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第 12、13 讲 二次函数专项突破
（限时120分钟，满分120分）
一、解答题（共12小题，每题10分，满分120分）
1．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 和点
xOy F :y=x2+bx+c A(−3,0)
1
B(1,0)．
(1)求抛物线F 的解析式；
1
(2)作抛物线F ，使它与抛物线F 关于原点O成中心对称，在抛物线F 上是否存在一点P，使△ABP面积
2 1 2
为8，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
2．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的L形框ABCDEF，其中点A(1,2)，
B(3,2)，C(3,4)，D(2,4)，E(2,3)，F(1,3)，抛物线G；y=−x2+bx+c与x轴交于点P，Q．
(1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值；
(2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求PQ长的取值范围；
(3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c
的值．
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3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知抛物线 与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴
y=ax2+bx+c(a>0)
负半轴交于点C，坐标原点为O，若OB=OC=3OA，S =6，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右
△ABC
侧）．(1)求抛物线的解析式；
(2)D是线段OC的中点，①当∠OPC=45°时，请求出点P的坐标；②当∠OPC=∠OAD时，请求出点
P的坐标．
4．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线L:y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，与y轴交于点
C，对称轴为直线x=1．(1)求抛物线L的表达式；
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(2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线L'，使其经过原点．若在第二象限的抛物线L'上存在点P，
使△PAC为等腰直角三角形，请求出抛物线L'的表达式．
5．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线 ，与 轴交于 ， 两点
L:y=ax2+bx+c(a>0) x A B
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，点A(−1,0)．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)若抛物线L的顶点为D，抛物线的对称轴交直线BC于点E，点P为直线DE
右侧抛物线上一点，点Q在直线BC上，是否存在以点D，E，P，Q为顶点的
四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
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6．（2025·湖北·一模）如图抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)和B(4,0)两点，与y轴交于点C，
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P
作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l．
①请直接写出l关于t的函数关系式；
②求l的最值；
3
(3)将抛物线y=ax2+bx−2向上平移 个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度，若新抛物线的顶点
2
G在△ABC内（不含边界），直接写出m的取值范围．
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7．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线经过点
y=ax2+bx+c(a≠0) x=1
A(−1,0)和C(0,−3)两点，且抛物线与x轴交另一点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过PC的平行线交y轴
与点M，若△PCM是以MC为底的等腰三角形，求点P的坐
标；
(3)在抛物线上是否存在一点Q，使得△CAQ中有一个角是
∠OBC的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由．
8．（2025·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−6的顶点坐标为
(2,−8)．
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(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点E为线段BC上一点，过点E作EM∥y轴，交x轴于点M，连接AE，交y轴于点D，当AE
平分∠CEM时，求直线AE的解析式；
(3)如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF分别与y轴、直线BC交于点D，E．若
△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S ，S ，S ，且满足S +S =2S ，求点F的坐标．
1 2 3 1 3 2
9．（2025·山东济南·一模）如图1，已知抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点
y =x2+bx+c
1
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C(0,−3)，其对称轴为直线l :x=1，顶点为D，将抛物线y 绕点O旋转180°后得到新抛物线y ，抛物线
1 1 2
y 与y轴交于点E，对称轴为直线l ,y 与x轴在对称轴左侧的交点为F．
2 2 2
(1)试求抛物线y 和抛物线y 的解析式；
1 2
(2)在图1中，点P的坐标为(5,0)，动点M在直线l 上，过点M作MN∥x轴与直线l 交于点N，连接
1 2
PM,EN，求PM+MN+EN的最小值；
(3)如图2，将直线DF沿y轴平移，交y轴于点Q，当点Q在线段CE上运动（包括端点），△QDF的面积
为正整数时，恰好直线DF与抛物线y 或抛物线y 交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐
1 2
标为 ．
10．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知抛物线 的顶点坐标为
y=ax2+bx+c(a≠0)
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Q(2,−1)，且与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一
动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)若点D的横坐标为2，求△ABD的周长；
(3)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．
11．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线C ：y=−x2−2x+k与抛物线C 关于原点对称，C 和C 的顶点
1 2 1 2
分别是E．
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(1)若k=3，直接写出抛物线C 的解析式： ；
2
(2)如图1，若k<0，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交C 于A点，交C 于B点，求AB的最小
1 2
长度（用含k的式子表示）．
(3)如图2，若两条抛物线C 和C 相交于G，H，当四边形EGFH是矩形时，求k的值．
1 2
1
12．（2025·重庆·模拟预测）如图1，抛物线y=− x2+bx+4经过点A(1,3)，与y轴交于点C，经过点C
3
的直线与抛物线交于另一个点E(−6,m)，点M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
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(1)求抛物线与直线CE的解析式；
(2)如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，求P的坐标以及
△PCE的面积的最大值；
(3)如图3，将点D向左平移1个单位长度得到点N.将抛物线沿射线NA平移得到新抛物线y'，y'经过点N，
射线NA与新抛物线交于点R，连接MR，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使∠MRH=∠ANO？若
存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
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