文档内容
2025-2026学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{x|x2﹣1＝0}，则M∩N＝（ ）
A．{1} B．{﹣1，1} C．{1，2，3} D．{﹣1，1，2，3}
2．（5分）若复数z＝（a﹣i）（2+3i）为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
3．（5分）在等比数列{a }中，a ＝2，a ＝8，则a ＝（ ）
n 2 4 6
A．64 B．32 C．28 D．14
4．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（5，+∞） D．[5，+∞）
5．（5分）已知sin（ ），则sin（2 ）的值为（ ）
A． α B． α C． D．
6．（5分）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（5分π）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．60
8．（5分）函数y的图象与函数y＝2sin x，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．2 B．4 π C．6 D．8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是1120
B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为256
D．各项的系数之和为256
（多选）10．（6分）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段AB中点的是（ ）
A．（0，2） B．（﹣1，2） C．（1，1） D．（1，4）
（多选）11．（6分）设函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，
函数y＝f（x）的图象与圆（x﹣t）2+（y+t）2＝2t2（t＞0）的公共点个数可以是（ ）
第1页（共16页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知点在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 ．
13．（5分）函数y＝f（x）﹣x2是奇函数．若函数g（x）＝f（x）+5，f（4）＝9，则g（﹣4）＝
．
14．（5分）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大
值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．
16．（15分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1，2，3，
4）．现从袋中任取一球． 表示所取球的标号．
（Ⅰ）求 的分布列，期望ξ和方差；
（Ⅱ）若ξ＝a +b，E ＝1，D ＝11，试求a，b的值．
17．（15分）η已知ξ函数fη（x）＝aηx2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x ，且e﹣2＜f（x ）＜2﹣2．
0 0
18．（17分）在平面四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ADC＝30°，∠DAB＝120°，将△ACD沿AC
翻折至△ACP，其中P为动点．
（1）设PC⊥AB，三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）求球O的半径；
（2）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值的最小值．
19．（17分）已知双曲线C：y2﹣x2＝1，上顶点为D．直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点（B
在第一象限），与x轴交于点T．设直线DA，DB的倾斜角分别为 ， ．
（1）若， α β
（i）若A（0，﹣1），求 ；
（ii）求证： + 为定值；β
（2）若，直线α βDB与x轴交于点E，求△BET与△ADT的外接圆半径之比的最大值．
第2页（共16页）2025-2026学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B D D C B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC AD ABD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{x|x2﹣1＝0}，则M∩N＝（ ）
A．{1} B．{﹣1，1} C．{1，2，3} D．{﹣1，1，2，3}
【分析】用列举法表示集合N，根据交集的定义求得M∩N．
【解答】解：因为N＝{x|x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）＝0}＝{﹣1，1}，M＝{1，2，3}，
所以M∩N＝{1}．
故选：A．
【点评】本题考查了基合的基本运算，属于基础题．
2．（5分）若复数z＝（a﹣i）（2+3i）为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求得a值．
【解答】解：∵z＝（a﹣i）（2+3i）＝（2a+3）+（3a﹣2）i为纯虚数，
∴，解得a．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）在等比数列{a }中，a ＝2，a ＝8，则a ＝（ ）
n 2 4 6
A．64 B．32 C．28 D．14
【分析】由等比数列的性质可得a a ＝a 2，代值计算可得．
2 6 4
【解答】解：由等比数列的性质可得a a ＝a 2，
2 6 4
∴2a ＝a 2＝64，解得a ＝32
6 4 6
第3页（共16页）故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，属基础题．
4．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（5，+∞） D．[5，+∞）
【分析】由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令t＝x2﹣4x﹣5，由外层函数y＝lgt是其定义域内
的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增
需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒大于0，转化为（a，+∞） （5，+∞），即可
得到a的范围． ⊆
【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5．
令t＝x2﹣4x﹣5，
∵外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，
∴要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，
则需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒大于0，
则（a，+∞） （5，+∞），即a≥5．
∴a的取值范围⊆是[5，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
5．（5分）已知sin（ ），则sin（2 ）的值为（ ）
A． α B． α C． D．
【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解．
【解答】解：sin（2）＝sin[2（）]＝cos2（）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，属于基础题．
6．（5分）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析π】设圆台上、下底面圆半径为r、R，则母线l＝2（R﹣r），高h（R﹣r），由此结合圆台侧面
积公式和梯形面积公式，即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比．
【解答】解：∵圆台的母线与底面成60°角，
∴设上底圆半径为r，下底面圆半径为R，母线为l，可得l＝2（R﹣r）
因此，圆台的侧面积为S侧 ＝ （r+R）l＝2 （R2﹣r2）
又∵圆台的高h（R﹣r） π π
第4页（共16页）∴圆台的轴截面面积为S轴 （2r+2R）h（R2﹣r2）
由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为
2 （R2﹣r2）：（R2﹣r2）
故π选：C．
【点评】本题给出母线与底面成60°角的圆台，求它的侧面积与轴截面面积的比值．着重考查了圆台侧
面积公式、梯形面积公式和解三角形等知识，属于基础题．
7．（5分）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．60
【分析】根据题意可先从中选出一对，再从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一人，利用分步
乘法计数原理可解．
【解答】解：有四对双胞胎共8人，先从中选出一对，有4种选择，然后从剩下的六个人中选出两人，
且不能是同一对双胞胎，
这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一人，共3×2×2＝12种选法，
则其中恰有一对双胞胎的选法种数4×12＝48．
故选：B．
【点评】本题考查分步乘法计数原理相关知识，属于中档题．
8．（5分）函数y的图象与函数y＝2sin x，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．2 B．4 π C．6 D．8
【分析】函数y 与y ＝2sin x的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结
1 2
合思想能求出结果． π
【解答】解：函数y ，
1
y ＝2sin x的图象有公共的对称中心（1，0），
2
作出两个π函数的图象，如图，
当1＜x≤4时，y ＜0
1
而函数y 在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
2
在（1，）和（，）上是减函数；
在（，）和（，4）上是增函数．
第5页（共16页）∴函数y 在（1，4）上函数值为负数，
1
且与y 的图象有四个交点E、F、G、H
2
相应地，y 在（﹣2，1）上函数值为正数，
1
且与y 的图象有四个交点A、B、C、D
2
且：x +x ＝x +x ＝x +x ＝x +x ＝2，
A H B G C F D E
故所求的横坐标之和为8．
故选：D．
【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意
数形结合思想的合理运用．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是1120
B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为256
D．各项的系数之和为256
【分析】根据二项式定理，的通项公式为，对于A，令k＝4进行判断；对于B，令k＝3和k＝5计算
判断即可；对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256可进行判断；对于D，令x＝1
即可进行判断．
【解答】解：根据二项式定理，的通项公式为，
对于A，常数项为，故A正确；
对于B，第四项的系数为，第六项的系数为，故B错误；
对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；
对于D，令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误．
第6页（共16页）故选：AC．
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
（多选）10．（6分）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段AB中点的是（ ）
A．（0，2） B．（﹣1，2） C．（1，1） D．（1，4）
【分析】由双曲线的对称性可直接判断A；根据点差法分析可得k •k＝4，结合双曲线的渐近线斜率
AB
可判断B；通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断C与D．
【解答】解：∵双曲线关于y轴对称，
∴当直线AB的方程为y＝2时，线段AB的中点为（0，2），故A正确；
当直线AB的斜率存在且不为0时，
设A（x ，y ），B（x ，y ），则AB的中点，
1 1 2 2
可得，
∵A，B在双曲线上，∴，
两式相减得，则．
若线段AB中点的是（﹣1，2），可得k＝﹣2，k ＝﹣2，则AB：y﹣2＝﹣2（x+1），即y＝﹣2x，
AB
双曲线的渐近线方程为y＝±2x，由于y＝﹣2x与其中一条渐近线重合，故不可能有两个交点，故B错
误；
若线段AB中点的是（1，1），同理可得k＝1，k ＝4，则AB：y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3，
AB
联立方程，消去y得12x2﹣24x+13＝0，
此时Δ＝242﹣4×12×13＝﹣48＜0，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
若线段AB中点的是（1，4），同理可得k＝4，k ＝1，则AB：y﹣4＝x﹣1，即y＝x+3，
AB
联立方程，消去y得3x2﹣6x﹣13＝0，
此时Δ＝（﹣6）2+4×3×13＞0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中
档题．
（多选）11．（6分）设函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，
函数y＝f（x）的图象与圆（x﹣t）2+（y+t）2＝2t2（t＞0）的公共点个数可以是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】借助函数f（x）＝[x]和圆（x﹣t）2+（y+t）2＝2t2（t＞0）的图像，对t进行取特殊值进行验
证即可．
【解答】解：当t＝1时，（x﹣1）2+（y+1）2＝2，f（x）与圆只过（0，0），A对；
第7页（共16页）当，y＝0，，∴f（x）与圆交于（，0），（0，0）两点，B对；
当时，圆：，
y＝1时，，∴f（x）与圆有个交点，
y＝0时，x＝0，交点（0，0）；
y＝﹣1时，，∴f（x）与圆有个交点 ，
y＝﹣2时，，∴f（x）与圆有个交点 ，D对．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题，是中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知点在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 ．
【分析】根据已知条件，先求出p，再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，
则5＝2p，解得p，
由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为：x 1．
A
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
第8页（共16页）13．（5分）函数y＝f（x）﹣x2是奇函数．若函数g（x）＝f（x）+5，f（4）＝9，则g（﹣4）＝ 2 8
．
【分析】由函数y＝f（x）﹣x2是奇函数，利用f（4）＝9，可求出f（﹣4），进而可求g（﹣4）的值．
【解答】解：因为函数y＝f（x）﹣x2是奇函数，
则有f（﹣4）﹣（﹣4）2＝﹣（f（4）﹣42），
即f（﹣4）﹣16＝﹣f（4）+16＝﹣9+16＝7，
所以f（﹣4）＝16+7＝23，
又g（x）＝f（x）+5，
得g（﹣4）＝f（﹣4）+5＝23+5＝28．
故答案为：28．
【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．
14．（5分）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大
值 4 ．
【分析】设，根据题意求得A、B所在圆的圆心和半径，然后根据数量投影的意义，结合图形求得在
方向上的数量投影的最大值．
【解答】解：根据题意不妨设（1，0），（0，1），（x，y），（m，n），
则，
由可得（x﹣4）2+y2＝4，
由可得m2+（n﹣6）2＝1，
设，故A在以C （4，0）为圆心，2为半径的圆上，
1
B在以C （0，6）为圆心，1为半径的圆上，
2
过B作BD⊥OA于D，则OD即为在上的数量投影，如下所示：
因为A，B分别为两圆上任意动点，不妨固定B，则OB为定长，
设，即∠AOB＝ ，故|OD|＝|OB|•cos ，
θ θ
第9页（共16页）因为此时|OB|为定长，且 ＝∠AOB＜180°，
故随着 的减小，cos 增θ大，直至OA恰好与圆C
1
相切时，|OD|取得最大值，如下所示：
θ θ
在OA与圆C 相切的基础上，移动点B，过C 作C E⊥OA于E，故|OD|＝|OE|+|ED|；
1 2 2
在△C AO中，∠C AO＝90°，C A＝2，OC ＝4，
1 1 1 1
故∠AOC ＝30°，∠C OE＝60°，因为|OC |＝6，
1 2 2
故在直角三角形C OE中，|OC |＝2|OE|，则OE＝3，即|OD|＝|OE|+|ED|＝3+|ED|；
2 2
在四边形BDEC 中，因为∠DEC ＝∠C ED＝90°，故|DE|≤|BC |＝1，
2 2 2 2
当且仅当BC ∥DE时等号成立，从而|OD|＝3+|ED|≤3+1＝4，
2
综上所述：在方向上的数量投影的最大值为4．
第10页（共16页）故答案为：4．
【点评】本题考查平面向量与直线和圆的位置关系的综合应用，属难题．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．
【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；
（Ⅱ）由∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得
答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图，
由正弦定理得：
，
∵AD平分∠BAC，BD＝2DC，
∴；
（Ⅱ）∵∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC＝60°，
∴，
由（Ⅰ）知2sin∠B＝sin∠C，
∴tan∠B，即∠B＝30°．
【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．
16．（15分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1，2，3，
4）．现从袋中任取一球． 表示所取球的标号．
（Ⅰ）求 的分布列，期望ξ和方差；
（Ⅱ）若ξ＝a +b，E ＝1，D ＝11，试求a，b的值．
【分析】（η 1）ξ 的所有η 可能取η值为0，1，2，3，4，P（ ＝k），可出分布列，再由期望、方差的定义
求期望和方差；ξ ξ
（2）若 ＝a +b，由期望和方差的性质E ＝aE +b，D ＝a2D ，解方程组可求出a和b．
η ξ η ξ η ξ
第11页（共16页）【解答】解：
（Ⅰ） 的所有可能取值为0，1，2，3，4
分布列ξ为：
0 1 2 3 4
P
ξ
∴．．
（Ⅱ）由D ＝a2D ，得a2×2.75＝11，即
a＝±2．又Eη ＝aEξ+b，所以
当a＝2时，η由1＝ξ2×1.5+b，得b＝﹣2；
当a＝﹣2时，由1＝﹣2×1.5+b，得b＝4．
∴或即为所求．
【点评】本题考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力．
17．（15分）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x ，且e﹣2＜f（x ）＜2﹣2．
0 0
【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）＝a可得h
（x） ＝h（），从而可得结论；
min
（2）通过（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，记t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）
min
＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）＝0存在两根x ，x ，利用f（x）必存在唯一极大值点x 及x
0 2 0 0
可知f（x ），另一方面可知f（x ）＞f（）．
0 0
【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a．
则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以当x ＞1时，h（x ）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．
0 0
因为当0＜x时h′（x）＜0、当x时h′（x）＞0，
所以h（x） ＝h（），
min
又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，
所以1，解得a＝1；
另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），
所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，
所以解得a＝1；
第12页（共16页）（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，
令t′（x）＝0，解得x，
所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以t（x） ＝t（）＝ln2﹣1＜0，又t（）0，所以t（x）在（0，）上存在唯一零点，
min
所以t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x ，x ，
0 2
且不妨设f′（x）在（0，x ）上为正、在（x ，x ）上为负、在（x ，+∞）上为正，
0 0 2 2
所以f（x）必存在唯一极大值点x ，且2x ﹣2﹣lnx ＝0，
0 0 0
所以f（x ）x ﹣x lnx x +2x ﹣2x ，
0 0 0 0 0 0 0
由x 可知f（x ）＜（x ） ；
0 0 0 max
由f′（）＜0可知x ，
0
所以f（x）在（0，x ）上单调递增，在（x ，）上单调递减，
0 0
所以f（x ）＞f（）；
0
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x ，且e﹣2＜f（x ）＜2﹣2．
0 0
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积
累，属于难题．
18．（17分）在平面四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ADC＝30°，∠DAB＝120°，将△ACD沿AC
翻折至△ACP，其中P为动点．
（1）设PC⊥AB，三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）求球O的半径；
（2）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值的最小值．
【分析】（1）（i）根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，即可证明；（ⅱ）找出球心的
位置，再根据勾股定理，即可求解；
（2）建系，利用向量法，向量夹角公式，构建函数模型，即可求解．
【解答】解：（1）（i）证明：∵AC＝CD＝1，∠CAD＝∠ADC＝30°，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝90°，AB⊥AC，翻折后同样有AB⊥AC，又AB⊥PC，PC∩AC＝C，
∴AB⊥平面PCA，又AB 平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC；⊂
（ⅱ）如图，∵△ABC的外接圆圆心O 位于BC中点，作C关于AP的对称点O ，
1 2
第13页（共16页）则O C＝O A＝O P＝1，O 为△ACP的外接圆圆心，
2 2 2 2
作O H⊥AC于H，则H为AC中点，
1
则O H⊥平面ACP，O H⊥O H，
1 1 2
又△O AC为等边三角形，∴O H⊥AC，
2 2
而外接球球心O，满足OO ⊥平面ABC，OO ⊥平面ACP，
1 2
∴OO ＝O H，BO ，
1 2 1
∴球O的半径为R；
（2）以A为原点，AC所在直线为x轴，过A且垂直底面ACP的直线为z轴，建系如图：
则根据题意可得C（1，0，0），P（，，0），又AB＝1，
∴设B（0，cos ，sin ），
∴，， θ θ
易知平面ACP的一个法向量为，
设平面BCP的法向量为，
则，取，
设二面角A﹣CP﹣B的平面角为 ，易知 为锐角，
∴cos ＝|cos，|， φ φ
令t＝φcos ，则t [，]，
∴cos ，θ ∈
∴当，φ即cos 时，cos 取得最小值，
∴二面角A﹣θCP﹣B的φ余弦值的最小值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的外接球问题，向量法求解二面角问题，函数思想的应用，
第14页（共16页）属难题．
19．（17分）已知双曲线C：y2﹣x2＝1，上顶点为D．直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点（B
在第一象限），与x轴交于点T．设直线DA，DB的倾斜角分别为 ， ．
（1）若， α β
（i）若A（0，﹣1），求 ；
（ii）求证： + 为定值；β
（2）若，直线α βDB与x轴交于点E，求△BET与△ADT的外接圆半径之比的最大值．
【分析】（1）（i）根据已知条件，先求出点B，再结合直线的斜率公式，求出斜率，即可求出倾斜角；
（ii）当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，再与双曲线方程联立，再结合韦达定理，以及
直线的斜率公式，即可求解；当直线AB的斜率不存在时，结合直线的斜率公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合直线的斜率公式，并分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）（i），所以，
TA与C联立可得，解得x＝0或，所以．
所以，所以；
（ii）证明：（1）直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为，
设A（x ，y ），B（x ，y ）
1 1 2 2
由，得，
所以．
当x ＝0时，由（i）可得；
1
当x ≠0时，设DA，DB的斜率分别为k ，k ．
1 1 2
．
所以，．
所以．
因为B在第一象限，所以，
所以，
所以．
第15页（共16页）②直线AB斜率不存在时，可得，
可得，
所以，同理可得．
综上可得， + 为定值，得证．
（2）由（1α）可β 得时，．
①k 不存在，则A（0，﹣1），由①（i）可得，所以，所以．
1
②k 不存在，则T（0，0），则，此时，由图可得．
DT
③若k 和k 均存在，设，则
1 DT
与双曲线联立可得．
所以．
所以，
所以．
设△BET与△ADT的外接圆半径分别为r ，r ，
1 2
从而．等号当且仅当y ＝﹣1时取到．
A
所以△BET与△ADT的外接圆半径之比的最大值为2．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于难题．
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