文档内容
01B-101 整式的概念
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）用字母表示数
（2）代数式
（3）整式
2. 考情分析
（1）主要考查代数式、整式、单项式、多项式的基本概念，以填空选择为主．同时还会考
查代数式的计算，通常以解答题的形式进行考查．
（2）本讲知识属于数与式基本概念，也是七年级下册实数章节知识的前置储备知识．同时
在代数式的值中存在一定的计算，与六下有理数中绝对值，混合运算相联系，老师课上可
以酌情进行复习．
3知识加油站1——用字母表示数
考点一：用字母表示数
知识笔记1
字母表示数要注意的几点：
（1）数字与字母及字母与字母的________要________；
（2）除法运算要用_________来表示；
（3）数学应写在字母的前面，当字母前的数字是____的时候应省略不写（当字母前的数字
是带分数时，一定要带分数化成____________；
（4）主体为_____的形式，后面有________需加括号；
注意：字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某
一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来。
例题1:
（1）（2022•静安区月考）下列各式符合书写规范的是
A． B． C． D．
（2）下列式子中，写法规范的是
A． B． C． D．
（3）下列式子中，符合书写形式的是
A． B． C． D．
练习1:
（1）下列式子中，符合书写格式的是
A． B． C． D．
（2）下列选项中，符合书写格式的是
A． B． C． D．
4（3）（2021•杨浦区校级期中）下列各式中，符合书写格式的是
A． B． C． D．
例题2:
（1）2000元人民币存入银行，定期2年，年利率 ，扣除20%的利息税后，到期取得本利
和_______________元．
（2）一种商品进价为每件 元，按进价增加 出售，则售价__________元；后因库存积
压降价，按售价的九折出售，则此时的售价为__________元，每件还盈利___________元．
（3）某市去年GDP为180亿，今年比去年增加 ，今年该市的GDP是____________．
m
（4）甲、乙两地之间的公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走 千米．
①某人从甲地到乙地需要走多少个小时？
②如果每小时多走2千米，某人从甲地到乙地需要走多少个小时？
③速度变化后，某人从甲地到乙地比原来少用了多少个小时？
练习2:
（1）（2023•闵行区校级月考）装订练习本，每本用纸35页，装订 本共用_________页
纸．
（2）（2022•松江区校级期中）小红妈妈去市场买了 斤苹果和 斤香蕉，苹果每斤8元，
香蕉每斤5元，一共应付____________元（用含 、 的代数式表示）．
（3）（2021•杨浦区校级期末）六一儿童节当天，某商店进价为 元的书包先加价 再
按八折出售，则该书包的实际售价是___________元．（用含 的代数式表示）
（4）（2021•黄浦区校级期末）2015到2017年外汇市场在多重刺激下，美元对人民币的汇
率一扫连年低迷，走上了连续强势反弹的轨道 年年初，1美元兑换人民币6.2元，若
平均每年上涨 ，则2017年初美元兑换人民币价格为1美元 ________元（人民币）．
（用含 的代数式表示）
5例题3:
如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼“……，则搭 条“金鱼“需要火柴多少
根？
1条 2条 3条
练习3:
如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形
组成，……，第n个图案中（n是正整数）由_________个基础图形组成．
……
（1） （2） （3）
6知识加油站2——代数式
考点二：代数式的概念
知识笔记2
1、代数式的概念：
用__________和__________把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．
注：（1）单独一个数或一个字母也是代数式；（2）“=”不是运算符号，不能将等式与代
数式混淆）；（3）若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序．
2、列代数式
（1）抓住关键性词语，如“____”、“____”、“____”、“____”、“____”、“____”、
“____”、“____”、“____”、“____”等．
（2）理清运算顺序．对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算
在后．
（3）正确使用括号．一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用
括号；若相反则不需使用括号．
（4）正确利用“的”、“与”划分句子层次．“的”字一般表示从属关系，“与”字一般
表示并列关系．
例题4:
下列各式，哪些是代数式？
（1） ； （2） ； （3） ；
（4）0； （5） ； （6） ；
（7） ； （8） ； （9） ；
（10） ； （11） ； （12） ．
练习4:
（1）（2022•静安区期中）在 ，0， ， ， ， ， 中，是代数
式的有 个．
A．4 B．5 C．6 D．7
（2）（2022•闵行区期中）下列各式中，是代数式的有
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
7A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
例题5:
（1）（2022•静安区月考）某商店促销的方法是将原价 元的衣服以 元出售，意
思是
A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元
C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元
（2）下列赋予整式 实际意义的例子，其中错误的是
A．长为 ，宽为 的长方形的面积
B．原价为 元的商品打8折后的售价
C．购买8本单价为 元的笔记本所需的费用
D．货车以 的平均速度行驶 的路程
（3）下列选项中，能用 表示的是
A．整条线段的长度 B．整条线段的长度
C．这个长方形的周长 D．这个图形的面积
（4）对单项式“ ”可以解释为：一件商品原价为 元，若按原价的6折出售，这件商
品 现 在 的 售 价 是 元 ， 请 你 对 “ ” 再 赋 予 一 个 含 义 ：
_____________________________．
练习5:
（1）“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促
销活动，促销方法是将原价为 元的一批图书以 元的价格出售，则下列说法中，
能正确表达这批图书的促销方法的是
A．在原价的基础上打8折后再减去15元
B．在原价的基础上打2折后再减去12元
C．在原价的基础上减去15元后再打8折
D．在原价的基础上减去12元后再打8折
8（2）上海某中学七年级（6）班张老师在黑板上写了一个代数式 ，关于这个代数式的意
义，下列说法正确的是
A．表示3与 的和
B．表示3与 的商
C．表示单价为3元的钢笔买了 支的总价
D．表示3与 的差
（3）下列选项中，不能用 表示的是
A． 线段的长度 B． 长方形的周长
C． 四边形的周长 D． 三角形的周长
（4）结合实际例子，代数式 可以解释为__________________________．
例题6:
写出代数式：
（1）用代数式表示： 平方的倒数减去 的差；
（2）用代数式表示： 与 的2倍的差的平方；．
（3） 与 的 的和；
（4）比 与 的差的一半小2；
（5） 的倒数的差与 的倒数和的积的2倍；
（6） 的2倍与 平方的差；
（7） 与 平方的2倍的差．
9练习6:
（1）（2022•宝山区期中）用代数式表示： 的2倍与 的平方的差是__________．
（2）（2022•闵行区期中）在下列代数式中，表示“ 的3倍与 的和的平方”的是
A． B． C． D．
（3）（2023•杨浦区期末）用代数式表示：“ 的平方的倒数减去 的差”是__________．
（4）（2020•奉贤区期末）请用代数式表示“ 与 差的平方”：__________．
10考点三：代数式的值
知识笔记3
1．代数式的值
用__________代替代数式里的__________，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做
代数式的值．
2．求代数式的值
第一步：用数值代替代数式里的字母；
第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果．
例题7:
（1）当 时，求代数式 的值．
（2）已知： ，求代数式 的值．
（3）如果代数式 的值为3， 的值是2，那么代数式 的值是多少？
练习7:
（1）当 时，求代数式 的值．
（2）若 ，求代数式 的值．
（3）（2023•宝山区校级月考）当 ，代数式 的值等于_____．
11例题8:
（1）已知： ，则 的值是多少？
（2）（2023•闵行区校级月考）当 时，代数式 的值为7，那么当
时，代数式的值是________．
练习8:
（1）（2022•闵行区期中）当 时，整式 的值等于 ，那么当 时，
整式 的值为
A．19 B． C．17 D．
（2）（2023•松江区月考）若代数式 的值是8，则代数式 的值
是 ．
12知识加油站3——整式的基本概念
考点四：整式的基本概念
知识笔记4
1．单项式
由数字与字母的_____或字母与字母的_____所组成的代数式叫做____________．
也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分
母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．
（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的______________．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的_________．
2．多项式
由几个单项式的_____组成的代数式叫做____________．
（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的
符号．多项式中不含字母的项叫做_______________．
（2）多项数的次数：多项式里，次数__________的次数就是这个多项式的次数．
（3）多项式的降（升）幂排列：按照________________的指数从大到小（或从小到大）的
顺序排列．
3．整式
_____________和_____________统称整式．
13例题9:
（1）（2022•杨浦区期中）下列代数式中 ， ， ， ， ， 中，
单项式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）在代数式 ，0， 中，整式
共有（ ）个
A、5 B、6 C、7 D、8
（3）（2022•长宁区校级期中）下列说法中，正确的是
A． 不是单项式 B． 是代数式
C． 的系数是0次数是1 D． 是单项式
练习9:
（1）（2022•闵行区开学）下列各式中， ， ， ， ，是多项式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）（2022•闵行区期中）下列代数式 ， ， ， ，0， 中，整式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）（2023 •闵行区校级月考）在代数式 ，下列结论
正确的是
A．有2个多项式，3个单项式 B．有3个多项式，2个单项式
C．有2个多项式，4个单项式 D．有3个多项式，3个单项式
14例题10:
（1）找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
， ， ， ， ， ， ， ．
（2）写出下列多项式的次数及最高次项的系数．
① ； ② ．
练习10:
（1）（2021•普陀区期末）下列说法中，正确的是
A． 的系数是 B． 的系数是
C． 的常数项为 D． 是四次三项式
（2）（2022•闵行区期中）多项式 是
A．三次三项式 B．四次三项式 C．五次三项式 D．四次四项式
例题11:
（1）把多项式 按 的降幂排列；
（2）把多项式 按 的升幂排列；
（3）已知关于 、 的多项式 是五次四项式 ， 为有理数），
且单项式 的次数与该多项式的次数相同．
①求 ， 的值；
②将这个多项式按 的降幂排列．
练习11:
（1）（2022•静安区期中）把多项式 按字母 的降幂排列：
．
15（2）（2022•长宁区期中）将多项式 按字母 降幂排列：
．
16（3）已知多项式 是关于 、 的六次四项式，且单项式 的
次数与该多项式的次数相同．
①求 、 的值；
②请将该多项式按 的降幂重新排列．
17全真战场
关卡一
练习1:
（1）代数式 用语言表述为
A． 与2的积减去 平方与3的商
B． 与2的积减去 的平方差除以3
C． 的2倍减去 的差的平方的
D． 的2倍减去 平方的
（2）下列各式中， ， ， ， 代数式的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习2:
求代数式的值：
（1） 时，求代数式 的值；
（2）当 时，求代数式 的值；
（3）当 时，求代数式 的值；
18（4）当 时，求 ．
练习3:
（2020•浦东新区月考）已知多项式 ．
（1）把这个多项式按 的降幂重新排列；
（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．
练习4:
（1）（2020•嘉定区期末）如果 ，那么 的值为__________．
（2）（2022•虹口区校级月考）当 时，代数式 的值为2022，则当 时，
代数式 的值为__________．
19关卡二
练习5:
若实数 满足 ，则 的值为________．
练习6:
已知： ，其中 为常数，当 时， ；当
时， ．求 的值．
练习7:
已知： ，求：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
202102 整式的加减
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）合并同类项
（2）整式的加减
2. 考情分析
（1）整式的加减属于方程与代数部分，属于探究性理解水平；
（2）主要考查同类项的基本概念和整式的加减．同类项的概念主要以填空选择的形式进行
考查，而整式的加减则以解答题计算的形式对学生进行考查．本讲知识属于整式的基本运
算法则，是后期各类运算的基础，需要同学们熟练掌握；
（3）对应教材：初一上册，第九章：整式，第二节：整式的加减，9.5合并同类项；9.6整
式的加减．
22知识加油站1——合并同类项
考点一：同类项的概念
知识笔记1
1．同类项的概念
所含的________相同，且相同字母的________也相同的________________叫做同类项．
2．判断同类项的依据
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
例题1:
（1）（2022•虹口区新复兴中学期中）下列单项式中，与 是同类项的是
A． B． C． D．
（2）（2022•宝山区罗南中学月考）下列各组单项式中，是同类项的是
A． 与 B． 与 C． 与1 D． 与
（3）（2023•闵行区校级月考）下列各对单项式中不是同类项的是
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
练习1:
（1）下列各组中的两项，不是同类项的是
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
23（2）下列各组整式中，是同类项的有
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
（3）下列各组单项式中属于同类项的是：
① 和 ； ② 和 ； ③ 和 ；
④ 和 ； ⑤ 和 ； ⑥ 和 ．
考点二：合并同类项
知识笔记2
合并同类项
合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数________的结果作为合并后的系数，
字母和字母的指数________．
例题2:
（1）（2022•静安区月考）合并同类项： __________．
（2）（2022•静安区教育学院附属学校期中）合并同类项：
___________．
（3）（2022•嘉定区丰庄中学期中）合并同类项： _________．
练习2:
合并下列同类项
（1） ；
24（2） ；
（3） ．
例题3:
（1）（2022•闵行区期中）如果单项式 与 的和仍是单项式，则 的值为
__________．
（2）（2023•杨浦区期末）如果单项式 与 是同类项，那么 ______．
（3）当 _____时，多项式 中不含项 ．
练习3:
（1）单项式 与 是同类项，求 的值．
（2）（2022•浦东新区期中）已知 与 是同类项，那么 ____．
（3）若合并多项式 中的同类项后，得到的多项式中不含 的一次
项，则 的值为________．
25知识加油站2——整式的加减
考点三：去括号、添括号法则
知识笔记3
1．去括号法则：
括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项______________；
括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里的各项______________．
括号前有系数，应先进行乘法分配律，再去括号．
去括号法则可简记为：“负”变“正”不变．
2．添括号法则：
括号前面添上“＋”号，括号里各项都不变号；
括号前面添上“－”号，括号里各项都要变号．
添括号法则可简记为：“负”变“正”不变．
例题4:
（1）（2023•宝山区校级月考）下列去括号正确的是
A．
B．
C．
D．
（2）下列各式中与 的值不相等的是
A． B． C． D．
（3）添括号（填空）
① _______ ．
② _______ ．
③ _______ ．
26练习4:
（1）下列去括号正确的是
A． B．
C． D．
（2）下列等式从左到右的变形中，“去括号”或“添括号”正确的是
A． B．
C． D．
（3）添括号： _________．
考点四：整式的加减
知识笔记4
整式的加减
一般步骤是：①如果有括号，先______________；②____________________．
例题5:
（1）（2023•宝山区校级月考）计算： _______________．
（2）（2021•宝山区期末）已知一个多项式与 的和等于 ，那么这个多项
式是______________．
（3）（2022•宝山区罗南中学月考） =____________．
（4）化简： ．
27练习5:
计算：
（1）求整式 与 的和．
（2）求整式 与 的差．
例题6:
先化简，再求值：
（1）（2022•静安区月考） ，其中 ．
（2） ，其中 ， ．
28（3） ，其中 ， ．
（4） ，其中 ， ；
练习6:
先化简，再求代数式的值：
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
29（3） ，其中 ．
例题7:
（1）（2022•静安区月考）已知： ， ，若 不含
有 的项，求： 的值．
（2）（2022•静安区市西中学期中）小杰准备完成题目：
化简 ■ ，发现系数“■”印刷不清楚．
①他把“■”猜成3，请你化简 ；
②他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的
“■”是多少？
（3）已知 、 、 满足：① ；② 是5次单项式；求多项
式 的值．
30练习7:
（1）代数式 的值与字母 取值无关，求 的
值．
（2）一个多项式 减去多项式 ，马虎同学将减号抄成了加号，运算结果是
，求多项式 ．
（3）已知 、 、 满足：
① ；
② 是7次单项式；求多项式 的值．
31全真战场
关卡一
练习1:
（1）（2020•闵行区二模）在下列各式中，与 是同类项的是
A． B． C． D．
（2）（2020•奉贤区期末）单项式 和 是同类项， ____．
（3）如果单项式 与 的和仍然是一个单项式，则 、 的值是
A． ， B． ， C． ， D． ，
练习2:
已知多项式 与 相加得 ，求多项式 ．
练习3:
（1）计算： ．
32（2）先化简，再求值：
，其中 ．
练习4:
已知关于 的多项式 ， 相加后，不含二次项，求 的值．
33关卡二
练习5:
试说明不论 取何值时，代数式：
的值是不会改变的．
练习6:
（2021•杨浦区校级期末）一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上
的数比十位上的数的3倍小1．如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，
那么得到的三位数比原来的三位数大99，求这个三位数．
练习7:
（1）如果A是三次多项式，B是四次多项式，那么 和 各是几次多项式？
（2）如果A是m次多项式，B是n次多项式，且 ，那么 和 各是几次多项
式？
（3）如果A是m次多项式，B是n次多项式，m，n为正整数，那么 和 各是几
次多项式？
343503 幂的运算（一）
考情链接
1．本次任务由两个部分构成
（1）同底数幂的乘法
（2）幂的乘方
2．考情分析
（1）幂的运算属于方程与代数部分，属于解释性理解水平；
（2）主要考查同底数幂乘法和幂的乘方运算．这个部分知识主要以计算解答题的形式对学
生进行考查；
（3）本讲知识属于幂的基本运算，是后期整式乘法的基础，同时也为七上分式章节的负数
指数幂和七下分数指数幂的学习做铺垫。
36知识加油站1——同底数幂的乘法
知识笔记1
1．幂的运算概念：
求 个相同因数的_____的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做_____．在 中， 叫做
______， 叫做_______． 表示有 个 连续相乘．
特别注意_______及_______的乘方，应把底数加上括号．
2．“奇负偶正”的应用：
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“ ”号的个数．
（2）有理数乘方，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中
积的符号．
（3）有理数乘方，即当 为奇数时，_____________________________；当 为偶数时，
______________________________．
3．同底数幂相乘
同底数的幂相乘，底数________，指数________．用式子表示为：_____________________．
37考点一：同底数幂的乘法
例题1:
（1）下列四个算式：① ；② ；③ ；④ ．
其中计算正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（2）（2022•静安区教育学院附属学校期中）已知 为奇数， 为偶数，则下列各式的计
算中正确的是
A． B．
C． D．
（3）已知 ， ，则 _______．
（4）（2022•静安区教育学院附属学校期中）计算： _______．（结果用
幂的形式表示）
练习1:
（1）下列各式中，计算正确的是
A． B． C． D．
（2）（2023•松江区月考） 成立的条件是
A． 为奇数 B． 是正整数 C． 是偶数 D． 是负数
（3）若 ， ，则 ________．
（4）计算： ________
38例题2:
计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1）（2022•闵行区罗阳中学开学） ；
（2）（2022•静安区月考） ；
（3） ；
（4） ；
（5）（2022•宝山区校级月考） ；
（6）（2022•静安区月考） ．
39练习2:
计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
40例题3:
（1）（2022•静安区月考）规定 ，若 ，则 ______．
（2）（2022•嘉定区丰庄中学期中）已知 ，求 的值.
（3）已知： ， ， ．求 之间的等量关系．
练习3:
（1）已知： ，求 的值．
（2）已知： ，求 的值．
（3）已知： ， ， ．求 之间的等量关系．
41知识加油站2——幂的乘方
知识笔记2
1．幂的乘方定义：
幂的乘方是指______________________________．
2．幂的乘方法则：
幂的乘方，底数________，指数________．即_____________________________.
考点二：幂的乘方
例题4:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
42练习4:
计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
（5） ； （6） ； （7） ； （8） ．
例题5:
（1）（2022•长宁区校级期中）计算： ．
（2）（2022•闵行区期中）计算： ．
（3）（2022•闵行区罗阳中学开学）计算：
．
（4）计算：
43（5）计算：
练习5:
计算
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
44例题6:
（1）（2021•金山区期末）已知 ，且 ，则 _______；
（2）（2022•宝山区实验学校期中） ______ （比较大小）；
（3）（2022•宝山区实验学校期中）已知 ， ，用含字母 的代数式表示
，则 _________．
练习6:
（1）已知 ， ，求 的值；
（2）如果 ，求 的值；
（3）比较 ， ， 的大小．
45考点三：幂的运算新定义
例题7:
对于整数 、 定义运算： ※ （其中 、 为常数），如 3※
．
（1）填空：当 ， 时，2※ _______；
（2）若1※ ，2※ ，求 的值．
练习7:
规定两数 ， 之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么 ．例如：因为
，所以 ．
（1）根据上述规定，填空： ______， ______， ______；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象： ， ， ，小明给出了如下的理由：
， ，则 ，即 ．所以 ，即 ．所以 ， ，
．请你尝试运用这种方法判断 ， ， ， 是否成立，并说明理由．
46全真战场
关卡一
练习1:
（1）用幂的形式表示结果： _________．
（2）在等式 中，括号内的代数式为
A． B． C． D．
（3）下列各算式中，计算结果不是 的是
A． B． C． D．
练习2:
（1）计算：
（2）计算：
（3）计算： （用幂的形式表示结果）．
47练习3:
已知 ， ， ，求 的值．
练习4:
（2022•宝山区校级期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用 表示．计算中一般用
（千字节）、 （兆字节）或 （吉字节）作为存储容量的计数单位，它们之间的
关系为 ， ， ．一种新款电脑的硬盘存储容量为 ，
它相当于多少千字节？（结果用 千字节表示，其中 ， 为正整数）
练习5:
（1）已知： ，求 ．
（2）解方程： ．
48关卡二
练习6:
在幂的运算中规定：若 且 ， 、 是正整数），则 ．利用上面结论
解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ， ，用含 的代数式表示 ．
练习7:
比较大小：
（1）比较下列一组数的大小：在 ， ， ， ；
（2）比较下列一组数的大小： ；
（3）比较下列一组数的大小： ， ，
49练习8:
如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．
（1） ______ ；若 ，则 ______ ；
（2）已知 ， ， ，若 ，求 的值；
（3）若 ， ，令 ．
①求 的值；
②求 的值．
505104 幂的运算（二）
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）积的乘方
（2）幂的运算综合
2. 考情分析
（1）幂的运算属于方程与代数部分，属于解释性理解水平；
（2）主要考查同底数幂乘法、幂的乘方以及积的乘方运算．这个部分知识主要以计算解答
题的形式对学生进行考查；
（3）本讲知识属于幂的基本运算，是后期整式乘法的基础，同时也为七上分式章节的负数
指数幂和七下分数指数幂的学习做铺垫．
52知识加油站1——积的乘方
知识笔记1
1．积的乘方定义
积的乘方指的是_____________________．
2．积的乘方法则
积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：__________________．
3．积的乘方的逆用
_________________．
考点一：积的乘方
例题1:
（1）（2022•奉贤区期中）下列运算中，计算正确的是
A． B．
C． D．
（2）（2022•杨浦区期中）计算： ___________；
（3）（2022•奉贤区期中）计算： ___________；
（4）（2022•徐汇区模拟）计算 ___________．
练习1:
计算：
（1） ； （2） ；
53（3） ； （4） ．
例题2:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
练习2:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
54例题3:
简便计算：
（1）（2022•长宁区天山二中期中）计算： _________；
（2）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）计算： __________；
（3）（2022•静安区教育学院附属学校期中）计算： =___________；
（4）（2022•奉贤区期中）用简便方法计算： （结果可用幂的形式表示）．
练习3:
用简便方法计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
55例题4：
①若 ，求 的值．
②已知 ， ，求 的值．
练习4：
已知 ，则 的值为___________．
56知识加油站2——幂的运算综合
知识笔记2
1．同底数幂的乘法
法 则：______________________________．
逆运用：______________________________．
2．幂的乘方
法 则：______________________________．
逆运用：______________________________．
3．积的乘方
法 则：______________________________．
逆运用：______________________________．
考点二：幂的运算综合
例题1:
计算：
（1） ；
（2） ；
57（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
58练习1:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
例题2:
（1）（2022•闵行区校级开学）已知 ， ，
求 ．
（2）（2022•青浦区校级期中）已知： ， ， 、 都是正整数），用
含
、 或 的式子表示下列各式：
① ；
59② ．
60练习2:
（1）已知： ， ，求 ．
（2）已知： ，求 的值．
（3）已知 为正整数，且 ．求 的值．
例题3:
（1）如果 ， ， ，那么 ， ， 三数的大小关系为______．
（2）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是_________．
（3）比较 与 的大小（写出具体过程）．
61练习3:
比较两个数大小的方法有很多种：
（1）可以把它们的底数变成相同的数．
如： 与 比较大小， ，所以 ；
（2）也可以把指数变成相同的数．
如： 与 比较大小．
， ，所以 ．
利用以上方法比较大小：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
62全真战场
关卡一
练习1:
（1）下列选项中的各式，计算正确的是
A． B． C． D．
（2）计算 的结果是
A． B． C．0.75 D．
练习2:
若 ， ，则 的大小关系，用 号连接：_____________．
练习3:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
63（5） ．
练习4:
当 是正整数时，求 的值．
练习5:
将幂的运算逆向思维可以得到， ， ， ， ．
在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，
使问题巧妙获解．
（1） __________________；
（2）若 ，求m的值；
（3）比较大小： ， ， ， ，则a，b，c，d的大小关系是什么？
64关卡二
练习5:
计算： ．
练习6:
的积有多少个0？是几位数？
练习7:
已知 ， ，试比较 、 的大小关系．
练习8:
已知： ， ，求 的值．
656605 整式的乘法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）单项式乘单项式
（2）单项式乘多项式
（3）多项式乘多项式
2. 考情分析
（1）主要考察单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式运算。这个部分知识
主要以计算解答题的形式对学生进行考察；
（2）整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方
公式的基础。
67知识加油站1——单项式乘单项式
知识笔记1:
单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的__________、____________________分别相乘的积作为积
的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“______________________________”
的顺序进行．例如： ．
考点一：单项式乘单项式简单计算
例题1:
计算
（1）（2023•普陀区校级期末） ．
（2）（2023•宝山区期末） ．
（3）（2023•宝山区校级月考） ．
（4）（2023•长宁区二模） ．
（5）（2023•闵行区期中） ．
（6）（2022•杨浦区期中） ．
（7）（2022•杨浦区期中） ．
（8）（2021•浦东新区三模） ．
（9）（2021•普陀区梅陇中学月考） ．
（10）（2023•闵行区校级月考） ．
练习1:
计算：
（1） ___________．
（2） ___________．
（3） ___________．
68（4） =___________．
（5） ___________．
（6） __________．
（7） __________．
（8） __________．
（9） __________．
（10） __________．
考点二：单项式乘单项式复杂计算
例题2:
计算：
（1）（2022•宝山区实验学校期中） ．
（2）（2022•嘉定区丰庄中学期中）
练习2:
计算：
（1） ．
（2） ．
69知识加油站2——单项式乘多项式
知识笔记2:
单项式与多项式相乘法则
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
例如： =______________________．
考点三：单项式乘多项式计算
例题3:
计算：
第一组：
（1）（2022•嘉定区期中）计算： ．
（2）（2022•闵行区梅陇中学期中）计算： ．
（3）（2022•奉贤区期中）计算： ．
第二组：
（1）（2022•杨浦区期中）计算： ．
70（2）（2022•长宁区第三女子中学期中） ．
练习3:
计算：
第一组：
（1） ；
（2） ．
第二组：
（1）计算： ．
（2）计算： ．
71考点四：单项式乘多项式的化简求值
例题4:
（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（ 2 ） 先 化 简 ， 后 求 值 ： ， 其 中
．
练习4:
先化简再求值：
（1） ，其中 ， ．
（2） ，其中 ，
号：53889832用户：初中数学1；邮箱：shxdff1@jyeoo.com；学号：5388983
72知识加油站3——多项式乘多项式
知识笔记3:
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相
加．
用公式表示为： =_______________________________．
考点五： 多项式乘多项式的计算
例题5:
计算：
（1）（2022•长宁区天山二中期中） ．
（2）（2022•静安区市西中学期中） ．
（3）（2022•宝山区罗南中学月考） ．
练习5:
（2023•闵行区校级月考）计算：
（1） ；
73（2） ．
例题6：
（2023•嘉定区校级月考）已知： ， ，
求：（1） ；
（2）求当 时，求 的值．
练习6：
（2023•闵行区校级期中）已知： ， ．
（1）计算： ；
（2）当 ， 时，求 的值．
74例题7:
（1）
（2） .
练习7:
计算：
（1） .
（2） .
75例题8:
如图，有多个长方形和正方形的卡片，图甲是选取了 2块不同的卡片，拼成的一个图形，
借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式 成立．
（1）根据图乙，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 ；
（2）试写出一个与（1）中代数恒等式类似的等式，并用上述拼图的方法说明它的正确
性．
练习8:
如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确
的有
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
76考点六： 多项式乘多项式的应用
例题9:
（2021•浦东新区洋泾外国语学校月考）已知 的乘积中不含 和
项，求 的值．
练习9：
（2023•青浦区校级期中）已知 的展开式中不含 和 项．
（1）求 与 的值；
（2）在（1）的条件下，求 的值．
例题10：
已知 ，求 的值．
练习10:
已知 ，求 的值．
1；邮箱：shx
77考点七： 错看，少看，多看问题
例题11:
（2023•静安区校级月考）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题： ．甲由于
把第一个多项式中的“ ”看成了“ ”，得到的结果为 ；乙由于漏抄了第
二个多项式中 的系数，得到的结果为 ．
（1）求正确的 、 的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
练习11：
欢欢与乐乐两人共同计算 ，欢欢抄错为 ，得到的结果为
；乐乐抄错为 ，得到的结果为 ．
（1）式子中的 、 的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
78考点八： 面积卡片拼凑问题
例题12：
（2023•青浦区期末）如图，现有边长为 的正方形 、边长为 的正方形 和长为 宽
为 的长方形 的三类纸片（其中 ．用这三类纸片拼一个长为 、宽为
的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要 类纸片 张．
练习12:
（2023•静安区校级月考）如图，正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类各若干张，如
果要拼一个长为 ，宽为 的大长方形，则需要 类卡片
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
79全真战场
关卡一
练习1:
计算：
（1） （2）
练习2:
计算：
（1） （2）
练习3:
计算：
（1） ；
（2）
8081练习4:
先化简，再求值： ，其中
练习5：
（2022•浦东新区期中）甲、乙两人共同计算一道整式： ，由于甲抄错了 的
符号，得到的结果是 ，乙漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果是
．求 的值．
练习6：
（2023•静安区校级月考）探究应用：
（ 1 ） 计 算 ： ；
．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母 、 的等式表
示该公式为： ．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
．
．
．
．
（4）设 ，利用上述规律，说明 能被37整除．
82关卡二
练习5:
（2022•青浦区期中）试用整式的运算说明：当 时，我们计算 可以将十位
数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在
十位和个位，如果乘积不足两位数可以用 0补齐十位．（例：计算 时，可以口算
， ，则最终结果为
练习6:
（2023•宝山区校级月考）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与 的取值
无关，求 的值”，通常的解题方法是：把 、 看作字母， 看作系数合并同类项，因为
代数式的值与 的取值无关，所以含 项的系数为 0，即原式 ，所以
，则 ．
【理解应用】
（1）若关于 的多项式 的值与 的取值无关，求 值；
（2）已知 ， ，且 的值与 无关，求
的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为 ，宽为 ，按照图2方式不重叠地放在大长方形
内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 ，左
下角的面积为 ，当 的长变化时， 的值始终保持不变，求 与 的等量关系．
8306 整式的运算综合复习
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）整式的概念
（2）幂的运算
（3）整式的乘法
2. 考情分析
（1）整式的基本概念，以填空选择的形式考察，幂的运算和整式的乘法在选填和解答题中
均有涉及．
（2）本讲知识属于数与式，整式的概念包括单项式、多项式、整式的加减；幂的运算涉及
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方；整式的乘法主要考察单项式与单项式、单项式与
多项式以及多项式与多项式运算；是后期各类运算的基础．
（3）对应教材：初一上册，第九章：整式.
84知识加油站1——整式的概念
考点一：代数式的概念
知识笔记1
1、字母表示数书写口诀：
_______________________________________________________________________________
2、代数式的概念：
用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．
注：（1）__________________________________________________________
（2）“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆；
（3）若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序．
例题1:
（1）（2023•静安区校级月考）下列各式中，符合代数式书写要求的是
A． B． C． D．
（2）（2023•闵行区校级月考）设某数为 ，20减去某数的3倍的差是 ．
（3）“ 与 的平方的差”用代数式表示为 ．
（4）（2023•静安区校级月考）如果 ， ，那么 ．
练习1:
（1）（2023•徐汇区校级月考）用代数式表示“ 与 的和的倒数”正确的是
A． B． C． D．
（2）已知正方形的周长为 ，用 表示正方形的边长是 ．
（3）（2023•闵行区校级月考）当 时，代数式 的值是 ．
85考点二：代数式的应用
例题2:
（2021•徐汇区校级月考）在长方形 中， 厘米， 厘米，点 沿 边
从点 开始向终点 以2厘米 秒的速度移动；点 沿 边从点 开始向终点 以1厘
米 秒的速度移动．如果 、 同时出发，用 （秒 表示移动的时间．试解决下列问题：
（1）用含有 、 的代数式表示三角形 的面积；
（2）求三角形 的面积（用含有 、 的代数式表示）．
练习2:
如图，在长方形 中， 厘米， 厘米，点 沿 边从点 开始向点
以2厘米 秒的速度移动；点 沿 边从点 开始向点 以1厘米 秒的速度移动．如果
、 同时出发，用 （秒 表示移动的时间，那么：
（1）如图1，用含 的代数式表示 ， ．若线段 ，求 的值．
（2）如图2，在不考虑点 的情况下，连接 ，用含 的代数式表示 的面积．
（3）图2中，若 的面积等于长方形面积的 ，求 的值．
86考点三：整式的概念
知识笔记2
1．单项式
_______________________________________________________________________________
也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分
母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．
（1）单项式的次数：_________________________________________________________．
（2）单项式的系数：_________________________________________________________．
2．多项式
_____________________________________________________________________________．
（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的
符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．
（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排
列．
3．整式
_________________________________________________________．
例题3:
（1）（2023•闵行区校级月考）下列说法正确的是
A． 的项是 ， ，5
B． 与 都是多项式
C．多项式 的次数是3
D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5
（2）（2023•静安区校级月考）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式： ，
， ， ， ，0．单项式： ；
多项式： ．
87（3）多项式 是 次多项式，常数项是 ．
（4）（2023•闵行区校级月考）如果 是五次多项式，那么
的值是 ．
（5）（2023•闵行区校级月考）多项式 是按 的降幂排列，则
整数 ．
练习3:
（1）（2022•宝山区校级月考）下列说法中正确的是
A． 不是整式 B． 的次数是4
C． 与 是同类项 D． 是单项式
（2）单项式 系数是 ．
（3） 是 式（填几次几项）．
（4）关于 的多项式 是二次三项式，则 ， ．
（5）多项式 按 的降幂排列为 ．
88考点四：整式的加减
知识笔记3
1、同类项的概念
______________________________________________________________________________
．
2、合并同类项
合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字
母和字母的指数不变．
3、去括号法则：
去括号法则可简记为：__________________________________________．
4、添括号法则：
添括号法则可简记为：“负”变“正”不变．
5、整式的加减
一般步骤是：_____________________________________________________．
例题4:
（1）（2023•闵行区校级月考）下列各对单项式中不是同类项的是
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
（2）（2023•静安区校级月考）下列去括号中，正确的是
A． B．
C． D．
练习4:
（1）在下列各组单项式中，不是同类项的是
A． 和 B． 和 C． 和99 D． 和
89（2）下列去括号正确的是
A． B．
C． D．
例题5:
（1）（2023•闵行区校级月考）已知关于 的多项式 减去 的差是一
个单项式，求 的值．
（2）（2022•宝山区校级月考）已知 ， ．
①求 ；
②求 ；
③若 ，求 ．
练习5:
（1）（2022•宝山区校级月考）若 减去某个多项式的差是 ，那么
这个多项式是 ．
（2）若 与 是同类项，试求 的值．
90知识加油站2——幂的运算
考点五：幂的运算
知识笔记4
1、同底数幂相乘
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
2、幂的乘方法则：
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
3、积的乘方法则：
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
例题6:
（1）计算： ．
（2）计算： （结果用幂的形式表示）．
（3）（2023•闵行区校级月考）计算： ；
．
（4）已知： ，则 ．
练习6:
（1）计算： ．（2）计算：
（3）（2023•闵行区校级月考）计算： ．
（4）（2021•虹口区校级期末）若 ， ，则 ．
91例题7:
（1）（2023•闵行区校级月考）计算：
（2）
（3）计算：
（4） ．
练习7:
（1）计算：
（2）（2023•静安区校级月考）计算：
3）计算：
（
（4）计算：
9293考点六：幂的运算的应用
例题8:
一般地，若 且 ， ，则 叫做以 为底 的对数，记为 ，即
．譬如： ，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ．根据对
数的定义完成下列问题：
（1）计算以下各对数的值：
； ； ．
（2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出
； ； 满足的等量关系式．
（3）由（2）猜想一般性结论： 且 ， ， ，并根据
幂的运算法则： 以及对数的含义证明你的猜想．
练习8:
为了求 的值，可令 ，则
，因此 ，所以
仿照以上推理，计算 的值．
94知识加油站3——整式的乘法
考点七：整式的乘法
知识笔记5
1、单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连
同它的指数不变，也作为积的因式．
2、单项式与多项式相乘法则
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
用式子表示为：_____________________．
3、多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相
加．
用式子表示为：_____________________．
例题9:
计算：
（1）
（2021•徐汇区校级月考）
（2）
（3）
95练习9:
计算：
（1）（2023•闵行区校级月考）
（2）
例题10:
计算：
（1）
（2）
（3）计算：
练习10:
计算：
（1）
（2）计算：
96考点八：整式的乘法的应用
例题11:
阅读材料解决问题：当 时，一定有 ；当 时，一定有 ；当
时，一定有 ．
（1）用“ ”或“ ”填空： 0， ；
（2）已知 为自然数， ， ，试比 与 的大小；
（3）已知 ， ，直接写出 与 的大小比较结果．
练习11:
先阅读，再回答问题：
要比较代数式 、 的大小，可以作差 ，比较差的取值，当 时，有 ；
当 时，有 ；当 时，有 ．例如，当 时，比较 和
的大小．可以观察 ．因为当 时， ，所以当 时，
．
已知 ， ，比较 、 的大小关系．
97全真战场
关卡一
练习1:
（1）如图 形纸片的面积用代数式表示为
A． B．
C． D．
（2）若单项式 和 的积为 ，则 的值为
A．2 B．30 C． D．15
练习2:
（1）当 时， ．
（2）已知 ， ，则 ．
（3）计算： ．
（4）计算： ．
练习3:
计算：
（1）（2023•闵行区校级月考）
98（2）
（3） ．
（4） ．
练习4:
（1） 化简： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
99关卡二
练习6:
已知多项式 和 ，多项式 ，马亦虎同学计算 ，去括号时将多项式
中一个系数为正的项忘记了变号，其他计算皆正确，计算的结果为 ．
（1）求多项式 ；
（2）求 的值，其中 ．
练习7:
如图，在矩形 中，有正方形 ，正方形 ，正方形 ，问：知道哪个
正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．
10007 乘法公式（一）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）平方差公式
（2）完全平方公式
（3）平方差、完全平方公式计算综合
2. 考情分析
（1）主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计
算的形式进行考察，同时也会延伸出知二求二 、凑完全平方等题型；
（2）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”
的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作
用，在初中阶段占有很重要的地位。
101知识加油站1——平方差公式
知识笔记
1、平方差公式定义：
两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．________________________．
（1） 可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）
（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：
2、平方差公式的特征：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项_______________，另一项互为
________________．
（2）右边是乘式中两项的_______________．
考点一：平方差公式的概念与几何意义
例题1:
（1）（2022•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）（2022•长宁区第三女子中学期中）下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是
A． B．
C． D．
练习1:
（1）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
102103例题2:
（2022•黄浦区期中）从边长为 的正方形内去掉一个边长为 的小正方形（如图 ，然后
将剩余部分剪拼成一个长方形（如图 ，上述操作能验证的等式是
A． B．
C． D．
练习2:
（2020•普陀区期中）如图，边长为 的正方形中剪去一个边长为 的小正方形，剩下部分
正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？
A． B．
C． D．
考点二：平方差公式的应用
例题3:
完成以下计算：
第一组：
（1）（2022•宝山区罗南中学月考） ．
（2）（2022•黄浦区期中）计算： ．
（3）（2022•宝山区实验学校期中）计算： ．
104第二组：
（1）（2022•长宁区天山二中期中）计算： ．
（2）计算： ．
练习3:
完成以下计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
例题4:
（1）（2023•闵行区校级月考） ．
（2）（2021•徐汇区校级月考）已知 ，那么 ．
练习4:
（1）若 ，那么代数式 应该是
A． B． C． D．
（2） ．
105例题5:
简便运算：
（1）（2022•闵行区期中） ．
（2）（2022•静安区市西中学期中） ．
（3）（2021•嘉定区期中） ．
练习5:
简便运算：
（1） ；
（2） ；
106知识加油站2——完全平方公式
知识笔记
1、完全平方公式定义
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．
_______________________.
_______________________.
2、完全平方公式的特征
（1）左边是两个____________________相乘；
（2）右边是__________，是左边两项的__________，加上（这两项相加时）或减去（这两
项相减时）这两项_______________倍；
（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数
式．
考点三：完全平方公式的概念与几何意义
例题6:
（1）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
（2）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
练习6:
（1）下列多项式中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
（2）下列公式不能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
107例题7:
（2021•奉贤区期中）图（1）是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀沿图中虚线
（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一
个正方形，则中间空余的部分的面积是
A． B． C． D．
练习7:
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数
恒等式．例如图甲可以用来解释 ．那么通过图乙面积的计算，验证
了一个恒等式，此等式是（ ）
A． B．
C． D．
考点四：完全平方公式的应用
例题8:
完成以下三组计算：
第一组：
（1） = ．
（2）（2020•普陀区期末）计算： ．
（3）（2021•普陀区长征中学月考） ．
108第二组：
（1） ；
（2） ．
第三组：
（1）（2022•黄浦区期中）计算： ．
（2）（2022•静安区教育学院附属学校期中）计算： ．
（3） ．
练习8:
完成以下三组计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ；
109（2） ．
第三组：
（1）计算： ．
（2）计算： ．
例题9:
简便计算：
（1） ； （2） ．
练习9:
简便计算：
（1） ；
（2） ．
110知识加油站3——平方差、完全平方公式计算综合
考点五：平方差公式和完全平方公式的综合计算
例题10:
（1）（2021•宝山区期末）计算： ．
（2）（2021•宝山区期末）计算： ．
（3）化简： ．
（4）（2022•嘉定区育才中学期末）计算： ．
（5）（2022•黄浦区期中）计算： ．
111练习10:
计算：
（1）
（2） ．
（3）（2020•浦东新区期末） ．
（4）（2020•松江区期末） ．
（5）（2020•浦东新区期中） ．
112例题11:
（2023•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ．如图1，小
正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为 ；如图2，若再在
图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 ；如图
3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为 ．
（1）用含 ， 的代数式分别表示 、 ；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）当 时，求 的值．
113练习11:
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观的形象，能有效地表现一些代数中的数
量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一节数学课上，张老师准备了1张甲种纸片，1张乙种纸片，2张丙种纸片，如图1所示，
甲种纸片是边长为 的正方形，乙种纸片是边长为 的正方形，丙种纸片是长为 ，宽为
的长方形．她将这些纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）图2中的大正方形的边长为 ；
（2）观察图2，用两种不同方式表示大正方形的面积，可得到一个等式，请你直接写出这
个等式 ；
【拓展应用】
（3）利用（2）中的等式计算：
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
114全真战场
关卡一
练习1:
（1）下列代数式中能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
练习2:
如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是
A． B．
C． D．
练习3:
计算：
（1） ．
（2）（2020•浦东新区期中） ．
115（3）（2020•浦东新区期中） ．
（4） ．
练习4:
用简便方法计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
116关卡二
练习5:
计算： （ 是正整数）．
练习6:
我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图
揭示了 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
根据以上规律，解答下列问题：
（1） 展开式共有_______项，系数分别为_______；
（2） 展开式共有_______项，系数和为_______．
11708 乘法公式（二）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）完全平方公式知二求二
（2） 题型
（3）平方的非负性
2. 考情分析
（1）主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计
算的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二 、凑完全平方等题型。
（2）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”
的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作
用，在初中阶段占有很重要的地位。
118知识加油站1—— 完全平方公式知二求二
知识笔记
1、”知二求二”四种元素：
我们把完全平方公式进行拆解，可以得到_____________、_____________、_____________、
_____________这四个代数式，只要知道其中两个代数式的值，就可以求出另外两个代数式
的值
2、知二求二的四个常用公式：
（1） =_______________________________.
（2） =_______________________________.
（3） =_______________________________.
（4） =_______________________________.
考点一：知二求二的应用
例题1:
（1）（2022•静安区市西中学期中）已知 ， ，则 的值为 ．
（2）（2022•浦东新区期中）如果 ， ，则 ．
（3）若 ， ，则 的值为__________．
练习1:
（1）（2022•虹口区校级月考）已知 ， ，则 的值为 ．
（2）若 ， ，则 ________．
（3）已知 ， ，则 __________．
119例题2:
已知： ， ，求代数式：
（1） ；
（2） ．
练习2:
已知 ， ；
求（1） 的值；
（2） 的值．
120例题3:
若 满足 ，求 的值．
练习3:
若 满足 ，求 的值．
121知识加油站2—— 题型
知识笔记
、 与 之间的关系：
（1） _______________________.
（2） _______________________.
考点二： 题型
例题4:
（2022•长宁区第三女子中学期中）已知 ，求 和 的值．
练习4:
已知 ，求下列各式的值：
（1） ； （2） ．
122例题5:
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
练习5:
已知实数 满足 ．则 的值是__________．
例题6:
（1）已知 ，求：① ；② ．
（2）已知 ，则 =___________．
练习6:
已知： ，求 的值．
123知识加油站3—— 平方的非负性
知识笔记
1. 常见的非负数：
① ___________________.
② ___________________.
2. 非负数的性质：
多个非负数和为0时，则各部分均为_____.
即，当 时，则___________________.
考点三：0-0题型
例题7:
（1）已知 那么 ．
（2）已知： ，求 的值
练习7:
（1）若 ，则 = ．
（2）（2）若 ，求 的值．
124考点四：凑完全平方公式
例题8:
（1）若 ，那么m=
（2）（2022•宝山区实验学校期中）已知 是一个完全平方式，则
．
（3）（2023•徐汇阶段练习）如果二次三项式 是一个完全平方式，那么系数
．
（4）（2020•徐汇阶段练习）若 是关于 的完全平方式，则 .
（5）已知 ， 、 都是有理数，求 的值．
练习8:
（1）如果二次三项式 是一个完全平方式，那么 的值是
．
（2）（2020•徐汇阶段练习）关于x的二次三项式 是一个完全平方式，则a的
取值为
（3）已知 ，求 的值．
125例题9:
（1）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在括号中
① = ____________
② = ____________
③ = ____________
④ = ____________
⑤ = ____________
（2）你能将多项式 加上一个单项式，使它成为一个完全平方式吗？共有几种方法
A．2 B．3 C．5 D．6
练习9:
（1）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在括号中
① = ____________
② = ____________
③ = ____________
④ = ____________
（2）多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项
式是什么？
126例题10:
阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全
平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，
使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
即将多项式 （b、c为常数）写成 （h、k为常数）的形式，配方法是
一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能
解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
（1）若多项式 是一个完全平方式，那么常数k的值为_________．
（2）配方： ________；
【知识运用】
（3）已知 ，则 ______， ______；
（4）求多项式： 的最小值．
127练习10:
阅读思考：
定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，
这种解题方法叫配方法．
用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应
用很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、
求代数式的最值问题．
方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．
例如：将代数式 （即 ）写成 的形式（其中h、k为常数），配方
的过程中，可以看成将一个长是 、宽是x的矩形割补成一个正方形．
所以，
（1）模仿：用拼图的方法将式子 写成 的形式（其中h、k为常数）．
（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上_____，再减去这个数或者代数式；
（3）应用：① ____ ______ ；
②已知 ，求 的值．
128全真战场
关卡一
练习1:
求值：
（1）已知 ， ，求代数式 的值．
（2）已知 ， ，求代数式 的值．
（3）已知 ， ，求 的值．
练习2:
若 ，则 __________； ___________．
练习3:
（1）如果多项式 是一个完全平方式，那么 的值为___________．
（2）已知 是完全平方式，求 的值．
129练习4:
原题呈现：若 a + b +4a - 2b + 5 =0 ，求 a、b 的值．方法介绍：
①看到 a + 4a 可想到如果添上常数 4 恰好就是 a + 4a + 4 = (a + 2) ，这个过程叫
做“配方”，同理 b - 2b + 1 = (b - 1) ，恰好把常数5分配完；
②从而原式可以化为(a + 2) + (b - 1) = 0 由平方的非负性可得 a + 2 = 0 且 b - 1=
0．经验运用：
（1）若 4a + b - 20a + 6b + 34 = 0 求 a + b 的值；
（2）若 a + 5b + c - 2ab - 4b + 6c + 10 = 0 求 a + b + c 的值．
130关卡二
练习5:
试说明不论 取何值，代数式 的值总是正数．
练习6:
已知 ， ， 是 的三条边，且满足 ，请判断 三
角形的形状
13109 因式分解的概念及提公因式
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）因式分解的概念
（2）因式与公因式
（3）提公因式法因式分解
（4）提公因式法的应用
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会
分解的思想、逆向思考的作用．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事
实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体
现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的
基础，为数学交流提供了有效的途径．
132知识加油站1——因式分解的概念
知识笔记
1、因式分解：
_____________________________________________________________，叫做把这个多项式
因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
_____________________________________________________________
式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因
式．
考点一：因式分解的概念
例题1:
（1）（2022•闵行七宝三中期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
（2）（2022•浦东新区交中初中）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是
A． B．
C． D．
练习1:
（1）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为
A． B．
C． D．
（2）下列从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
133考点二：已知因式分解的的结果求参数
例题2:
（1）多项式 分解成 ，求 的值．
（2）已知多项式 可因式分解成 ，
其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ）
A．﹣12 B．﹣32 C．38 D．72
练习2:
（1）（2022•松江区期中）已知多项式 分解因式得 ，则 ， ，
的值分别为（ ）
A．1， ，6 B．1，1， C．1， ， D．1，1，6
（2）已知二次三项式 分解因式 ，则 的值为
A．1 B． C． D．5
知识加油站2——因式与公因式
知识笔记
1、因式：
几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式.
2、多项式的公因式：
一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。
3、确定公因式的方法：
（1）若各项系数是整系数，取系数的_______________；
（2）取相同的字母，字母的指数取__________；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取__________.
（4）所有这些因式的__________即为公因式.
134135考点三：公因式的概念
例题3:
（1）（2022•青浦实验中学期中）单项式 与单项式 的公因式是
A． B． C． D．
（2）（2022•嘉定区期中）多项式 的公因式是 ．
练习3:
（1）多项式 的各项公因式是
A． B． C． D．
（2） 与 的公因式是
A． B． C． D．
例题4:
写出下列各式的公因式：
（1） ： ；
（2） ： ；
（3） ： ；
（4） ： ；
（5） ： .
练习4:
把以下各式的公因式写在横线上：
（1） ： ；
（2） ： ．
例题5:
将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式：
（1） 、 ； （2） 、 .
136练习5:
将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式：
（1） 、 ； （2） 、 .
知识加油站3——提公因式法因式分解
知识笔记
1、提取公因式法：
如果一个多项式的各项含有_________，则可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，
提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
2、提取公因式的步骤：
“__________”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；
“__________”：就是第二步将所找出的公因式提出来；
“__________”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，
也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式。
3、提取公因式法注意事项：
（1）如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，
然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
（2）利用提公因式法分解因式时，一定要“___________”。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数与原多
项式的项数一致。
137考点四：提公因式法分解因式
例题6:
多项式 提取公因式后，剩下的因式应是（ ）.
A． B．
C． D．
练习6:
将 提取公式 ，剩下的因式是 ．
例题7:
分解因式：
（1）（2022•宝山区罗南中学期末）分解因式： ．
（2）（2021•奉贤区期末）分解因式： ．
（3）（2022•嘉定区丰庄中学期中）因式分解： ．
（4）（2022•嘉定区期中）分解因式： ．
（5）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）分解因式： ．
（6）（2022•青浦区实验中学期中）因式分解： ．
练习7:
分解因式：
（1）
（2）
（3）
138（4）
（5）
（6） .
例题8:
分解因式：
（1）（2022•浦东新区建平中学西校期中）因式分解： ．
（2）（2022•杨浦区期中）分解因式： ．
3）（2022•嘉定区期中）因式分解：
（
（4）（2022•浦东新区建平中学西校期中） ．
（5）
139练习8:
分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
140知识加油站4——提公因式法的应用
考点四：提公因式法分解因式求值
例题9:
（1）（2022•浦东新区建平中学西校期中）已知 ， ，求 的值.
（2）已知 ，求 的值．
（3）计算： ．
练习9:
（1）已知 ， ，求 的值。
141（2）已知 ，求 的值．
（3）计算： ．
例题10:
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次；
（2）若分解 ，则需应用上述方法______次，结果
是______；
（3）分解因式： .（ 为正整数）
142练习10:
化简： ，且当 时，求原式的值．
考点五：因式分解与错题纠正
例题11:
下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：原式 …………………第一步
…………………第二步
………………第三步
(1)小颖的因式分解过程从第_____步开始出现错误；
(2)请写出正确的因式分解的过程．
练习11:
（2020•徐汇区期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）
（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
143全真战场
关卡一
练习1:
（1）（2020•嘉定区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
（2）（2020•浦东新区月考）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是
A． B．
C． D．
练习2:
已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ，则 、 的值分别
为
A． ， B． ， C． ， D． ，
练习3:
（1） 和 的公因式是___________．
（2）多项式 的公因式是__________．
练习4:
分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
144（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
关卡二
练习5:
已知： ，求 的值．
145练习6:
（2023•奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式 ，其奇次项系数之和为 ，偶次项系数之和为 ，若 ，
则 ，若 ，则 （1） ．在 中，因为 ， ，
所以把 代入多项式 ，得其值为0，由此确定多项式 中有因式
， 于 是 可 设 ， 分 别 求 出 的 值 ， 再 代 入
，就容易分解多项式 ，这种分解因式的方法叫
做“试根法”．
(1)上述式子中 ， ；
(2)对于一元多项式 ，必定有f（ ）＝0；
(3)请你用“试根法”分解因式： ．
14610 公式法因式分解
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）平方差公式因式分解
（2）完全平方公式因式分解
（3）代数式化简求值
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会
分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续
学习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整
式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化
归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学
交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因
式法是因式分解的基本而又重要的一种方法.
147知识加油站1——平方差公式因式分解
考点一：平方差公式因式分解的概念
知识笔记1
1、平方差公式复习：
____________________________
2、公式法的定义：
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
3、平方差公式因式分解：____________________________
例题1:
下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
练习1:
下列各多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是
A． B． C． D．
考点二：平方差公式因式分解
知识笔记2
1、因式分解的平方差公式：
_____________________________________________________________________
2、运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：
(1) 公式左边必须是一个__________，且符号相反；
(2) 两项中的每一项必须是某个数或某个式子的________形式；
(3) 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
(4) 公式中字母“ ”和“ ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式.
148149例题2:
将下列各式因式分解：
（1）（2021•宝山区期末）分解因式： ．
（2）（2022•徐汇区模拟）因式分解： ．
（3）（2022•嘉定区南翔中学模拟）分解因式： ．
（4）（2022•普陀区模拟）分解因式： ．
（5）（2022•崇明区二模）分解因式： ．
（6）（2022•长宁区二模）分解因式： ．
（7）分解因式： .
练习2:
因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
150例题3:
将下列各式因式分解：
（1）（2022•黄浦区期中）分解因式： ．
（2）（2022•黄浦区期中）分解因式： ．
（3）
（4） ．
（5） ．
（6） .
练习3:
将下列各式因式分解：
（1）
151（2）
152（3）
（4）
（5）
考点三：平方差公式因式分解的应用
例题4:
在正整数中，
观察上面的算式，可以归纳得出： ．
利用上述规律，计算下列各式： ．
（请将解题步骤写在下方空白
处）
153154练习4:
观察下列式子的因式分解做法：
① ；
② ；
③ ．
（1）模仿以上做法，尝试对 进行因式分解： ．
（2）观察以上结果，猜想 ． 为正整数，直接写结果，不用验
证）
（3）试求 的值．
155知识加油站2——完全平方公式因式分解
考点四：完全平方公式因式分解的概念
知识笔记3
1、完全平方公式复习：
____________________________；____________________________
2、完全平方公式因式分解：____________________________
例题5:
（2022•青浦实验中学期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的
A． B． C． D．
练习5:
下列多项式能用完全平方公式分解因式的是
A． B．
C． D．
156考点五：完全平方公式因式分解
知识笔记4
1、因式分解的完全平方公式：
____________________________________________
____________________________________________
2、运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征：
(1)公式的左边必须是一个__________，且可以看成是一个_______________式；
(2)其中两项的符号必须是_____的，且能写成某两个数或两个十字的_________形式；而另
一项的绝对值必须是前两项中两个数或式子的乘积的____倍；
(3)右边分解的结果是这两个数或式子的和或差的完全平方，其和或差的符号与左边第三项
的符号相同；
(4)公式中字母“ ”和“ ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示_______________
或_______________.
例题6:
将下列各式因式分解：
（1）（2022•虹口区二模）分解因式： ．
（2）（2022•长宁第三女子中学期中）分解因式： ．
（3）（2022•浦东新区建平中学西校期中）分解因式：
（4）
（5）
157158（6）
（7） ．
练习6:
将下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
159（5）
（6）
例题7:
因式分解：
（1）（2022•黄浦区期中）因式分解： ．
（2） ；
（3）（2022•长宁第三女子中学期中） ．
（4）因式分解：
（5）
160161练习7:
因式分解：
（1）
（2）
162考点六：完全平方公式因式分解的应用
例题8:
计算：（1）
（2） ．
（2）
练习8:
计算：
（1）
（2）
（3）
163164例题9:
阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不
仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察处如何进行
因式分解，这种方法就是换元法．
例如：分解因式 时，可以先将原式中的 、
分别计算，得： ， ，观察后设 ，则原式
又如：分解因式 时，考虑到系数的对称性，如果提取中间项的字
母及指数后，就可以使用换元法，具体过程如下：
令
，则原式 ，请参照
阅读材料中的换元对下列各式进行因式分解：
（1） （2） （3）
．
165练习9:
阅读下列材料：因式分解： ．
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式 再将“ ”还原，
得原式 ．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你用“整体思想”常规讲解下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）计算： ．
166知识加油站3——代数式化简求值
考点七：代数式化简求值
知识笔记5
代数式化简求值步骤：
（1）利用公式法进行因式分解
（2）利用整体代入思想求代数式的值
例题10:
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值。
练习10:
（1）已知 = ，试用含 、 的代数式表示 ．
（2）已知： 的值。
167全真战场
关卡一
练习1:
下列多项式：① ；② ；③ ；④ ，其中能用平方差公式
分解因式的多项式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习2:
分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
练习3:
分解因式：
（1） ；
（2） ．
168（3） ；
（4） ．
练习4:
已知： ，求 的值。
169关卡二
练习5:
求证：当x为大于等于2的自然数时， 是一个合数．
练习6:
已知乘法公式：
（1） ；
（2） ．
利用或者不利用上述公式分解因式： ．
练习7:
分解因式：
17011 因式分解——十字相乘法
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）系数为1的十字相乘法
（2）系数不为1的十字相乘法
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取
公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完
全平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从
特殊到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的
实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接
运用于某些形如 这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定
二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础
十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位.
171知识加油站1——系数为1的十字相乘法
考点一：十字相乘法因式分解的概念
知识笔记1
1、十字相乘法：
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式 ，若存在 ，则
2、系数为1的十字相乘法
（1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则
________(若 ，则 ________)，然后依据一次项系数 b 的正负再确定 的符号
（2）若 中的 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种
可能)，然后看这两个整数之和能否等于 b ，直到凑对为止.
例题1:
（1）下列算式计算结果为 的是
A． B． C． D．
（2）若 能分解为 ，则 的值是
A． B．2 C． D．8
练习1:
（1）若多项式 因式分解的结果是 ，则 的值是
A． B． C．16 D．20
（2）若多项式 分解因式的结果为 ，则 的值为
A． B．3 C． D．1
172考点二：系数为1的十字相乘法因式分解
例题2:
对以下式子进行分解因式：
（1） （2）
3） （4）（2023•普陀区校级期末）
（
5） （6）（2023•浦东新区期末）
（
7） （8）（2023•杨浦区期末）
（
练习2:
对以下式子进行分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
173（5） （6） ．
（7）
例题3:
分解因式：
（1）（2021•金山区期末）分解因式： ．
（2）（2021•普陀区期末）因式分解： ．
（3）（2021•奉贤区期末）分解因式： ．
（4）（2022•虹口民办新复兴中学期中）分解因式： ．
174练习3:
分解因式：
（1） ．
（2）
（3） ；
（4） ；
175考点三：根据因式分解的结果求参数
例题4:
（1）若 ，且 ，则 的值为 ．
（2）若 ， 为常数，多项式 可因式分解为 ，则 的值为
．
（3）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了 ，分解结果为 ；乙看错
了 ，分解结果为 ，请分析一下 ， 的值及正确的分解过程．
（4）已知：关于 的多项式 可以在有理数范围内分解因式，求 的值．
练习4:
（1）当 时，二次三项式 分解因式的结果是 ．
（1）若 分解因式的结果是 ，则 的值为 ．
（3）将一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成 ，乙因看
错了常数项分解成 ．根据上述信息将原多项式因式分解．
（4）已知：关于 的多项式 可以在有理数范围内分解因式，求 的值．
176知识加油站2——系数不为1的十字相乘法
考点四：系数不为1的十字相乘法的概念
知识笔记2
系数不为1的式子相乘法
在二次三项式 中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积，即
，常数项 可以分解成两个因数之积，即 ，把 排列如下：
a c
1 1
a c
2 2
a c + a c
1 2 2 1
按斜线交叉相乘，再相加，得到 ，若它正好等于二次 的一次项系数 ，
即 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 与 之积，即
_____________________________.
例题5:
（1）（2023•杨浦区期末）如果 ，那么
（2）多项式 ，则 ________， _________.
练习5:
（1）已知多项式 ，则 ________， _________.
（2）多项式 ，则 ________， _________.
考点五：系数不为1的十字相乘法因式分解
例题6:
分解因式：
（1）（2022•青浦区清河湾中学期末）因式分解： ；
177（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）
（6）
练习6:
分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ；
178179例题7:
分解因式：
（1） ；
（2） ．
（3）
练习7:
分解因式：
1） （2）
（
7(x+y) 3 −5(x+y) 2 −2(x+y)
（3）
180考点六：十字相乘法与新定义
例题8:
阅读下列材料：
对于多项式 ，如果我们把 代入此多项式，发现 的值为0，这时可以
确定多项式中有因式 ；同理，可以确定多项式中有另一个因式 ，于是我们可
以得到： ．又如：对于多项式 ，发现当 时，
的 值 为 0 ， 则 多 项 式 有 一 个 因 式 ， 我 们 可 以 设
， 解 得 ， ， 于 是 我 们 可 以 得 到 ：
．
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当 时，多项式 的值为 0，所以多项式 有因式
，从而因式分解 ；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用
试根法分解多项式：
① ；
② ．
181练习8:
对于多项式 ，我们把 代入此多项式，发现 能使多项式
的值为0，由此可以断定多项式 中有因式 ，（注：把
代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式 ，于是我们可以把
多 项 式 写 成 ： ， 分 别 求 出 、 后 再 代 入
，就可以把多项式 因式分解．
（1）求式子中 、 的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式 ．
182全真战场
关卡一
练习1:
（1）不能用十字相乘法分解的是（ ）
A． B． C． D．
（2）若多项式 可因式分解为 ，则 的值为
A．6 B． C． D．1
（3）已知多项式 ，则 ________， _________.
练习2:
分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5）
练习3:
因式分解：
（1） ； （2） ；
183（3） （ 4 ） （ 2023• 宝 山 区 期 末 ）
．
（5） ； （6） ；
练习4:
分解因式 ，甲看错了 的值，分解的结果为 ，乙看错了 的值，分
解结果为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）把 分解因式．
练习5:
已知 ，求 的值．
184关卡二
练习6:
分解因式： ．
练习7:
分解因式： ．
练习8:
分解因式：
（1）
（2）
18512 分组分解法与因式分解综合
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）分组分解法
（2）因式分解综合
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的
因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的
分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公
式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的
某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的.
186知识加油站1——分组分解法
考点一：二二分组因式分解
知识笔记
1、分组分解法：
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是
分组分解法．
2、二二分组的特点：
①按__________分组
②按__________分组
③符合__________的两项分组
例题1:
（1）（2022•徐汇西南模范中学期中）分解因式： ．
（2）（2022•徐汇中学期中）分解因式： ．
（3）（2022•青浦实验中学期中）因式分解： ．
（4）（2021•奉贤区期末）分解因式： ．
（5）（2021•浦东新区期末）分解因式： ．
（6）（2021•宝山区期末）分解因式： ．
187（7）分解因式： ．
练习1:
因式分解：
（1） ；
（2） 、
（3） ；
（4）
（5）
（6）
（7）
188189考点二：三一分组因式分解
知识笔记
三一分组的特点：
先____________公式后__________公式
例题2:
（1）（2022•闵行梅陇中学期中）因式分解： ．
（2）分解因式：
（3）（2021•金山区期末）分解因式： ．
（4）（2022•虹口区校级月考）因式分解： ．
练习2:
分解因式：
（1） ；
190（2）（2021•宝山区期末）分解因式： ．
（3） ；
（4）
191知识加油站2——因式分解综合
考点三：因式分解综合
知识笔记
因式分解步骤：
（1）先提公因式
（2）两项考虑__________________因式分解
（3）三项考虑__________________因式分解或__________________因式分解
（4）四项考虑__________________因式分解.
例题3:
分解因式：
（1） ；
（2）
（3） ；
（4） ；
192（5）
（6）
练习3:
分解因式：
（1）
（2） ．
（3） ；
（4） ．
（5） ；
193194（6） ；
例题4:
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）（2022•虹口区校级月考）因式分解： ．
（4）因式分解：
练习4:
（1）（2022•闵行梅陇中学期中）因式分解： ．
195196（2）因式分解： ；
（3）因式分解： ．
考点四：因式分解的简单应用
例题5:
（1）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： ， ，
2， ， ， ，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
（2）在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解
的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分
组因式分解法．例如： ．下列说法：
①因式分解： ；
②若 ， ， 是 的三边长，且满足 ，则 为等腰三角形；
③若 ， ， 为实数且满足 ，则以 ， ， 作为三边能构
成三角形．
其中正确的个数有
A．0 B．1 C．2 D．3
197练习5:
（1）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ， ，5，
， ， ，分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．
（2）已知 ， ， 是 的三条边，且满足 ，则 是
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
198全真战场
关卡一
练习1:
已知 ， ， 是正整数， ，且 ，则 等于
A． B． 或 C．1 D．1或11
练习2:
分解因式：
（1） ；
（2） ．
（3） ；
（4）
（5）
199练习3:
因式分解：
（1）（2020•宝山区期末）分解因式： ．
（2）（2020•奉贤区期末）因式分解： ．
（3）（2020•奉贤区期末）因式分解： ．
（4）（2020•上海期末）分解因式： ．
（5）（2020•浦东新区期末）分解因式： ．
（6）（2020•松江区期末）因式分解： ．
200关卡二
练习4:
分解因式： ．
练习5:
已知： ， ，且 ，求 的值．
20120213 阶段复习
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）阶段真题选填练习
（2）阶段真题计算练习
（3）阶段真题综合题练习
2. 考情分析
（1）《整式》章节在真题试卷中的考察形式；
（2）系统性复习整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、乘法公式、因式分解、
整式的除法等知识点，结合真题试卷巩固。
2. 考情分析
（1）《整式》、《分式》章节在真题试卷中的考察形式；
（2）系统性复习整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、乘法公式、因式分解、
整式的除法、分式的概念和运算等知识点，结合真题试卷巩固。
203知识加油站1——阶段真题选填练习
考点一：阶段真题选填练习
例题1:
一、选择题
1．下列各式中，符合代数式规范书写要求的是
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是
A． 是三次三项式 B． 的系数是4
C． 的常数项是 D．0是单项式
3．下面的计算正确的是
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
5．下列运算中，计算正确的是
A． B．
C． D．
6．若 ， ，则下列判断正确的是
A． B． C． D．无法判断
二、填空题
7．用代数式表示“ 与 的和的平方”为 ．
8．当 时，代数式 的值是 ．
9．将多项式 ，按字母 升幂排列是 ．
10．若单项式 是六次单项式，那么 ．
20411．单项式 和 是同类项， ．
20512．计算： ．
13．计算： ．
14．分解因式： ．
15．因式分解： ．
16．一种商品每件成本为 元，现按成本增加 出售，则这件商品的售价为 元（用
含有 的式子表示）．
17．已知 ， ，则 ．
18．已知关于 的式子 是某个多项式的完全平方，那么 是 ．
练习1:
一、选择题
1．下列计算正确的是
A． B． C． D．
2．在代数式0， ， ， ， ， 中，单项式的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知 是一个完全平方式，则常数 的值为
A．6 B． C．12 D．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
5．计算 的结果是
A． B．2 C． D．
6．从边长为 的大正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同
的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴
影部分的面积，可以验证成立的公式为
A． B．
C． D．
206二、填空题
7．计算： ．
8．计算： ．
9．计算： ．
10．计算： ．
11．计算： ．
12．用代数式表示： 的平方的3倍与5的差的一半 ．
13．当 时，代数式 的值是 ．
14．若 与 是同类项，则 ．
15．把多项式 按字母 的降幂排列是： ．
16．因式分解： ．
17．若 的展开式中不出现 项且 项系数为1，则 ．
18．已知 ， ，求 的值是 ．
207知识加油站2——阶段真题计算练习
考点二：阶段真题计算练习
例题2:
简答题
1．化简： ．
2．计算： ．
3．计算： ．
4．计算： ．
5．因式分解： ．
2086．因式分解： ．
练习2:
简答题
1．计算： ．
2．计算： ．
3．利用乘法公式计算：
（1） ； （2） ．
4．计算： ．
5．分解因式： ．
209210知识加油站3——阶段真题综合题练习
考点三：阶段真题综合题练习
例题3:
解答题
1．先化简，再求值： ，其中 ， ．
2．阅读并填空：
我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子，
；
；
．
（结果按字母 降幂排列）
（结果按字母 降幂排列）
观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾
宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”．利用“贾宪三角”可知： ．“贾宪
三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字 1、3、6、10、 也有规律，
若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第 个数是 （用含 的式子表示）．
2113．在长方形 内将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图1和图2两种方式
放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖
的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ．
（1）当 ， ， ， 时， ， ；．
（2）当 ， 时， ， （用 和 的代数式表示）
（3）当 时， 的值是 （用 、 或 和 的代数式表示）
练习3:
一、解答题
1．先化简，再求值： ，其中 ．
2．已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
2122133．已知（如图）用四块大小一样，两直角边的长分别为 、 ，斜边的长为 的直角三角
形拼成一个正方形 ，求图形中央的小正方形 的面积，有
（1） （用 、 表示）；
（2） （用 表示）；
（3）由（1）、（2），可以得到 、 、 的关系为： ．
二、能力题
4．阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
（1） ；
（2） ．
214全真战场
关卡一
练习1:
一、单选题
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列结果等于6a4的是（ ）
A．3a2+2a2 B．3a2•2a2 C．（3a2）2 D．9a6÷3a2
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．化简 正确的结果是 （ ）
A． B．
C． D．
7．下列去括号中，正确的是（ ）
A．a2-（2a-1）=a2-2a-1 B．a2+（-2a-3）=a2-2a+3
C．3a-[5b-（2c-1）]=3a-5b+2c-1 D．-（a+b）+（c-d）=-a-b-c+d
2158．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D ．
9．将下列多项式分解因式，得到的结果中不含因式x-1的是（ ）
A． B． C． D ．
二、填空题
10．计算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝ ．
11．长为a，宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则 的值为 .
12．计算 ＝ ．
13．a6b6=（a2b2）（） =（ab）（ab）（） ．
三、计算题
14．计算：
（1）（x3）2•（﹣2x2y3）2； （2）（a﹣3）（a+3）+（2a+1）
2．
15．因式分解：
（1）﹣a3+2a2﹣a； （2）x4﹣1．
216四、解答题
16．数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解
题过程如下：
2962=(300－4)2=3002－2×300×(－4)+42
=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的不符合题意，你认为小亮的解题过程错
在哪儿，并给出正确的答案.
17．若x+y=3，xy=1，试分别求出（x﹣y）2和x3y+xy3的值．（请写出具体的解题过程）
217五、综合题
18．规定两数a，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，那么(a,b)=c，例如：
因为23=8，所以(2,8)=3.
（1）根据上述规定，填空：
， ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象， ，小明给出了如下的证明：
设 ，则 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴
3n,4n
(3,4)
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：
218关卡二
练习2:
计算： ．
练习3:
△ABC的三边a，b，c满足 ，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．腰底不等的等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
练习4:
我国宋代数学家杨辉发现了 （ ，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， 展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
21914 整式的除法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）同底数幂的除法
（2）单项式除以单项式
（3）多项式除以单项式
2. 考情分析
（1）主要考察同底数幂、单项式与单项式以及多项式与单项式运算，这个部分知识主要以
计算解答题的形式对学生进行考察。
（2）整式除法同整式加减法一样，是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、
方程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工
具，因此，本章内容在学习数学及其他学科方面占有重要的地位和作用．学习整式乘除是
学习整式加减的继续和发展。
220知识加油站1——同底数幂的除法
考点一：同底数幂的除法
知识笔记1
1、同底数幂相除：
同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：_______________________
2、零次幂
规定___________________；___________________（ ， 是正整数）．
例题1:
计算：
（1）（2022•浦东新区二模）计算： ．
（2） .
（3）（2022•普陀区梅陇中学期中）计算： ．
（4）（2022•闵行区梅陇中学期中）计算：结果用幂的形式表示 ．
（5）（2021•徐汇区月考） ．
221练习1:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）（2022•浦东新区期中）计算： ；
（5） ；
（6） ．
例题2:
计算：
（1） ．
（2） ．
222223练习2:
计算：
（1） ．
（2）
例题3:
（1）若 ， ，则 ．
（2）（2020•浦东新区月考）若 ， ，则 的值为 ．
练习3:
（1）若 ， ，则 ．
（2）已知 ， ，则 ．
224例题4:
（1）已知： ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
练习4:
（1）若 ， ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值；
225考点二：同底数幂的除法与新定义
例题5:
探究应用：用“ ”“ ”定义两种新运算：对于两个数 ， ，规定 ，
．例如： ； ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）当 为何值时， 的值与 的值相等．
练习5:
我们约定： ，如 ．
（1）试求 的值；
（2）试求 的值．
226知识加油站2——单项式除以单项式
考点三：单项式除以单项式
知识笔记2
单项式除以单项式：
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例题6:
计算：
（1）（2022•闵行区梅陇中学期中）计算： ．
（2） ；
（3） ．
（3） ．
练习6:
计算：
（1）
227（2） ．
（2）
考点四：单项式除以单项式的简单应用
例题7:
（1）已知一个单项式乘以 ，所得的积是 ，求这个单项式．
（2）已知长方体的体积为 ，它的长为 ，宽 ，求这个长方体的高．
（3）先化简： ，再计算：当 ， ， 的值．
228练习7:
（1）三角形的面积为 ，一底边长为 ，则这条边上的高可以表示为： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ， ．
229知识加油站3——多项式除以单项式
考点五：多项式除以单项式
知识笔记3
多项式除以单项式：
先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商___________．
例题8:
计算：
（1）（2020•松江区期末）计算：
（2）（2021•普陀区期末）计算： ．
（3）（2021•宝山区期末）计算：
（4）（2020•徐汇区校级月考）计算： ．
230练习8:
计算：
（1）
（2） ．
（3） ．
（4） ．
例题9:
计算：
（1） ．
（2） ．
（3）（2022•宝山实验学校期中）计算： ．
231232（4）
练习9:
计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
233考点六：多项式除以单项式的应用
例题10:
（1）已知一个多项式与单项式 的积是 ，求这个多项式．
（2）（2020•浦东新区月考）一个矩形的面积为 ，若一边长为 ，则其邻边长为
．
（3）化简求值： ，其中 ， ．
练习10:
（1）已知 与一个整式的积是 ，求这个整式．
（2）先化简再求值： ，其中 ， ．
234全真战场
关卡一
练习1:
计算：
（1） __________．
（2） __________．
（3） __________．
（4） __________．
（5） ．
（6） ．
练习2:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
235236练习3:
计算：
（1） ．
（2） ．
（3） .
（4）
练习4:
（2022•宝山区校级月考）先化简，再求值： ，其中 ，
．
237关卡二
练习5:
是否存在常数 、 使得 能被 整除？如果存在，求出 、 的值，
否则请说明理由．
238练习6:
我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，井把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数
低于除式的次数时为止，被除式 除式 商式 余式，若余式为零，说明这个多项式能被
另一个多项式整除．
例如：计算 ，可用竖式除法如图：
所以 除以 ，商式为 ，余式为0．
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1） 的商是_________________，余式是_________________；
（2） 能被 整除，求 ， 的值．
239练习7:
已知 为实数，且多项式 能被多项式 整除
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ， ， 为整数，且 ，试确定 ， ， 的值．
240【初一 01A】
入门测
1.探究：
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第 个等式；
（3）计算： ．
入门测Plus
1．Ⅰ．找规律再填数： ， ， ，则第 个算式是 ．
Ⅱ．根据以上规律求：
（1） ；
（2） ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/13 14:08:50；用户：初中数学1；邮箱：shxdff1@jyeoo.com；学号：53889832
241出门测
1．（2021•长宁区期中）下列各式，哪个是代数式
A． B．
C． D．
2．（2021•金山区期中）用代数式表示“ 的2倍与 的和的一半”正确的是
A． B． C． D．
3．（2021•松江区期中）代数式0， ， ， ， ， 中，单项式有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2021•长宁区期中）将多项式 按 降幂排列为 ．
5．（2021•杨浦区期末）六一儿童节当天，某商店进价为 元的书包先加价 再按八折
出售，则该书包的实际售价是 元．（用含 的代数式表示）
6．（2021•浦东新区期末）先阅读下面例题的解题过程，再解决后面的题目．
例：已知 ，求 的值．
解：由 ，得 ，即 ，所以 ，所以
．
题目：已知代数式 的值是 ，求 的值．
242出门测Plus
1．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解
答下面问题．
（1）已知 ， ，求当 时 的值．
提示： ．
（2）若代数式 的值为8，求代数式 的值．
提示：把 变形为含有 的形式．
（3）已知 ，求代数式 的值．
提示：把 和 当做一个整体；由已知得 ，代入 ．
243【初一 02A】
入门测
1．下列各式符合代数式书写规范的是
A． B． C． D． 个 个
2．某校开展了丰富的社团活动，每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参加．已知参
加体育类社团的有 人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科
技类社团的人数比参加文艺类社团人数的 少2人，则参加三类社团的总人数为
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的是
A． 的系数是
B． ， ，5是多项式 的项
C．单项式 的系数是0，次数是5
D． 是二次二项式
入门测Plus
1．当 时，多项式 中不含 项．
2．莱州市大基山森林公园门票的收费标准是：外地户口成人票每张 40元，莱州市本地户
口成人票每张20元．所有70周岁以上老人及18周岁以下未成年人均免门票．某一天，大
基山森林公园接待了 名外地户口游客，其中70周岁以上老人及18周岁以下未成年人共
5人；接待了 名莱州本地户口游客，其中70周岁以上的老人及18周岁以下的未成年共20
人．则大基山森林公园该日门票的总营业额为 元．
244出门测
1．（2020•嘉定区期末）下列计算中，正确的是
A． B． C． D．
2．（2021•杨浦区期末）下列各题中去括号正确的是
A． B．
C． D．
3．（2021•浦东新区傅雷中学期中）如果多项式 减去 得 ，那么多项式 是
A． B． C． D．
4．（2021•浦东新区洋泾外国语学校月考）去括号并按 的降幂排列 ．
5．（2021•徐汇区中国中学月考）若 ， ，则 ．
出门测Plus
1．（2021•宝山区罗南中学月考）若代数式 的值与字
母 的取值无关，求代数式 的值．
245【初一 03A】
入门测
1．下面是小敏做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：
，阴影部分即为被墨迹弄污
的部分．那么被墨汁遮住的一项应是
A． B． C． D．
2．去括号： ，结果正确的是
A． B． C． D．
3．如果多项式 加上 得 ，那么多项式 是
A． B． C． D．
4．多项式 化简后不含 的二次项，则 的值为 ．
5．如图，一个正方形盒底放了3张完全一样的长方形卡片（卡片不重叠，无缝隙），已知
长方形卡片较短边的长度为 ，则未被长方形卡片覆盖的 区域与 区域的周长差是
．（用含 的代数式表示）
246入门测Plus
1．先化简，再求值．
（1） ，其中
（2） ，其中 ， ．
出门测
1．（2021•青浦区月考）下列运算中，错误的个数是
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020•宝山区期末）计算： 的结果是
A． B． C． D．
3．（2021•徐汇区中国中学月考）若 ， ，则 的值为
A．1 B． C．5 D．
4．（2021•浦东新区期中）已知 ，则 的值是_________．
5．（2021•青浦区月考）化简： _________．
247出门测Plus
1．（2021•浦东新区洋泾外国语学校月考）已知 ， ，求：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
248【初一 04A】
入门测
1．下列计算正确的是
A． B． C． D．
2 ． （ 2023• 闵 行 区 校 级 月 考 ） 已 知 算 式 ： ① ； ②
；③ ；④ ；其中正确
的算式是
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
3．计算 的结果为
A． B． C． D．
4．计算：
（1） _______；
（2） _______；
（3） _______．
入门测Plus
1．已知 ， 满足方程组 ．给出下列结论：
①当 时， 是方程组的解；
②若方程组的解也是 的解，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的是__________．（填序号）
249出门测
1．（2021•普陀区新黄浦实验期中）若 ， ，则代数式 的值是
A．1 B．2021 C． D．2022
2．（2021•浦东新区期中）下列各式中，运算正确的是
A． B．
C． D．
3．（2021•浦东新区洋泾外国语学校月考）下列选项中，做得正确的是
A． B．
C． D．
4．（2021•普陀区梅陇中学月考）若 ， ，用字母 、 表示
．
5．（2021•青浦区月考）化简： ．
出门测Plus
1.（2021•徐汇区中国中学月考）我们规定一种运算，如果 ，则 ，例如若
，则 ．
（1）根据上述规定填空 ， ， ．
（2）小明在研究这种运算时发现一种现象： ， ， ，
小明给出了如下证明过程：
解：设 ， ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
请你用这种方法证明 ， ， ， ．
250251【初一 05A】
入门测
1．计算 的结果是
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．下列选项中，做得正确的是
A． B．
C． D．
4．如果 ， ，则 ， ．
5．若 ，则 的值为 ．
入门测Plus
1．计算：
（1） ；
（2） ．
252出门测
1．（2022•浦东新区校级期中）如图，正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类各若干
张，如果要拼一个长为 ，宽为 的大长方形，则需要 类、 类和 类卡片
的张数分别为
A．2，5，3 B．3，7，2 C．2，3，7 D．2，5，7
2.（2023•浦东新区期末）计算： ．
3．（2023•静安区校级月考）计算，结果用科学记数法表示：
．
4．（2023•松江区月考）计算： ．
出门测Plus
1．（2023•松江区月考）若 的展开式中不含 和 项，求 、
的值．
253【初一 06A】
入门测
1．计算 的结果是 ．
2．如图，根据图形的面积可得到一个整式乘法的一等式为 ．
3．若计算 与 相乘的结果中不含有 的项，则 的值为 ．
4．在 的运算结果中不含 项，且 项的系数是 ，那么
．
5．已知 ，计算 的值为 ．
入门测Plus
1．甲、乙两人共同计算一道整式： ，由于甲抄错了 的符号，得到的结果是
，乙漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果是 ．
（1）求 的值；
（2）若整式中的 的符号不抄错，且 ，请计算这道题的正确结果．
254出门测
1. 下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
2. 一张长方形的桌子可坐6人，按下图将桌子拼起来．按这样的规律做下去第 张桌子可
以坐 人．
3. 与 的和是 ，则 ．
4. 已知 ， ，则 ．
5. 计算： ．
6. （2023•静安区校级月考）若 的乘积中不含 和 项，
．
出门测plus
1. （2023•静安区校级月考）计算：
（1） ；
（2） ；
255256【初一 07A】
入门测
1. 下列计算过程正确的是
A． B．
C． D．
2. 如图，用若干个边长为1的小正方形，依次拼成大的正方形，其中第1个正方形中有4
条长为1的线段，第2个大正方形中有6条长为2的线段，第3个大正方形中有8条长为3
的线段， ，那么第 个大正方形中有长为 的线段的条数为
A． B． C． D．
3. 如果单项式 与 是同类项，那么 的值 ．
4. 若 ， ．
5. 计算： ．
6. 计算： ．
257入门测Plus
1.（2023•静安区校级月考）计算：
（1） ；
（2） ．
出门测
1．（2022•静安区市西中学期中）在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
2．（2022•建平中学西校期中）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
3．（2021•徐汇区月考） ．
4．（2020•普陀区期末）计算： ．
5．（2020•上海期末）计算： ．
出门测Plus
1．（2022•长宁区天山二中期中）计算： ．
258259【初一 08A】
出门测
1．下列各式能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
2．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
3．若 ， ，则 ．
4．计算 ．
5．当 时， 的值为3，则 的值为 ．
入门测Plus
1．用简便方法计算
（1）
（2）
260出门测
1．（2022•闵行区梅陇中学期中）若多项式 是完全平方式，则 的值为
A．6或 B．12或 C．12 D．
2．（2021•浦东新区期末）多项式 是个完全平方式，那么代数式 不可能为
A ． B ． C ． D ．
3．（2021•徐汇区月考） ．
4．（2021•长宁区西延安中学期中）已知 ，则代数式 的值为 ．
5．若 ，则 ．
出门测Plus
1．（2021•普陀区期中）已知 ， ．
（1）求 的值
（2）求 的值．
261【初一 09A】
入门测
1．若 是完全平方式，则 的值等于
A．2 B．2或 C．4或 D．8或
2．若 为常数，要使 成为完全平方式，那么 的值是
A．4 B．8 C． D．
3．若 ，则 的值是 ．
4．已知： ，则代数式 的值为 ．
5．若 ， ，则 ．
入门测Plus
1．已知 ， ，请求出 与 的值．
262出门测
1．（2021•松江区期中）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是
A． B．
C． D．
2．（2020•浦东新区期末）多项式 ， 与 的公因式为
A． B． C． D．
3．（2021•浦东新区傅雷中学期中）因式分解：
．
4．（2021•长宁区西延安中学期中）分解因式： ．
5．（2021•黄浦区期中）分解因式： ．
出门测Plus
1．（2021•奉贤区期中）小红准备完成题目：计算 ．
她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算： ；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题
中被遮住的一次项系数是多少？
263【初一 10A】
入门测
1．下列各式中从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
2．多项式 是正整数）中各项的公因式是
A． B． C． D．
3．分解因式： ．
4．因式分解．
（1） ；
（2） ．
5．分解因式：
（1） ；
（2） ．
入门测Plus
1．已知 的一个因式为 ，求 值．
264265出门测
1．（2022•嘉定区丰庄中学期中）下列因式分解的结果正确的是
A． B．
C． D．
2．（2021•嘉定区期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是
A． B． C． D．
3．（2022•长宁区第三女子中学期中）因式分解： ．
4．（2022•黄浦区期中）分解因式： ．
5．（2022•浦东新区南汇一中期中）分解因式： ．
出门测Plus
1．（2022•奉贤区期中）因式分解： ．
2．（2022•嘉定区丰庄中学期中）因式分解： ．
266【初一 11A】
入门测
1．下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
2． 可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是
A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65
3．因式分解： ．
4．分解因式： ．
5．分解因式： ．
6．因式分解：
（1） ；
（2） ．
入门测Plus
1．因式分解．
（1） ；
（2） ．
267出门测
1．（2022•静安区二模）如果把二次三项式 分解因式得 ，
那么常数 的值是
A．3 B． C．2 D．
2．（2022•静安教育学院附属学校期中）多项式 可因式分解成
，其中 、 、 均为整数，求 之值为何？
A．0 B．10 C．12 D．22
3．（2022•闵行区梅陇中学期中）因式分解： ．
4．（2022•虹口区民办新复兴中学期中）分解因式： ．
5．（2020•松江区期末）因式分解： ．
出门测Plus
1．阅读下列材料：
材料1：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足 且 ，
则可以把 因式分解成 ，如：（1） ；
（2） ．
材料2：因式分解： ．
解：将“ 看成一个整体，令 ，则原式 ，再将“ ”还
原得：原式 ．
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问
题：
（1）根据材料1，把 分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式： ；
②分解因式： ．
268269【初一 12A】
入门测
1．若多项式 因式分解为 ．其中 ， 均为整数，则 的值是
A．13 B．11 C．9 D．7
2．计算结果为 的是
A． B． C． D ．
3．若某多项式分解因式的结果为 ，则原多项式为 ．
4．因式分解： ．
5．将下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
入门测Plus
1. 阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式
再将“ ”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你
解答下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）求证：无论 为何值，式子 的值一定是一个不小于1的数．
270出门测
1．（2022•长宁娄山中学期中）分解因式： ．
2．（2022•普陀区梅陇中学期中）分解因式： ．
3．（2022•崇明区二模）分解因式： ．
4．（2021•松江区期中）因式分解： ．
5．（2021•长宁西延安中学期中）分解因式： ．
出门测plus
1．（2022•长宁第三女子中学期中）阅读：分解因式 ．
解 ： 原 式
，
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种
方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决
下列问题：在有理数范围内分解因式： ．
271【初一 14A】
入门测
1．分解因式 ．
2．分解因式： ．
3．分解因式： ．
4．分解因式： ．
5．已知 ， ，求 的值．
入门测plus
1．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式 变形为 的形式，我们把这
样的变形方法叫做多项式 的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一
些 多 项 式 进 行 分 解 因 式 ． 例 如 ：
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将 化成 的形式；
（2）把多项式 进行分解因式．
272出门测
1. 已知 ， ，则 ．
2．（2022•长宁区二模）计算： ．
3. （2023•静安区校级月考）计算： ．
4．计算： ．
5. 计算： ．
6．（2021•浦东新区期末）计算： ．
出门测Plus
1. 计算： ．
2．（2022•闵行区梅陇中学期中）先化简，再求值： ，
其中， ， ．
273
