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→➌题型突破←→➍专题精练←
题型一 实数的有关概念
1．（2023·四川达州·统考中考真题） 的倒数是（ ）
A． B．2023 C． D．
【答案】C
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（2022·湖南邵阳）－2022的绝对值是（ ）
A． B． C．－2022 D．2022
【答案】D
【分析】直接利用绝对值定义判断即可．
【详解】解：-2022的绝对值是2022，故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，明确负数的绝对值等于它的相反数是解题关键．
3．（2023·重庆·统考中考真题）8的相反数是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8的相反数是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
4．（2023年安徽省滁州市南片五校中考二模数学试卷） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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【分析】根据倒数的概念，乘积为 的两个数互为倒数，由此即可求解．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查求一个数的倒数，掌握倒数的概念是解题的关键．
5．（2022·安徽）下列为负数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据正负数的意义分析即可；
【详解】解：A、 =2是正数，故该选项不符合题意；
B、 是正数，故该选项不符合题意；C、0不是负数，故该选项不符合题意；
D、-5＜0是负数，故该选项符合题意．故选D.
【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键．
6．（2020·河北中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ )
A．2和-2 B．-2和 C．－2和 D． 和2
【答案】A
分析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数．
【解析】解：A、2和-2只有符号不同，它们是互为相反数，选项正确；
B、-2和 除了符号不同以外，它们的绝对值也不相同，所以它们不是互为相反数，选项错误；
C、-2和- 符号相同，它们不是互为相反数，选项错误；
D、 和2符号相同，它们不是互为相反数，选项错误．故选A．
7．（2020·江苏仪征·初三一模）一个数的相反数是－2020，则这个数是( )
A．2020B．－2020 C． D．
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【答案】A
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解析】解：∵一个数的相反数是﹣2020，∴这个数是：2020．故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
8．（2020·辽宁鞍山·中考真题） 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可．
【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，故 ．故选：A．
【点睛】本题考查绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个
负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
9．（2020·福建南安·初三其他）下列各数中，为负数的是（ ）
A．﹣（﹣3） B．|﹣3| C． D．﹣3
【答案】D
【分析】先把各数进行化简，再根据负数的定义即可得出结论
【解析】A、﹣（﹣3）＝3是正数，故选项不符合题意；B、|﹣3|＝3是正数，故选项不符合题意；
C、 是正数，故选项不符合题意；D、﹣3是负数，故选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了负数的定义、相反数和绝对值的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键
10．（2020·重庆第二外国语学校初三其他）下列命题正确的是（ ）
A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数
C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数
【答案】C
【分析】根据绝对值和相反数的概念分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用
排除法得出答案．
【解析】解：A、绝对值等于本身的数是非负数，原命题是假命题；
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B、绝对值等于相反数的数是非正数，原命题是假命题；C、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题；
D、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原命题是假命题；故选：C．
【点睛】此题借助绝对值和相反数的概念考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．
任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只
需举出一个反例即可．
11．（2020·黑龙江绥化·中考真题）化简 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【解析】解： ；故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
12．（2020·江苏常州·中考真题）8的立方根是（ ）
A．2 B．±2 C．±2 D．2
【答案】D
【解析】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D．
【点睛】本题考查立方根．
13．（2020·湖南怀化·中考真题）下列数中，是无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据无理数的三种形式求解即可．
【解析】解：-3，0， 是有理数， 是无理数．故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无
限不循环小数，③含有π的数．
14．（2022·湖南湘潭）如图，点 、 表示的实数互为相反数，则点 表示的实数是（ ）
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A．2 B．－2 C． D．
【答案】A
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【详解】解：因为数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是-2，
所以点B表示的数是2，故选：A．
【点睛】此题考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，解题的关键是利用数形结合思想解答．
题型二 实数的分类
15．（2020·南昌市第一中学初一期中）有下列四个论断：①﹣ 是有理数；② 是分数；
③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据无理数的概念即可判定选择项．
【解析】解：①﹣ 是有理数，正确；② 是无理数，故错误；
③2.131131113…是无理数，正确；④π是无理数，正确；正确的有3个．故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
题型三 无理数的估算
16．（2020•台州中考真题）无理数√10在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】由√9＜√10＜√16可以得到答案．
【解析】∵3＜√10＜4，故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出小数部分是解题关键．
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17．（2020•达州中考真题）下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）
10
A．3.14 B． C．√12 D．√17
3
【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．
10
【解析】3=√9，4=√16，A、3.14是有理数，故不合题意；B、 是有理数，故不符合题意；
3
C、√12是比3大比4小的无理数，故符合题意；D、√17比4大的无理数，故不合题意；故选：C．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出小数部分是解题关键．
18．（2022·浙江舟山）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】C
【分析】根据无理数的估算方法估算即可．
【详解】∵ ∴ 故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算能力，要求掌握无理数的基本估算技能，灵活应用．“夹逼法”是
估算的一般方法，也是常用方法．
19.（2020•福州中考模拟）若a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先把√28−√7化简，再估算√7的范围即可．
【答案】解：√28−√7=2√7−√7=√7，
∵22＜7＜32，∴2＜√7＜3，∵a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，∴a＝2．故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算√7的范围是解答本题的关键．
20．（2022·四川泸州）与 最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜ ＜4，
∴5.5＜2+ ＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
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21.（2022·重庆）估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】先化简 ，利用 ，从而判定即可．
【详解】 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．
22．（2022·江苏宿迁）满足 的最大整数 是_______．
【答案】3
【分析】先判断 从而可得答案．
【详解】解：
满足 的最大整数 是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
题型四 实数与数轴
23．（2021·四川南充市·中考真题）数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等且 ，可得 和 互为相反数，由此即可
求得m的值．
【详解】∵数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等， ，
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∴ 和 互为相反数，
∴ + =0，
解得m=-1．
故选D．
【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出 和 互为相反数是解决问题的关键．
24．（2022·江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可．
【详解】ABC.根据数轴上点a、b的位置可知， ， ，∴ ，故AB错误，C正确；
根据数轴上点a、b的位置可知， ，故D错误．故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键．
25．（2019·青州市邵庄初级中学月考） ， 在数轴上位置如图所示，则 ， ， ， 的大小顺序是
( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】从数轴上a b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，根据以上结论即可
得出答案．
【解析】从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a |，∴-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，
即b＜-a＜a＜-b，故选D．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，关键是能根据a、b的值得出结论-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b
＞a，题目比较好，是一道比较容易出错的题目．
26．（2019·福建中考真题）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2, 点C是线段AB的中点，
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则点C所表示的数是_______.
【答案】－1
【分析】根据A、B两点所表示的数分别为−4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可．
【解析】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是−4和2，
∴线段AB的中点所表示的数＝ （−4＋2）＝−1．即点C所表示的数是−1．故答案为−1
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
27．（2020·江西抚州·初一期末）定义 ，则
_______________________________．
【答案】-2
【分析】根据新定义运算即可求解．
【解析】 =23-32=-1∴ -1-1=-2故答案为-2．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知新定义运算法则．
题型五 实数的大小比较
28．（2020·四川大竹·初三期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个
数是（ ）
①a+b＜0；②b﹣a＞0；③ ；④3a﹣b＞0；⑤﹣a﹣b＞0．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．
从图中可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数的运算法则判断即可．
【解析】根据数轴上a，b两点的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
①根据有理数的加法法则，可知a+b＜0，故正确；②∵b＜a，∴b-a＜0，故错误；③∵|a|＜|b|，∴
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∵ <0, ， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小∴ ，故正确；
④3a﹣b=3a+（- b）∵3a>0,-b>0∴3a﹣b>0，故正确；
⑤∵﹣a>b∴- a﹣b>0.故①③④⑤正确，选C.
【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左边的点表示的数
总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小.
29．（2019·广东中考真题）实数 、 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的取值范围，再逐一验证即可求解．
【解析】由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0|b|，故B选项错误；a+b<0，故C选项错误； ，故D选项正确，故选D.
【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较、实数的运算等，根据数轴的特点判断两个数的取值范
围是解题的关键.
30．（2021·四川中考真题）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数的估算进行大小比较．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
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∴
故选：C．
31．（2020·湖北荆州·中考真题）若 ，则a，b，c的大小关系是
_______．（用<号连接）
【答案】
【分析】分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，再比较大小即可．
【解析】解： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，绝对值的运算，有理数的大小比较，掌握以上知识是解题
的关键．
题型六 非负性的运用
32．（2020·福建南平·初三二模）若m、n满足 ，则 的值等于（ ）.
A．-1 B．1 C．-2 D．
【答案】B
【解析】 ≥0， ≥0， ，所以 =0， =0，可以得到
m=-1,n=2, =1,故选B.
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．
33．（2020·云南峨山·初二期末）△ABC的三边的长a、b、c满足： ，则
△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 的关
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系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解析】∵ 又∵ ∴ ∴
∴ ∴△ABC为直角三角形故选：D．
【点睛】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、
绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．
34．（2020·黑龙江大庆·中考真题）若 ，则 的值为（ ）
A．－5 B．5 C．1 D．－1
【答案】A
【分析】根据绝对值和平方的非负性可求出x，y的值，代入计算即可；
【解析】∵ ，∴ ， ，∴ ， ，
∴ ．故答案选A．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．
35．（2020·四川雅安·中考真题）已知 ，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．
【解析】解：∵ ，∴a-2=0，b-2a=0，
解得：a=2，b=4，故a+2b=10．故选：D．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
36．（2021·重庆中考真题）计算： _______．
【答案】2．
【分析】分别根据绝对值的性质、0指数幂的运算法则计算出各数，再进行计算即可．
【详解】解： ，
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故答案是：2．
【点睛】本题考查的是绝对值的性质、0指数幂，熟悉相关运算法则是解答此题的关键．
37．（2022·四川泸州）若 ，则 ________．
【答案】
【分析】由 可得 ， ，进而可求出 和 的值.
【详解】∵ ，∴ ， ，∴ =2， ，
∴ .故答案为-6.
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限
个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.
38．（2021·云南中考真题）已知a，b都是实数，若 则 _______．
【答案】-3
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，a+1=0，b-2=0，
解得a=-1，b=2，
所以，a-b=-1-2=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
39．（2021·四川遂宁市·中考真题）若 ，则 _____．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后计算即可求解．
【详解】解：根据题意得， a−2=0，a+b=0，
解得a=2，b=-2，
∴ ．
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了两个非负数之和为零的性质，绝对值与算术平方根的非负性，负整数指数幂的运算，
掌握以上知识是解题的关键．
题型七 近似数和科学记数法
40．（2021·甘肃武威市·中考真题）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年
3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到
50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合科学计数法的表示方法即可求解．
【详解】解：50亿即5000000000，故用科学计数法表示为 ，
故答案是：B．
【点睛】本题考察科学计数法的表示方法，难度不大，属于基础题。解题关键即掌握科学计数法的表示方
法，科学计数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数．此外熟记常用的数量单位，如万即是
，亿即是 等．
41．（2020·浙江嘉兴·中考真题）2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为
36000000m．数36000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.36×108 B．36×107 C．3.6×108 D．3.6×107
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解析】解：36 000 000＝3.6×107，故答案选：D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，关键是确定a的值和n的值．
42．（2021·江苏连云港市·中考真题）2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全
省最新人口数据，其中连云港市的常住人口约为4600000人．把“4600000”用科学记数法表示为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公式 （ n为正整数）表示出来即可．
【详解】解：4600000=
故选：C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，关键是根据公式 （ n为正整数）将所给数据表示
出来．
43．（2019·四川中考真题）用四舍五入法将 精确到千位，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可．
【解析】解：130542精确到千位是1.31×105．故选：C．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数
字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保
留几个有效数字等说法．
44．（2020·福建中考真题）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷
新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基
准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为 米，根据题意，“海
斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为_________米．
【答案】
【分析】海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案．
【解析】解：∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为 米，
∴“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，可记为-10907，故答案为：-10907．
【点睛】本题考查了正数，负数的意义及其应用，解题的关键是掌握正数、负数的意义．
45．（2020·浙江温州·中考真题）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽
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钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示 可得出答案．
【解析】根据科学记数法的知识可得:1700000= ．故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示，主要是要对小数点的位置要清楚．
46．（2020·湖北荆门·中考真题）据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表
达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，
共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】82.6亿＝ ．故选：B．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
47．（2021·四川泸州市·中考真题）第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4 254 000人，将4
254 000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将4254000用科学记数法表示是4.254×106．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
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48．（2021·浙江温州市·中考真题）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超
218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，n为整数，据此判断即可．
【详解】解： ，
故选：C．
49．（2021·浙江绍兴市·中考真题）第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5 270 000人，
这个数字5270 000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将5270 000用科学记数法表示为：5.27×106．
故选：B．
50．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的
“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火
星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵5亿=500000000，
∴5亿用科学记数法表示为：5×108．
故选：B．
51．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表
面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：55000000=5.5×107．
故选：B．
52．（2021·安徽中考真题）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人
参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为（ ）
A．89.9×106 B．8.99×107 C．8.99×108 D．0.899×109
【答案】B
【分析】将8990万还原为89900000后，直接利用科学记数法的定义即可求解．
【详解】解：8990万=89900000= ，
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义及其应用，解决本题的关键是牢记其概念和公式，本题易错点是含
有单位“万”，学生在转化时容易出现错误．
题型八 二次根式的概念与性质
53．（2023·湖南·统考中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立
的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得 ，
，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题
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的关键．
54．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题） 的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【分析】求出81的算术平方根，找出结果的平方根即可．
【详解】解：∵ =9，
∴ 的平方根是±3．
故选：A．
【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
55．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．
【详解】
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项正确，符合题意；
和 不是同类二次根式不能合并，故C选项错误，不符合题意；
不能化简，故D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根．掌握各知识点和运算法则是解答本题的关键．
56．（2021·浙江杭州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【分析】
由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解： ，故A正确，C错误；
，故B、D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
57．（2021·上海中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可
【详解】
解：
A、 ∵ 是无理数，故 是无理数
B、 ∵ 是无理数，故 是无理数
C、 为有理数
D、 ∵ 是无理数，故 是无理数
故选：C
【点睛】
本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键
58.（2021·甘肃武威市·中考真题）下列运算正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．
【详解】
，故A错；
，故B错；
，C正确；
，故D错．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键．
59．（2021·重庆中考真题）计算 的结果是（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；
【详解】
解：
，
故选：B．
【点睛】
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本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
60．（2021·浙江丽水市·中考真题）要使式子 有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一， ）
【分析】
根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】
解：∵式子 有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一， ．
【点睛】
本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
61．（2021·湖南衡阳市·中考真题）要使二次根式 有意义，则 的取值范围是________．
【答案】x≥3
【分析】
根据二次根式被开方数为非负数进行求解．
【详解】
由题意知， ，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
62．（2021·浙江金华市·中考真题）二次根式 中，x的取值范围是___．
【答案】 ．
【详解】
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根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 ．
63．（2021·四川广安市·中考真题）在函数 中，自变量x的取值范围是___．
【答案】
【详解】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非
负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 ．
64．（2022·湖北武汉）计算 的结果是_________．
【答案】2
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解： ．故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意： ．
65．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知 ，则代数式 ______．
【答案】0
【分析】
把 直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值．
【详解】
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．
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66．（2022·湖北荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是______．
【答案】2
【分析】先由 得到 ，进而得出a和b，代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， ．
∴ ，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数
整数和小数部分的求解方法．
题型九 实数的运算
67．（2023·河北·统考中考真题）若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】把 代入计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
68．（2023·山东聊城·统考中考真题）计算： ______．
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【答案】3
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
【详解】解：
.
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
69．（2018·云南·中央民族大学附属中学昆明五华实验学校校考一模）计算: ______
【答案】
【详解】试题解析： .
故答案为： .
70．（2021春·广西南宁·八年级统考期中）计算（ + ）（ ﹣ ）的结果为__________．
【答案】
【分析】此题用平方差公式计算即可.
【详解】
故答案为： .
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71．（2023·天津·统考中考真题）计算 的结果为________．
【答案】1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1.
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
72．（2021·安徽中考真题）计算： ______．
【答案】3
【分析】先算算术平方根以及零指数幂，再算加法，即可．
【详解】解： ，
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根以及零指数幂是解题的关键．
73．（2021·重庆中考真题）计算： __________．
【答案】2
【分析】根据算数平方根的定义和零指数幂的性质进行计算即可．
【详解】解： ；
故答案为：2
【点睛】本题考查了算数平方根和零指数幂，熟练掌握性质是解题的关键．
74．（2023·浙江金华·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是
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注意各部分的运算法则，细心计算．
75．（2023·四川自贡·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】先化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方，再进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方是解题的关键．
76．（2023·四川泸州·统考中考真题）计算： ．
【答案】3
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊
角的三角函数值，准确计算．
77．（2023·浙江·统考中考真题）计算： ．
【答案】2
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的意义分别化简，再利用有理数的加
减运算法则计算得出答案．
【详解】原式 ．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，绝对值的意义，掌握这些知识并正确
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计算是解题关键．
78．（2023·四川广安·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
79．（2023·江苏连云港·统考中考真题）计算 ．
【答案】3
【分析】根据化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂是解题的关键．
80．（2023·四川眉山·统考中考真题）计算：
【答案】6
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算
法则是解题的关键．
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81．（2023·云南·统考中考真题）计算： ．
【答案】6
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可
得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的
三角函数值是解题的关键．
82．（2023·湖南怀化·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
83．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
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．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
84．（2023·浙江台州·统考中考真题）计算： ．
【答案】2
【分析】根据绝对值的性质和算术平方根分别进行化简，再按照有理数加减混合运算即可求出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键在于熟练掌握绝对值的性质、算术平方根，乘方的相关运算．
85．（2023·四川乐山·统考中考真题）计算：
【答案】1
【分析】先化简绝对值及算术平方根，计算零次幂的运算，然后进行加减法即可．
【详解】解：
=1．
【点睛】题目注意考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
86．（2023·上海·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次
根式的运算是解题的关键．
87．（2023·四川遂宁·统考中考真题）计算：
【答案】
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【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算，熟记三角函数值，零指数幂的运算公式
是解题的关键．
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88．（2022·新疆）计算：
【答案】
【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是
解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1， ．
89．（2022·四川泸州）计算： ．
【答案】2
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的性质化简即可．
【详解】原式= =2．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
90．（2022·浙江丽水）计算： ．
【答案】
【分析】根据求一个数的算术平方根、零指数和负整数指数幂的运算法则进行运算，即可求得．
【详解】解： ．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根、零指数和负整数指数幂的运算法则，熟练掌握和运用各运算
法则是解决本题的关键．
91．（2022·湖南邵阳）计算： ．
【答案】5-
【分析】先计算零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法和加减法．
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【详解】解： =1+4-2× =5- ．
【点睛】此题考查了零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、
锐角三角函数值的计算法则．
92．（2022·陕西）计算： ．
【答案】
【分析】先算绝对值、算术平方根，零指数幂，再算乘法和加减法，即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂和运算法则是解题的关键．
93．（2020·陕西其他） .
【答案】3.
【分析】本题需先根据实数运算的顺序和法则，分别进行计算，再把所得的结果合并即可求出答案．
【解析】原式=4-2+ - +1，=3．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要注意运算顺序和公式的应用是本题的关键．
94．（2022·湖南株洲）计算： ．
【答案】3
【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可．
【详解】解： ．
【点睛】本题考查负数的偶次幂、二次根式化简以及特殊角的三角函数值，属于基础题，正确计算是解题
的关键．
95．（2022·四川眉山）计算： ．
【答案】7
【分析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则计算即可．
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【详解】解：原式
【点睛】本题考查零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则，熟
练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键．
96．（2022·江苏连云港）计算： ．
【答案】2
【分析】根据有理数的乘法，二次根式的性质，零指数的计算法则求解即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，二次根式的性质，零指数，熟知相关计算法则是解题的关键．
97．（2022·浙江金华）计算： ．
【答案】4
【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式 ；
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
98．（2022·四川德阳）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂
的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解： ．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，
绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
99．（2020·江苏新北·初三一模）计算： ﹣2sin45°+（ ）﹣1﹣|2﹣ |．
【答案】5
分析：利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案．
【解析】原式=4-2× +3-（2- ）=4- +3-2+ =5．
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点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
100．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算： ；
【答案】 ；
【分析】先分别化简各项，再作加减法；
【解析】原式= = ；
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和解法.
101．（2020·湖北孝感·中考真题）计算：
【答案】 ．
【分析】先计算立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
【解析】原式 ．
【点睛】本题考查了立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是
解题关键．
102.（2021·四川自贡市·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】利用算术平方根、绝对值的性质、零指数幂分别计算各项即可求解．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根、绝对值的性质、零指数幂是解题的关键．
102．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算： ．
【答案】2020
【分析】先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可；
【详解】解：
，
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．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则．
104．（2021·甘肃武威市·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可．
【详解】解： ，
，
．
【点睛】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握零指数幂和负整数指数幂的运
算法则，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
105．（2021·四川遂宁市·中考真题）计算：
【答案】-3
【分析】分别利用负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，再进行
计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简等知识点，
熟悉相关性质是解题的关键．
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106．（2022·浙江杭州）计算： ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是 ，请计算 ．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)-9(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得 ，解方程即可；
(1)解： ；
(2)设被污染的数字为x，
由题意，得 ，解得 ，
所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．
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题型十 数字规律
107．（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式： ；
；
；
……
根据以上规律，计算 ______．
【答案】
【分析】
根据题意，找到第n个等式的左边为 ，等式右边为1与 的和；
利用这个结论得到原式＝1 +1 +1 +…+1 ﹣2021，然后把 化为1﹣
， 化为 ﹣ ， 化为 ﹣ ，再进行分数的加减运算即可．
【详解】
解：由题意可知， ，
＝1 +1 +1 +…+1 ﹣2021
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＝2020+1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ﹣2021
＝2020+1﹣ ﹣2021
＝ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进
行简便运算．
题型十一新定义
108．（2022·湖南常德）我们发现： ， ， ，…，
，一般地，对于正整数 ， ，如果满足
时，称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完
美方根数对．则下面4个结论：① 是完美方根数对；② 是完美方根数对；③若
是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则点 在抛物线
上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据定义逐项分析判断即可．
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【详解】解： ， 是完美方根数对；故①正确；
不是完美方根数对；故②不正确；
若 是完美方根数对，则 即 解得 或
是正整数则 故③正确；
若 是完美方根数对，则 ,即 故④正确故选C
【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题
的关键．
109．（2022·四川眉山）将一组数 ，2， ， ，…， ，按下列方式进行排列：
，2， ， ；
， ， ，4；
…
若2的位置记为 ， 的位置记为 ，则 的位置记为________．
【答案】
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
【详解】数字可以化成： ， ， ， ； ， ， ， ；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵ ，28是第14个偶数，而
∴ 的位置记为 故答案为：
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统
一是关键．
110．（2020·四川宜宾·中考真题）定义：分数 （m，n为正整数且互为质数）的连分数
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（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作 ：例如
， 的连分数是
，记作 ，则________________ ．
【答案】
【分析】根据连分数的定义即可求解．
【解析】依题意可设a ∴a= 故答案为：
．
【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意进行求解．
111.（2022·四川达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法
中的“0.618法”就应用了黄金比．设 ， ，记 ，
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，…， ，则 _______．
【答案】5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】解： ， ， ，
，
，
…，
故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得 ，找出的规律是本
题的关键．
112．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之
和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：
，因为 ，所以3507是“共生数”： ，因为
，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上
的数字之和能被9整除时，记 ．求满足 各数位上的数字之和是偶数的所有
n．
【答案】（1） 是“共生数”， 不是“共生数”． （2） 或
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【分析】
（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为
个位上的数字为 可得： ＜ 且 为整数，再由“共生
数”的定义可得： 而由题意可得： 或 再结合方程的正整
数解分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为
个位上的数字为
＜ 且 为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或 或
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当 则 则 不合题意，舍去，
当 时，则
当 时，
此时： ，而 不为偶数，舍去，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，则
而 则 不合题意，舍去，
综上：满足 各数位上的数字之和是偶数的 或
【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论
的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
113．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．
Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世
纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若 （ 且 ），那么x叫做以a为底N的对数，
记作 ，比如指数式 可以转化为对数式 ，对数式
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可以转化为指数式 ．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设 ，则 ．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：① ___________；② _______，③ ________；
（2）求证： ；
（3）拓展运用：计算 ．
【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga =logaM-logaN的逆用，将所求式
子表示为： ，计算可得结论．
【详解】
解：（1）①∵ ，∴ 5，
②∵ ，∴ 3，
③∵ ，∴ 0；
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（2）设logaM=m，logaN=n，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）
=
=
=2．
【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关
键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
114．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数 的个位数字不为 ，且能分解成 ，
其中 与 都是两位数， 与 的十位数字相同，个位数字之和为 ，则称数 为“合
和数”，并把数 分解成 的过程，称为“合分解”．
例如 ， 和 的十位数字相同，个位数字之和为 ，
是“合和数”．
又如 ， 和 的十位数相同，但个位数字之和不等于 ，
不是“合和数”．
（1）判断 ， 是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数” 进行“合分解”，即 ． 的各个数位数字之和
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与 的各个数位数字之和的和记为 ； 的各个数位数字之和与 的各个数位数字
之和的差的绝对值记为 ．令 ，当 能被 整除时，求出所有
满足条件的 ．
【答案】（1） 不是“合和数”， 是“合和数，理由见解析；（2） 有 ，
， ， ．
【分析】
（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数 的个位数字不为 ，
且能分解成 ，其中 与 都是两位数， 与 的十位数字相同，个位数字之和为
，则称数 为“合和数”，再判断 ， 是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示 个位及十位上的
数，同时也可以用来表示 ．然后整理出： ，根据能被4整除时，通过分
类讨论，求出所有满足条件的 ．
【详解】解：（1）
不是“合和数”， 是“合和数”．
， ，
不是“合和数”，
，十位数字相同，且个位数字 ，
是“合和数”．
（2）设 的十位数字为 ，个位数字为 （ ， 为自然数，且 ，
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），
则 ．
∴ ．
∴ （ 是整数）．
，
，
是整数，
或 ，
①当 时，
或 ，
或 ．
②当 时，
或 ，
或 ．
综上，满足条件的 有 ， ， ， ．
【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作
题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识
的能力．
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