预初数学精进班-出入门测题集教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_预初_精进_出入门测

【预初 A01】 入门测 1．若气温升高2C记作“ 1 + 2  C ”，则气温下降 4  C 可记作 ( ) A．−2C B．−4C C． 4  C D． − 6  C 2．为计数方便，某果园以每筐水果 2 5 k g 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作 负数．“−3kg”表示的实际千克数是 ( ) A．3 B．22 C．25 D．28 3．下列各数是负整数的是( ) A．−2 B． − 1 2 C．− D． − ( − 2 ) 4．某一天，甲、乙、丙、丁四个城市的最低气温分别是 − 1 0  C ， 0  C ， 2  C ， 1 4  C ，其中 最低气温是 ( ) A． − 1 0  C B．0C C． 2  C D． 1 4  C 5．数轴上表示数 n 的点的位置如图所示，若n−m0，则表示数m的点可以是 ( ) A．点A B．点B C．点C D．点 D 6．从1到9这9个自然数中任取1个，是偶数的概率是 ( ) 1 2 1 A． B． C． D． 9 9 3 4 9 7．如图，点A，C分别表示数−1与5，点B在线段 A C 上，且AB=2BC，则点B对应的数 是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【常规讲解】 1．解：若气温升高2C记作“+2C “，则气温下降4C可记作−4C，故选：B． 2．解：某果园以每筐水果 2 2 5 k g 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“−3kg” 表示的实际千克数是 2 2 k g ， 故选：B． 3．解：A、 − 2 是负整数，符合题意； B、 − 1 2 是负分数，不符合题意； C 、−是无理数，不符合题意； D、−(−2)=2，是正整数，不符合题意． 故选：A． 4．解：−10C，0C，2C，14C中最低气温是−10C， 故选：A． 5．解：如图， − 1  0  n  1 ， n−m0，  n  m ，  表示数 m 的点可以是点 A ， 故选：A． 6．解： 从1到9这 9个自然数中任取1个，共有 9种等可能性，其中是偶数的可能性有 2，4，6，8共4种等可能性， 4 从1到9这9个自然数中任取1个，是偶数的概率是 ， 9 故选：D． 7．解：设B点对应的数是x，由AB=2BC，可知x−(−1)=5−x，解得：x=3， 故选：C．入门测Plus 1．如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数−2的点向右滚动一周到点 3 N ，则点 N 表示的数为 ( ) A．−2 B．−1 C． 2  + D． 2．（2024 春•松江区期中）某公司 7天内货品进出仓库的吨数如下： ( “ + ”表示进库，“−” 表示出库）+30，−30，−16，−36，+14，−20，+24． （1）经过这7天，仓库管理员结算发现仓库还有货品500吨，那么7天前仓库里有货品多 少吨？ （2）如果进出的装卸费都是每吨8元，那么这7天要付多少元装卸费？ 【常规讲解】 1．解：根据题意可得，圆的周长为， 则点N表示的无理数为 2  − ． 故选：A． 2．解：（1）由题意得：30−30−16−36+14−20+24=−34（吨)， 5 0 0 − ( − 3 4 ) = 5 0 0 + 3 4 = 5 3 4 （吨 ) ， 答：7天前仓库里有货品534吨； （2） ( | + 3 0 | + | − 3 0 | + | − 1 6 | + | − 3 6 | + | + 1 4 | + | − 2 0 | + | + 2 4 |)  8 =(30+30+16+36+14+20+24)8 =1360（元 ) ， 答：这7天要付1360元装卸费．出门测 1. 下列说法正确的是（ ） A．0是自然数 B．最小的自然数是0，最大的自然数是1000000 C．不是正数的数一定是负数 D．没有最小的负数，有最大的正数 2.（2021•宝山区校级月考）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是( ) A．12和24 B．75和15 C．46和4 D．45和1.5 3. （1）如果正整数 4 a 能被2整除，那么 a 的最小可取______． （2）一个数的倍数有_________个，最小的倍数是__________． 4. （2023•崇明区期中）24的因数有 ． 5. 一个数既是 48 的因数，又是 16 的倍数，这个数最小是______，把它分解质因数是 ____________ 6. 两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于 6 的偶数都可以写成两个奇素数 （既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1 ”．如6=3+3， 1 2 = 5 + 7 等等．众多数学家用很 多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这 就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个 奇素数之和 .4 2 = + ，或者42= + ． 你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42= + + + ． 【常规讲解】 1. A、0是自然数，说法正确； B、最小的自然数是0，没有最大的自然数，所以最大的自然数是1000000，说法错误； C、不是正数的数一定是负数，说法错误，因为0既不是正数，也不是负数； D、没有最小的负数，也没有最大的正数，所以有最大的正数，说法错误； 故选： A．1 2. 解：A:1224= ，得到的商不是整数，不属于整除，故此选项不合题意； 2 5 B : 7 5  1 5 = 5 这是一个整除的算式，即第一个数能被第二个数整除，故此选项符合题意； 23 C:464= ，得到的商不是整数，不属于整除，故此选项不合题意； 2 D : 1 .5 不是整数，不能说第一个数能被第二个数整除，故此选项不合题意； 故选：B． 3. （1）能被2整除的数有2,4,6,8…,最小的是2； （2）一个数的倍数有无数个，最小的倍数是本身． 4. 解：24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24． 故答案为：1，2，3，4，6，8，12，24． 5. 解:由分析知:一个数既是 16 的倍数，又是 48 的因数，这个数最大是 48，最小是 16;16=2×2×2×2 答:这个数最小是16，把它分解质因数是16=2×2×2×2. 故答案为:16，16=2×2×2×2． 6. 解：根据题意得： 42=7+35或42=13+29； 42=3+7+15+17（答案不唯一）； 故答案为：7，35；13，29；3，7，15，17． 出门测Plus 1. 有一个两位数，它的十位数字是个位数字的 8 倍，则这个两位数一定是 9 的倍数，试说 明理由． 2. 2018年是某学校建校60周年，60的因数的个数比任何一个小于它的数的因数都要多，像 这样的数可以称为“子孙满堂数”，那么，小于60的“子孙满堂数”有 个． 【常规讲解】 1. 解：设个位数字为a，则十位数字为8a，则这个两位数可以表示成80a+a=81a， 故是9的倍数．2. 解：60的因数有60、30、20、15、12、10、6、5、4、3、2、1，其中5、10、15、20的 因数的个数比小于它的数的因数的个数少，故去掉5、10、15、20． 故小于60的“子孙满堂数”有8个． 故答案为：8． 6【预初 A02】 入门测 1. 下列说法正确的是（ ） A．最小的自然数是1 B．最小的整数是1 C．非负整数是自然数 D．有最大的正整数，但没有最小的负整数 2. （2019•浦东新区校级月考）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是( ) A．12和2.2 B．35和5 C．13和52 D．20和50 3. （1）如果3能整除 7 a ， a 能整除12，那么 a =__________． （2）一个正整数的最大因数是__________；最小因数是__________． 4.（2022•杨浦区月考）8的因数有 ． 5. 三个不同的质数都有相同的倍数是102，这三个数分别是______、______、和______． 6. （2022•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和 13就是一组孪生素数， （1）请你举出除此之外的两组孪生素数； （2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写 三个不同的质数都有 相同的倍数是102，这三个数分别是______、______、和______．出一组“三胞胎素数”．（本 题只需直接写出答案） 【常规讲解】 1. A、最小的自然数是0，说法错误； B、没有最小的整数，说法错误； C 、非负整数包括零和正整数，说法正确； D、没有最大的正整数，也没有最小的负整数，说法错误； 故选C2. 解：根据整除的定义可知： 8 3 5  5 = 7 ， 故选：B． 3.（1）3能整除3,6,9,12,15…,其中3,6,12能整除12，故答案为3或6或12 （2）一个正整数的最大因数是本身；最小因数是1． 4.解：8的因数有：1、2、4、8．故答案为：1、2、4、8． 5. 解:102=2×3×17; 所以这三个数分别是2、3、17. 故答案为:2，3，17． 6. 解：（1）3和5是一组孪生素数，5和7是一组孪生素数； （2）3、5、7是“三胞胎素数”． 入门测 Plus 1. 已知两个三位数 a b c ，def ，和 a b c + d e f 能被37整除，证明：六位数 a b c d e f 也能被37整 除． 【常规讲解】 1. 证明： a b c 和def 及(abc+def)能被37整除，  设三位数abc=37k，三位数def =37m， 则六位数 a b c d e f = 1 0 0 0  a b c + d e f = 1 0 0 0  3 7 k + 3 7 m = 3 7 (1 0 0 0 k + m ) 是37的倍数， 所以六位数 a b c d e f 能被37整除． 出门测 1.（1）（2020•浦东新区月考）16和18的最大公因数是 ． （2）（2020•浦东新区月考）11和7的最小公倍数是 ． 2. （2019•徐汇区校级月考）用短除法求18、30和36的最大公因数和最小公倍数．3. （2022•徐汇区校级月考）现在有练习本34本，橡皮85块，若要将这些分成若干份同样 的奖品，不得有剩余，最多能分成多少份奖品？每份奖品中练习本，橡皮各有多少份？ 【常规讲解】 1. （1）解： 9 1 6 = 2  8 ，18=92， 根据最大公因数的定义，可得16和18的最大公因数是2． （2）解： 11和7互为质数，  1 1 和7的最小公倍数是： 1 1  7 = 7 7 ． 故答案为：2；77． 2. 解：用短除法求18、30和36的最大公因数和最小公倍数： 根据最大公因数的定义，可得18、30和36的最大公因数 2  3 = 6 ； 根据最小公倍数的定义，可得18、30和36的最小公倍数233152=180． 3. 解： 3 4 和85的最大公因数为17，  最多能分成17份奖品， 3417=2（本 ) ，8517=5（块 ) ，  每份奖品中练习本有2本，橡皮有5块．出门测 plus 1. （2019•青教院附中期中）甲乙丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分钟、1分15 秒、1分45秒，问：三人同时从起点出发，多少时间后他们又在起点相会？ 2. 小红的爸爸工作8天休息一天，妈妈工作5天休息1天，今年的5月28日是他的爸爸和 妈妈同时休息，那么下一次到_____月_____日又同时休息了． 【常规讲解】 1. 三人需要的时间分别为 60 秒、75秒和 105 秒，而60、75、105 的最小公倍数为2100， 又2100秒=35分钟， 故35分钟后他们又在起点相会. 2. 解：8+1=9（天 10 ) ，5+1=6（天 ) ， 9和6的最小公倍数是18， 5月28日 + 1 8 = 6 月15日， 故答案为：6，15．【预初 A03】 入门测 1.（1）（2019•金山区校级月考）6和11的最大公因数是 ． （2）（2019•杨浦区校级月考）2，4，8的最小公倍数是 ． 2. （2019•金山区校级月考）用短除法求36和60的最大公因数和最小公倍数． 3. （2021•宝山区校级月考）凌老师把24块水果糖和36块巧克力分别平均分给一个组的学 生，结果全部分完，你知道这个组最多有几位学生吗？ 【常规讲解】 1. （1）解：6和11是互质数，根据最大公因数的定义，可得6和11的最大公约数是1． （2）解： 11 2 = 2 1 ， 4 = 2 2 ， 8 = 2 3 ， 根据最小公倍数的定义，可得2，4，8的最小公倍数是 2 3 = 8 ． 故答案为：1；8． 2. 解：计算得： 根据短除法计算过程可知： 36和60的最大公因数是 2  2  3 = 1 2 ； 36和60的最小公倍数是 2  2  3  3  5 = 1 8 0 ． 答：36和60的最大公因数是12，最小公倍数是180． 3. 解： 2 4 = 1  2 4 = 2  1 2 = 3  8 = 4  6 ， 3 6 = 1  3 6 = 2  1 8 = 3  1 2 = 4  9 = 6  6 ，  2 4 、36的公因数有1、2、3、4、6、12．  2 4 、36的最大公因数为12． 答：这个组最多有12位学生．入门测 Plus 1．（2023 秋•普陀区校级月考）一批水果，每箱放 30 个则多 20 个；每箱放 35 个则少 10 个．这批水果至少有多少个？ 2．公路上有一排电线杆，共25根，每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米， 可以有几根不需要移动？ 【常规讲解】 1．解： 30、35的最小公倍数210， 210−10=200（个 12 ) ， 答：这批水果至少有200个． 2．解：公路的总长度为45(25−1)=1080（米 ) ， 45和60的最小公倍数是180， 1080180=6（根 ) ， 6 + 1 = 7 （根 ) ， 答：可以有7根不需要移动． 出门测 a 1．把分数 的分子扩大为原来的 4 倍，分母缩小为原来的 b 1 2 倍，所得的分数比 a b （ ） A. 扩大为原来的8倍 B. 扩大为原来的2倍 1 1 C. 缩小为原来的 倍 D. 缩小为原来的 倍 2 8 2.（2022•黄浦区期中）图中阴影部分用分数表示是 ( ) 1 1 1 A． B． C． D． 2 5 3 2 5 2 2+( ) 3．如果 = ，那么括号内应填的数字为________. 3 94．把一个西瓜平均分成5份，每一份是这个西瓜的______． 3 5．一个分数，它的分母是72，化成最简分数是 ，这个分数原来是______；一个分数，它 4 的分子是45，化成最简分数是 13 5 6 ，这个分数原来是______． 6．计算： （1） 5 9  2 0  1 8 5 ； （2） 4 1 2  1 7 8  3 1 3 . 【常规讲解】 1．把分数 a b 的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的 1 2 4a a =8 倍，所得的分数为1 b ， b 2 故所得分数为原来的8倍， 所以答案选A． 2．解：由分析知：把长方形看作单位“1”平均分成若5份，其中影部分占2份数，则阴影部 分占这个正方形的 2 5 ． 故选：D． 3．因为 2 3 = 6 9 ，所以括号内应填的数字为4． 1 4．总份数做分母，所取的份数做分子，故答案是： ． 5 3 54 5 5．约分不改变分数的大小，故将 的分子分母同时乘以18得到 ；将 的分子、分母同 4 72 6 45 时乘以9得到 ． 54 5 1 18 1 6．（1）解：原式=   = 9 20 5 10 9 8 10 （2）解：原式=   =8 2 15 3出门测 Plus 1．（2022秋•长宁区校级期中） 14 2 0 1 0  2 2 0 0 0 0 8 9 ． 39 2．（2022秋•长宁区校级期中）4039 ． 40 【常规讲解】 1．解： 2 0 1 0  2 2 0 0 0 0 8 9 2008 =(2009+1) 2009 2008 2008 =2009 +1 2009 2009 = 2 0 0 8 + 2 2 0 0 0 0 8 9 2008 =2008 ． 2009 2．解： 4 0  3 9 3 4 9 0 = 4 0  ( 4 0 − 1 4 0 ) = 4 0  4 0 − 4 0  1 4 0 = 1 6 0 0 − 1 = 1 5 9 9 ．【预初 A04】 入门测 a 1．把分数 的分子扩大为原来的 4 倍，分母缩小为原来的 b 15 1 3 ，所得的分数比原来（ ） A. 扩大到原来的7倍 B. 缩小到原来的12倍 C. 不变 D. 扩大到原来的12倍 2. 通过计算填空： 2 3 = 2 3 + + a 9 ，那么 a = _____. 3．“一箱橙子吃去了 3 4 ．”这是把____________看做单位“1”，把它平均分成了________份， 吃去的橙子占________份，由此可以推出剩下这箱橙子的 (( )) ． 4．一个分数，它的分子与分母的最大公因数是 17，化成最简分数是 2 3 ，这个分数原来是 ______． 5．计算： 1 8 7 （1）3   ； 5 5 4 2 1 1 （2）1 1 3 . 3 5 3 【常规讲解】 1．把分数 a b 的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的 1 3 ，所得的分数为 4 1 3 a b = 1 2 b a 是原 来分数的12倍， 故答案选D． 2 2+a 2+a 2．因为 = = ，故2+a=24，解得 3 3+9 12 a = 6 ． 3．在生活中，经常把总体看做单位“1”，本题把一箱橙子看作单位“1”，分母是 4 即分成 4份，分母是3即吃了3份，剩余4－3=1份，占这项橙子的 16 1 4 ． 1 故答案是：一箱橙子，4，3， ． 4 2 34 4．约分不改变分数的大小，故将 的分子分母同时乘以17得到 ． 3 51 5．（1）解： 3 .2  8 5  7 4 16 5 7 =   5 8 4 = 7 2 （2）解：原式 = 5 3  6 5  1 0 3 5 6 3 =   3 5 10 = 3 5 入门测 Plus 1.（2020•杨浦区校级期中）取一个边长1的正方形，将它5等分，取其中的4份涂色．把所 得的涂色部分看成一个总体，再将其 3 等分，取其中的 2 份，那么这 2 份占原来正方形的 ___________（填几分之几）． 2．动物心跳的快慢是与体重有关系的，体重越大，心跳越慢，体重越小，心跳越快．你能 根据下面的信息算出猫每分钟大约心跳多少次吗？ 【常规讲解】 1．解：根据题意画图如下：由上图可知，把原正方形平均分成15份，其中所求的部分占其中的8份， 8 因此这2份占原来正方形的 ， 15 故答案为： 17 8 1 5 ． 2 1 2．解：500  =406=240（次)． 25 6 答：猫每分钟大约心跳240次． 出门测 1. 下列说法错误的是（ ） A．真分数都小于1 B．假分数都不小于1 C．真分数的分子一定小于分母 D．假分数的分子一定大于分母 a+5 2. 若 是分母为18最小假分数，则a的值是 ． 18 3. 计算： （1） 5 4 − 1 5 2 + 1 1 6 ； 1 1 5 （2）5 −(4 −2 )． 12 5 12 4. 一次单元测验，题型分为选择题，填空题和解答题，测验时间为 1 个时．小智先用了 1 6 小时做完了选择题，再用了 1 4 5 小时完成了填空题，那么小智做完选择题和填空题总共用了 多少小时？小智还剩多少小时可以用来做解答题？ 【常规讲解】 1. 假分数指分子大于或者等于分母的分数，故D错误． a+5 2. 因为 是分母为18最小假分数，故a+5=18，即a=13． 183.（1）原式 18 = 1 1 5 2 − 1 5 2 + 1 1 4 2 = 2 1 4 2 =2； 1 5 1 1 1 3 （3）原式=5 +2 −4 =7 −4 = 3 ． 12 12 5 2 5 10 4. 解： 1 6 + 1 4 5 = 5 3 0 + 8 3 0 = 1 3 3 0 （小时） 13 30 13 17 1− = − = （小时） 30 30 30 30 答：小智做完选择题和填空题总共用了 1 3 3 0 小时，还剩 1 3 7 0 小时可以用来做解答题． 出门测 Plus 1．（2022秋•静安区期中）分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利 用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有 3 1+2 1 2 1 1 意义的问题．例如： = = + = + ； 4 4 4 4 4 2 2 3 = 4 6 = 1 + 6 3 = 1 6 + 3 6 = 1 6 + 1 2 （1）仿照上例分别把分数 5 8 3 和 分拆成两个不同的单位分数之和． 5 5 8 = 3 5 = （2）在上例中， 3 4 = 1 4 + 1 2 ，又因为 1 2 = 3 6 = 1 + 6 2 = 1 6 + 2 6 = 1 6 + 1 3 ，所以： 3 4 = 1 4 + 1 6 + 1 3 ，即 3 4 可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同 的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数 5 8 能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 【常规讲解】 5 1+4 1 1 解：（1） = = + ， 8 8 8 2 3 6 1+5 1 1 = = = + ； 5 10 10 10 2 （2） 5 8 = 1 + 8 4 = 1 8 + 1 2 = 1 8 + 1 6 + 1 3 ， 5 1 1 1 同理得： = + + ， 8 24 12 25 1 1 1 1 = + + + ． 8 8 6 12 4 19【预初 A06】 入门测 一、填空题： 1. 要使 20 1 x 5 是真分数， 1 x 4 是假分数，x应该是 ． 2. 把78分解素因数是 ． 3. 108千克花生可榨油96千克，平均一千克花生能榨油 千克．（结果用最简分数表 示） 4. 如果甲数=2×3×5，乙数=3×3×5，那么甲数和乙数的最小公倍数是 ． 5. 能同时被2、3、5整除的最大的三位数是 ． 6. 一筐苹果的数量在 40 到 50 个之间，从中两个两个地拿，或三个三个地拿，或四个四个 地拿，都正好拿完，这筐苹果有 个． 7．下列说法中，正确的是 ①一个分数的分子与分母同时乘以或除以相同的数，分数的大小不变； ②一个假分数的倒数一定是真分数； ③a（a≠0）的倒数是 1 a ； ④4的素因数只有2． 二、单选题： 49 17 13 5 3 8．在分数 ， ， ， ， ， 98 51 91 65 97 7 8 中最简分数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. 分数 2 a + a b 2 b 中的a和b同时扩大为原来的三倍，得到的分数是原来的（ ） 1 1 2 A． B． C．3倍 D． 3 9 3 【常规讲解】 x x 1. 解：使 是真分数，则x15，要使 是假分数，则x14， 15 14 ∴14x15，∴x=14故答案为：14． 2. 解：∵78÷2=39，39÷3=13， ∴78=2×3×13， 故答案为：2×3×13． 3. 解：∵ 21 9 6  1 0 8 = 9 6 1 0 8 = 1 1 2 2   8 9 = 8 9 ， 8 故答案为 ． 9 4. 解：∵甲数=2×3×5，乙数=3×3×5， ∴甲数和乙数的最小公倍数是2×3×5×3=90， 故答案为：90 5. 同时是2、3、5的倍数的最大的三位数，只要个位是0，百位是最大的自然数9，十位满 足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，这样的数有：0、3、6、9，其中0是最小的， 9是最大的，据此求出最大的三位数是990． 6. 解：∵从中两个两个地拿，或三个三个地拿，或四个四个地拿，都正好拿完， ∴这个数同时是2，3，4的倍数，即为24的倍数， ∵40242=4850，∴这个数是48， 故答案为：48． 7. 解：①分数的分子和分母都乘以或除以一个不为零的数，分数的大小不变，故原说法错 误，故选项不合题意； ②一个假分数的倒数不一定是真分数，故原说法错误，故选项不合题意； 1 ③（a≠0）的倒数是 ，故说法正确，故选项符合题意； a ④4的素因数有2个2．故原说法正确，故选项符合题意． 故正确的是③④ 49 1 8. 解： = ， 98 2 1 5 7 1 = 1 3 13 1 5 1 ， = ， = ， 91 7 65 13 3 7 最简分数有 ， ． 97 8 故选择B． 9. 解：分数 2 a + a b 2 b 中的a和b同时扩大为原来的三倍得到， 23a+23b 6a+6b 2a+2b 1 2a+2b = = =  ． 3a3b 9ab 3ab 3 ab1 即得到的分数是原来的 ． 3 故选：A 入门测 Plus 1．（2023秋•闵行区期中）日常生活中，我们通常用到的数，称之为十进制数．在表示十进 制数时，我们需要用到10个数码：0，1，2，，8，9． 例如： 9812 =9000+800+10+2 =9101010+81010+110+21． 而在计算机中，常使用二进制数，即使用两个数码：0，1． 例如：1011．如果想要知道这个二进制数等于十进制中的哪个数字，我们可以这样计算： 22 (1 0 1 1 ) 2 = (1  2  2  2 + 0  2  2 + 1  2 + 1  1 )1 0 =(11)10 即二进制数1011等于十进制数11． 阅读以上资料后， （1）请你把二进制数10101转换为十进制数的过程补充完整： (10101)2 = ( 1  2  2  2  2 + 0  2  2  2 + 1  2  2 + 0  2 + 1 )1 0 ； = ( )1 0 ； （2）现在，请你尝试把六进制数421转化为十进制数，并写出转换过程． 【常规讲解】 解：（1）(10101)2 = (1  2  2  2  2 + 0  2  2  2 + 1  2  2 + 0  2 + 1 )1 0 = ( 2 1 )1 0 ， 故答案为：12222+0222+122+02+1，21； （2） ( 4 2 1 ) 6 =(466+26+1)10 =(157)10．出门测 1. 将0.6，0.16，2.166分别化成分数． 2. 如果 23 7 a 能化成有限小数，且a是不大于10的正整数，则 a 可以是______． 3. 下列分数中不能化成有限小数的是 ( ) A． 1 9 6 B． 3 8 C． 1 5 8 D． 1 2 5 1 0 4. 将下列分数化成小数，不能化为有限小数的，保留三位小数. 9 32 16 23 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 16 25 45 8 【常规讲解】 1. 有限小数化为分数，原来有几位小数，就在 1 后面添几个零作分母，原来的小数去掉小 数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分，分数一定要化为最简分数．0.6＝ 1 6 0 ＝ 3 16 ，0.16 ＝ ＝ 5 100 4 2 5 166 83 ，2.166＝2 ＝2 ． 1000 500 2. 2，4，5，8，10；当a为3、6、9时， 7 a 是循环小数． 9 3. 解： =0.5625是有限小数； 16 3 =0.375是有限小数； 8 1 5 8 = 0 .2 7   是无限小数； 1 2 5 1 0 = 0 .1 4 是有限小数； 故选：C． 4. （1） 1 9 6 = 0 .5 6 2 5 32 16 23 ；（2） =1.28；（3） 0.356；（4） =2.875． 25 45 8出门测 Plus 1. 阅读理解题： 你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和 方法． 阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将0.7化成分数． 设0.7= x， 由0.7=0.777，可知100.7=7.777=7+0.7， 即7+x=10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） 7 可解得x= ，即 9 24 0 .7 = 7 9 ． （1）填空：将0.4直接写成分数形式为 ． （2）请仿照上述方法把小数0.25化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程． 解：（1）设0.4= x， 由 0 .4 = 0 .4 4 4  ，可知 1 0  0 .4 = 4 .4 4 4 = 4 + 0 .4 ， 即4+x=10x， 4 4 解得：x= ，即0.4= ， 9 9 4 故答案为： ； 9 （2）设0.25= x， 由0.25=0.252525，可知1000.25=25.2525=25+0.252525， 即25+x=100x， 25 解得：x= ， 99 25 即0.25= ． 99【预初 A07】 入门测 1. 将0.056，1.12，3.25，0.125，1.8分别化成分数． 2. 将下列分数化为小数． 25 1 1 4 = 5 _____；5 =_____； 8 4 3 2 0 = 1 _____；2 =_____． 8 3. 下列分数中不能化成有限小数的是( ) A． 1 9 6 B． 3 8 C． 1 5 8 7 D． 50 【常规讲解】 1. 0 .0 5 6 = 1 5 0 6 0 0 = 1 7 2 5 ， 1 .1 2 = 1 1 1 0 2 0 = 2 2 8 5 325 13 ，3.25= = ， 100 4 0 .1 2 5 = 1 2 5 1 0 0 0 = 1 8 ， 18 9 1.8= = ； 10 5 2. 解： 1 1 4 = 1 .2 5 ； 5 5 8 = 5 .6 2 5 3 ；4 =4.15； 20 2 1 8 = 2 .1 2 5 ， 故答案为：1.25；5.625；4.15；2.125． 3. 解： A 9 、 的分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不符合题意； 16 B、 3 8 的分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不符合题意； 5 C、 的分母中含有质因数3和2，所以不能化成有限小数，故本选项符合题意． 18 D 、 7 5 0 的分母中只含有质因数2和5，所以能化成有限小数，故本选项不符合题意． 故选：C．入门测 Plus 1．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因 和方法． （1）阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将 26 0 .7 化成分数． 解：设0.7= x，方程两边都乘以10，可得 1 0  0 .7 = 1 0 x ． 由0.7=0.777，可知100.7=7.777=7+0.7， 即7+x=10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） 7 可解得x= ，即 9 0 .7 = 7 9 ． （2）填空：将0.2写成分数形式为 ． （3）请你仿照上述方法把0.43化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程． 解：（2）设0.2= x，方程两边都乘以10，可得100.2=10x， 相减得： 1 0 x − x = 2 ， 2 解得：x= ； 9 2 故答案为： ； 9 （3）设0.43= y，方程两边都乘以100，可得 1 0 0  0 .4 3 = 1 0 0 y ，即 4 3 .4 3 = 1 0 0 y ， 相减得： 1 0 0 y − y = 4 3 ， 解得： y = 4 9 3 9 ， 43 则0.43= ． 99出门测 1．计算： （1） 27 3 3 4 − 2 4 5 + 1 .3 7 5 ； 3 5 （2）4 − −2.5； 4 6 3 5 （3） 19 ； 95 19 7 1 （4）9.625 18 ； 10 3 3 5 （5）24( −0.25+ )； 8 6 （6） 3 1 5  [ (1 2 3 + 0 .2 )  2 1 7 ] ． 【常规讲解】 （1）原式=3.75−2.8+1.375=0.95+1.375=2.325； 19 5 5 19 10 5 9 5 17 （2）原式= − − = − − = − = ； 4 6 2 4 4 6 4 6 12 3 19 57 （3）原式= 19 = ； 95 5 25 （4）原式= = 9 5 8  1 0 7  3 5 5 = 7 7 8  1 0 7  3 5 5 = 3 4 ； 3 5 （5）原式=24 −240.25+24 =9−6+20=23； 8 6 16 5 15 1 15 16 4 （6）原式=    +   = 4= ． 5 3 7 5 7  5 5出门测 Plus 1．计算： 5 1 5 2 5 6 （1）  +  +  ； 6 13 9 13 18 13 3 3 3 3 （2） + + + + 25 58 811 197200 【常规讲解】 5 1 5 2 5 6 解：（1）  +  +  6 13 9 13 18 13 28 = 1 6  5 1 3 + 2 9  5 1 3 + 1 6 8  5 1 3 1 2 6 5 =( + + ) 6 9 18 13 = 1 1 3 8  5 1 3 = 1 5 8 ； （2） 2 3  5 + 5 3  8 + 8 3  1 1 + + 1 9 7 3  2 0 0 = 1 2 − 1 5 + 1 5 − 1 8 + 1 8 − 1 1 1 +   + 1 1 9 7 − 2 1 0 0 1 1 = − 2 200 = 9 9 2 0 0【预初 A08】 入门测 1．计算： （1） 29 3 .6 2 5 − 2 1 6 + 1 3 4 ； 7 5 （2） − +0.35； 9 18 1 （3）129 1.05； 3 （4） 1 4 5  1 4 5  1 4 5 ； （5）  1 3 0 + 1 3 5 + 1 6 3   2 1 7 ； （6） ( 4 1 6 − 2 1 2 )  [ (1 + 1 .7 5 )  2 3 0 3 ] ． 【常规讲解】 5 （1）3 ； 24 （2）0.85； 320 （3） ； 3 4 （4）1 ； 5 1 （5） ； 6 （6）1．入门测 Plus 1．计算： （1） 30 ( 7 1  8 + 8 1  9 + 9 1  7 )  7  1 8  9 44 66 88 1010 1212 （2） + + + + 35 57 79 911 1113 【常规讲解】 （1）解： ( 7 1  8 + 8 1  9 + 9 1  7 )  7  1 8  9 1 1 1 =( + + )(789) 78 89 97 = 7 1  8  7  8  9 + 8 1  9  7  8  9 + 9 1  7  7  8  9 =9+7+8 = 2 4 ， （2） 4 3   4 5 + 6 5   6 7 + 8 7   8 9 + 1 0 9   1 1 0 1 + 1 1 2 1   1 1 2 3 1 1 1 1 1 =(1+ )+(1+ )+(1+ )+(1+ )+(1+ ) 35 57 79 911 1113 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =5+ ( − + − + − + − + − ) 2 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 1 1 1 =5+ ( − ) 2 3 13 1 10 =5+  2 39 = 5 5 3 9 出门测 1. 一堆煤720吨，用去了它的 1 6 ，还剩余多少吨？ 3 2. 一件上衣90元，是裤子价钱的 ，那么一套衣服多少元？ 2 1 1 3. 一件商品原价800元，先提价 ，再降价 ，问这件商品的现价是多少元？ 10 101 4. （2022•浦东新区校级期末）一根钢筋长18米，第一次用去了全长的 ，第二次用去了余 3 1 下的 ，求剩余部分的长度． 4 【常规讲解】 1 1. 列式：720−720 =600吨． 6 2. 裤子价钱： 31 9 0  3 2 = 6 0 元；一套衣服价钱： 9 0 + 6 0 = 1 5 0 元． 3. 列式： 8 0 0  (1 + 1 1 0 )  (1 − 1 1 0 ) = 7 9 2 元，若题目改为先降价 1 1 0 1 ，再提价 ，运算结果是 10 一样的． 4. 解：由题意可得： 1 8  (1 − 1 3 )  (1 − 1 4 ) = 9 （米 ) ， 答：剩余部分的长度为9米． 出门测 Plus 1. 某信息管理中心，在距下班还剩 4 小时的时候，接到将一批工业最新动态信息输入管理 偖存网终的任务，甲单独做需6小时完成，乙单独做需4小时完成，若甲先做30分钟，然 后甲、乙合作1小时，这时又接到新的工作任务，必须调走一人，问剩下那人能否在下班之 前完成这项工作？ 【常规讲解】 1 1 1 1 解：  +( + )1 6 2 6 4 1 1 1 = + + 12 6 4 1 = ， 2  接到新任务时，已经完成了总工作量的一半，且花费的时间为1.5小时， 接到新任务时，距离下班还有2.5小时， 当调走甲时，1 5 1 2.5=  ， 4 8 2 乙可以在下班前完成这项工作； 当调走乙时， 32 1 6  2 .5 = 1 5 2  1 2 ， 甲不可以在下班前完成这项工作； 综上所述，当调走甲时，乙可以在下班前完成这项工作；当调走乙时，甲不可以在下班前完 成这项工作．【预初 A09】有理数的意义 入门测 2 1．一种儿童自行车的原价是154元，现在降价 ，现在的售价是多少元？列式为 7 33 ( ) 2 2 A．154 B．154(1− ) C． 7 7 1 5 4  (1 + 2 7 ) D． 1 5 4  (1 − 2 7 ) 1. 解：由题可知， 2 可列式为：154(1− )， 7 故选：B． 2．一本漫画书共有100页，小红第一天看了全书的 1 5 1 ，第二天看了全书的 ，第三天应从 4 第( )页看起． A．45 B．46 C．55 D．56 1 1 2. 解：100 +100 =20+25=45（页 5 4 ) ， 所以工看了45页， 那么第三天应该从45+1=46（页 ) 看． 故选：B． 3．检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需7.5h， 5 h 就可以完成．两小组合做 1 h 后，再由 乙小组单独做，则完成这台机器的检修任务还需的小时数为 ( ) A． 1 3 0 10 B． C．3 D．4 3 3. 解：甲的工作效率： 1  7 .5 = 1 2 5 ， 1 乙的工作效率：15= ， 5 2 1 1 合作的工作量： + = ， 15 5 3 1 2 剩下的工作量：1− = ， 3 3 2 1 10 乙单独做需的时间：  = ， 3 5 3 故选：B．2 4．小明妈妈买了6斤大米，家里煮饭用了它的 ，还剩下 5 34 ( ) 3 3 A． 斤 B．5 斤 C． 5 5 1 2 5 斤 D． 1 8 5 斤 4. 解： 6  (1 − 2 5 ) = 6  3 5 = 1 8 5 （斤 ) ， 则还剩下 1 8 5 斤， 故选：D． 2 5．如图，两个长方形游泳池，公共部分为阴影，阴影部分面积是大游泳池面积的 ，是小 9 游泳池面积的 4 1 1 ，小游泳池的面积比大游泳池的面积的少几分之几 ( ) A． 7 1 8 7 B． C． 4 1 9 4 9 D．以上都不对 5. 解：设阴影部分的面积是1，那么： 1  2 9 = 9 2 ， 4 11 1 = ， 11 4 小游泳池的面积比大游泳池的面积的少 1 − 1 1 4  9 2 = 7 1 8 ， 故选：A． 6．现规定一种运算： a * b = 1 3 a − 1 4 b 1 1 3 ，如a*3= a− 3，则方程x*2= 的解为 ． 3 4 2 6. 解：由题意得， x * 2 = 1 3 x − 1 4  2 = 3 2 ， 1 3 1 x= + ， 3 2 2 1 x=2， 3 x=6． 故答案为：x=6．入门测 Plus 1．一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而 行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶 2 小时时甲车先到达服务区 35 C 地，此时两车相距 20 千米，甲车在服务区C地休息了 20 分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶 2 小时 15 分钟时也经过C地，未停留继续开往 A 地．（友情提醒：画出线段图帮助分析） （1）乙车的速度是多少千米/小时？B、C两地的距离是多少千米？ （2）这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 9 1 1. 解：（1）2小时15分= 小时，20分钟= 小时． 4 3 9 乙车的速度为：20( −2)=80（千米/小时）； 4 B 、 C 9 两地的距离是：80 −=180（千米）． 4 答：乙车的速度是80千米/小时， B 、C两地的距离是180千米． （2）A、 C 两地的距离是： 3 8 0 − 1 8 0 = 2 0 0 （千米）， 甲车的速度是： 2 0 0  2 = 1 0 0 （千米/小时）． 设乙车出发x小时，两车相距200千米． 由题意得：100x+80x+200=380或 1 0 0 ( x − 1 3 ) + 8 0 x = 3 8 0 + 2 0 0 ， 解得x=1或 x = 3 1 2 1 7 ． 11 答：乙车出发1小时或3 小时，两车相距200千米． 27 2．在2023杭州亚运会男子 4  1 0 0 米接力中，中国选手陈佳鹏在冲刺阶段完成了绝地反杀， 成功助力中国夺冠．为了学习这种体育精神提高竞技能力，49 中田径队在笔直跑道上训练 甲、乙两同学分别从A、B两点同时相对出发．甲的平均速度是360米/分，乙的平均速度 1 比甲快 ，经过1分半后两人相距30米，A、B两点相距是 米． 6 1 7 2. 解：乙的速度为：360(1+ )=360 =420（米 6 6 / 秒） 当甲与乙没有相遇时：(360+420)1.5+30=1200（米 ) ； 当甲乙相遇且双方超过时： ( 3 6 0 + 4 2 0 )  1 .5 − 3 0 = 1 1 4 0 （米 ) ． 故答案为：1140或1200．3．工程队用3天修完一段路，第一天修的是第二天的 36 1 9 0 ，第三天修的是第二天的 6 5 倍，已 知第三天比第一天多修270米，这段路长多少米？ 3. 解：设第二天修了 x 9 6 米，则第一天修了 x米，第三天修了 x米， 10 5 由题意可得： 6 5 x − 1 9 0 x = 2 7 0 ， 解得x=900， 1 9 0  9 0 0 = 8 1 0 （米 ) ， 6 900=1080（米)， 5 9 0 0 + 8 1 0 + 1 0 8 0 = 2 7 9 0 （米 ) ， 答：这段路长2790米． 出门测 1．（2023•闵行区期中）在 − 1 5 ， 5 1 3 ， − 0 .2 3 ，0，7.6，2，− 3 ，314%．这八个有理数中非 5 负数有 ( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2. （2018•浦东新区期中） a 、 b 互为相反数，则下列成立的是( ) A．ab=1 B．a+b=0 C．a=b D． a b = − 1 3 3. （2022•闵行区校级期中）比较大小：−(−1 )______−|−1.35|．（填“ 5  ”、“ ”或“ = ” ) 4. (2019·浦东期中)已知点A和点B 在同一数轴上，点 A表示数 1，又点B 和点A相距 2 个单位长度，则点B表示的数是______.5. 随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车， 他连续记录了 7 天中每天行驶的路程（如表），以 37 5 0 k m 为标准，多于 5 0 k m 的记为“+”，不 足50km的记为“−”，刚好 5 0 k m 的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程(km) − 8 − 1 1 − 1 4 0 − 1 6 + 4 1 +8 （1）请求出这七天平均每天行驶多少千米； （2）若每行驶 1 0 0 k m 需用汽油6升，汽油价6.2元 / 升，请估计小明家一个月（按30天计） 的汽油费用是多少元？ 1. 解：在 − 1 5 ， 5 1 3 ， − 0 .2 3 3 ，0，7.6，2，− ， 5 3 1 4 % ．这八个数中， 非负数为5 1 ，0，7.6，2，314%，有5个． 3 故选：B． 2. 解：因为 a 、 b 互为相反数， 所以a+b=0， 故选：B． 3. 解： − ( − 1 3 5 ) = 1 .6 ，而−|−1.35|=−1.35， 由于 1 .6  − 1 .3 5 ， 3 所以−(−1 5 )  − | − 1 .3 5 | ． 故答案为：  ． 4. 设点B表示的数为b，则 | a − 1 |= 2 a−1=2, a=3或a=−1 ，所以 . a=3或a=−1 故答案为： ； −8−11−14+0−16+41+8 5. 解：（1）平均每天路程为50+ =50（千米）． 7 答：这七天平均每天行驶50千米． 6 （2）平均每天所需用汽油费用为：50 6.2=18.6（元 100 ) ， 估计小明家一个月的汽油费用是：18.630=558（元)．答：估计小明家一个月的汽油费用是558元． 出门测 Plus 1．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用 38 b 表示，那么 | a | + | b | 的最小值为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 1. 解： 比a小2的数用b表示，  b = a − 2 ， |a|+|b| =|a−0|+|a−2|， 那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小， 显然这个点就是在0与2之间， 当a在区间0与2之间时， |a−0|+|a−2|=|2−0|=2为最小值， |a|+|b|的最小值为2， 故选：C． 2．我们知道，在数轴上，点M ，N分别表示数m，n则点 M ， N 之间的距离为 | m − n | ．已 知点A， B ， C ，D在数轴上分别表示数a， b ，c，d ，且 | a − c |= | b − c |= 2 5 | d − a |= 1 ( a  b ) ， 则线段 B D 的长度为 ． 2. 解： | a − c |= | b − c |= 1  点 C 在点A和点B之间 2 5 | d − a |= 1  | d − a |= 2 .5 不妨设点A在点B左侧，如图（1） （1） 线段 B D 的长为4.5 如图（2） 线段BD的长为0.5故答案为：4.5或0.5． 39【预初 A10】有理数的四则运算 入门测 1. （2022•杨浦区校级期中）在0.2， 40 − ( − 5 ) 1 ，−|−2 |， 2 1 5 % ，0， 5  ( − 1 ) 3 ， − 2 2 ，−(−2)2 这八个数中，非负数有( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2. （2018•金山区二模）下列各数中，相反数等于本身的数是 ( ) A．−1 B．0 C．1 D．2 6 5 3. 比较大小：− − （用“ 7 6  = 或 或  ”填空）． 4. 数轴上有A，B两点，如果点A对应的数是 − 2 ，且A，B两点的距离为3个单位，点B 对应的数是__________． 5. 有 20 筐白菜，以每筐 20 千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记 录如下： 与标准质量的差值（单 −3 −2 位：千克） − 1 .5 0 1.5 2.5 1 4 2 3 4 6 筐数 （1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 1. 解：0.20，−(−5)0， 1 5 %  0 ， 0 = 0 是非负数， 故选：A． 2. 解：相反数等于本身的数是0． 故选：B．3. 解： 41 | − 6 7 |= 6 7 = 3 4 6 2 ， | − 5 6 |= 5 6 = 3 4 5 2 ， 6 5 |− ||− |； 7 6  − 6 7  − 5 6 ． 故答案为  ． 4. 解：设点B对应的数为x，由题意得： −2−x =3，解得：x=−5或1． 5. 解：（1）2.5−(−3)=5.5（千克）， 答：20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克； （2）(−3)1+(−2)4+(−1.5)2+03+1.54+2.56=7（千克）， 答：与标准重量比较，20筐白菜总计超7千克； （3） ( 2 0  2 0 + 7 )  4 = 1 6 2 8 （元 ) ， 答：出售这20筐白菜可卖1628元． 入门测 Plus 1．如图，已知数轴上点 A 表示的数为6， B 是数轴上在A左侧的一点，且 A， B 两点间的 距离为 10．动点 P 从点A出发，以每秒 6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动 时间为 t ( t  0 ) 秒． （1）数轴上点B表示的数是 − 4 ，点 P 表示的数是 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同 时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点 P 与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 1. 解：（1） 数轴上点A表示的数为6，  O A = 6 ， 则OB= AB−OA=4， 点B在原点左边， 数轴上点B所表示的数为−4；点P运动 42 t 秒的长度为 6 t ， 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，  P 所表示的数为： 6 − 6 t ； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t =10+4t， 解得t =5， 答：当点P运动5秒时，点 P 与点Q相遇； ②设当点P运动 a 秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a−6a=8，解得 a = 1 ； 当P超过Q，则10+4a+8=6a，解得 a = 9 ； 答：当点P运动1或9秒时，点 P 与点Q间的距离为8个单位长度． 出门测 （1）计算： ( − 3 4 7 ) + 1 2 .5 + ( − 1 6 3 7 ) − ( − 2 .5 ) ； （2）计算： − 1 6 + 4 2 5 − 3 .2 + 6 3 5 − 6 .8 + 2 4 ； 1 5 1 （3）计算：−3 + −0.5 +1 ； 2 6 6 （4）计算： − 3 1 3  2 1 5   − 1 1 2  ； 3 21 3  1 21  4 （5）计算：− 2 3 1 1 −1 ． 4 25 5  2 50  5 4 3 （1）解：原式=(−3 −16 )+(12.5+2.5) 7 7 = − 2 0 + 1 5 =−5．  2 3 （2）原式=(−16+24)+4 +6 −(3.2+6.8)=8+11−10=9；  5 5（3）原式 43 = − 3 1 2 + 5 6 − 1 2 + 1 1 6 = − 4 + 2 = − 2 ． （4）原式 = 1 0 3  1 1 5  2 3 = 4 4 9 ； （5）原式 = − 3 4  7 2 1 5  1 5 8  2 3  5 7 0 1   − 9 5  = 1 2 ． 出门测 Plus 8 4 , a b 9 5 1．如果规定| |=ad −bc，求| |的值． c d 3 0.5, 2 1. 解：由题意得： | 8 9 0 , .5 , 4 5 3 2 | = 8 9  3 2 − 0 .5  4 5 = 4 3 − 2 5 = 1 1 4 5 ． 8 4 , 9 5 14 答：| |的值是 ． 3 15 0.5, 22．阅读下面的文字，完成解答过程． （1） 44 1 1  2 = 1 − 1 2 1 1 1 ， = − ， 23 2 3 3 1  4 = 1 3 − 1 4 ，则 2 0 0 7 1  2 0 0 8 = ，并且用含有n的式 子表示发现的规律． 1 1 1 1 （2）根据上述方法计算： + + ++ ． 13 35 57 20052007 1 （3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论： = （其中 n(n+k) n ， k 均为正 1 1 1 1 整数），并计算 + + ++ ． 14 47 710 20052008 2. 解：（1） 1 1  2 = 1 − 1 2 ， 2 1  3 = 1 2 − 1 3 ， 3 1  4 = 1 3 − 1 4 ， 1 1 1  = − ． 20072008 2007 2008 故答案为： 2 1 0 0 7 − 2 1 0 0 8 ； （2） 1 1  3 = 1 3 = 1 2 (1 − 1 3 ) ， 3 1  5 = 1 1 5 = 1 2 ( 1 3 − 1 5 ) ， 5 1  7 = 1 3 5 = 1 2 ( 1 5 − 1 7 ) ， 1 1 1 1  + + ++ 13 35 57 20052007 = 1 2 (1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 + 1 5 − 1 7 +  + 2 1 0 0 5 − 2 1 0 0 7 ) 1 1 = (1− ) 2 2007 = 1 2 0 0 0 0 3 7 ． 1003 故答案为： ； 2007 （3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论： n ( n 1 + k ) = 1 k ( 1 n − n 1 + k ) ． 1 1  4 + 4 1  7 + 7 1  1 0 +  + 2 0 0 5 1  2 0 0 8 = 1 3 (1 − 1 4 + 1 4 − 1 7 + 1 7 − 1 1 0 +  + 2 1 0 0 5 − 2 1 0 0 8 ) = 6 6 9 2 0 0 8 ． 1 1 1 故答案为： ( − )． k n n+k【预初 A11】有理数的乘方及混合运算 入门测 1 3 （1）计算：(−3 )+(−2 )+10−1.5； 4 4 1 1 （2）计算：(− )−2+(− )+(−3)； 2 3 3 1 （3）计算：−0.25(− )(1− )； 7 5 7 11 5 （4）计算：[45−( − + )36]5； 9 12 6 2 2 3 2 3 （5）计算：− (−92)+(− )34 + 23 . 9 9 5 9 5 （1）解： 45 ( − 3 1 4 ) + ( − 2 3 4 ) + 1 0 − 1 .5 = − 6 + 1 0 − 1 .5 = 1 0 − ( 6 + 1 .5 ) = 1 0 − 7 .5 = 2 .5 ． （2）解： ( − 1 2 ) − 2 + ( − 1 3 ) + ( − 3 ) 1 1 =− −2− −3 2 3 35 =− ． 6 1 7 4 7 （3）解：原式=   = ． 4 3 5 15 7 11 5 （4）原式=[45− 36−(− )36− 36]5 9 12 6 = ( 4 5 − 2 8 + 3 3 − 3 0 )  5 =(78−58)5 =205 =4；2 2 3 2 3 （5）原式= 92− 34 + 23 9 9 5 9 5 46 = 2 9  ( 9 2 − 3 4 3 5 + 2 3 3 5 ) 2 = (92−11) 9 = 2 9  8 1 =18． 入门测 Plus 1．观察下列两个等式： 1 1 2 2 2− =2 +1，5− =5 +1，给出定义如下： 3 3 3 3 我们称使等式 a − b = a b + 1 成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为(a,b)，如：数 1 对(2, )， 3 ( 5 , 2 3 ) ，都是“共生有理数对”． 1 （1）判断数对(−2,1)，(3, )是不是“共生有理数对”，写出过程； 2 （2）若(a,3)是“共生有理数对”，求a的值； （3）若(m,n)是“共生有理数对”，则(−n,−m) “共生有理数对”（填“是”或“不是” )；说 明理由； （4）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为 （注意：不能与题目中已有的“共生有 理数对”重复） 1. 解：（1） − 2 − 1 = − 3 ，−21+1=−1，  − 2 − 1  − 2  1 + 1 ，  ( − 2 ,1 ) 不是“共生有理数对”， 1 5 3− = ， 2 2 3  1 2 + 1 = 5 2 ， 1 1 3− =3 +1， 2 2  ( 3 , 1 2 ) 是“共生有理数对”； （2）由题意得： a−3=3a+1， 解得a=−2． （3）是． 理由：−n−(−m)=−n+m， −n(−m)+1=mn+147 ( m , n ) 是“共生有理数对” m−n=mn+1  − n + m = m n + 1 (−n,−m)是“共生有理数对”， 3 5 （4）(4, )或(6, )等． 5 7 故答案为是， ( 4 , 3 5 ) 或 ( 6 , 5 7 ) ； 2．观察图，解答下列问题． （1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层 有5个圆圈，，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？ 第n层呢？ （2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？ （3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为 (1 + 3 ) 或 2 2 ， 由此得，1+3=22． 同样， 由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32． 由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42． 由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52．  根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来． （4）计算： 1 + 3 + 5 +  + 2 1 的和； （5）计算：11+13+15++201的和． 2. 解：（1）第七层有13个小圆圈，第n层有(2n−1)个小圆圈； （2）令 2 n − 1 = 7 7 ， 得，n=39． 所以，这是第39层；（3） 48 1 + 3 + 5 +  + ( 2 n − 1 ) = n 2 ； （4） 1 + 3 + 5 +  + 2 1 = 1 1 2 = 1 2 1 ； （5） 1 1 + 1 3 + 1 5 +  + 2 0 1 = (1 + 3 + 5 +  + 2 0 1 ) − (1 + 3 + 5 +  + 9 ) =1012 −52 = 1 0 1 7 6 ． 出门测 1. 1米长的小棒，第1次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的 小棒长______米． 2. 如果|a+2|+(b−1)2 =0，那么(a+b)2009的值是 ( ) A．−1 B．1 C． − 2 0 0 9 D．2009 3. 地球上的海洋面积约为 3 6 1 0 0 0 0 0 0 k m 2 ，将数据361000000用科学记数法表示为_________． 4. 计算： − 1 2 0 1 7 − [ 2 − (1 − 1 3  0 .5 ) ]  [ 3 2 − ( − 2 ) 2 ]  2 2 5. 计算：−32− (−5)3 −  −18 −(−3)2 ；  3 1. 解：第一次剩下 1 2 1 米；第二次剩下( )2米， 2  ， 1 则第7次后剩下的小棒的长度( )7米． 2 1 故答案为：( )7． 2 2. 解： | a + 2 | + ( b − 1 ) 2 = 0 ，  a + 2 = 0 ， b − 1 = 0 ，解得a=−2，b=1， (a+b)2009 =(−2+1)2009 =−1， 故选：A． 3. 解：361000000用科学记数法可以表示为3.61108，故答案为：3.61108． 4. 49 − 1 2 0 1 7 − [ 2 − (1 − 1 3  0 .5 ) ]  [ 3 2 − ( − 2 ) 2 ] = − 1 − [ 2 − (1 − 1 6 ) ]  [ 9 − 4 ] = − 1 − 7 6  5 = − 1 − 5 5 6 = − 6 5 6 ； 5. 原式= − 3 2 − 1 2 5  4 9 − 1 8  9 = − 3 2 − 5 0 9 0 − 2 = − 8 9 5 9 出门测 Plus 1．（1）填空： 1 .2 2 = ； 1 2 2 = ；1202 = ． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果 3 .2 5 2 = 1 0 .5 6 2 5 ，那么 0 .3 2 5 2 = ．如果x2 =105625，那么x= ． 1. 解：（1）1.44；144；14400； （2）根据上题的规律可知：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两 位． （3）0.105625；325． 2．阅读材料： 求1+2+22 +23 +24 ++22015 的值 ． 解： 设 S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +  + 2 2 0 1 2 + 2 2 0 1 5 ，将等式两边同时乘以 2 得： 2 S = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 +  + 2 2 0 1 3 + 2 2 0 1 6 将下式减去上式得2S −S =22016 −1 即 S = 2 2 0 1 6 − 1 即1+2+22 +23+24 ++22015 =22016 −1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22 +23 +24 ++210 （2）1+3+32 +33 +34 ++3n （其 中n为正整数） ．2. 解： （1） 设 50 S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +  + 2 1 0 ， 将等式两边同时乘以 2 得：2S =2+22 +23+24 ++210 +211， 将下式减去上式得：2S −S =211−1，即 S = 2 1 1 − 1 ， 则 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +  + 2 1 0 = 2 1 1 − 1 ； （2） 设S =1+3+32 +33 +34 ++3n①， 两边同时乘以 3 得：3S =3+32 +33 +34 ++3n +3n+1②， ②−①得： 3 S − S = 3 n + 1 − 1 ，即 S = 1 2 ( 3 n + 1 − 1 ) ， 1 则1+3+32 +33+34 ++3n = (3n+1−1)． 2【预初 A12】一元一次方程及其解法 入门测 1.《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3 格上加倍至4粒， 51  ，依此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第20格中所放的米 粒数是_______． 2. 若x， y 为有理数，且 | x + 5 | + ( y − 5 ) 2 = 0 ，则 ( x y ) 2 0 2 3 的值为 ( ) A．−1 B．1 C．−2023 D．2023 3. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F 运载火箭成 功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号 F 运载火箭的重量大约是 500000kg．将数据500000用科学记数法表示为_______． 4. 计算： | 4 3 − 3 2 | + [ 1 2  2 2 − ( − 3 2 ) 2 ] ． 5. 计算：  1 2  2 +  − ( − 7 ) + ( − 1 ) 3   2 3 ； 1. 解：设第n格中放的米粒数是a ，则 n a =1， 1 a =a 2， 2 1 a =a 2=a 22， 3 2 1  a n = a 1  2 n − 1 ，  a 2 0 = a 1  2 1 9 = 2 1 9 ． 故答案为： 2 1 9 ． 2. 解： | x + 5 | + ( y − 5 ) 2 = 0 ，|x+5| 0， ( y − 5 ) 2 0 ， x+5=0，y−5=0， 解得x=−5，y=5， x ( )2023 =(−1)2023 =−1． y 故选：A．3. 解：500000=5105． 故答案为： 52 5  1 0 5 ． 4. | 4 3 − 3 2 | + [ 1 2  2 2 − ( − 3 2 ) 2 ] 1 1 9 = +[ 4− ] 6 2 4 = 1 6 + [ 2 − 9 4 ] 1 1 = − 6 4 = − 1 1 2 ． 1 2 1 2 1 5. 原式= +7−1 = +6 =4 ； 4 3 4 3 4 入门测 Plus 1 ． 已 知 ： 1 3 = 1 = 1 4  1 2  2 2 ； 1 3 + 2 3 = 9 = 1 4  2 2  3 2 ； 1 3 + 2 3 + 3 3 = 3 6 = 1 4  3 2  4 2 ； 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = 1 0 0 = 1 4  4 2  5 2 ； （1）请你猜想填空：13 +23 +33 ++(n−1)3 +n3 = ； （2）试计算： 1 3 + 2 3 + 3 3 +  + 9 9 3 + 1 0 0 3 ． 1 1 1. 解：（1）13 +23 +33 ++(n−1)3 +n3 = n2(n+1)2，故答案为： n2(n+1)2； 4 4 （2） 1 3 + 2 3 + 3 3 +  + 9 9 3 + 1 0 0 3 = 1 4  1 0 0 2  (1 0 0 + 1 ) 2 =25502500． 2．由 1 3 = 1 2 ； 1 3 + 2 3 = 3 2 ；13 +23 +33 =62； 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = 1 0 2 ；想一想，等式左边各 项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用n(n为正整数） 的等式把这一规律写出来． 2. 解 ： 等 式 左 边 各 项 幂 的 底 数 和 等 于 右 边 幂 的 底 数 ， 规 律 为 n2(n+1)2 13 +23 +33 +43+n3 =(1+2++n)2 = ． 4出门测 1. 在① 53 2 x + 3 y − 1 ；②1+7=15−8+1；③ 1 − 1 2 x = x + 1 ④ x + 2 y = 3 中方程有 ( ) 个． A．1 B．2 C．3 D．4 2. 下列各个变形正确的是 ( ) 2x−1 x−3 A．由 =1+ 去分母，得2(2x−1)=1+3(x−3) 3 2 B．方程 3 0 x .5 − 1 .4 0 − .4 x = 1 可化为 3 0 5 x − 1 4 − 4 x = 1 C．由2(2x−1)−3(x−3)=1去括号，得 4 x − 2 − 3 x − 9 = 1 D．由 2 ( x + 1 ) = x + 7 去括号，移项，合并同类项，得x=5 3. 如果方程 x + 1 = 0 与 5 + m = 2 x 的解相同，那么 m = ． 4. 解方程： （1）2(x+2)=3(1−4x)−13； 2x−5 3−x （2）1− = ． 6 4 【常规讲解】 1. 解：① 2 x + 3 y − 1 ，没有“=”，不是方程； ② 1 + 7 = 1 5 − 8 + 1 ，没有未知数，不是方程； ③ 1 − 1 2 x = x + 1 ，是方程； ④x+2y=3，是方程． 故选：B． 2x−1 x−3 2. 解：A、由 =1+ 去分母，得 3 2 2 ( 2 x − 1 ) = 6 + 3 ( x − 3 ) ，错误； B 3x 1.4−x 30x 14−10x 、方程 − =1可化为 − =1，错误； 0.5 0.4 5 4 C 、由 2 ( 2 x − 1 ) − 3 ( x − 3 ) = 1 去括号，得4x−2−3x+9=1，错误； D、由2(x+1)=x+7去括号，移项，合并同类项，得x=5，正确． 故选：D．3. 解：方程 54 x + 1 = 0 ， 解得：x=−1， 把x=−1代入5+m=2x中得：5+m=−2， 解得： m = − 7 ， 故答案为： − 7 4. 解：（1）2(x+2)=3(1−4x)−13， 去括号得 2 x + 4 = 3 − 1 2 x − 1 3 ， 移项得 2 x + 1 2 x = 3 − 1 3 − 4 ， 合并同类项得14x=−14， 系数化为1得 x = − 1 ； 2x−5 3−x （2）1− = ， 6 4 去分母得 1 2 − 2 ( 2 x − 5 ) = 3 ( 3 − x ) ， 去括号得 1 2 − 4 x + 1 0 = 9 − 3 x ， 移项得 − 4 x + 3 x = 9 − 1 2 − 1 0 ， 合并同类项得−x=−13， 系数化为1得 x = 1 3 ． 出门测 Plus 1．某县对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各 栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；如果每隔6米 栽1棵，则树苗多5棵．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是( ) A．5(x+19−1)=6(x−5−1) B． 5 ( x + 1 9 ) = 6 ( x − 5 − 1 ) C． 5 ( x + 1 9 − 1 ) = 6 ( x − 5 ) D． 5 ( x + 1 9 ) = 6 ( x − 5 ) 【解答】解：设原有树苗 x 棵， 每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；则总长度为 5 ( x + 1 9 − 1 ) ， 每隔6米栽1棵，则树苗多5棵．则总长度为6(x−5−1)， 由题意得：5(x+19−1)=6(x−5−1)．故选：A． 2．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日 行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？根据题意，若设快马x天可追 上慢马，则下述所列方程正确的是 55 ( ) A． 2 x 4 0 = x 1 + 5 1 0 2 B． 2 x 4 0 = 1 x 5 0 − 1 2 C． 2 4 0 x = 1 5 0 ( x + 1 2 ) D． 2 4 0 ( x − 1 2 ) = 1 5 0 x 2. 解： 慢马先行12天，快马x天可追上慢马， 快马追上慢马时，慢马行了 ( x + 1 2 ) 天， 根据题意得：240x=150(x+12)， 故选：C． 3．小王同学想根据方程8x+3=6(x+8)−5编一道应用题：“几个人为学校建花坛搬砖______， 求参与搬砖的人数．”若设参与搬砖的有 x 人，那么横线部分的条件应描述为( ) A．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖 B．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖 C．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬 D．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬 3. 解：设参与搬砖的有 x 人， 列出的方程为 8 x + 3 = 6 ( x + 8 ) − 5 ，  方程的左、右两边均为这批砖的块数，  方程的左边为若每人搬8块，那么剩下3块砖未搬；方程的右边为若再添8人一起搬，则 每人搬6块，缺5块砖． 故选：B． 4．《孙子算经》中记载了一个有趣的“荡杯问题”：每2人合用1个饭碗，每4人合用1个汤 碗，每5人合用1个肉碗，共用76个碗．设共有x人，根据题意，可列方程( ) x A． =76 B． 2+4+5 x 2 + x 4 + x 5 = 7 6 C．2x+4x+5x=76 D． 4 x + 5 x = 2 ( 7 6 − x ) x x x 4. 解：设共有x人，则共使用 只饭碗， 只汤碗， 只肉碗， 2 4 5依题意得： 56 x 2 + x 4 + x 5 = 7 6 ． 故选：B． 5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请 你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是 ( ) A．31 B．56 C．67 D．126 5. 解：设“凹”型框中左上角的数字为x，则其他5个数字为x+2，x+7，x+8，x+9， 则这5个数的和为x+(x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)=5x+26， 令 5 x + 2 6 = 3 1 ，得 x = 1 ，符合实际，故A选项不符合题意； 令 5 x + 2 6 = 5 6 ，得 x = 6 ，符合实际，故B选项不符合题意； 令 5 x + 2 6 = 6 7 ，得 x = 4 5 1 ，不符合实际，故C选项符合题意； 令5x+26=126，得 x = 2 0 ，符合实际，故D选项不符合题意； 故选：C．【预初 A14】 入门测 一、选择题 1．下列哪个分数不能化成有限小数 57 ( ) A． 1 3 6 6 8 1 B． C． D． 30 25 6 2．一个数和它的倒数相等，则这个数是( ) A．1 B．−1 C．1 D．1和0 3．下列方程中，是一元一次方程的是 ( ) 1 x 1 A．x+ =2 B．x+2y=10 C． + =0 D． x 2 2 x 2 − 2 x = 1 4．小明和小杰比赛从赛道的 A 点跑到 B 点，小明用了12秒钟，小杰用了13秒钟，由上述 1 条件，某同学得到以下两个结论：①小明所用的时间比小杰的少了 ；②小明的速度比小 12 1 杰的快了 ，对于结论①②，下列说法正确的是( ) 13 A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 二、填空题 5．用“”“  5 ”或“=”号连接：1.25 ． 4 6．若x=−4是方程 k x 2 − 2 x − 4 = 0 的一个解，则 k = ． −1124 +(−1)125 7．化简： = ． 2 8．如果关于 x 的方程 x + 1 = 0 与 3 + m = 3 x 的解相同，那么 m = ． 【常规讲解】 一、选择题 1．解：A、 1 3 6 = 0 .1 8 7 5 是有限小数，故本选项不合题意； 6 B、 =0.2是有限小数，故本选项不合题意； 30 8 C、 =0.32是有限小数，故本选项不合题意； 251 D、 =0.16是无限循环小数，故本选项符合题意． 6 故选：D． 2．解：一个数和它的倒数相等，则这个数是1． 故选：C． 3．解：A．该方程为分式方程，故本选项不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 58 C ．该方程为一元一次方程，故本选项符合题意； D．该方程中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 1 4．解：①(13−12)13= ， 13  小明所用的时间比小杰的少了 1 1 3 ， 故①是错误的； 1 1 1 1 ②( − ) = ， 12 13 13 12  小明的速度比小杰的快了 1 1 2 ， 故②是错误的， 故选：D． 二、填空题 5．解： 5 4 = 1 .2 5 ，  1 .2 5 = 5 4 ， 故答案为：=． 6．解： x = − 4 是方程kx2 −2x−4=0的一个解， 1 (−4)2k−2(−4)−4=0，解得k =− ， 4 1 故答案为：− ． 4 −1124 +(−1)125 −1+(−1) 7．解： = =−1， 2 2 故答案为：−1． 8．解： x+1=0，59  x = − 1 ． 把x=−1代入 3 + m = 3 x 中， 3+m=3(−1)， 解得 m = − 6 ， 故答案为： − 6 ． 入门测 Plus 1. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程4x=8和 x + 1 = 0 为“美好方程”． （1）若关于 x 的方程 3 x + m = 0 与方程 4 x − 2 = x + 1 0 是“美好方程”，求 m 的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为 n ，求 n 的值； 【常规讲解】 解：（1） 3x+m=0， m x=− ， 3 4x−2= x+10，  x = 4 ， 关于x的方程 3 x + m = 0 与方程 4 x − 2 = x + 1 0 是“美好方程”， m 4− =1， 3  m = 9 ， 故答案为：9． （2） “美好方程”的两个解之和为1， 另一个方程的解为 1 − n ， 两个解的差为8， n−(1−n)=8或1−n−n=8， 9 7 n= 或n=− ， 2 2 9 故答案为： 或 2 − 7 2 ．出门测 1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原 树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 60 ( ) A．直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点，有且仅有一条直线 2. 如图，已知点C是线段 A B 上一点，点 D 是 A C 的中点，点E是BC的中点．若AB=12， 则 D E 的长为 ( ) A．7 B．6 C．5 D．4 3. 点C是直线 A B 上一点，若线段 A B 的长为 4， B C = 1 2 A C ，线段BC的长为 ． 1. 解： 用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周 长要小，  线段 A B 的长小于点A绕点C到B的长度，  能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选：C． 2. 解： 点D是AC 的中点，点E是 B C 的中点，  1 CD= AC， 2 C E = 1 2 B C ， 1 1 1 1 1  DE=DC+CE= AC+ CB= (AC+CB)= AB= 12=6， 2 2 2 2 2故选：B． 3. 解：①点 61 C 在A、B中间时， AB的长为4， B C = 1 2 A C ， 4 BC = ． 3 ②点C在点B的右边时， A B 的长为4， B C = 1 2 A C ， BC =4．  线段 B C 的长为 4 3 或4， 4 故答案为： 或4． 3 出门测 Plus 1. 如图（1），已知点 C 在线段 A B 1 1 上，且AM = AC，BN = BC． 3 3 （1）若 A C = 1 2 ， B C = 6 ，求线段MN 的长； （2）若点C为线段AB上任意一点，其他条件不变，且满足 A C + B C = a ，求线段MN 的长； （3）如图（2），若点 C 为线段AB延长线上任意一点，其他条件不变，且满足AC−BC =b， 求线段MN 的长． 【常规讲解】 解：（1）由 A M = 1 3 A C ． B N = 1 3 B C ， A C = 1 2 ， C B = 6 ，得 1 1 AM = 12=4，BN = 6=2． 3 3由线段的和差，得 62 A B = A C + B C = 1 2 + 6 = 1 8 ， MN = AB−AM −NB=18−4−2=12； （2） M N = A B − ( A M + N B ) = a − ( 1 3 A C + 1 3 B C ) = a − 1 3 a = 2 3 a ； 1 1 （3）由AM = AC．BN = BC，得 3 3 2 2 MC = AC−AM = AC，NC=BC−BN = BC． 3 3 M N = M C − N C = 2 3 A C − 2 3 B C = 2 3 ( A C − B C ) = 2 3 b ．