的伸缩衣架，
则其拉伸长度AB的适宜范围最接近（ ）
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A．30≤AB≤45 B．45≤AB≤45√3
C．45≤AB≤30√3 D．30≤AB≤45√3
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形及其计算，解直角三角形的相关计算，解题关键是找准直角三角形进行计算．
由菱形CDEF中，CE⊥DF，DE+EF=30，得DE=15，当∠CDE=α=120°时，得∠ODE=60°，
15
得OE= √3，得CE=15√3，此时拉伸长度AB=45√3；同理当∠CDE=α=60°时，拉伸长度AB=45，
2
即可得到答案．
【详解】解：由菱形CDEF中，
∵ CE⊥DF DE+EF=30
， ，
得DE=15，
当∠CDE=α=120°时，
得∠ODE=60°，
√3 15√3
得OE=DE⋅sin60°=15× = ，
2 2
得CE=2OE=15√3，此时拉伸长度AB=3CE=45√3；
同理当∠CDE=α=60°时，拉伸长度AB=45．
总之，45≤AB≤45√3．
故选：B．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A
的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠点A、B之间的距离为25km，为方便运输货
物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．则修建公路CD长度为
km
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【答案】12
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出
AC2+ BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据△ABC的面积公式可得，
CD⋅AB=AC⋅BC，从而求出CD的长．
【详解】解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，152+202=252，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
1 1
∴S = AB⋅CD= AC⋅BC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 15×20
∴CD= = =12(km)．
AB 25
∴修建的公路CD的长是12km．
故答案为：12．
12．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、
AC上．已知△ABC的边BC长120cm，高AH为40cm，且长方形DEFG的长DG是宽DE的2倍，那么
DE的长度是 cm．
【答案】24
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的
关键．
设AH交DG于点L，由题意得， DG∥EF，∠DEC=90°，AH⊥BC，得出四边形DEHL是矩形，由
AL DG 40−DE 2DE
DG∥EF得到△ADG∽△ABC，继而得到 = ，即 = ，计算即可求解．
AH BC 40 120
【详解】解：设AH交DG于点L，如图，
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∵ DEFG EF △ABC BC D、G
长方形 的边 在 的边 上，顶点 分别在
AB、AC上，
∴DG∥BC，∠DEC=90°，
∵AH⊥BC，
∴AL⊥DG，
∴四边形DEHL是矩形，
∴DE=LH，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
AL DG
∴ = ，
AH BC
∵AH=40cm，BC=120cm，DG=2DE，
∴AL=AH−LH=40−DE，
40−DE 2DE
∴ = ，
40 120
∴DE=24cm，
故答案为：24 ．
13．（2024·湖南长沙·模拟预测）某同学在做“小孔成像”实验时，将一支长为3cm的蜡烛（包括火焰高
度）立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm，此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小
孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系xOy，设
蜡烛火焰顶端A点处坐标为(−6,3)，则A点对应的“像”的点的坐标为 ．
【答案】(2,−1)
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据小孔成像实验可得△AOC∽△BOD，据此求解即可．
【详解】如图所示，A点对应的“像”的点B，则△AOC∽△BOD
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OC AC
∴ = ，
OD BD
∵蜡烛火焰顶端A点处坐标为(−6,3)，刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，
∴AC=3 ，OC=6 ，OD=2，
6 3
∴ = ，解得BD=1，
2 BD
∴A点对应的“像”的点B(2,−1)，
故答案为：(2,−1)．
14．（2025·河南郑州·一模）按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹
角的角度为45°，将这个剪下的角打开，得到的图形是 ．如果剪口线与折痕夹角的角度不为45°，
得到的图形是 ．
【答案】 正方形 菱形
【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，折叠的性质，先画出图形，在根据菱形的判定，正方形
的判定进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：①如图，
由题意得：AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵剪口线与折痕夹角的角度为45°，
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∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：正方形；
②如图，
由题意得：EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
故答案为：菱形．
15．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动
扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜
坡式自动扶梯的坡角∠ACB=16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC= （结果精确到
0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【答案】10.3m/10.3米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根
据含30∘角的直角三角形的性质求出AB，BD，根据正切的定义求出CD，再计算即可．
【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=6m，
∴AB=2AD=12(m)，
∴BD=√122−62=6√3≈10.39(m)，
在Rt△ACD中，∠ACD=16°，AD=6m，
AD 6
∴CD= ≈ ≈20.69(m)，
tan16° 0.29
则BC=CD−BD=20.69−10.39=10.3(m)，
答：改造后的自动扶梯增加的占地长度BC的长约为10.3m.
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16．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向
80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B
处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数
据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】58
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得：AB=30海里，AC⊥CE,然后
在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出BC的长，再在Rt△BCE中，利用锐角
三角函数的定义求出CE的长，从而求DE的长．
【详解】解：由题意得：AB=30（海里），AC⊥CE,
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，CD=80海里，
CD
∴AC= =80（海里）
tan45°
∴BC=AC−AB=80−30=50（海里），
在Rt△BCE中，∠CBE=70°，
∴CE=BC⋅tan70°≈50×2.75=137.5（海里），
∴DE=CE−CD=137.5−80=57.5≈58（海里），
即乙船向正东方向航行了58海里，
故答案为：58
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·陕西西安·一模）小敏想用学过的知识来测量小区楼下花坛中央的雕塑AB的高度．如图所示，
小敏在花坛边缘与雕塑AB在太阳光下的影子交汇处的空地上选择一点C，并在点C处安装了测倾器CD，
测得雕塑的顶端A的仰角为37°，小敏沿BC的方向向后移动，移动2米时恰好到达雕塑顶端A在太阳光下
的影子点F处，小敏站在F处，测得她在太阳光下的影长FG=2.5米．已知测倾器的高度CD=1米，小敏
的身高EF=1.75米，点G、F、C、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于BG，求雕塑的
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高度AB．（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6,cos37°≈08,tan37°≈0.75）
【答案】雕塑的高度为11米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，矩形的判定与性质；过D作DH⊥AB于
H，则四边形BCDH是矩形，有BC=DH，BH=CD=1米；在Rt△ADH中，由正切函数关系得
EF AB
DH=BC=AH÷tan37°；再由△GEF∽△FAB，得 = ，即可求解．
FG FB
【详解】解：如图，过D作DH⊥AB于H，
∵CD⊥BC，AB⊥BC，
∵四边形BCDH是矩形，
∴BC=DH，BH=CD=1米；
AH
在Rt△ADH中，tan∠ADH= ，
DH
∴DH=BC=AH÷tan37°；
而AH=AB−BH=AB−1，
4
即DH=BC= (AB−1)；
3
由题意知，△GEF∽△FAB，
EF AB
∴ = ，
FG FB
1.75 AB AB
= =
即 2.5 2+BC 4 ，
2+ (AB−1)
3
解得：AB=10.5≈11，
答：雕塑的高度为11米．
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18．（2025·陕西·一模）如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在
商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为37°，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为
30°，已知乙的位置A到商场的距离AB=60m，商场的高度BC=24m，BC⊥AB，DE⊥AB，点A、
B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：√3≈1.73，
3 4 3
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 4
【答案】30m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关
键．
DG 3
过点C作CG⊥DE，则四边形BCGE是矩形，根据tan37°= ≈ ，设DG=3x，CG=4x，分别表示
CG 4
相关边BE，DE，AE，代入三角函数值并求解x即可．
【详解】解：过点C作CG⊥DE，
∵BC⊥AB，DE⊥AB，
∴四边形BCGE是矩形，
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∴EG=BC=24m．CG=BE
DG 3
∵∠DCG=37°，tan37°= ≈
CG 4
∴设DG=3x，CG=4x
则BE=4x，DE=24+3x，AE=60−4x．
∵在Rt△AED中∠DAE=30°，
∴AE=√3DE，即60−4x=√3(24+3x)，
解得x≈2，
∴DE=24+3x=24+6=30(m)，
∴此时无人机的高度DE为30m．
19．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原
坡面是矩形ABCD（如图1），AB=4米，AD=2米，斜坡AB的坡角为30°．计划将斜坡AB改造成坡比
为1：2.5的斜坡AE（如图2所示），坡面的宽度AD不变．
(1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度；
(2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？
【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度为(5−2√3)米
(2)改建这条斜坡需要(10−4√3)立方米的混凝土材料
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定
义求解是解题的关键．
1
（1）过A作AH⊥EB交EB的延长线于H，根据直角三角形的性质得到AH= AB=2（米），
2
√3 AH 1
BH= AB=2√3（米），由 = ，得到EH=2.5AH=2.5×2=5（米），于是得到
2 EH 2.5
BE=EH−BE=(2−2√3)米；
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1 1
（2）根据三角形的面积公式得到S = BE⋅AH= ×(5−2√3)×2=(5−2√3)平方米，于是得到结
△ABE 2 2
论．
【详解】（1）解：过A作AH⊥EB交EB的延长线于H，如图所示：
∠ABH=30°，AB=4
∵ 米，
1 √3
∴AH= AB=2（米），BH= AB=2√3（米），
2 2
AH 1
在Rt△AEH中， = ，
EH 2.5
∴EH=2.5AH=2.5×2=5（米），
∴BE=EH−BE=(2−2√3)米，
答：改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度为(5−2√3)米；
1 1
（2）解：∵S = BE⋅AH= ×(5−2√3)×2=(5−2√3)平方米，
△ABE 2 2
∴S ×AD=(5−2√3)×2=(10−4√3)立方米，
△ABE
答：改建这条斜坡需要(10−4√3)立方米的混凝土材料．
20．（2025·广东深圳·一模）项目化学习
项目背景：小明是学校的一名升旗手，他想：如何能在国歌结束时，国旗刚好升至旗杆顶端呢？要解决这
个问题就要知道学校旗杆的高度，为此他邀请同学们一起进行了专题项目研究．
项目主题：测量学校旗杆的高度．
分析探究：旗杆的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直
角三角形硬纸板…确定方案后，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出旗杆的高
度．
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成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
方案一 方案二
测
量
皮尺 标杆，皮尺
工
具
选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之
测 间的地面上直立一根高度适当的标杆，使旗
量 选一名同学直立于旗杆影子的顶端 杆的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好
处，测量该同学的身高和影长及同
方 一时刻旗杆的影长． 在一条直线上，这时测出观测者的脚到旗杆
案 底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的
距离，然后测出标杆的高．
测
量
示
意
图
测 线段AB表示旗杆，这名同学的身高 线段AB表示旗杆，标杆EF=2.6m，观测者
量 CD=1.8m，这名同学的影长 的眼睛到地面的距离CD=1.7m，观测者的
数
DE=1.44m，同一时刻旗杆的影长 脚到旗杆底端的距离DB=16.8m，观测者的
据 BD=10.32m． 脚到标杆底端的距离DF=1.35m．
… …
请同学们继续完善上述成果展示：
任务一：请写出“方案一”中求旗杆高度时所利用的知识 ；（写出一个即可）
任务二：根据“方案二”的测量数据，求出学校旗杆AB的高度；
【答案】任务一：相似三角形的判定与性质；任务二：12.9m
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，利用数形结合思想是解本题的关键．
任务一：结合相似三角形的判定与性质，即可得出答案；
任务二：过点C作CG⊥AB于点G，交EF于点H，根据矩形的性质，得出
CH=DF=1.35m，CG=BD=16.8m，CD=HF=GB=1.7m，再根据线段之间的数量关系，得出
EH=0.9m，再根据相似三角形的判定，得出△CEH∽△CAG，再根据相似三角形的性质，得出
1.35 0.9
= ，解出AG的长，再根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
16.8 AG
【详解】解：任务一：“方案一”中求旗杆高度时所利用的知识是相似三角形的判定与性质，
故答案为：相似三角形的判定与性质；
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任务二：如图，过点C作CG⊥AB于点G，交EF于点H，
则四边形CDBG与四边形是矩形，
∴CH=DF=1.35m，CG=BD=16.8m，CD=HF=GB=1.7m，
∴EH=EF−HF=2.6−1.7=0.9m
由题意得EF∥AB，
∴∠CHE=∠CGA，
∵∠ECH=∠ACG，
∴△CEH∽△CAG，
CH EH
∴ = ，
CG AG
1.35 0.9
∴ = ，
16.8 AG
∴AG=11.2m，
∴AB=AG+BG=11.2+1.7=12.9m，
答：学校旗杆AB的高度为12.9m．
21．（2025·广东广州·一模）综合与实践
[项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘
[项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
[项目素材]
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折
射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u，像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u，像距v和焦距f之间在成实
像时存在着一定的数量关系．
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【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明取物距u=1.5f，然后画出光路图（如图①，其中AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线
AC ∥主光轴（即图中的点斜线），折射光线C A'经过焦点F,A'B'为AB所成的像．根据光路图①可知，
当u=1.5f时，物体经凸透镜折射后成_______（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；
(2)小明取物距u=2f．当u=2f时，v=2f，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三角
形全等的知识解释；
(3)小明取物距u>f，探究一般情况下物距u，像距v和焦距f之间在成实像时存在的数量关系．如图③，
AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线AC ∥主光轴，折射光线C A'经过焦点F',A'B'为AB所成
的像，AB⊥主光轴，A'B'⊥主光轴．焦距OF=OF'=f，物距OB=AC=u，像距OB'=v．求证：
1 1 1
+ = ；
u v f
【答案】(1)放大
(2)解释证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三
角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意证明△ABO∽△A'B'O，△COC'∽△A'B'C'，得到OB'=3f，继而得到A'B'=2AB，即
可得到答案；
（2）证明△AOB≌△A'OB' (ASA)即可得到结论；
u a a u
（3）证明△OA'F'∽△A A'C，得到 = +1，证明△AOB∽△A'OB'得到 = ，即可得到结论．
f b b v
【详解】（1）解：由图①可知，AB∥OC∥A'B'，AB=OC，
∴△ABO∽△A'B'O，△COC'∽△A'B'C'，
A'B' OB' A'B' B'C'
∴ = ， = ，
AB OB CO OC'
A'B' OB' A'B' B'C'
即 = ， = ，
AB 1.5f AB f
OB' B'C'
∴ = ，
1.5f f
∴OB'=1.5B'C'，即OB'=1.5(OB'−f)，
∴OB'=3f，
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A'B' OB' 3f
∴ = = =2，
AB OB 1.5f
∴A'B'=2AB，
∴物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像，
故答案为：放大；
（2）证明：∵u=2f ,v=2f，
∴u=v=2f OB=OB'
，即 ．
∵AB⊥主光轴，A'B'⊥主光轴，
∴∠ABO=∠A'B'O=90°．
在△AOB和△A'OB'中，¿
∴△AOB≌△A'OB' (ASA)，
∴AB=A'B'，
∴物高等于像高，即物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像．
（3）证明：如图，设OA=a,OA'=b．
∵AC与主光轴平行，
∴△OA'F'∽△A A'C，
OF' OA' f a
∴ = ，即 = ，
AC A A' u a+b
u a
整理得： = +1．①
f b
∵AB⊥主光轴，A'B'⊥主光轴，
∴∠ABO=∠A'B'O=90°．
又∵∠AOB=∠A'OB'，
∴△AOB∽△A'OB'，
OA OB a u
∴ = ，即 = ．②
OA' OB' b v
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u u
把②代入①得： = +1，
f v
1 1 1
整理得： + = ．
u v f
22．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，
让无人机飞到点D处，AD与底板BR平行，测得AD=11.6米，此时在点D处又测得坡道AB上的点C的俯
角为26.6°．接着让无人机飞到点E处，DE⊥AD，CE与底板BR平行，测得DE=1.8米．
(1)求坡道AB的坡度；
(2)已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等，无人机从点A飞到点
P处，AP⊥AD，测得AP=16.4米，此时在点P处测得点F的俯角为45°，在不考虑其他因素的前提下，
有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5）
40
【答案】(1)i =1:
AB 9
(2)该货车能进入该地下车库，理由见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、
构造直角三角形是解题的关键．
（1）由题意得：∠DCE=26.6°，∠ADE=∠E=90°，如图：过点C作CI⊥AD于点I，易证四边形
CIDE是矩形，则CE=ID、CI=DE=1.8m；然后在Rt△CDE和Rt△AIC中解直角三角形即可解答；
（2）由题意得：∠PFA=45°，再在Rt△PAF中解直角三角形可得AF=16.4m，如图：过点F作
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FH⊥AB于点H，根据勾股定理和解直角三角形可得FH2+AH2=AF2，设FH=9x，则AH=40x，
2
则(9x) 2+(40x) 2=16.42，解得x= ，进而求得FH，最后与3米比较即可解答．
5
【详解】（1）解：由题意得：∠DCE=26.6°，∠ADE=∠E=90°
如图：过点C作CI⊥AD于点I，
∴∠CID=90°
∴四边形CIDE是矩形．
∴CE=ID，CI=DE=1.8m
在Rt△CDE中，∠E=90°，DE=1.8m
DE
∴tan∠DCE= =0.5 解得：CE=ID=3.6m．
CE
∴AI=8m
在Rt△AIC中，∠AIC=90∘，
IC 1.8 9
∴tan∠CAD= = = ，
AI 8 40
40
∴i =1: ．
AB 9
（2）解：由题意得：∠PFA=45°
PA
在Rt△PAF中，∠PAF=90°，PA=16.4m，tan∠PFA= =1，
AF
∴AF=16.4m，
如图：过点F作FH⊥AB于点H，
FH 9
在Rt△AHF中，∠AHF=90°，tan∠FAH= = ，FH2+AH2=AF2，
AH 40
设FH=9x，则AH=40x，
2
∴(9x) 2+(40x) 2=16.42，解得x=
5
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∴FH=3.6m，
∵3m<3.6m 即该货车能进入该地下车库．
23．（2025·广东佛山·一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是
由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从
点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知∠A=59°，∠C=45°，MP=0.25m，NP=1.35m．（参考数
据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
(1)在图2中，∠ABC=________；
(2)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径AC的长度；
(3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩AM的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩BP的影子顶端恰好
与点N重合，请在图3中画出梅花桩AM，BP的影子并计算出BP的高度；
(4)如图4，保持BP不变，通过调整梅花桩AM的高度，使得AC+AB的值最小，请求出此时AM的高度
（结果精确到0.01m）．
【答案】(1)104°
(2)AC的长度约为2m
(3)见解析，BP的高度约为0.81m
(4)AM的高度约为0.99m
【分析】（1）延长PB至H，根据平行线的性质可得∠ABH=∠A=59°，∠CBH=∠C=45°，即可得
解；
（2）过点B作直线EF∥MN，分别交AM，CN于点E，F，过点A作直线AD∥MN，交CN于点D，连
接AC，则四边形AMND，四边形AEFD，四边形EMPB，四边形BPNF均是矩形，由矩形的性质可得
EB=MP=0.25m，BF=NP=1.35m，DF=AE，再解直角三角形结合勾股定理计算即可得解；
（3）线段MP，PB为梅花桩AM的影子，线段PN为梅花桩BP的影子．再利用相似三角形的性质求解即
可；
（4）作点B关于AM的对称点B'，连接B'C交AM于A'，连接A'B，A'C，则
A'B+A'C=A'B'+A'C=B'C，则B'C就是AC+AB的最小值，由（2）得CH=1.35m，由轴对称得
B'G=BG=0.25m，再利用相似三角形的性质计算即可得解．
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【详解】（1）解：如图：延长PB至H，
由题意可得：AM∥PH∥CN，
∴∠ABH=∠A=59°，∠CBH=∠C=45°，
∴∠ABC=∠ABH+∠CBH=104°；
（2）解：如图，过点B作直线EF∥MN，分别交AM，CN于点E，F，过点A作直线AD∥MN，交CN
于点D，连接AC．
由题意得∠EMN=∠FNM=∠MAD=∠ADN=∠MEF=∠NFE=∠BPM=∠BPN=90°，
∴四边形AMND，四边形AEFD，四边形EMPB，四边形BPNF均是矩形，
∴EB=MP=0.25m，BF=NP=1.35m，DF=AE，
∴AD=EF=1.6m．
∵∠EAB=59°，∠BCF=45°，
∴∠EBA=90°−59°=31°，∠CBF=90°−45°=45°=∠BCF，
∴AE=EB⋅tan31°≈0.15m，CF=BF=1.35m，
∴CD=CF−DF=CF−AE=1.2m，
∵在Rt△ACD中，AD=1.6m，CD=1.2m，
∴AC=√AD2+CD2=2m．
即“采青”路径AC的长度约为2m．
（3）解：如图，线段MP，PB为梅花桩AM的影子，线段PN为梅花桩BP的影子．
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∵∠BPN=∠AMN=90°，∠BNP=∠ANM，
∴△BNP∽△ANM，
BP PN
∴ = ．
AM MN
由（1）得AM≈0.15+BP，
BP 1.35
∴ = ，
0.15+BP 1.6
解得BP=0.81m．
经检验BP=0.81且符合题意，所以BP的高度约为0.81米．
（4）解：如图，作点B关于AM的对称点B'，连接B'C交AM于A'，连接B'B并延长交CN于H，连接
A'B，A'C，
∴A'B+A'C=A'B'+A'C=B'C，则B'C就是AC+AB的最小值，
由对称性质可知：B'B⊥AM，
同理（2）得CH=1.35m，
由轴对称得B'G=BG=0.25m，
∴B'H=1.85m．
∵A'G∥CH
∴△A'B'G'∽△CB'H，
A'G B'G
∴ = ．
CH B'H
A'G 0.25
即 = ，
1.35 1.85
解得A'G≈0.18m，
∴A'M=0.18+GM=0.18+BP=0.99m，
∴此时AM的高度约为0.99m．
【点睛】本题考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练
掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
24．（2025·陕西西安·一模）问题探索：
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（1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，连接CE、DF，且CE⊥DF于点G，若
AB DF
=2，则 = ______；
AD CE
问题解决：
（2）如图2，小明家原有一块四边形菜地，其中AB∥CD，DA⊥AB，AD=20米，CD=10米，
CB=10√5米，后经土地资源再分配调整为五边形AEFCD，经测量BE=10米，FE⊥BE，现需过点F
修建一条小路将五边形AEFCD分割成两个区域进行不同的蔬菜种植，设计时满足点P在边AD上，FP与
CB所夹锐角为45°，求需修小路PF的长（小路宽度忽略不计）．
【答案】（1）2（2）10√10米
【分析】（1）由相似三角形的判定方法得△CDF∽△BCE，由相似三角形的性质即可求解；
（2）过B作BS∥PF交AD于S，过C作CH⊥BF交AB于H，交BS于Q，过Q作MN⊥AB交CD于M，
交AB于N，过C作CK⊥AB交AB于K，由AAS判定△QCM≌△BQN，由全等三角形的性质得
CM=QN，由勾股定理得 (20−CM) 2+CM2=CQ2，求出CM=5， 由（1）同理可证△QMC∽△FTP，
由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF=∠B=90°，
AD=BC，
AB=CD，
∴∠DCE+∠BCE=90°，
AB
∵ CE⊥DF， =2，
AD
∴∠CDF+∠DCE=90°，
CD
=2，
BC
∴∠CDF=∠BCE，
∴ △CDF∽△BCE，
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DF CD
∴ = =2，
CE BC
故答案为：2；
（2）解：过B作BS∥PF交AD于S，过C作CH⊥BF交AB于H，交BS于Q，过Q作MN⊥AB交CD
于M，交AB于N，过C作CK⊥AB交AB于K，
∴∠QMC=∠BNQ=∠BQC=90°
，
CQ⊥PF，
MN=CK=AD=20，
AK=CD=10，
FT=AE，
∴∠CQM+∠QCM=90°，
∠CQM+∠BQN=90°，
BK=√BC2−CK2
=√(10√5) 2+202
=10，
∴∠QCM=∠BQN，
FT=AE
=AK+BK+BE
=30，
∵ FP与CB所夹锐角为45°，
∴∠QBC=∠PGC=45°，
∴QB=CQ，
∵QB2+CQ2=BC2，
∴QB=CQ
10√5
= =5√10，
√2
在△QCM和△BQN中
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¿
∴ △QCM≌△BQN（AAS），
∴CM=QN，
∴QM=MN−QN
=MN−CM，
=20−CM，
∵QM2+CM2=CQ2，
∴(20−CM) 2+CM2=CQ2，
解得：CM=5，
∴QM=15，
由（1）同理可证：△QMC∽△FTP，
CQ QM
∴ = ，
PF FT
5√10 15
∴ = ，
PF 30
解得∶PF=10√10；
故需修小路PF的长10√10米．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰
三角形的判定及性质等；掌握矩形中“十字架”的典型解法，矩形的性质，能构建全等三角形及相似三角
形，同时能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
25．（24-25九年级上·山东·期末）《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游
环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方
案：
改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图，预计挖空后平
时水面宽20m，拱顶离水面5m．据推算，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，
灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m； 为了美观，要求在
符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长．
问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高
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2.2m，船体宽9m需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．（注：√6≈2.45）
问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图4中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的
坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
1
【答案】（1）12.5m（2）能顺利通过（3）该抛物线的函数表达式为y=− x2 （4）见解析
20
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式
的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键．
问题1：设圆的圆心为点C，OC,AB相交于点D，得出OD=5m,AB=20m,AB⊥OD，则
1
AD= AB=10m，设该圆的半径为r，则AC=OC=r,CD=r−5，根据勾股定理列出方程求解即可；
2
问题2：先求出该货船顶端与圆心距离CH=11.5，根据勾股定理可得：EH=√CE2−CH2=2√6，则
EF=2EH=4√6>9，即可解答．
问题3：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则A(−10,−5),B(10,−5)，设该抛物线的表达
式为y=ax2，把A(−10,−5)代入求出a的值，即可得出函数表达式；
问题4：根据该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长
40cm=0.4m，得出悬挂点的纵坐标y≥−1.8，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为−6≤x≤6，根据相邻
两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m， 即可解答；
【详解】解：问题1：设圆的圆心为点C，OC,AB相交于点D，
由题意可得：OD=5m,AB=20m,AB⊥OD，
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1
∴AD= AB=10m，
2
设该圆的半径为r，则AC=OC=r,CD=r−5，
根据勾股定理可得：AD2+CD2=AC2，
则102+(r−5) 2=r2，
解得：r=12.5m；
问题2：由问题1可知，CD=12.5−5=7.5，
当河段水位涨1.8m达到最高时，CD'=CD+1.8=7.5+1.8=9.3，
∵货船漏出水面高2.2米，
∴该货船顶端与圆心距离CH=2.2+9.3=11.5，
根据勾股定理可得：EH=√CE2−CH2=2√6，
∴EF=2EH=4√6>9，
∴船体在圆弧的拱顶正下方能顺利通过．
问题3：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示：
根据题意可得：A(−10,−5),B(10,−5)，
设该抛物线的表达式为y=ax2，
把A(−10,−5)代入得：−5=100a，
1
解得：a=− ，
20
1
∴该抛物线的函数表达式为y=− x2 ；
20
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问题4：∵该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长40cm=0.4m，
∴悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，
即悬挂点的纵坐标最小为−1.8，
1
把y=−1.8代入y=− x2 得：
20
1
−1.8=− x2 ，
20
解得：x=±6，
0∴悬挂点的横坐标取值范围为−6≤x≤6；
方案一：从顶点处开始悬挂，
∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，[6−(−6)]÷1.6=7.5，
∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，
7−1
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为 ×(−1.6)=−4.8；
2
方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，
(6−0.8)÷1.6=3.25，
∴可以挂3×(3+1)=8（盏），
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为−0.8−3×1.6=−5.6.
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