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专题 10 概率 、统计与分布列
一、单选题
1．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选
两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线的所有结果的个数，再确定所得两条
直线相互垂直的选法数，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得 条直线，
如图所示：
设正方体的边长为2，则 ，
， ,
,
由正方体性质可得 平面 , 平面 , 平面 ,
四边形 ,四边形 ，四边形 均为正方形，
故当甲选 时,乙选 或 或 或 或 或 时，甲，乙所选的点的连线垂直，
甲选 时，乙选 或 或 时，甲，乙所选的点的连线垂直，
所以甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有 种选法，
所以甲选相对两个面的中心时，甲乙所选的点的连线垂直的选法有 种，
若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲乙所选的点的连线垂直的选法有 种，故甲，乙所选的点的连线垂直的选法共有54种，
所以事件甲乙所选的点的连线垂直的概率 ,
故选：A.
2．（2022·河南·高三开学考试（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时
可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时
购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为
X 6 7 8
P 0.4 0.5 0.1
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望
为（ ）．A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元
【答案】D
【分析】由题意2台设备使用期间需更换的零件数可能取值为12、13、14、15、16，再求出它们对应的概
率，进而求2台设备另需购买易损零件所需费用可能值及其概率，最后求期望即可.
【详解】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，
， ，
， ，
．
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，
则Z的可能取值为0，280，560，840，
，
， ， ，
．
故选：D
3．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，
甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项
进行学习，每人选择各项运动的概率均为 ，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下
甲同学选择花样滑冰的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别计算“至少有两人选择花样滑冰”和“甲同学选择花样滑冰的同时，乙、丙至少有一人选择
花样滑冰”的概率，即可求出条件概率．
【详解】记事件 为“至少有两人选择花样滑冰”，事件 为“甲同学选择花样滑冰则”，， ，
所以， ．
故选：D.
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据， ， ，
…， ，其中 ，c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同 B．两组样本数据的样本众数相同
C．两组样本数据的样本平均数相同 D．两组样本数据的样本中位数相同
【答案】A
【分析】由方差、平均数、众数和中位数的定义依次判断即可.
【详解】因为原来样本平均数 ，新样本平均数 ，C错误；
原来方差为 ，新样本方差为
，A正确；
设原样本众数为 ，则新样本众数为 ，B错误；
设原样本中位数为 ，则新样本中位数为 ，D错误.
故选：A.
5．（2022·内蒙古通辽·二模（理））某市为推进“垃圾分类”这项工作的实施，开展了“垃圾分类进校
园”的活动.现对该市某学校高二年级示范班级学生进行考核，从该班男生､女生中各随机选出5名进行考
核打分，满分为100分，评分后得到这10人得分的茎叶图如图所示，则选出的男生､女生得分的方差分别
为（ ）
A．8；6 B．6；8 C．64；36 D．36；64
【答案】A
【分析】利用平均值和方差公式，即可求解.
【详解】男生得分的平均值为 ，方差为 ；
女生得分的平均值为 ，方差为 .
故选：A.
6．（2022·河北·模拟预测）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至
今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲､乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】这5名棋手分别记为：甲，乙， ，利用列举法写出基本事件，最后利用古典概型的概率公
式即可求解.
【详解】这5名棋手分别记为: ：甲，乙， ，分组情况有：
（甲乙A，BC），（甲乙B，AC），（甲乙C， AB），（甲AB，乙C），（甲AC，乙B）
（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），（ABC，甲乙） 共10种，
其中甲和乙不在同一人组的有6种，分别为：（甲AB，乙C），（甲AC，乙B）
（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），
所以甲和乙不在同一个小组的概率为 .
故选：C.
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 与 之间的实验数据如下，
1 2 3 4 5
3 4 5 6 7
2.5 3 4.5 6
且 关于 的线性回归方程为 .现从这5组数据 中任意抽取两组，则至
少有一组的 的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由线性回归方程必过样本点中心可求出 的值，然后求出总的基本事件数和符合条件的基本事件
数，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由已知条件得
， ，
由线性回归方程 必过样本点中心 ，
将 代入线性回归方程可得 ，
设事件 “至少有一组的 ”，其中 的数据为 和 ，
则 .
故选: .8．（2022·湖北武汉·高三期末）在 次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且
A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为 ，则事件A，B，C发
生次数的方差之比为（ ）
A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1
【答案】C
【分析】事件A，B，C发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即
可
【详解】根据 事件的互斥性可得：每一次试验中，事件 发生的概率为
设事件A，B，C发生的次数为分别随机变量 ，则有：
则事件A，B，C发生次数的方差分别为： ， ，
故事件A，B，C发生次数的方差之比为：
故选：C
9．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于 即
为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、
②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数 ；
②平均数 且极差小于或等于3；
③平均数 且标准差 ；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.
【详解】①举反例： ， ， ， ， ，其平均数 ．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为 ，此时数据的平均数必然大于7，
与 矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数 ，且标准差 .但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B．
10．（2022·全国·高三专题练习）随机变量 的分布列是（ ）
2 4 6A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由均值的定义求出均值 ,
由方差公式计算出方差
做差比较 可得.
【详解】 ，
故选：A
【点睛】1．均值与方差的一般计算步骤
(1)理解 的意义，写出 的所有可能取的值；
(2)求 取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，由均值的定义求出均值 ，进一步由公式 求出
11．（2021·全国·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都
没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数，若 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合二项分布可计算随机变量 的分布列，再利用公式可求 、 ，最后利用二次函数
的性质可求其范围.
【详解】随机变量 可能的取值为 .
.
，
故 的分布列为：
2 3故
因为 ，故 ，而 ，故A、B错误.
而 ，
令 ，因为 ，
故 ，此时 ，
必成立，故C错误，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可
借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题
转化为二次函数的值域问题.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是
A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
【答案】C
【分析】表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。
【详解】解：依题意可得 ，
因为
所以 即 故 ， 错误；即 ，故 成立；
故 错误
故选：
【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。
二、填空题
13．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）袋中有4个红球，m个黄球，现从中任取两个
球，记取出的红球个数为 .若取出的两个球都是红球的概率为 ，则 ______.
【答案】
【分析】由 即可求出 的值，则可求出 ， 的值，即可求出答案.
【详解】由题意知： ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为：
14．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）由6个实数组成的一组数据的方差为 ，将其中一个数5改为
2，另一个数4改为7，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为 ，则 ________．
【答案】2
【分析】根据平均数和方差的定义进行求解即可.
【详解】因为将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，
所以这6个实数组成的一组数据的平均数不变，设为 ，
设没有变化的4个数与平均数差的平方和为 ，
所以 ，
故答案为：
15．（2017·河南洛阳·二模（文））已知 ， ， ， ，动点 满足
且 ，则点 到点 的距离大于 的概率为______．【答案】
【详解】 由题意得，因为 ，
所以动点 满足 且 ，
所以 ，则点 到点 的距离为 ，
作出不等式组对应的平面区域，如图所示，
因为点 到点 的距离大于 ，所以 ，则对应的部分为阴影部分，
由 ，
即点 ，则 ,所以正方形 的面积为 ，
则阴影部分的面积为 ，
所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 .
点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，二元一次
不等式组所表示的平面区域，简单的线性规划的应用，几何概型及其概率的计算公式等知识点的综合应用，
着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用向量的数量积的运
算，转化为简单的线性规划求解是解答的关键.
16．（2018·河南郑州·高三阶段练习（文））点 是正方体 的体对角线 上靠近点 的
四等分点，在正方体随机取一点 ，则点 满足 的概率为________.
【答案】
【详解】设正方体棱长为4，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，则 ，设 ，根据条件 ，即 ，
整理得： ，所以点 的轨迹是以 为球心， 为半径的球的
体积的 ，体积为 ，所以根据几何概型，所求概率为 .
点睛：应用几何概型求概率问题的时，首先要建立相应的几何模型，将试验构成的总区域和所求事件构成
的区域转化为几何图形，并加以度量.（1）一般地，一个连续变量可以建立与长度有关的几何概型，只需
把这个变量放在数轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实
数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件
需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即
可建立与体积有关的几何概型.
