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第三章三角形章节测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作 的角平分线，根据
作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图可得 ，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得 ，故A，C正确；
∴ 在 的垂直平分线上，
∴ ，故D选项正确，
而 不一定成立，故C选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， ，且 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可求 ，再由 ，即可求解．
【详解】解： ，
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，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关
键．
3．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，
点D，E在直线AC同侧， ， ， ，连接DE，设
， ， ，给出下面三个结论：① ；② ；③
；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，由
，可得 ，进而可判断①的正误；由 ，可得 ，
， ， ，则 ， 是等腰直角三角
形，由勾股定理得， ，由 ，可得 ，
进而可判断②的正误；由勾股定理得 ，即 ，则
，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
由勾股定理得 ，即 ，
∴ ，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判
定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活
运用．
4．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角
形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点 成位似关系，则位似中心的坐标
为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意确定直线 的解析式为： ，由位似图形的性质得出 所在直
线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得： ，
设直线 的解析式为： ，将点代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当 时， ，
∴位似中心的坐标为 ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形
的特点是解题关键．
5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线 ，直线 与直线 分别相交于点
，点 在直线 上，且 ．若 ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ， ，可得 ，由 ，可得
，进而可得 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于
明确角度之间的数量关系．
6．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折
射光线与一束经过光心 的光线相交于点 ，点 为焦点．若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图 中，
， 为 中点，若点 为直线 下方一点，且
与 相似，则下列结论：①若 ， 与 相交于 ，则点 不一定是
的重心；②若 ，则 的最大值为 ；③若 ，则
的长为 ；④若 ，则当 时， 取得最大值．其中正确的
为（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出 的重心，即可求解；当 ，
时， 取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得 的长，即可求
解；③如图5，若 ， ，根据相似三角形的性质求得 ，
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， ，进而求得 ，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得
出 ，在 中， ，根据二次函数的性质，即可求 取
得最大值时， ．
【详解】①有3种情况，如图 ， 和 都是中线，点 是重心；
如图 ，四边形 是平行四边形， 是 中点，点 是重心；
如图 ，点 不是 中点，所以点 不是重心；
①正确
②当 ，如图 时 最大， ，
， ， ，
，
，
②错误；
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③如图5，若 ， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴③错误；
④如图6， ，
∴ ，
即 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 最大为5，
∴④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，
分类讨论，画出图形是解题的关键．
8．（2023·安徽·统考中考真题）如图，点 在正方形 的对角线 上，
于点 ，连接 并延长，交边 于点 ，交边 的延长线于点 ．若 ，
，则 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例得出 ，根据 ，得出
，则 ，进而可得 ，根据 ，得出
，根据相似三角形的性质得出 ，进而在 中，勾股定理即可
求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾
股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形 中，点E是 上一点，延
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长 至点F，使 ，连结 ， 交 于点K，过点A作 ，垂
足为点H，交 于点G，连结 ．下列四个结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正方形 的性质可由 定理证 ，即可判定 是等
腰直角三角形，进而可得 ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可
得 ；由此即可判断①正确；再根据 ，可判断③
正确，进而证明 ，可得 ，结合 ，即可得出结
论④正确，由 随着 长度变化而变化，不固定，可 判断② 不一定成立．
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，故①正确；
又∵ , ,
∴ ,
∴ ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∴ ，故③正确，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故④正确，
∵若 ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
而点E是 上一动点， 随着 长度变化而变化，不固定，
而 ，
则故 不一定成立，故②错误；
综上，正确的有①③④共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与
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性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全
等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半
的性质是解题的关键．
10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形 中， ，以点B
为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于
长为半径画弧交于点P，作射线 ，过点C作 的垂线分别交 于点M，N，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】由作图可知 平分 ，设 与 交于点O，与 交于点R，作
于点Q，根据角平分线的性质可知 ，进而证明 ，推出
，设 ，则 ，解 求出 ．
利用三角形面积法求出 ，再证 ，根据相似三角形对应边成比例即可求出
．
【详解】解：如图，设 与 交于点O，与 交于点R，作 于点Q，
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矩形 中， ，
，
．
由作图过程可知， 平分 ，
四边形 是矩形，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
．
．
，
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．
， ，
，
，即 ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判
定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题
的关键是根据作图过程判断出 平分 ，通过勾股定理解直角三角形求出 ．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）将一副三角尺如图所示放置，其中 ，
则 ___________度．
【答案】105
【分析】根据平行线的性质可得 ，根据平角的定义即可求得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的
关键．
12．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条 的一个端点连在一起，
点 分别是 的中点．若 ，则该工件内槽宽 的长为__________ ．
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【答案】8
【分析】利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点 分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”
是解题的关键．
13．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形 的外侧，作等腰三
角形 ， ．
（1） 的面积为________；
（2）若F为 的中点，连接 并延长，与 相交于点G，则 的长为________．
【答案】 3
【分析】（1）过点E作 ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到 的长，再
利用勾股定理，求出 的长，即可得到 的面积；
（2）延长 交 于点K，利用正方形和平行线的性质，证明 ，得到
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的长，进而得到 的长，再证明 ，得到 ，进而求出 的
长，最后利用勾股定理，即可求出 的长．
【详解】解：（1）过点E作 ，
正方形 的边长为3，
，
是等腰三角形， ， ，
，
在 中， ，
,
故答案为：3；
（2）延长 交 于点K，
正方形 的边长为3，
， ，
， ，
，
，
，
F为 的中点，
，
在 和 中，
，
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，
，
由（1）可知， ， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似
三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关
键．
14．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图， 和 是以点 为位似中心的位
似图形，点 在线段 上．若 ，则 和 的周长之比为
__________．
【答案】
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【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解： ，
，
设 周长为 ，设 周长为 ，
和 是以点 为位似中心的位似图形，
．
．
和 的周长之比为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
15．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在 中， 是边 上一点，按以下
步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②以
点 为圆心，以 长为半径作弧，交 于点 ；③以点 为圆心，以 长为半径
作弧，在 内部交前面的弧于点 ：④过点 作射线 交 于点 ．若
与四边形 的面积比为 ，则 的值为___________．
【答案】
【分析】根据作图可得 ，然后得出 ，可证明 ，进而
根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与四边形 的面积比为 ，
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∴
∴
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图
与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋
数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程
中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图， 是锐角 的高，则
．当 ， 时， ____．
【答案】
【分析】根据公式求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
17．（2023·湖北·统考中考真题）如图， 和 都是等腰直角三角形，
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，点 在 内， ，连接 交 于点 交
于点 ，连接 ．给出下面四个结论：① ；② ；③
；④ ．其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】①③④
【分析】由题意易得 ， ， ，
，则可证 ，然后根据全等三角形的性质
及平行四边形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ， ，故③正确；
∵ ， ， ，
∴ ， ；故②错误；
∴ ，
∵ ，
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∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故④正确；
故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的
性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的
性质与判定是解题的关键．
18．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在 中， ，
将 绕点A逆时针方向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值
为________．
【答案】5
【分析】过点D作 于点F，利用勾股定理求得 ，根据旋转的性质可证
、 是等腰直角三角形，可得 ，再由 ，
得 ，证明 ，可得 ，即 ，再由
，求得 ，从而求得 ， ，即可求解．
【详解】解：过点D作 于点F，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三
角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形 中， ，点P在
对角线 上，过点P作 ，交边 于点M，N，过点M作 交 于
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点E，连接 ．下列结论：① ；②四边形 的面积不变；③当
时， ；④ 的最小值是20．其中所有正确结论的
序号是__________．
【答案】②③④
【分析】根据等腰三角形的三线合一可知 ，可以判断①；利用相似和勾股定理可
以得出 ， ，，利用 判断②；根据相似可以得到
，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在点P移动过程中，不一定 ，
相矛盾，
故①不正确；
延长 交 于点P,
则 为矩形，
∴
【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确，
，
即当 的最小值，作B、D关于 的对称点 ,
把图 中的 向上平移到图2位置，使得 ，连接 ，即 为 的最小
值，则 ， ,
【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
这时 ，
即 的最小值是20，
故④正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判
定和性质是解题的关键．
20．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在 中，
，D为AC上一点，若 是 的角平分线，则
___________．
【答案】3
【分析】首先证明 ， ，设 ，在 中，利用勾股定
理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作 的垂线，垂足为P，
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在 中，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在 中， 为 的角
平分线．以点 圆心， 长为半径画弧，与 分别交于点 ，连接 ．
【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ，由作图可得 ，即可证明
；
（2）根据角平分线的定义得出 ，由作图得出 ，则根据三角形内角和定
理以及等腰三角形的性质得出 ， ，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为 的角平分线，
∴ ，
由作图可得 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）∵ ， 为 的角平分线，
∴
由作图可得 ，
∴ ，
∵ ， 为 的角平分线，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定
义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
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22．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的中点， ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据 是 的中点，得到 ，再利用 证明两个三角形全等．
【详解】证明： 是 的中点，
，
在 和 中，
，
【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决
本题的关键．
23．（2023·湖南·统考中考真题）如图， ，点 是线段 上的一点，
且 ．已知 ．
(1)证明： ．
(2)求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得出 ， ，则
，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
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【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题
的关键．
24．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在 中，对角线 与 相交于点
， ，过点 作 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）可证 ，从而可证四边形 是菱形，即可得证；
（2）可求 ，再证 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
四边形 是平行四边形，
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四边形 是菱形，
．
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判
定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
25．（2023·上海·统考中考真题）如图，在梯形 中 ，点F，E分别在线
段 ， 上，且 ，
(1)求证：
(2)若 ，求证：
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【答案】见解析
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据三角形的全等的判定可得
，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据相
似三角形的判定可得 ，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】（1）证明： ，
，
在 和 中， ，
，
．
（2）证明： ，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
由（1）已证： ，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解题关键．
26．（2023·四川宜宾·统考中考真题）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通
地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图 ），桥面采用国内首创的公铁平
层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离 ，如图 ．在桥面上点 处，测得 到左桥墩
的距离 米，左桥墩所在塔顶 的仰角 ，左桥墩底 的俯角
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，求 的长度．（结果精确到 米．参考数据： ， ）
【答案】 的长度 米
【分析】 上截取 ，使得 ，设 ，在 中， ，
，则 ，进而即可求解．
【详解】解：如图所示， 上截取 ，使得 ，
∴ ，
∵
∴ ，
设 ，在 中， ，
∴
又
∴
∴
即 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
27．（2023·湖北·统考中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦
水坝的横断面为梯形 ，斜面坡度 是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比．
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已知斜坡 长度为20米， ，求斜坡 的长．（结果精确到米）（参考数据：
）
【答案】斜坡 的长约为10米
【分析】过点 作 于点 ，在 中，利用正弦函数求得 ，在
中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
在 中， ，
．
∴ ．
∵ ，
∴在 中， （米）．
答：斜坡 的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐
角三角函数的定义是解题的关键．
28．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图①， 和 是等边三角形，连接 ，
点F，G，H分别是 和 的中点，连接 ．易证： ．
若 和 都是等腰直角三角形，且 ，如图②：若 和
都是等腰三角形，且 ，如图③：其他条件不变，判断 和
之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
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【答案】图②中 ，图③中 ，证明见解析
【分析】图②：如图②所示，连接 ，先由三角形中位线定理得到
， ，再证明 得到
，则 ，进一步证明 ，即可证明 是等
腰直角三角形，则 ；
图③：仿照图②证明 是等边三角形，则 ．
【详解】解：图②中 ，图③中 ，
图②证明如下：
如图②所示，连接 ，
∵点F，G分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
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，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
图③证明如下：
如图③所示，连接 ，
∵点F，G分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ 和 都是等腰三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
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，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性
质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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