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专题 16 概率与统计（解答题）（理科专用）
1．【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜
方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已
知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．【2022年新高考1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习
惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100
例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到
如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件
P(B|A) P(B|A)
“选到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病
P(B|A) P(B|A)
风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
P(A|B) P(A|B)
（ⅰ）证明：R= ⋅ ；
P(A|B) P(A|B)
（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R
的估计值．
n(ad−bc) 2
附K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.8283．【2022年新高考2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的
年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总
人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的
概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，
精确到0.0001）.
4．【2021年新高考1卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参
加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同
学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，
该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个
问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确
回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
5．【2021年新高考2卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种
微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物
每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的
个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
6．【2020年新课标1卷理科】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累
计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮
空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两
人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，
丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
7．【2020年新课标2卷理科】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物
数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这
些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，
2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物
的数量，并计算得 ， ， ， ，
.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该
地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r= ， ≈1.414.
8．【2020年新课标3卷理科】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等
级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
[0，200] (200，400] (400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级
为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据
列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有
关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.8289．【2020年新高考1卷（山东卷）】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对
某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的 和 浓度（单位： ），
得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与
浓度有关？
附： ，10．【2019年新课标1卷理科】为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪
种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比
试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，
再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试
验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲
药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治
愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均
得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ，
，其中 ， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
11．【2019年新课标2卷理科】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10
平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打
比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互
独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
12．【2019年新课标3卷理科】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下
试验：将200只小鼠随机分成 两组，每组100只，其中 组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某
种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 ”，根据直方图得到 的估计值
为 .
（1）求乙离子残留百分比直方图中 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）.
13．【2018年新课标1卷理科】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在
交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱
产品中任取 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品
为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ；
（2）现对一箱产品检验了 件，结果恰有 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．
已知每件产品的检验费用为 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品
支付 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求
;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
14．【2018年新课标2卷理科】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的
两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立
模型①： ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 的值依次为
）建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预
测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
15．【2018年新课标3卷理科】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成
某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们
随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．
根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过
和不超过 的工人数填入下面的列联表：超过 不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
