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专题 03 导数及其应用（选填题）（理科专用）
31 1 1
1．【2022年全国甲卷】已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则（ ）
32 4 4
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】
c 1
由 =4tan 结合三角函数的性质可得c>b；构造函数
b 4
1
f(x)=cosx+ x2−1,x∈(0,+∞)，利用导数可得b>a，即可得解.
2
【详解】
c 1 π
因为 =4tan ,因为当x∈(0, ),sinx ,即 >1,所以c>b；
4 4 b
1
设f(x)=cosx+ x2−1,x∈(0,+∞)，
2
f' (x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
(1) 1 31
则f >f(0)=0,所以cos − >0，
4 4 32
所以b>a,所以c>b>a，
故选：A
1
2．【2022年新高考1卷】设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ）
9
A．a−1)，因为f' (x)= −1=− ，
1+x 1+x
当x∈(−1,0)时，f' (x)>0，当x∈(0,+∞)时f' (x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，
1 10 1 1 10
所以f( )ln =−ln0.9，即b>c，
9 9 9 9 9
1 9 1 9 − 1 1 1 1
所以f(− )0，函数ℎ(x)=ex (x2−1)+1单调递增，
又ℎ(0)=0，
所以当00，函数g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以a>c
故选：C.
3．【2021年新高考1卷】若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图
形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可
以作出两条切线.
【详解】
在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 .故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增
长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直
观解决问题的有效方法.
4．【2020年新课标1卷理科】函数 的图像在点 处的切线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，
化简即可.
【详解】， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
5．【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为
（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6．【2019年新课标3卷理科】已知曲线 在点 处的切线方程为
，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
【详解】
详解：
，
将 代入 得 ，故选D．
【点睛】
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
7．【2018年新课标1卷理科】设函数 ．若 为奇函数，则曲
线 在点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出
切线的斜率 ，进而求得切线方程.
详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简可得 ，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的
过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，
偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数
的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
8．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=x3−x+1，则（ ）
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用极值点的定义可判断A，结合f(x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利
用导数的几何意义判断D.
【详解】
√3 √3
由题，f'(x)=3x2−1，令f'(x)>0得x> 或x<− ，
3 3
√3 √3
令f' (x)<0得− 0，f( )=1− >0，f (−2)=−5<0，
3 9 3 9
( √3)
所以，函数f (x)在 −∞,− 上有一个零点，
3√3 (√3) (√3 )
当x≥ 时，f (x)≥f >0，即函数f (x)在 ,+∞ 上无零点，
3 3 3
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R，ℎ(−x)=(−x) 3−(−x)=−x3+x=−ℎ(x)，
则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，
将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；
令f'(x)=3x2−1=2，可得x=±1，又f(1)=f (−1)=1，
当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，
故D错误.
故选：AC.
9．【2022年全国乙卷】已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的
1 2
极小值点和极大值点．若x 0，再分a>1和00，
1 2 1 2
若a>1时，当x<0时，2lna⋅ax>0,2ex<0，则此时f'(x)>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若00,解得a<−4或a>0,
∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞),故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)
11．【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
1 1
【答案】 y= x y=− x
e e
【解析】
【分析】
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x ,lnx )，求出函数的导函数，即可求出切线
0 0
的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x ，即可求出切线方程，当
0
x<0时同理可得；
【详解】
解： 因为y=ln|x|，
1 1
当x>0时y=lnx，设切点为(x ,lnx )，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y−lnx = (x−x )，
0 x 0
0
1 1
又切线过坐标原点，所以−lnx = (−x )，解得x =e，所以切线方程为y−1= (x−e)，
0 x 0 0 e
0
1
即y= x；
e
1 1
当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x ,ln(−x ))，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方
1 1 x x=x 1 x
1
1
程为y−ln(−x )= (x−x )，
1 x 1
1
1
又切线过坐标原点，所以−ln(−x )= (−x )，解得x =−e，所以切线方程为
1 x 1 1
1
1 1
y−1= (x+e)，即y=− x；
−e e
1 1
故答案为：y= x；y=− x
e e
12．【2021年甲卷理科】曲线 在点 处的切线方程为__________．【答案】
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
13．【2021年新高考2卷】已知函数 ，函数 的图象在点
和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则
取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得
， ，化简即可得解.
【详解】
由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得
解.
14．【2019年新课标1卷理科】曲线 在点 处的切线方程为___________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求
得切线方程
【详解】
详解：
所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【点睛】
准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．
求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．【2018年新课标1卷理科】已知函数 ，则 的最小值是
_____________．
【答案】
【解析】
【详解】
分析：首先对函数进行求导，化简求得 ，从而确定出函数的
单调区间，减区间为 ，增区间为 ，确
定出函数的最小值点，从而求得 代入求得函数的最小值.
详解： ，所以当
时函数单调减，当 时函数单调增，从而得到函数的减区间为
，函数的增区间为 ，所以当
时，函数 取得最小值，此时 ，所以
√3 √3 3√3
f (x) =2×(− )− =− ，故答案是 .
min 2 2 2
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相
关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函
数的最小值.
16．【2018年新课标2卷理科】曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】
【点睛】
求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，
点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
17．【2018年新课标3卷理科】曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】
求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】
解：
则
所以
故答案为-3.
【点睛】
本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．
