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专题 10 导数解答题分类练
一、曲线的切线问题
1. （2023届河南省开封市通许县高三冲刺卷）已知函数 ．
(1)若函数 的图象与直线 相切，求实数 的值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）设直线 与函数 的图象相切于点 ，
因为 ,
所以 ，由②③可得 ④，易知 .
由①得 ，代入④可得 ，
即 ，即 ，解得 .
故 .
（2）令 ，可得 ，
由题意可得 只有一个根.
易知 不是方程 的根，所以 ，
所以由 ，可得 .
设 ，则 与 的图象只有一个交点.
，
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以 .
所以 .
又 ， 时， ， 时， ，
画出函数 的图象如图所示：
由图可知，若 与 的图象只有一个交点，
则 .
所以实数 的取值范围是 .
2．（2024届福建省莆田哲理中学高三上学期月考）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)试讨论函数 的单调性.【解析】（1）因为 ，
所以 ，则 ，切点为
又因为
所以 ，即
所以曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 .
（2）因为 ， ，
所以 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
3．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考）已知函数 .
(1)设 ，经过点 作函数 图像的切线，求切线的方程；
(2)若函数 有极大值，无最大值，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 时 ，
设切点为 ，则切线斜率为 ，切线方程： ，
将点 带入得： ，
此时斜率 ，所以切线方程为 .
（2）函数 的定义域为 ，令 ，则
（1）当 时 在 单调递增，
注意到 时， ，注意到 时， ，
故存在 ，使得 ，在 时 单调递减，在 时，
单调递增，函数 有极小值，无极大值，不符合题意.
（2）当 时，令 ，令 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减.
当 时 ，当 时 ，
所以 ，
若 ，则 恒成立， 在 单调递减，无极值和最值.
若 ，即 ，此时存在 ，使得 ，
且在 有 单调递减；在 有 单调递增，此时 为
的极大值.
注意到 时 ，要使 无最大值，则还应满足 ，即 ，同时 ，
带入 整理得 .
由于 ，且 在 单调递减，故 ，
即 ，
综上实数 的取值范围为 .
4.（2024届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数 的极小值为 ，其导
函数 的图象经过 ， 两点.
(1)求 的解析式；
(2)若曲线 恰有三条过点 的切线，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
因为 ，且 的图象经过 ， 两点.
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 在 处取得极小值，所以 ，
又因为 ， ，所以 ， ，解方程组 得 ， ， ，
所以 .
（2）设切点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
将 代入上式，得 .
因为曲线 恰有三条过点 的切线，所以方程 有三个不同实数解.
记 ，则导函数 ，
令 ，得 或1.
列表：
0 1
+ 0 - 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ，
所以 ，解得 .故 的取值范围是 .
5.（2024届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期质量调研）设函数 的定义域为开区间 ，
若存在 ，使得 在 处的切线 与 的图象只有唯一的公共点，则称切线 是的一条“ 切线”.
(1)判断函数 是否存在“ 切线”，若存在，请写出一条“ 切线”的方程，若不存在，请说明理由；
(2)设 ，若对任意正实数 ，函数 都存在“ 切线”，求实数 的取值
范围；
(3)已知实数 ，函数 ，求证：函数 存在无穷多条“ 切线”，且至
少一条“ 切线”的切点的横坐标不超过 .
【解析】（1）记 ，则
取 ， ，切线方程为 .
与函数 联立，得 .
记 ，则 ,
当 时 ，当 时 ，
故 在 上严格增，在 上严格减， ，
故函数 只有一个零点 ,故 是一条“ 切线”:
（2）
设点 在函数 的图像上,
点 处的切线为 ，与 联立
得（*）
由题意得直线 为“ 切线”，故方程（*）在 上有且仅有一解
则 或
若 ，则 是方程（*）的唯一解（此时有无数条“ 切线”切点横坐标为 上的任意值）.
若 ，则 （此时只有一条“ 切线”，切点的横坐标为 ）
或 （此时有无数条“ 切线”,切点横坐标为 上的任意值）
综上， .
（3）证明： ，将点 处的切线 的方程与 联立得
，
记 ，则直线 为“ 切线” 函数 有且仅有一个零点
（此时，一个 对应一条“ 切线”），显然 是 的零点，
故只要 没其他零点.
此时 ，
当 即 ， 恒成立，此时当 时， ，当 时， ，
故此时 为 唯一的极小值点（也是最小值点），而 ，
故 无其他零点，故直线 为“ 切线”，因 的任意性，
故函数 存在无穷多条“ 切线”，有一条 “ 切线”的切点的横坐标为 .
二、含参函数的单调性问题
6. （2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
【解析】（1）函数 的定义域是 ，可得 .
当 时，可知 ，所以 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，
可得 时，有 ， 时，有 ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：当 时，要证 成立，
只需证 成立，
只需证 即可.
因为 ，由（1）知， .令 ，
则 ，
可得 时，有 ； 时，有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
可知 ，则有 ，所以有 ，
所以当 时， 成立.
7.（2024届江西省丰城厚一学校高三上学期9月月考）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时， ，使得 .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
求导得 ， ，
当 时，恒有 ，函数 在 上单调递减；
当 时，由 ，得 或 ， 单调递减，由 ，得 ， 单调递
增；
当 时，由 ，得 或 ， 单调递减，由 ，得 ， 单调
递增；
所以当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得最大值 ，
于是当 时， ，使得 成立，当且仅当 时， 成立，
即当 时， 成立，令函数 ，求导得
，
令 ，求导得 ，
于是函数 ，即 在 上单调递增， ，
因此函数 在 上单调递增， ，即当 时， 成立，
所以当 时， ，使得 .
8.（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期9月月考）已知a为实常数，函数 （其中
为自然对数的底数）
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，函数 有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1） ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， 时， ； 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上： 时， 在 上是单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；（2）由（1）得， 时，函数 在 递增，不可能有2个零点，
当 时，函数 在 递减，在 递增，
函数 的最小值为 ，∴函数 只有1个零点，
当 时，函数 在 递减，在 递增，
为函数 的最小值，
令 ，
，
当 时， ，故函数 在 递增，且 ，
故 时， ，
令 ，
， 在 上递减，
，即 时，
由于 ，
所以，当 时，函数 有2个零点．
9.（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研测试）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求证：当 时， ．
【解析】（1）因为 ，所以 ．①当 时， 在 单调递减；
②当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调
递增．
（2）当 时， ，
要证明 ，只要证 ，即证 ，
设 ，则 ，令 得 ，列表得
a 1
0
极小
单调递减 单调递增
值
所以 ，即 ，所以 ．
10.（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ．
当 时，由于 ，所以 恒成立，此时 在 上单调递减；当 时， ，令 ，得 ，
则当 时， ，有 在 上单调递增；
当 时， ，有 在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减．
（2）我们先证明引理： ，恒有 且 ．
引理的证明：
设 ， ．
故只需证明 ，恒有 ， ．
由于 ，知当 时， ；当 时， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，恒有 ．
由于 ，知当 ，均有 ，
所以恒有 ，故 在 上单调递增，
则 ．
所以 ，恒有 ．
综上，引理得证．回到原题：
由（1）得 ，
故只需证明：对 ，恒有 ，即 ．由引理得 ．命题得证．
三、函数零点与方程实根个数问题
11. （2024届江西省全南中学高三上学期开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极小值；
(2)若函数 在区间 上有且只有一个零点，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的极小值为 .
（2）解：若 时， ，令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在区间 上有且只有一个零点.
若 时，由 ，令 ，解得 或 ，
①若 时，此时 ，可得 在 上单调递增，且 ，此时函数
在区间 上有且只有一个零点；
②若 时，可得 ，令 ，可得 或 ，
令 ，可得 ，所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又由 ，只需讨论 的符号，
当 时， ，函数 在区间 上有且只有一个零点；
当 时， ，函数 在区间 上无零点.
③若 ，则 ，令 ，可得 或 ，
令 ，可得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又由 ，
此时函数 在区间 上有且只有一个零点，
综上可得， ，即实数 的取值范围为 .
12.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若函数 至少有两个不同的零点，求实数m的最小值.
【解析】（1）由题意得 ，
令 ，则 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值为 ，极小值为 .（2）由 ，即得 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 或 （舍去），
令 ，得 ，即 在 上单调递减，
令 ，得 ，即 在 上单调递增，
故 的最小值为 ，
又 ，故当 时， ，
又 ，故存在唯一的 ，使 ，
当x变化时， 的变化情况如表：
x 1
+ 0 - 0 +
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值3 增
当 且无限趋近于0时， ，
由于 趋近于负无穷小，故 趋近于负无穷小，
由于 在 上单调递减，故 ，
作出 的大致图像如图：要使函数 至少有两个不同的零点，
则直线 与 的图象至少有两个交点，
故需使 ，即实数m的最小值为3.
13.（2024届北京市陈经纶中学高三上学期9月阶段性诊断）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，判断 在 零点的个数，并说明理由．
【解析】（1）由 可得 ，
此时切线斜率为 ，而 ；
所以切线方程为 ，即 ；
即曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2）根据题意，若 在 上单调递增，
即可得 在 上恒成立，即 恒成立；
令 ，则 ；
显然 在 上满足 ，而 恒成立，所以 在 上恒成立；即 在 单调递增，所以 ；
所以 即可；
因此实数 的取值范围为 .
（3）令 ，即可得 ；
构造函数 ， ，易知 在 上恒成立，
即 在 上单调递增，如下图中实曲线所示：
又函数 恒过 ，且 ，
易知 ，所以函数 在 处的切线方程为 ；
又 ，所以 （图中虚线）在 范围内恒在 （图中实直线）的上方；
所以由图易知 与 在 范围内仅有一个交点，
即函数 在 内仅有一个零点.
14.（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数 ．
(1)求证：曲线 仅有一条过原点的切线；(2)若 时，关于 的方程 有唯一解，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，设切点 ，
则切线方程为 ，
当切线过原点时有 ，即 ，
故 ，因为 ，所以 ，即切点有且只有一个，则曲线 仅有一条过原点的切线，
即得证.
（2）关于 的方程 有唯一解，即方程 ， 有唯一解，
令 ，则 .
因为 ，故当 ，即 时， ，函数 单调递增，且当 时，
，当 时， .
易知 的图象与直线 有且仅有一个交点，满足题意，此时 ；
当 ，即 时，设 有两个根 ， ，则 ， ，
故 .
①若 ，则当 时 ， 单调递增；
当 时 ， 单调递减，且当 时， ，当 时， .
故要使得 有唯一解，则 或 恒成立.
此时 ，即 ， ， .则极大值 ，
令 ，则 ，故当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减.
所以 ，
又 恒成立，故 ， ；
同理，极小值 ，当 时无最小值，此时无实数 使得 恒成立.
②若 ，则 ， ，不满足 ；
③若 ，由①可得 ；
故当 时， .
综上所述：
当 时， ；当 时， .
四、不等式恒成立问题
15. （2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数 .
(1) 是 的导函数，求 的最小值；
(2)证明：对任意正整数 ，都有 （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）依题意， ，
所以 ，
，所以 在区间 上 单调递减；在区间 上 单调递增，
所以当 时 取得最小值为 .
（2）要证明：对任意正整数 ，都有 ，
即证明 ，
即证明 ，
由（1）得 ，即
令 ，所以 ，
所以
，
所以对任意正整数 ，都有 .
（3）若不等式 恒成立，此时 ，
则 恒成立，
令 ，
令 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，当 时等号成立，所以 ，
当 时等号成立，所以 .
16.（2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考）已知函数 （ ）．
(1)若 在 上恒成立，求a的取值范围：
(2)设 ， ， 为函数 的两个零点，证明： ．
【解析】（1）若 在 上恒成立，即 ，
令 ，所以 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即a的取值范围是 ．
（2）令 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．不妨设 ，则 ， ，
因为 ，
所以 ．
设函数 （ ），则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ．
又函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 ．
17.（2024届上海市育才中学高三上学期第一次调研检测）已知函数 ， 为
的导数．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)证明： 在区间 存在唯一零点；
(3)若 时， ，求a的取值范围．
【解析】（1） ，
， ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ；
（2）令 ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以函数 在 上没有零点，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以函数 在 上有且只有一个零点，
综上所述，函数 在在区间 存在唯一零点，
即 在区间 存在唯一零点；
（3）若 时， ，
则 ，
又 ，所以 ，
由（2）知， 在区间 上只有一个零点，设为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
所以当 时， ，又当 ， 时， ，故 ，
所以a的取值范围为 ．
18.（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)若实数 满足 且 ，证明： .
【解析】（1）当 时， ，
，由 ，得 ，由 ，得 ，
故 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2） ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
故 在 递增，在 递减， ，
，所以 ，
在 上单调递增， ，
，
的取值范围 ；（3） ，
又 ， 在 上递增，
所以 ，
下面证明： ，
即证 ，
令 ，则 ，
即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，
，
在 递减，
，
所以 .
19.（2024届辽宁省朝阳高三上学期9月联考）已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由函数 的定义域为 ，且 ，当 时， 无单调性；
当 时， 对任意 恒成立，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，无单调递减区间；
当 时， 对任意 恒成立，
所以函数 的单调递减区间为 ， 无单调递增区间.
（2）由不等式 ，即 ，则 ，
设 ， ，
根据题意，存在 ， ，
又由 ，且 ，
当 时， 在 上恒成立，不满足题意；
当 时，方程 ，可得 ，
即 在 上恒成立，则 在 上单调递增，所以 ，
即 在 上恒成立，不满足题意；
当 时，令 ，得 ， ，
由 和 ，得 ，
则当 时， ， 在 上单调递减，此时 ，
因此，当 时，存在 ，使得不等式 成立，
所以满足题意的 的取值范围为 .五、不等式证明
20. （2024届云南省大理高三区域性规模化统一检测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
若 ，则 ，无极值；
若 ，由 ，可得 ，
若 ，当 时， ，则 单调递减，当 时， ，则 单调递增，
此时，函数 有唯一极小值 ，无极大值；
若 ，当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减，
此时，函数 有唯一极大值 ，无极小值；
所以当 时，函数 无极值；
当 时，函数 有极小值 ，无极大值；
当 时，函数 有极大值 ，无极小值；
（2）证明：由 ，两边取对数可得 ，即 ，
当 时， ， ，
由（1）可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
而 ， 时， 恒成立，因此，当 时，存在 且 ，满足 ，
若 ，则 成立；
若 ，则 ，
记 ， ，
则 ，
即有函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
于是 ，而 ， ， ，
函数 在 上单调递增，因此 ，即 .
21.（2023届陕西省西安市第八十三中学等校高三二轮复习联考）已知函数 ， ．
(1)求 的极值；
(2)证明：当 时， ．（参考数据： ）
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值 ，
所以 的极大值为 ，无极小值；
（2）设 ，
则 ，
令 ， ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
又 ， ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ．
当 时， ，即 ， 单调递减，
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以当 时， 在 处取得极小值，即为最小值，
故 ，
设 ，因为 ，
由二次函数的性质得函数 在 上单调递减，
故 ，
所以当 时， ，即 ．
22.（2024届湖南省长沙市高三上学期第二次阶段性测试）函数 .
(1)若 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ，已知方程 有两个不同的实根 ， ，证明： .（其中
是自然对数的底数）
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，
当 ，即 时， ，则 为单调递增函数，不可能有极值，舍去；
当 ，即 时，令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 取得极大值，符合题意；
综上： ，故实数 的取值范围为 .
（2）由 得: .
由 得 即
构造 .易知 在 单调递增且 .
∴ .即 取对数得
设 .则
即 .
利用对数均值不等式有 即证得 .
要证 .只要证明 .
设 .由（*）可且
则
在 单调递减，则 .即
对数均值不等式 .证明如下:不妨设 ，要证 ，即证， ，
令 即证 ，即
即证: .
令 ，则
所以 结论得证.
23.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真测试）已知函数 ，且 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知 ，证明： ．
.
【解析】（1）函数 定义域为R， ，
由 解得 ，故 在区间 上单调递增，
由 解得 ，故 在区间 上单调递减，
故 的最小值是 ，解得 ，所以实数a的取值范围为 ．
（2）在（1）中，令 时， ，令 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，
所以， ，
令 ，则 ．且 不恒为零．所以，函数 在 上单调递增，故 ，则 ．
所以， ，
所以，
