文档内容
专题 07 求数列的通项公式
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】已知前你n项和，求通项公式的步骤
(1) 、当n＝1时，a ＝S ；(2) 、当n≥2时，a ＝S －S ；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2
1 1 n n n－1
的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
【考点2】已知数列的前几项，求通项公式
如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或 (－1)n＋1来调节.
分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.
对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转
化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.
【考点3】已知数列的递推关系，求通项公式
当出现a＝a ＋m时，构造等差数列；
n n－1
当出现a＝xa ＋y时，构造等比数列；
n n－1
当出现a＝a ＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．
n n－1
三、解法解密
若数列 满足 ，则数列 都是公差为a的等差数列，若数列 满
足 ，则数列 都是公比为b的等比数列.四、考点解密
题型一:公式法
例1、（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记 为各项均为正数的等比数列 的前n项
和， ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【变式训练1-1】、（2022·广西·模拟预测（理））在等比数列 中，若 ，则
___________.
例2、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列 中， ， ， 成等比数列.
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .【变式训练2-1】、（2022·上海松江·二模）在等差数列 中，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和 ．题型二:累加法与累乘法
(一) 、用累加法求数列的通项公式
例3、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列 满足 ，则其通项公
式 ________．
a
【变式训练3-1】、在数列 中, , ,则该数列的通项公式 n= ．
【变式训练3-2】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列 中， ，前5项的和为 ，数
列 满足 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．(二) 、用累乘法求数列的通项公式
例4、（2022·安徽黄山·一模）已知数列 满足 ， ，则
___________.
例5、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列 中， ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若对任意的 ，数列 是单调递减数列，求实数 的取值范围.
【变式训练5-1】、数列 中，前 项和为 ，
(1)求数列 的通项公式；学=科网
(2)令 ，证明： .【变式训练5-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列 中， ， 是数列 的前
项和，且 .
(1)求数列 的通项公式：
(2)证明： .题型三:已知前n项和，求通项公式
例6、（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）已知数列 中，前n项的和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)如果 恒成立，求 最小值.
【变式训练6-1】、（2022·四川资阳·一模（理））已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前 项和 ．题型四:构造法
例7、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列 满足 ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式及前 项的和 .【变式训练7-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列 满足
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·广西北海·一模（理））在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．19 B．18 C．17 D．20
2．（2022·全国·模拟预测（文））在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西·模拟预测（文））在等比数列 中， ，若 、 、 成等差数列，则
的公比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2010·山西临汾·模拟预测（文））已知等差数列 的公差是 ，若 ， ， 成等比数列，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列 的各项均为正数，其前n项和为 ，且满足
，则 （ ）
A．28 B．30 C．32 D．35
6．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）若数列 满足 ，则称 为“对奇数列”．
已知正项数列 为“对奇数列”，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））设数列 满足 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
8．（2020·云南·昆明一中模拟预测（理））已知等比数列 的前 项和为 ，则实数
的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列 中， ， ，则
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列 满足：①先单调递减后单调递增：②当 时取得最小值．写出一个满足条件的数列 的通项公式 _________．
11．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列 中， 为其前n项和，若 ， ，则
的公比为______．
12．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和为 ．
13．（2022·河南·模拟预测（理））若数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．B组 能力提升
14．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列 为等差数列，数列 为等比数列且公比 .数
列 和数列 的前 和分别为 和 ，且满足 ，则等差数列 的通项公式为
_____________.
15．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列 满足 ，则 ___________.
16．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列 为等比数列， ， ，
则 ______.
17．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列 满足 ， ，
则其前 项和为___________.
18．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））雪花曲线是由瑞典人科赫（Koch）于1904年提出的一
种分形曲线，其形态似雪花，故称雪花曲线，又称科赫雪花．雪花曲线是由等边三角形开始，把三角形的
每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边．接着
对所得新图形的每条边继续上述过程，即在每条边三分后的中段，向外画新的“尖形”．不断重复这样的
过程，便产生了雪花曲线．下图分别是0、1、2、3级的雪花曲线，若第0级的等边三角形边长等于1，则
第4级的雪花曲线周长等于______．
19．（2020·全国·模拟预测（文））记数列 的前 项和为 ，若 ， （ 为正整数），则
数列 的通项公式为________．
20．（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连
续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图
形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，
第三层放6个，第四层放10个 第n层放 个物体堆成的堆垛，则 __________．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ，.
(1)求数列 、 的通项公式.
(2)若 ，求数列 的前 项和 .C组 真题实战练
22．（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，
则
A．16 B．8 C．4 D．2
23．（2021·全国·高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
24．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前
100项和为
A． B． C． D．
25．（2014·全国·高考真题（理））等比数列 中， ，则数列 的前8项和等于
A．6 B．5 C．4 D．3
26．（2014·天津·高考真题（文））设 是首项为 ，公差为-1的等差数列， 为其前n项和，若
成等比数列，则 =（ ）
A．2 B．-2 C． D．
27．（2010·湖北·高考真题（文））已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则
A． B． C． D．
28．（2015·浙江·高考真题（理））已知 是公差 不为零的等差数列，其前 项和为 ，若 成
等比数列，则
A． B．
C． D．
29．（2019·全国·高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和， ，则
___________.
30．（2019·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前 项和，若 ，则
___________.
31．（2008·四川·高考真题（文））设数列 中， ，则通项 ___________．32．（2014·广东·高考真题（文））等比数列 的各项均为正数，且 ，则
_____.
33．（2015·安徽·高考真题（理））已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的
前 项和等于 .
34．（2014·江苏·高考真题）在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，则 的值是
_______.
35．（2015·全国·高考真题（理）） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和.
36．（2021·全国·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．37．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
38．（2014·全国·高考真题（理））已知数列 满足 .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
