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重难点 05 函数大综合
题型01 点恒过定直线问题
1．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数 （a为常数）．
y=−x2+(2a+4)x−a2−4a
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当a+1≤x≤2a+5(a≥−1)时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线x=1，该函数图象与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于
点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为CD的中点，过点M的直线l（直线l不过C,D两点）与二次
函数图象交于E,F两点，直线CE与直线DF相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
3
②若S = S ，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
△COP 5 △ABP
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2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线 交 轴于 两点（ 在 的左边），交 轴于
C :y=x2−2x−8 x A,B A B y
1
点C．
(1)直接写出A,B,C三点的坐标；
(2)如图（1），作直线x=t(00)上．
1
(1)求抛物线W 的对称轴；
1
(2)若c=4，
①不管d取任何实数，抛物线 上的三个点 ， ， 中至少有两个点在x轴的上
W (d,y ) (d+1,y ) (d+3,y )
1 1 2 3
方，求a的取值范围；
②平移抛物线W 得到抛物线W ，W 过点P，且其顶点为O，过点Q(1，2)作直线MN（不与直线OP重
1 2 2
合）交抛物线W 于M，N两点（点M在点N左侧），直线MO与直线PN交于点H．求证：点H在一条定
2
直线上．
4．（2023·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线 ，与 轴交于点 ．
C :y =x2−2mx+2m2−1 y A
1 1
(1)m=2时，过点A作直线l垂直于y轴，与抛物线C 的另一个交点记为点B．求AB的长；
1
(2)拋物线C 的开口方向和开口大小均与抛物线C 相同，顶点在y=x2−1上，C 的顶点横坐标为n，且C
2 1 2 2
解析式记为y ．
2
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①C 与直线l交于点C、D两点，若CD>AB，求n的范围；
2
②若m≠n，当抛物线C 与抛物线C 的交点始终在定直线x=k（k为常数）上时，求此时y + y 的最小值
1 2 1 2
（用含k的代数式表示）．
5．（2024·四川成都·一模）如图，直线y=−x−4分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．
1
抛物线y= x2+bx+c过A，B，C三点．
5
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作BD∥AC交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接PD
交AC于点E，连接EB，求S 的最大值及最大值时点P的坐标；
△PEB
(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y=−2x与新抛物线交于
O，G两点，点H是线段OG的中点，过H作直线RQ（不与OG重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R
在点Q左侧．直线GR与直线OQ交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，
若不是，请说明理由．
题型02 直线过定点问题
6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=ax2−2ax−3a(a>0)与
x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
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(1)求线段AB的长；
(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛
物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上．试判断抛物线L'与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐
标；若不是，请说明理由．
7．（2023·湖南·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2−2ax+3与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于
点C，连接AC，过B、C两点作直线．
(1)求a的值．
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B'、C'两点．在直线B'C'上方的抛物线上是否存
在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B'C'的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
(3)抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请
说明理由．
8．（2024·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，D(0,−3)，抛物线y=−2x2+6x+8
与y轴交于C点，交x轴于A、B两点（A在B的左边），E为抛物线第一象限上一动点．
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(1)直接写出A，B两点坐标；
(2)连接BD，过E作EF⊥x轴交BD于F，当DF=CE时，求点E的横坐标；
(3)连接ED，平移至MN，使M，E对应，使M，N分别与D，E对应，且M，N均落在抛物线上，连接
EM，判断并证明直线EM是否经过一个定点．
题型03 恒定值的有关计算问题
9．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A(2,4)，D(6,0)，
点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GF∥AO，¿⊥DO于点E，交AD于点I，
AH平分∠OAD，C(−2,−4)，AH⊥CH于点H，连接FH．
(1)求抛物线的解析式及△AOD的面积；
(2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；
FG
(3)试探究 的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
GI
10．（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1，0)B(3，0)两点，M为抛物线
的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB的中点为E，直线AD，BC的交点为P．
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(1)求抛物线的函数表达式；
3
(2)若C(4,3)，D(m,− )，且m<2，求证：C，D，E三点共线；
4
(3)小明研究发现，无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△ABP的面积恒为定值，
请求出此定值．
11．（2023·云南·模拟预测）已知抛物线 ，其中 ．
y=x2+(2−m)x−2m m>0
(1)求证：该抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
2
(2)如图，设抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左边），与y轴的交点为C，已知点D(0, )，直
m
线AD交抛物线于另一点E，连接CE，过点B作BF⊥x轴，交CE于F．
①请直接写出A，B，C的坐标（可用含m的式子表示）；
②求证：当m(m>0)变化时，线段BF的长度恒为定值．
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(−1,0)，
B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)直接写出抛物线的解析式；
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(2)如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转90°刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标；
(3)点P为抛物线y=ax²+bx+c的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F(点E在F的左侧)．
1 1
若 + 恒为定值m，求m的值．
PE PF
题型04 特殊角的唯一存在性
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点（
C :y=ax2−2ax−3a(a<0) x A B A
1
在B的左边），与y轴正半轴交于点C，△ABC的面积为4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D是第一象限抛物线C 上一点，△ABD外接圆的圆心在抛物线C 的对称轴上，若D点的纵坐
1 1
标为2，求tan∠ADB的值；
(3)如图3，已知直线l:y=2x−1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E，F两
点．设平移过程中若抛物线的顶点D的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF=90°，求m的
值．
14．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，
8
0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+ （a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于
3
点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
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3
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的 ，求点R的坐标；
4
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐
标．
15．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)和
B(3,0)，点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；
(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
16．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线y=x2+bx+c与轴交于
1 5
点A( ,0)、B两点，与y轴交于点C(0, )，连接BC．
2 4
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当△QBC的面积等于△ABC面积的2倍时，求此时点Q的
坐标；
(3)如图2，点P在x轴下方的抛物线上，点D为抛物线的顶点．过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，AD
交PB于点F，连接EF，∠EFB=2∠FBD，探究抛物线上是否存在点M，使
∠MBC+∠CBO+∠AFB=180°，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型05 等角与相似三角形存在性综合
17．（2023·湖北武汉·一模）抛物线y=−x2+2mx−m2+2m (m>0)交x轴于A，B两点（A在B的左边），
C是抛物线的顶点．
(1)当m=2时，直接写出A，B两点的坐标：
(2)点D是对称轴右侧抛物线上一点，∠COB=∠OCD，
①如图（1），求线段CD长度；
②如图（2），当m>2，T(t,0)(t>0)，P为线段OC上一点．若△PCD与△POT相似，并且符合条件的点
P有2个，求t和m之间的数量关系．
18．（21-22九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点B(3,0)，点C(0,3)，D
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为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠AQC=90°，求点Q的坐标；
(3)在坐标平面内找一点P，使△OCD与△CBP相似，且∠COD=∠BCP，求出所有点P的坐标．
19.（2023·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴
y=ax2+bx+4(a>0) x A(1,0) B(4,0) y
交于点C
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，连接
OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ，
在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
题型06 新定义与函数综合
c
20．（2025·湖南长沙·一模）定义：若一次函数y=ax+b和反比例函数y=− 交于两点(x , y )和(x , y )，
x 1 1 2 2
满足 ，则称 为一次函数和反比例函数的“ 属合成”函数．
x =k y (x 0)与反比例函数y = 交于A, B两点，它们的“−a属合成”函数为y ，若
1 2 x 3
点A在直线y=−ax+5上，求y 的解析式；
3
3
(3)如图，若y=ax+b与y=− 的“2属合成”函数的图象与x轴交于M, N两点（M在N点左侧），它
2x
的顶点为 ， 为第三象限的抛物线上一动点， 与 轴交于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转
D(1, y ) P NP y E DE D
0
90°得到线段DF，射线ME与射线FN交于点G，连接MP，若∠MGN=2∠MPN，求点P的坐标．
21．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线C 沿x轴向右平移m个单位长度得到抛物线C ，那么我们称
1 2
抛物线 是 的“友好抛物线”， 称为“友好值”．如图，抛物线 与 轴交于
C C m C :y=a(x+2) 2−6 x
2 1 1
A(−8,0),B两点，抛物线C 是C 的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线C 与x轴交于A ,B 两点，
2 1 2 1 1
与y轴交于点C，作直线B C，点M是抛物线C 上一动点．
1 2
(1)抛物线C 的表达式为_________；
2
(2)若点M在第四象限，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交B C于点P，当PQ=2PM时，求MQ的长；
1
(3)是否存在点M，使得∠MCB =15°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1
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22．（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的直角边长为n（n为正整数，
且n≥2），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点M(x,y)在等腰直角三角形OAB边上，且
x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形OAB的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形OAB只
有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形OAB的“整点函
数”．
(1)如图1，当n=2时，一次函数y=kx+t是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，则符合题意的一次函数
的表达式为______（写出一个即可）；
m
(2)如图2，当n=3时，函数y= 的图像经过C(1,2)，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
x
(3)当n=4时，二次函数y=ax2+bx+2经过AB的中点，若该函数是“整点函数”，求a的取值范围；
(4)在（3）的条件下 ， 是二次函数 图象上两点，若点 、 之间的
P(a+1,y ) Q(a+2,y ) y=ax2+bx+2 P Q
1 2
图象（包括点P、Q）的最高点与最低点纵坐标的差为3|a|，求a的值
【命题预测】
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线y=−x2+3x+4与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
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(2)如图（1），P是抛物线上异于A，B的一点，将点B绕点P顺时针旋转45°得到点Q，若点Q恰好在直
线AP上，求点P的坐标
(3)如图（2），M，N是抛物线上异于B，C的两个动点，直线BN与直线CM交于点T，若直线MN经过定
点(1,3)，求证：点T的运动轨迹是一条定直线．
2
2．（2024·山东德州·一模）已知抛物线C :y=ax2+2ax+a− ．
1 3
(1)写出抛物线C 的对称轴：______．
1
(2)将抛物线C 平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C ，且抛物线C 经过点A(−2,−2)和点B（点B
1 2 2
在点A的左侧）．
①求C 的函数解析式；
2
②若△ABO的面积为4，求点B的坐标．
(3)在（2）的条件下，直线l :y=kx−2与抛物线C 交于点M,N，分别过点M,N的两条直线l ,l 交于点P，
1 2 2 3
且l ,l 与y轴不平行，当直线l ,l 与抛物线C 均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上．
2 3 2 3 2
3．（2025·云南·模拟预测）已知函数 （k为正整数）．
y=kx2+(2k+1)x+2
(1)若函数 的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此
y=kx2+(2k+1)x+2
函数的解析式；
(2)无论k为何值，该函数都经过定点 ，且 ，求T11−T9−2T7+2T5+T3−T的值．
M(s,t) T+3=st
T4−2T2+1
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)和B(3,0)两点，与y轴交
于点C，点P为第一象限抛物线上一个动点．
(1)直接写出该抛物线的解析式；
(2)如图1，若tan∠PCA=2，求点P的坐标；
(3)如图2，过A作AQ⊥AP交抛物线于点Q，当点P在运动过程中，直线PQ是否经过一个定点，若经过
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定点，求出该定点的坐标．
5．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3,0)，B两点，与y轴交于C点，
对称轴直线x=−1．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，直线x=−1与抛物线，x轴分别交于点M，N，ND⊥AC于点D，点E在坐标平面内，若以M，
C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
(3)如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线y=2x+c
与抛物线交于点R，探究直线PR是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请
说明理由．
6．（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线y=a(x+1)(x−3)(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C(0，3)．点P是第一象限抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线解析式．
(2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接AC、CP、AP，求△ACP面积．
(3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，AP交y轴于H点，AQ交y轴于G点．在点P、Q运动
的过程中始终满足OH⋅OG=2，试探究直线PQ是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不
是，说明理由．
7．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+x+6与x轴分别交于A、B两点，
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与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE⊥BC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐
标；
(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使∠BCQ=45°，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
8．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数 和 的图象分别为抛物线C和 ．
y=a(x−b) 2+c y=−a(x−p) 2+q(a≠0) C
1
定义：若抛物线C 的顶点Q(p,q)在抛物线C上，则称C 是C的伴随抛物线．
1 1
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C 是C的伴随抛物线，则C也是C 的伴随抛物线，即C的顶点P(b,c)在C 上．
1 1 1
【理解与运用】
1 1 1 1
（1）若二次函数y=− (x−2) 2+m和y=− (x−n) 2+ 的图象都是抛物线y= x2的伴随抛物线，则m=
2 2 2 2
______，n=______．
【思考与探究】
（2）设函数y=x2−2kx+4k+5的图象为抛物线C ．
2
①若函数y=−x2+dx+e的图象为抛物线C ，且C 始终是C 的伴随抛物线，求d，e的值；
0 2 0
②若抛物线 与x轴有两个不同的交点 ， ，请直接写出 的取值范围．
C (x ,0) (x ,0) (x 0)与x轴交于点A，与
抛物线E:y=ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a
的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(−2,1)，(2,0)等均为格点．如图
2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值
范围．
10．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)，点Q(c,d)，若c=ka，
d=−kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点(−4,6)是点(2,3)的“−2级
变换点”．
4
(1)函数y=− 的图象上是否存在点(1,2)的“k级变换点”?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
x
(2)点A ( t, 1 t−2 ) 与其“k级变换点” B分别在直线l ，l 上，在l ，l 上分别取点(m2,y )，(m2,y )．若
2 1 2 1 2 1 2
k≤−2，求证：y −y ≥2；
1 2
(3)关于x的二次函数y=nx2−4nx−5n(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线
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y=−x+5上，求n的取值范围．
11．（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0与抛物线y=bx2+ax+c称为
“关联抛物线”，例如，抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+1，已知抛物线C ：
1
的“关联抛物线”为 ， 与y轴交于点E．
y=4ax2+ax+4a−3(a>0) C C
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(1)若点E的坐标为(0,−1)，求C 的解析式；
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(2)设C 的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；
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(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C ，C ，于点M，N．
1 2
①当MN=6a时，求点P的坐标；
②当a−4≤x≤a−2时，C 的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
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12．（2024·广西·模拟预测）阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中
的自变量x替换为|x|，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数
y=x+1的“绝对函数”是 ，即 ；函数 的“绝对函数”是 ，即
y=|x|+1 y=¿ y=x2+2x−1 y=|x| 2+2|x|−1
y=¿；函数y=x+1的图象如图1，则它的“绝对函数”y=|x|+1的图象如图②所示．
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(1)y= 的“绝对函数”是______；
x
(2)在图3的平面直角坐标系中画出y=−x+2的绝对函数的图象；
(3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为A'，O是平面直角坐标系的原点，则
△A A'O的面积是______；
(4)函数y=x2−4x+3的“绝对函数”与直线y=−x+m有四个交点时，求m的取值范围．
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