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第23课时 多边形
1.(2024·云南)一个七边形的内角和等于 ( )
A.540° B.900° C.980° D.1 080°
2.(2024·资阳)已知一个多边形的每个外角都等于60°,则该多边形的边数是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.(2024·河北模拟)下列长度的两条线段与长度为2,5的线段首尾依次相连能组成四边形的是 (
)
A.1,1 B.1,8 C.1,2 D.2,3
4.(2024·邯郸邯山区模拟)图中表示被撕掉一块的正n边形纸片,若a⊥b,则n的值是 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
5.如图,小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45°后又沿直线前进10米到达点C,再
向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路
程为 ( )
A.100米 B.80米 C.60米 D.40米
6.(2024·沧州南皮县二模)用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面,则“筝
形”瓷砖中的内角∠BCD的度数为( )
A.120° B.135° C.144° D.150°
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7.(2024·保定二模)如图,将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角,得到六边形ABCDGF,则下列说法正
确的是 ( )
A.外角和减少180° B.外角和增加180°
C.内角和减少180° D.内角和增加180°
8.(2024·邢台三模)如图,在四边形ABCD中,∠ADC+∠C=202°,E为对角线BD上一点,点F,G分别
在AB,CD边上,且EF∥DA,EG∥BC,则∠FEG= ( )
A.155° B.158°
C.168° D.202°
9.(2024·河北模拟)如图,将一个正五边形 ABCDE 变形为四边形 ABCD,其中 A,E,D 三点共线,
AD∥BC,则∠C的度数将 ( )
A.增大12° B.减少12°
C.增大24° D.减少24°
10.(2024·无锡)正十二边形的内角和等于 度.
11.传统文化(2024·临夏州)“香渡栏干屈曲,红妆映、薄绮疏棂.”图1窗棂的外边框为正六边形(如
图2),则该正六边形的每个内角为 .
图1 图2
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12.如图,在正十边形中,连接A A ,A A ,则∠A A A = .
1 4 1 7 4 1 7
13.(2024·威海)如图,在正六边形 ABCDEF 中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点 I.若∠EFG=20°,则
∠ABI= .
1.一个适当大的正六边形,它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形 ABCDEF的中心O重
合,且与边AB,CD相交于G,H,如图.图中阴影部分的面积记为S,三条线段GB,BC,CH的长度之和
记为l,在大正六边形绕点O旋转过程中,下列说法正确的是 ( )
A.S变化,l不变 B.S不变,l变化
C.S变化,l变化 D.S与l均不变
2.(2023·枣庄)如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1=44°,则∠2的度数
为 ( )
A.14° B.16°
C.24° D.26°
3.(2024·邯郸邱县二模)用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状,使相邻的两个正五
边形有公共顶点,所夹的锐角为24°,图中所示的是前3个正五边形拼接的情况,拼接一圈后,中间
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会形成一个正多边形,则该正多边形的边数是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考,继续探究多边形的一个外角
与它不相邻的内角之和具有的数量关系.
图1 图2
(1)如图 1,∠CBD 与∠A,∠C 之间的数量关系为 ;若∠A=50°,∠CBD=115°,则∠C=
.
(2)如图2,∠CBE是四边形ABCD的外角,求证:∠CBE=∠A+∠C+∠D-180°.
5.问题情境:在探索多边形的内角与外角关系的活动中,同学们经历了观察、猜想、实验、计算、
推理、验证等过程,提出了问题,请解答.
(1)若四边形的一个内角的度数是α.
①求和它相邻的外角的度数(用含α的代数式表示);
②求其他三个内角的和(用含α的代数式表示).
(2)若一个n边形(n>3),除了一个内角,其余内角的和为920°,求n的值.
深入探究:
(3)探索n边形(n>3)的一个外角与和它不相邻的(n-1)个内角的和之间满足的等量关系,说明理由.
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【详解答案】
基础夯实
1.B 解析:一个七边形的内角和为:(7-2)×180°=5×180°=900°.故选B.
2.C 解析:∵任意多边形的外角和都是360°,又∵这个多边形的每个外角都相等,且等于60°,∴该多边形的边数
是360°÷60°=6.故选C.
3.D 解析:A.∵1+1+2<5,∴长度为 1,1 与长度为 2,5 的线段首尾依次相连不能组成四边形,故不符合题
意;B.∵1+2+5=8,∴长度为 1,8 与长度为 2,5 的线段首尾依次相连不能组成四边形 ,故不符合题
意;C.∵1+2+2=5,∴长度为 1,2 与长度为 2,5 的线段首尾依次相连不能组成四边形 ,故不符合题
意;D.∵2+2+3>5,∴长度为2,3与长度为2,5的线段首尾依次相连能组成四边形,故符合题意.故选D.
4.B 解析:如图,延长a,b交于点B,
∵a⊥b,
∴∠ABC=90°,
180°-90°
∴正多边形的一个外角为 =45°,
2
360°
∴n= =8.故选B.
45°
5.B 解析:∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45°,
∴他走过的图形是正多边形,
∴边数n=360°÷45°=8,
∴他第一次回到出发点A时,一共走了8×10=80(米).故选B.
6.C 解析:∵5块“筝形”瓷砖围成一个正十边形,∠BCD是这个正十边形的一个内角,
∴∠BCD=(10-2)×180°÷10=144°.故选C.
7.D 解析:将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角,得到六边形ABCDGF,
则五边形ABCDE的内角和为:(5-2)×180°=540°,
六边形ABCDGF的内角和为:(6-2)×180°=720°,
∴720°-540°=180°,
∵五边形ABCDE和六边形ABCDGF的外角和都是360°,
∴将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角,得到六边形ABCDGF,内角和增加180°,外角和不变.故选D.
8.B 解析:∵EF∥DA,EG∥BC,
∴∠DEG=∠DBC,∠BFE=∠A,
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∵∠DEF=∠BFE+∠ABD=∠A+∠ABD,
∴∠FEG=∠DEF+∠DEG=∠A+∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABC,
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠ADC+∠C=202°,
∴∠FEG=∠A+∠ABC=360°-202°=158°.故选B.
9.A 解析:连接BE(图略),
∵AD∥BC,∴DE∥BC,
∵DE=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∴∠C=∠DEB,
∵AE=AB=BE,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠AEB=60°,
∴∠BED=120°,
∴∠C=120°,
∵正五边形ABCDE每个内角都相等,
(5-2)×180°
∴每个内角为 =108°,
5
∴120°-108°=12°,
∴∠C的度数增大了12°.故选A.
10.1 800 解析:∵(12-2)×180°=1 800°,∴正十二边形的内角和等于1 800°.
11.120° 解析:∵正六边形的内角和为:(6-2)×180°=720°,
∴该正六边形的每个内角为:720°÷6=120°.
12.54° 解析:如图,设正十边形内接于☉O,连接AO,AO,
7 4
∵正十边形的各边都相等,
3
∴∠AOA= ×360°=108°,
7 4
10
1
∴∠AAA= ×108°=54°.
4 1 7
2
13.50° 解析:∵六边形ABCDEF是正六边形,
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(6-2)×180°
∴∠AFE=∠BAF= =120°,
6
∵∠EFG=20°,
∴∠AFG=120°-20°=100°,
∵AH∥FG,
∴∠FAH=180°-100°=80°,
∴∠BAI=120°-80°=40°,
∵BI⊥AH,
∴∠ABI=90°-40°=50°.
能力提升
1.D 解析:如图,连接OA,OC.
∵∠HOG=∠AOC=120°,
∠OCH=∠OAG=60°,
∴∠HOC=∠GOA,
{∠HOC=∠GOA,
在△OHC和△OGA中, OC=OA,
∠OCH=∠OAG,
∴△OHC≌△OGA(ASA),
∴CH=AG,
∴S =S =定值,l=GB+BC+CH=AG+BG+BC=2BC=定值.故选D.
阴影 四边形OABC
2.B 解析:如图,
360°
∵正六边形的一个外角的度数为 =60°,∴正六边形的一个内角的度数为 180°-60°=120°,即
6
∠ 4=60°,∠ 2+∠ 5=120°.∵ 一 束 太 阳 光 线 平 行 照 射 在 放 置 于 地 面 的 正 六 边 形 上 ,
∠1=44°,∴∠3=∠1=44°.∴∠5=∠3+∠4=104°.∴∠2=120°-∠5=16°.故选B.
3.C 解析:∵正五边形的每个内角的度数为180°×(5-2)÷5=108°,
∴组成的正多边形的每个内角的度数为360°-2×108°-24°=120°,
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∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状,中间会形成一个正多边形,
(n-2)×180°
∴形成的正多边形为正n边形,则 =120°,
n
解得:n=6.故选C.
4.解:(1)∠CBD=∠A+∠C 65°
解析:∵∠A+∠C+∠ABC=180°,
∠CBD+∠ABC=180°,
∴∠CBD=∠A+∠C,
∵∠A=50°,∠CBD=115°,
∴∠C=115°-50°=65°.
(2)证明:∵∠CBE是四边形ABCD的外角,
∴∠CBE+∠CBA=180°,
∵∠CBA+∠A+∠C+∠D=360°,
∴180°-∠CBE+∠A+∠C+∠D=360°,
∴∠CBE=∠A+∠C+∠D-180°.
5.解:(1)①四边形的一个内角的度数是α,则与它相邻的外角的度数为180°-α.
②由于四边形的内角和是360°,其中一个内角为α,则其他三个内角的和为360°-α.
(2)由题意得,
(n-2)×180°-α=920°,
∵n>3且n为正整数,0°<α<180°,
∴n=8.
(3)设n边形(n>3)的一个外角为α,和它不相邻的(n-1)个内角的和为β,
则有180°-α+β=(n-2)×180°,
即β-α=(n-3)×180°.
8
