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题型一待定系数法确定二次函数
1．（2022·山东泰安）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 6
y 0 4 6 1
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法
正确，不符合题意；令 ，则 ，解得 或 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
2．（2022·浙江杭州）已知二次函数 （a，b为常数）．命题①：该函数的
图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴
的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线 ．如果这四个命题中
只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【答案】A
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【分析】根据对称轴为直线 ，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程
的另一个根为x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可．
【详解】假设抛物线的对称轴为直线 ，则 ，解得a= -2，
∵函数的图像经过点(3，0),∴3a+b+9=0，解得b=-3，
故抛物线的解析式为 ，
令y=0，得 ，解得 ，
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x轴的交点，对称轴，熟练掌握待
定系数法，抛物线与x轴的交点问题是解题的关键．
3．（2022·四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面
的高度 （米）与物体运动的时间 （秒）之间满足函数关系 ，其图像如图
所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设 表示0
秒到 秒时 的值的“极差”（即0秒到 秒时 的最大值与最小值的差），则当 时，
的取值范围是_________；当 时， 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0， ，确定m，n的值，从而确定函数
的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0， ，
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∴ ，∴ ，解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴ ，
∵对称轴为t= =1，a=-5＜0，∴ 时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且 （米）；当t=0时，h最最小，且 （米）；
∴w= ，∴w的取值范围是 ，故答案为： ．
当 时， 的取值范围是
∵对称轴为t= =1，a=-5＜0，
∴ 时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且 （米）；当t=3时，h最最小，且 （米）；
∴w= ，w= ，
∴w的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新
定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
4．（2022·四川自贡）已知二次函数 ．
(1)若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛
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物线与 轴交点及顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值
范围；
(3)若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数图象
经过 ， 两点，试比较 的大小 ．
【答案】(1) ， ； ；
(2)见详解； ；
(3) ．
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；
（2）由题意画出图象，结合图象写出 的取值范围；
（3）根据题意分别求出 ， ，将点P点Q的坐标代入分别求出 ，利用作
差法比较大小即可．
(1)解：∵ ，且函数图象经过 ， 两点，
∴ ，
∴二次函数的解析式为 ，
∵当 时，则 ，
解得 ， ，
∴抛物线与 轴交点的坐标为 ， ，
∵ ，
∴抛物线的顶点的坐标为 ．
(2)解：函数的大致图象，如图①所示：
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当 时，则 ，
解得 ， ，
由图象可知：当 时，函数值 ．
(3)解：∵ 且 ，
∴ ， ， ，且一元二次方程 必有一根为 ，
∵一元二次方程 两根之差等于 ，且
∴方程的另一个根为 ，
∴抛物线的对称轴为直线： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
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∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵b＞c,
∴-1-c＞c,
∴ ,
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结
合的思想，求出b与c的关系是解题的关键．
5．（2021·广东中考真题）已知抛物线
（1）当 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐
标；
（3）已知点 、 ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横
坐标的取值范围．
【答案】（1）不在；（2）（2，5）；（3）x = 或x 或x
顶点 顶点 顶点
【分析】
（1）先求出函数关系式，再把（2，4）代入进行判断即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐
标，代入求解即可；
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（3）运用待定系数法求出直线EF的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根
据题意分类讨论，求出m的值即可．
【详解】
解：（1）把m=0代入 得，
当x=2时，
所以，点（2，4）不在该抛物线上；
（2）
=
∴抛物线 的顶点坐标为（ ， ）
∴纵坐标为
令
∵
∴抛物线有最高点，
∴当m=3时， 有最大值，
将m=3代入顶点坐标得（2，5）；
（3）∵E（-1，-1），F（3，7）
设直线EF的解析式为
把点E，点F的坐标代入得
解得，
∴直线EF的解析式为
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将 代入 得，
整理，得：
解得
则交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与
（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5），
∴此时抛物线顶点横坐标x = 或x = 或x =
顶点 顶点 顶点
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用．
题型二抛物线的平移
6．（2022·浙江嘉兴）已知抛物线L：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
1
(1)求抛物线L的函数表达式．
1
(2)将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L．若抛物线L的顶点关于坐标原点
1 2 2
O的对称点在抛物线L上，求m的值．
1
(3)把抛物线L向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L，若点B(1，y)，C(3，y)在抛物
1 3 1 2
线L上，且y＞y，求n的取值范围．
3 1 2
【答案】(1)
(2) 的值为4
(3)
【分析】（1）把 代入 即可解得抛物线 的函数表达式为 ；
（2）将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，顶点为 ，关于原点的
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对称点为 ，代入 可解得 的值为4；
（3）把抛物线 向右平移 个单位得抛物线 为 ，根据点B(1，
y)，C(3，y)都在抛物线 上，当y＞y时，可得 ，即可解得 的取
1 2 1 2
值范围是 ．
(1)
解：把 代入 得：
，
解得 ，
；
答：抛物线 的函数表达式为 ；
(2)
解：抛物线 的顶点为 ，
将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，则抛物线 的顶点为 ，
而 关于原点的对称点为 ，
把 代入 得：
，
解得 ，
答： 的值为4；
(3)
解：把抛物线 向右平移 个单位得到抛物线 ，抛物线 解析式为
，
点 ， 都在抛物线 上，
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，
，
y＞y，
1 2
，
整理变形得： ，
，
解得 ，
的取值范围是 ．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的
关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
7.（2022·四川凉山）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A
（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC
绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点
M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
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(3)存在，
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点 的坐标为 ，则 ，根据旋转
的性质可得 ，从而可得 ，将点 代入抛物线的解析
式求出 的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
从而可得 与 轴的交点即为所求的点 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式，
由此即可得出答案．
(1)解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ．
(2)解：抛物线 的对称轴为直线 ，其顶点 的坐标为
，
设点 的坐标为 ，则 ，
由旋转的性质得： ，
，即 ，
将点 代入 得： ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
所以点 的坐标为 ．
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(3)解：抛物线 的顶点 的坐标为 ，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点 ，
这时点 落在点 的位置，且 ，
，即 ，恰好在对称轴直线 上，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
则 ，
由两点之间线段最短可知， 与 轴的交点即为所求的点 ，此时 的值最小，
即 的值最小，
由轴对称的性质得： ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
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则直线 的解析式为 ，
当 时， ，
故在 轴上存在点 ，使得 的值最小，此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标
的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
8．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ：
经过点 和 ．
（1）求抛物线 的对称轴．
（2）当 时，将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 ．
①求抛物线 的解析式．
②设抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ，连接 ．
点 为第一象限内抛物线 上一动点，过点 作 于点 ．设点 的横坐标为 ．
是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）x=2.5；（2）① ；②1或
【分析】
（1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；
（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a的值不发生改变，所以利用交
点式可以求出函数解析式；
②根据条件求出A、B、C、D四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两
种情况，根据相似的性质可求出m的值．
【详解】
解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，
这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,；
（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），
（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，
根据交点式可求出C二次函数表达式为 ；
1
②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，
），且m＞0
由图像可知∠BOC=∠DEO=90°，
则以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似有两种情况，
（i）当△ODE∽△BCO时，
则 ，即 ，
解得m=1或-2（舍），
（ii）当△ODE∽△CBO时，
则 ，即 ，
解得
所以满足条件的m的值为1或 ．
【点睛】
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本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用
数形结合是解决问题的关键．
9．（2022·浙江舟山）已知抛物线 ： （ ）经过点 ．
(1)求抛物 的函数表达式．
(2)将抛物线 向上平移m（ ）个单位得到抛物线 ．若抛物线 的顶点关于坐标原
点O的对称点在抛物线 上，求m的值．
(3)把抛物线 向右平移n（ ）个单位得到抛物线 ．已知点 ， 都
在抛物线 上，若当 时，都有 ，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求解．
（2）根据平移的性质即可求解．
（3）根据平移的性质对称轴为直线 ， ，开口向上，进而得到点P在点Q的
左侧，分两种情况讨论：①当P，Q同在对称轴左侧时，②当P，Q在对称轴异侧时，③当
P，Q同在对称轴右侧时即可求解．
(1)
解：将 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线 的函数表达式： ．
(2)
∵将抛物线 向上平移m个单位得到抛物线 ，
∴抛物线 的函数表达式： ．
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∴顶点 ，
∴它关于O的对称点为 ，
将 代入抛物线 得： ，
∴ ．
(3)
把 向右平移n个单位，得
： ，对称轴为直线 ， ，开口向上，
∵点 ， ，
由 得： ，
∴点P在点Q的左侧，
①当P，Q同在对称轴左侧时，
，即 ，
∵ ，∴ ，
②当P，Q在对称轴异侧时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
③当P，Q同在对称轴右侧时，都有 （舍去），
综上所述： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待
定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．
10．（2021·河南中考真题）如图，抛物线 与直线 交于点A(2，0)和
点 ．
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（1）求 和 的值；
（2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
（3）点 是直线 上的一个动点，将点 向左平移 个单位长度得到点 ，若线段
与抛物线只有一个公共点，直接写出点 的横坐标 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2）不等式 > 的解集为 或 ；
（3）点M的横坐标 的取值范围是： 或 ．
【分析】
（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得 和 的值；
（2）解方程 求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】
解：（1）∵点A(2，0)同时在 与 上，
∴ ， ，
解得： ， ；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 ，直线的解析式为 ，
解方程 ，得： ．
∴点B的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当 或 时，抛物线在直线的上方，
∴不等式 > 的解集为 或 ；
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（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A、B，
1 1
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A (-1，0)，点B (-4，3)，
1 1
∴A A BB 3，且A A∥BB，即MN为A A、BB相互平行的线段，
1 1 1 1 1 1
对于抛物线 ，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线 只有一个公共点，
此时 ，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线 也只有一个公共点，
此时点M的纵坐标为-1，则 ，解得 ，
1
综上，点M的横坐标 的取值范围是： 或 ．
．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质
求解是关键．
题型三抛物线的翻折
11．（2022·湖南衡阳）如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线
位于 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象
交 轴于点 ．
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(1)写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值；
(3) 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ，
是否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， 或 或
【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；
（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．
(1)
解：由翻折可知： .
令 ，解得： ， ，
∴ ， ，
设图象 的解析式为 ，代入 ，解得 ，
∴对应函数关系式为 = ．
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(2)
解：联立方程组 ，
整理，得： ，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线 与图象 有三个交点；
(3)
解：存在．如图1，当 时， ，此时，N与C关于直线x= 对称，
∴点N的横坐标为1，∴ ；
如图2，当 时， ，此时， 点纵坐标为2，
由 ，解得 ， （舍），
∴N的横坐标为 ，
所以 ；
如图3，当 时， ，此时，直线 的解析式为 ，
联立方程组： ，解得 ， （舍），
∴N的横坐标为 ，
所以 ，
因此，综上所述： 点坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次
函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现
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数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．
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