25李林《880》数二线代做题本_考研_数学_02.李林_25李林《880题》做题本（全）_数二

目录 目 录 第七章 行列式 .................................................................. 2 基础题 ..................................................................... 2 综合题 ..................................................................... 9 拓展题 .................................................................... 14 第八章 矩 阵 .................................................................. 15 基础题 .................................................................... 15 综合题 .................................................................... 26 拓展题 .................................................................... 31 第九章 向 量 .................................................................. 32 基础题 .................................................................... 32 综合题 .................................................................... 38 拓展题 .................................................................... 44 第十章 线性方程组.............................................................. 45 基础题 .................................................................... 45 综合题 .................................................................... 51 拓展题 .................................................................... 56 第十一章 相似矩阵.............................................................. 57 基础题 .................................................................... 57 综合题 .................................................................... 67 拓展题 .................................................................... 77 第十二章 二次型................................................................ 79 基础题 .................................................................... 79 综合题 .................................................................... 82 拓展题 .................................................................... 90 第 1 页，共91页880 · 线代 7.行列式 第七章 行列式 基础题 一、选择题 3 0 4 0 2 2 2 2 (1) 设行列式 D= ,则 0 −7 0 0 5 3 −2 2 第 2 页，共91页 D 的第 4 行各元素的余子式之和 M 4 1 + M 4 2 + M 4 3 + M 4 4 = ( ). A. -28 B. 28 C. 14 D. -14 (2) 设 α 1 , α 2 , α 3 , β 1 , β 2 均是 4 维列向量,且 4 阶行列式 ( α 1 , α 2 , β 2 , α 3 ) = b ( α 1 , α 2 , α 3 , β 1 ) = a , ,则行列式 ( α 3 , α 2 , α 1 , β 1 + β 2 ) = ( ). A. a + b B. a − b C. b − a D. − ( a + b )880 · 线代 7.行列式 (3) 设 第 3 页，共91页 β 1 , β 2 , α 1 , α 2 , α 3 均是 4 维列向量,且 A = ( β 1 , α 1 , α 2 , α 3 ) = 1 , B = ( β 2 , α 1 , 3 α 2 , α 3 ) = 3 , 则 A + B = ( ) A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 (4) 设 3 阶矩阵 A = ( a ij ) 3  3 满足 A T = k A * ( k  0 ) ,若 a 1 1 = a 1 2 = a 1 3 = c  0 ,则 c = ( ). A. 3 3 k B. 3 3 k 2 C. 3 k 2 D. k 3 2 二、填空题 (1) 行列式 − k 0 1 1 − 0 k 1 1 − 1 1 k 0 − 1 1 0 k = ________ .880 · 线代 7.行列式 (2) 若 第 4 页，共91页 1 1 a 1 1 a 1 1 a 0    − − − − − − − = ,则  = ________ . (3) 行列式 D 4 = 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 1 1 1 1 4 = ________ . 0 1 2 0 1 0 0 2 (4) 行列式 D = =________ . 4 0 3 4 0 3 0 0 4880 · 线代 7.行列式 (5) 行列式 第 5 页，共91页 D 4 = a 0 0 4 − a 0 3 1 0 − a 2 1 a 0 0 − 1 + 1 = ________ . (6) 设 f ( x ) = x 1 3 1 − 2 x 2 1 x 1 1 3 x 1 2 − 1 1 x ,则 x 3 的系数为________ . (7) 设 A 是 n 阶方阵,且 A A T = E , A  0 ,则 A + E = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 7.行列式 (8) 设 第 6 页，共91页 A 是 n 阶方阵, E 是 n 阶单位矩阵,且 A2 = A,AE ,则 A = ________ . (9) 设 A , B 均为 n 阶方阵,且 A = B = A − 1 + B = 2 ,则 A + B − 1 = ________ . (10) 设 A = 2 , B = − 2 ,其中 A , B 均为 n 阶方阵,则 A − 1 B * − A * B − 1 = ________ .880 · 线代 7.行列式 (11) 设 3 阶方阵 A=(α ,α ,α ),B=(3α −α ,3α −2α ,2α −α −2α ) ,且 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 第 7 页，共91页 B = 1 4 ,则 A = ________ . (12) 设 A = ( a ij ) n  n 为 n 阶方阵, A = 1 ,且 A 的每列元素之和均为 k ( k  0 ) ,则 A 的代数余子式 之和 A 1 1 + A 1 2 + + A 1 n = ________ . 三、解答题 (1) 计算 n 阶行列式 D n = b a a a b a a a a a a b .880 · 线代 7.行列式 (2) 证明: 第 8 页，共91页 D n = x 0 0 a n a − 1 x 0 n − 1 a 0 − 1 0 n − 2 0 0 x a 2 x 0 0 − + 1 a 1 = x n + n i= 1 a i x n − i . (3) 计算 n 阶行列式 D n = − 2 1 0 0 0 − − 1 2 1 0 0 − 0 1 2 0 0 − 0 0 0 2 1 − 0 0 0 1 2 .880 · 线代 7.行列式 (4) 计算 第 9 页，共91页 n 阶行列式 D n = a 1 0 0 b n b 1 a 2 0 0 0 b 2 0 0 a 0 0 n 0 − 1 b 0 0 n − a n 1 + a 1 b 1 0 0 0 0 a 2 b 2 0 0 0 0 a 3 0 0 a b 0 0 0 n − 1 n − 1 b n 0 0 0 a n , 其中 a i , b i 均不为 0 . 综合题 一、选择题 (1) 设 A 是 3 阶可逆矩阵, A − 1 的特征值为 3 , 2 ,1 ,则 A 的代数余子式之和 A 1 1 + A 2 2 + A 3 3 = ( ). 1 A. B. 6 1 3 1 C. D. 1 2880 · 线代 7.行列式 (2) 第 10 页，共91页 A = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 的所有代数余子式 A ij 之和 4 i= 1 4 j= 1 A ij = ( ) . A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 (3) 设 A 是 3 阶方阵, A* 是 A 的伴随矩阵, A = 1 2 ,则 ( 2 A ) − 1 − 2 A * = ( ) . A. 1 2 B. − 1 2 C. − 1 4 D. 1 4 二、填空题 (1) 设 A,B 均为 n 阶方阵, A = 6 , B = 1 , C =   B 2 A  − 1 3 A O *  ,则 C =________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 7.行列式 (2) 设 第 11 页，共91页 A 是 m  n 矩阵, B 是 n  m 矩阵,当 mn 时, AB =________ . (3) 设 A , B 均为 3 阶方阵,满足 A 2 B − A − B = E  1 0 1   ,若 A= 0 2 0 ,则     −2 0 1 B = ________ . (4) 设 A 是 3 阶方阵,且满足 A−E = A+2E = 2A+3E =0 ,则 2A*−3E =________ .880 · 线代 7.行列式 (5) 设 第 12 页，共91页 A 是 3 阶方阵, α 1 , α 2 , α 3 线性无关,且 Aα =α +α , Aα =α +α , 1 1 2 2 2 3 A α 3 = α 3 + α 1 , 则 A = ________ . (6) 设 α , β , α 1 , α 2 , α 3 均为 4 维列向量, A = ( α , α 1 , α 2 , α 3 ) , B = ( β , α 1 , α 2 , α 3 ) ,且 A = 2 , B = 1 , 则 A − 1 + B − 1 = ________ . 三、解答题 (1) 计算 n 阶行列式 D n = b − − − a a a a 2 a n 21 1 1 − b − a − a 1 n a a a 2 22 2 − − b a a − 1 2 a a a n n 2n .880 · 线代 7.行列式 (2) 计算 第 13 页，共91页 n 阶行列式 D n = a + a a b 1 a a + a b 2 a a a + b n ( b i  0 ) . (3) 计算 n 阶行列式 D n = a a a a a n n 0 1 2 − − 2 1 − 1 x 0 0 0 0 − 1 x 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 − 1 x . (4) 计算 D n = a c 0 0 0 b a c 0 0 0 b a 0 0 0 0 0 a c 0 0 0 b a ( a 2 − 4 b c  0 ) .880 · 线代 7.行列式 拓展题 解答题 (1) 设矩阵 第 14 页，共91页 A 为 3 阶非零实矩阵, A T = A * ,且 E + A = E − A = 0 ,计算行列式 A 2 − A − 3 E . (2) 设 A 为 3 阶非零实矩阵,且 A T = k A * ( k 为非零常数). (I) 证明: A 是可逆矩阵; (II) 求行列式 A − 1 + ( A * ) − 1 . (3) 设 3 阶矩阵 A  O A* 的特征值为 1,−1,2 ,计算行列式 A   . −2E A880 · 线代 8.矩阵 第八章 矩 阵 基础题 一、选择题 (1) 设 第 15 页，共91页 A = ( a ij ) 3  3 , B =  a a a 2 1 3 1 1 1 a a a 2 2 3 2 1 2 + + + a a a 2 3 3 3 1 3 a a a 2 3 3 3 1 3  , P =  0 0 1 1 0 0 0 1 0  , Q =  1 0 0 0 1 1 0 0 1  ,则 B = ( ) A. A Q P B. P A Q C. QAP D. A P Q (2) 设 A 是 n ( n  3 ) 阶可逆方阵,下列结论正确的是 ( ). ① ( A * ) − 1 = ( A − 1 ) * ; ② ( k A ) * = k n − 1 A * ( k  0 ) ; ③ ( A*)T = ( AT)* ; ④ ( A*)* = A n−2 A . A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③④ (3) 设 A =  − 1 2 3 0 1 2 − 1 0 5  ,则行列式  ( E − A ) *  − 1 = ( ). A. 1 4 1 1 B. − C. D. 4 16 − 1 1 6880 · 线代 8.矩阵 (4) 设矩阵 第 16 页，共91页 A =  k 1 0 2 − 1 1 1 k 5 1 0 3 1  与 B =  1 0 2 3 1 1 3 5 − 1 1 k 1  等价,则 ( ). A. k = 1 B. k  1 C. k = − 1 D. k  − 1 二、填空题 (1) 设 α = ( 1 , 2 , 3 ) T , β =  1 , 1 2 , 1 3  T , A = α β T ,则 A n = ________ . (2) 设 α=(2,−1,3)T ,β=(1,2,0)T ,A=αβT,E 是 3 阶单位矩阵,则 (A+E)n =________ .880 · 线代 8.矩阵 (3) 设 第 17 页，共91页 A =  1 0 1 0 2 0 1 0 1  ,则 A n = ________ . (4) 设 B =  0 1 0 − 1 0 0 0 0 1  , A = P − 1 B P ,则 A 4 − 2 B 2 = ________ . (5) 设 A 是 n 阶方阵,且 A = 2 ,将 A 的第 i 行与第 j 行互换得到 B ,则行列式 B − 1 B * B T = ________ .880 · 线代 8.矩阵 (6) 设 第 18 页，共91页 A =  1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7  ,则 r ( A ) = ________ . (7) 若 A n = O , n 为正整数,则 (E−A)−1 =________ . (8) 若 A n = E , n 为正整数,则 ( A*)n = ________ .880 · 线代 8.矩阵 (9) 设方阵 第 19 页，共91页 A 满足 A 2 − 3 A − 2 E = O ,则 A − 1 = ________ . (10) 设方阵 A 满足 A2 = A ,则 ( A + E ) − 1 = ________ . (11) 设 A 是 n 阶可逆矩阵,将 A 的第 i 行和第 j 行交换得 B ,则行列式 A B − 1 = ________ .880 · 线代 8.矩阵 (12) 设存在 3 阶矩阵 第 20 页，共91页 A ,对任意的 x , y , z 有 A  x y z  =  z x y  ,则 A = ________ . (13) 设 α = ( k , 0 , , 0 , k ) T ( k  0 ) ,且 A = E − α α T , A − 1 = E + 1 k α α T ,则 k = ________ . 三、解答题 (1) 设 A =  2 a 4 − 1 1 c 3 b 6  ,且 BA=O,B 是 3 阶方阵, r ( B )  1 ,求 An .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 8.矩阵 (2) 设 第 21 页，共91页 α , β 是 n 维列向量,且 α T β = 2 ,证明: A = E + α β T 可逆,并求 A − 1 . (3) 设 A − 1 =  1 1 1 1 2 1 1 1 3  ,求 ( A * ) − 1 . (4) 设 A =  2 1 1 1 2 1 1 1 2  ,证明: A 2 = 5 A − 4 E ,并求 A − 1 .880 · 线代 8.矩阵 (5) 设方阵 第 22 页，共91页 A , B 满足 B  0 , ( A − E ) − 1 = ( B − E ) T ,求 A − 1 (用 B 表示). (6) 设 A =  1 2 0 0 3 4 0 0 5  , B = ( E + A ) − 1 ( E − A ) ,求  ( E + B ) 2  − 1 . (7) 已知方阵 A , B , ( A + B ) 均可逆,求 ( A − 1 + B − 1 ) − 1 .880 · 线代 8.矩阵 (8) 设 AB=BA,A 可逆,证明: 第 23 页，共91页 A − 1 B = B A − 1 . (9) 设 A , B 都是 n 阶方阵,且 A 2 = A , B 2 = B , ( A + B ) 2 = A + B ,证明: A B = B A . (10) 设 A 为 2 n + 1 阶正交矩阵,且 A = 1 ,证明: A − E 不可逆.880 · 线代 8.矩阵 (11) 设 第 24 页，共91页 n 阶方阵 A,B ,满足 A2 =E,B2 =E ,且 A + B = 0 ,证明: A + B 不可逆. (12) 设 A =  − 1 0 1 0 2 0 1 0 1  , A B + E = A 2 + B ,求 B . (13) 设 A=   0 2  ,且 ( ATB−1)T −A ( BTA )−1 = ( E−B−1)T ,求 B . 1 2880 · 线代 8.矩阵 (14) 设 第 25 页，共91页 A =  1 3 0 0 0 1 4 0 0 0 1 7  , A − 1 B A = 6 A + B A ,求 B . 0 1 0 1 0 0 1 −4 3       (15) 设 A= 1 0 0 ,B= 0 0 1 ,C= 2 0 −1 ,满足             0 0 1 0 1 0 1 −2 0 A X B = C ,求矩阵 X . (16) 设矩阵 A 满足 A  1 0 2 1  =  2 3 1 2  A ,求矩阵 A .880 · 线代 8.矩阵 综合题 一、选择题 (1) 设 第 26 页，共91页 A =  1 1 k k 2 + 2 1 k 1 1  , B 是 3 阶非零矩阵,且 A B = O ,则 ( ). A. 当 k = 1 时, r ( B ) = 1 B. 当 k = − 3 时, r ( B ) = 1 C. 当 k = 1 时, r ( B ) = 2 D. 当 k = − 3 时, r ( B ) = 2 (2) 设 A =  a b b b a b b b a  ( a , b 均 不 为 ?0 ) ,且 r ( A * ) = 1 ,则必有 ( ). A. a = b B. a = b 或 a + 2 b  0 C. a + 2 b = 0 D. a  b 且 a + 2 b  0 a a a  0 0 1 11 12 13     (3) 设A= a a a ,P= 0 1 0 ,且  21 22 23       a 31 a 32 a 33 1 0 0 P n A P m = A ,则正整数n,m可以为 ( ). A. n=m=4 B. n = 5 , m = 4 C. n=4,m=5 D. n=m=5880 · 线代 8.矩阵 (4) 设 A,B 均为 第 27 页，共91页 n 阶矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,矩阵  O B A E  ,  A O B E  ,  A E A B B  的秩 分别为 r1 , r 2 , r3 , 则正确的是 ( ). A. r2  r1  r3 B. r3  r1 = r2 C. r1  r2  r3 D. r3  r2  r1 二、填空题 (1) 设 A , B 是 n 阶方阵, A = 2 , B = 3 , A * , B * 分别是 A , B 的伴随矩阵, C =  A O O B  , 则 C 的 伴随矩阵 C * = ________ . (2) 设 A 是 n 阶可逆矩阵, A 的每行元素之和均为 k ,则 A − 1 的每行元素之和均为 ________ .880 · 线代 8.矩阵 (3) 设 第 28 页，共91页 A =  − − − 1 1 1 1 − − − 1 1 1 1 − − − 1 1 1 1 − − − 1 1 1 1  ,则 A n ( n  1 ) = ________ . (4) 设 A =  0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  ,则 ( E + A ) − 1 = ________ . 三、解答题 (1) 设 A =  0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 1 2 3 0  ,求 A n ( n  1 ) .880 · 线代 8.矩阵 (2) 设 第 29 页，共91页 A =  − − 1 1 1 1 − − 1 1 1 1 − − 1 1 1 1 − − 1 1 1 1  ,证明: A 2 + 4 A = O ,并求 ( E + A ) − 1 . 0 1 0   (3) 设 A= 1 0 0 ,证明:     0 1 1 A n = A n − 2 + A 2 − E ( n  3 ) ,并计算 A 1 0 0 . (4) 设 A =  − 1 0 1 − − 1 2 1 − − 2 4 1  ,证明: A 可逆,并将 A 表示为初等矩阵的乘积.880 · 线代 8.矩阵 (5) 设 第 30 页，共91页 A =  1 0 0 − 0 2 0 0 0 1  ,且 A * B A = 2 B A − 8 E ,求 B . (6) 设矩阵 X 满足  − 1 2 1 − 0 1 1 − 1 1 2  X =  − 0 2 2 1 0 1  ,求 X . (7) 设分块矩阵 P =  A O C B  为正交矩阵, A , B 分别是 m 阶和 n 阶方阵,证明: A 与 B 是正交矩阵.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 8.矩阵 拓展题 解答题 (1) 设 第 31 页，共91页 A =  3 0 0 2 1 0 2 1 3  , B =  1 0 0 0 0 0 0 0 − 1  ,若矩阵 X 满足 AX +2B=BA+2X ,求 X2 . (2) 设列向量 α = ( 1 , 2 ,1 ) T , β =  1 , 1 2 , 0  T , γ = ( 0 , 0 , 8 ) T , A = α β T , B = β T α ,且 B 4 x 2 B 2 A 2 x = A 4 x +  + ,求 x .880 · 线代 9.向量 第九章 向 量 基础题 一、选择题 (1) 若 α ,α ,α 线性相关, α ,α ,α 线性无关,则 ( ). 1 2 3 2 3 4 A. 第 32 页，共91页 α 1 可由 α 2 , α 3 线性表示 B. α 4 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示 C. α 4 可由 α 1 , α 3 线性表示 D. α 4 可由 α 1 , α 2 线性表示 (2) 向量组 α 1 , α 2 , , α n 线性无关等价于 ( ). A. 存在一组不全为 0 的数,使其线性组合不为 0 B. 存在一个向量不能由其他向量线性表示 C. 任何一个向量均不能由其他向量线性表示 D. 其中任意两个向量线性无关 (3) 设向量组 α,α ,α ,α 线性无关,则下列向量组线性无关的是 ( ). 1 2 3 4 A. α +α ,α +α ,α +α ,α +α B. 1 2 2 3 3 4 4 1 α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 − α 1 C. α +α ,α −α ,α +α ,α −α D. α −α ,α −α ,α −α ,α −α 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1880 · 线代 9.向量 (4) 设向量组 (I) 第 33 页，共91页 β 1 , β 2 , , β t ,(II) α 1 , α 2 , , α s ,则下列命题 ① 若向量组 (I) 可由 (II) 线性表示,且 s  t ,则必有 (I) 线性相关; ② 若向量组 (II) 可由 (I) 线性表示,且 s  t ,则必有 (I) 线性相关; ③ 若向量组 (I) 可由 (II) 线性表示,且 (I) 线性无关,则必有 s  t ; ④ 若向量组 (II) 可由 (I) 线性表示,且 (I) 线性无关,则必有 s  t , 正确的是 ( ). A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④ (5) 设 α 1 = ( a 1 , a 2 , a 3 ) T , α 2 = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T , α 3 = ( c 1 , c 2 , c 3 ) T ,其中 a 2i + b 2i  0 ( i = 1 , 2 , 3 ) ,则三条 直线 ax+by+c =0(i=1,2,3) 恰好仅交于一点的充分必要条件是( ). i i i A. r(α ,α ,α )=3 B. 1 2 3 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 1 C. r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = r ( α 1 , α 2 ) D. r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = r ( α 1 , α 2 ) = 2 (6) 设 α 1 , α 2 , α 3 均为 3 维向量,则对任意常数 k 和  ,向量组 α 1 k α 3 , α 2 α 3  + + 线性无 关是向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关的 ( ). A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件880 · 线代 9.向量 (7) 设 第 34 页，共91页 α 1 =  1 0 0 c 1  , α 2 =  1 2 0 c 2  , α 3 =  − c 1 2 3 3  , α 4 =  − c 2 1 5 4  ,其中 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数,则( ). A. α 1 , α 2 , α 3 线性无关 B. α 1 , α 2 , α 3 线性相关 C. α,α ,α ,α 线性无关 D. α,α ,α ,α 线性相关 1 2 3 4 1 2 3 4 (8) 设向量组 α ,α ,α −2α +α 线性无关,则下列向量组线性无关的是 ( ). 1 2 1 2 3 A. α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1 B. α 1 , α 2 , α 3 C. α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 1 − 2 α 2 + α 3 D. α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 + 2 α 2 + α 3 二、填空题 (1) 已知向量 α =(1,2,3)T ,α =(2,−1,1)T ,α =(−2,k,4)T 线性相关,则 k = . 1 2 3880 · 线代 9.向量 (2) 设向量组 (I) 第 35 页，共91页 α 1 = ( 1 ,1 , 2 ) T , α 2 = ( 2 , 3 , 3 ) T ;(II) β 1 = ( 2 , 3 , 5 ) T , β 2 = ( − 1 , 0 ,1 ) T ,则既可由 (I) 线性表示, 又可由 (II) 线性表示的非零列向量为______. 三、解答题 (1) 设向量组 α 1 = ( 0 , 4 , 2 ) T , α 2 = ( 1 ,1 , 0 ) T , α 3 = ( − 2 , 4 , 3 ) T , α 4 = ( − 1 ,1 ,1 ) T ,求 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的 一 个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示. (2) 设 α 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 ) T , α 2 = ( 1 ,1 , 3 , 5 ) T , α 3 = ( 1 , − 1 , a ,1 ) T , β = (1 , b , 4 , 7 ) T ,问: 当 a , b 为何值 时, β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示? a , b 为何值时, β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示? 写出表达式.880 · 线代 9.向量 (3) 设向量组 α =(1,2,−3)T ,α =(3,0,1)T ,α =(9,6,−7)T 与向量组 1 2 3 第 36 页，共91页 β 1 = ( 0 ,1 , − 1 ) T , β 2 = ( k , 2 ,1 ) T , β 3 ( ,1 , 0 ) T  = 有相同的秩,且 β 3 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,求 k ,  的值. (4) 设有向量组 (I) α 1 = ( 2 , 3 , 5 ) T , α 2 = ( 0 ,1 , 2 ) T , α 3 = ( 1 , 0 , 0 ) T ,(II) β 2 = (1 ,1 ,1 ) T , β 3 = ( 1 ,1 , − 1 ) T , β 4 = ( 2 ,1 , 0 ) T β 1 = ( 3 ,1 , 2 ) T , ,证明: 向量组 (I) 与(II)等价. (5) 设向量组 α 1 , α 2 , , α k 线性无关,且可由向量组 β 1 , β 2 , , β k 线性表示,证明: 这两个向 量组 等价.880 · 线代 9.向量 (6) 设向量组 (I) 第 37 页，共91页 α 1 , α 2 , , α s , ( I I ) β 1 , β 2 , , β s , r ( I ) = r ( I I ) ,且向量组 (II) 可由(II) 线性表 示. 证明: 向量组 (I) 与 (II) 等价. (7) 设向量组(Ⅰ) α 1 , α 2 , α 3 , (Ⅱ) α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , (Ⅲ) α 1 , α 2 , α 3 , α 5 , 且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证 明向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 5 − α 4 的秩为 4 . (8) 设 A 是 3 阶方阵, α ,α 为 1 2 A 的分别属于特征值 -2,1 的特征向量,且 A α 3 = α 2 + α 3 ,证明: α 1 , α 2 , α 3 线性无关.880 · 线代 9.向量 (9) 设矩阵 第 38 页，共91页 A 5 x 4 的秩为 2 , α 1 = ( 1 ,1 , 2 , 3 ) T , α 2 = ( − 1 ,1 , 4 , − 1 ) T , α 3 = ( 5 , − 1 , − 8 , 9 ) T 是方程组 A x = 0 的解向量,求 A x = 0 的基础解系,并将其正交单位化. 综合题 一、选择题 (1) 设 A 是 m  n 矩阵, α 1 , α 2 , , α t 是 n 维列向量,向量组 (I) α 1 , α 2 , , α s ,(II) A α 1 , A α 2 , , A α t , 则正确的是 ( ). A. 若 (I) 线性无关, 则 (II) 线性无关 B. 若 (II) 线性相关, 则 (I) 线性相关 C. 若 (II) 线性无关, 则 (I) 线性无关 D. (I) 与(II) 具有相同的线性相关性 (2) 设三维列向量 α ,α ,α 线性相关, α ,α ,α 线性无关,记 (β ,β ,β )=(α ,α ,α )A , 1 2 3 2 3 4 1 2 3 1 2 3 33 (γ ,γ ,γ )=(α ,α ,α )B ,则( ). 1 2 3 2 3 4 33 A. 存在矩阵 A 3  3 ,使得 β ,β ,β 线性无关 1 2 3 B. 不存在矩阵 A ,使得 33 β 1 , β 2 , β 3 线性相关 C. 存在矩阵 B 3  3 ,使得 1 , 2 , 3    线性无关 D. 不存在矩阵 B ,使得 ,, 线性相关 33 1 2 3880 · 线代 9.向量 (3) 设向量 第 39 页，共91页 α 1 , α 2 , α 3 满足 kα +k α +k α =0,k ,k ,k 为常数,且 1 1 2 2 3 3 1 2 3 k 1 k 3  0 ,则( ) . A. α 与 α 等价 B. α ,α 与 α ,α 等价 1 3 1 2 1 3 C. α 1 , α 2 与 α 2 , α 3 等价 D. α 1 , α 3 与 α 2 , α 3 等价 (4) 设 n 维向量组 (I) α 1 , α 2 , , α k ( k  n ) 线性无关,则 n 维向量组 (II) β 1 , β 2 , , β k 也 线性无关的充分必要条件是 ( ). A. β,β , ,β 可由 α,α , ,α 线性表示 1 2 k 1 2 k B. α 1 , α 2 , , α k 可由 β 1 , β 2 , , β k 线性表示 C. 向量组 (I) 与向量组 (II) 等价 D. 矩阵 ( α 1 , α 2 , , α k ) 与 ( β 1 , β 2 , , β k ) 等价 (5) 设 4 维列向量 α 1 , α 2 , α 3 线性无关, β (i=1,2,3,4) 为非零列向量,且 i β i 与 α 1 , α 2 , α 3 均正交,则 r ( β 1 , β 2 , β 3 , β 4 ) = ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4880 · 线代 9.向量 (6) 设 第 40 页，共91页 A , B 均是 m  n 矩阵,则 A x = 0 与 B x = 0 同解的充分必要条件是( ). A. A,B 的列向量组等价 B. A,B 的行向量组等价 C. A , B 是等价矩阵 D. A T x = 0 与 B T x = 0 同解 二、填空题 设向量组 α 1 = ( 1 , k + 2 , 3 ) T , α 2 = ( 2 , − 1 ,1 ) T , α 3 = ( k − 1 ,1 , − 1 ) T 线性相关,但任意两个向量线 性无 关,则 k = ________ . 三、解答题 1 0 0 0 1 0 0 0     (1) 设 A= 1 2 0 0 =(α ,α ,α ,α ),B= 0 2 0 0 . 求:   1 2 3 4       2 4 3 −3 0 0 3 0 (I) 向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的一个极大线性无关组; (II) 可逆矩阵 P ,Q ,使得 33 44 P A Q = B .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 9.向量 (2) 设向量组 α =(1,0,1)T ,α =(0,1,1)T ,α =(1,3,5)T 不能由向量组 1 2 3 第 41 页，共91页 β 2 = ( 1 , 2 , 3 ) T , β 3 = ( 3 , 4 , a ) T β 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T , 线性表示,求 a 的值,并将 β 1 , β 2 , β 3 用 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. (3) 设 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ,其中 α 1 ( 1 , 0 ,1 ) T , α 2 ( 1 ,1 , 2 ) T , α 3 ( 1 , 2 , ) T , B ( β 1 , β 2 )  = = = = ,其中 β 1 = ( − 1 , 2 ,1 ) T , β 2 = ( 1 , 0 , b ) T . 问: (I) 当 a , b 为何值时, β 1 , β 2 不能同时由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示? (II) 当 a , b 为何值时, β 1 , β 2 可同时由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示? 并求表达式. (4) 设 n 维向量组 α ,α , ,α (k n) 线性无关,且 α =α +α + +α , 1 2 k k+1 1 1 2 2 k k i 0 , i 1   = , 2 , , k ,证明: α ,α , ,α ,α 中任何 1 2 k k+1 k 个向量都线性无关.880 · 线代 9.向量 (5) 设矩阵 第 42 页，共91页 A = ( α 1 , α 2 , , α m ) , α i 为 n 维列向量, i = 1 , 2 , , m ,且 m  n ,证明: α 1 , α 2 , , α m 线性无关的充分必要条件是 A T A  0 . (6) 设 A 是 3 阶方阵, A 的特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3    = = = ,对应的特征向量分别为 α 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T ,α =(1,2,4)T ,α =(1,3,9)T ,另一向量 2 3 β = ( 1 ,1 , 3 ) T . (I) 将 β 用 α 1 , α 2 , α 3 线性表示; (II) 求 Anβ ( n 为正整数).880 · 线代 9.向量 (7) 设 第 43 页，共91页 A 是 m  n 矩阵, α 1 与 α 2 是非齐次线性方程组 A x = b 的两个不同解. (I) 证明: α,α −α 线性无关; 1 1 2 (II) 若 β 是 Ax=0 的一个非零解向量, r(A)=n−1 ,证明: β , α 1 , α 2 线性相关. (8) 设 α 1 , α 2 , α 3 x −3x +x =2, 1 2 3  是方程组 2x +x −x =−1, 的解向量,证明: 1 2 3  7x 1 −2x 3 =−1 α 1 − α 2 , α 1 − α 3 线性相关. (9) 设 A 是 3 阶矩阵, α i ( i = 1 , 2 , 3 ) 是 3 维非零列向量,且 α = α 1 + α 2 + α 3 A α i = iα i ( i = 1 , 2 , 3 ) , ,证明: α , A α , A 2 α 线性无关.880 · 线代 9.向量 拓展题 解答题 (1) 设向量组 α =(1,1,1,2)T , α =(3,a+4,2a+5,a+7)T , α =(4,6,8,10)T , 1 2 3 第 44 页，共91页 α 4 = ( 2 , 3 , 2 a + 3 , 5 ) T , α = ( 0 ,1 , 3 , b ) T . (I) 求向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的秩及其一个极大线性无关组; (II) 若 α 不能由 α,α ,α ,α 线性表示,求 1 2 3 4 a , b 的取值. (2) 设 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , α 1 = ( 0 , 3 , c ) T , α 2 = ( a , 2 ,1 ) T , α 3 = ( b ,1 , 0 ) T , B = ( β 1 , β 2 , β 3 ) , β 1 = ( 1 , 2 , − 3 ) T , β 2 = ( 3 , 0 ,1 ) T , β 3 = ( 9 , 6 , − 7 ) T ,且 r ( A ) = r ( B ) , α 2 , α 3 可由 β 1 , β 2 , β 3 线性表示. (I) 求 a , b , c 的值; (II) 若 B X = A ,求矩阵 X .880 · 线代 10.线性方程组 第十章 线性方程组 基础题 一、选择题 (1) 已知 η,η 是非齐次线性方程组 1 2 第 45 页，共91页 A x = b 的两个不同解, ξ ,ξ 是对应齐次线性方程组 1 2 Ax=0 的 基础解系, k 1 , k 2 为任意常数,则 Ax=b 的通解为 ( ). A. k 1 ξ 1 + k 2 ( ξ 1 + ξ 2 ) + η 1 − 2 η 2 B. k 1 ξ 1 + k 2 ( ξ 1 − ξ 2 ) + η 1 + 2 η 2 C. k 1 ξ 1 + k 2 ( η 1 + η 2 ) + η 1 − 2 η 2 D. k 1 ξ 1 + k 2 ( η 1 − η 2 ) + η 1 + 2 η 2 (2) 设 A 是 n 阶矩阵,对方程组 (I) A x = 0 和 (II) A T A x = 0 ,必有 ( ). A. (II) 的解是 (I) 的解, (I) 的解也是 (II) 的解 B. (II) 的解是 (I) 的解, 但 (I) 的解不是 (II) 的解 C. (I) 的解不是 (II) 的解, (II) 的解也不是 (I) 的解 D. (I) 的解是 (II) 的解, 但 (II) 的解不是 (I) 的解 (3) 设 A 是 n 阶矩阵,若对任意的 n 维列向量 α ,有 A * α = 0 ,则 Ax=0 的基础解系 所含解向量的个数 k 满足 ( ). A. k =0 B. k =1 C. k 1 D. k =n880 · 线代 10.线性方程组 x +x +2x =0, 1 2 3  (4) 设方程组 x +x +x =0, 的系数矩阵为 A ,若存在 3 阶矩阵 BO ,使得 1 2 3  x +x +x =0  1 2 3 第 46 页，共91页 A B = O ,则必有( ). A. 2  = − 且 B =0 B. 2  = − 且 B  0 C. 1  = 且 B = 0 D. 1  = 且 B  0 2x −3x +x =b, 1 2 3 1  (5) 设方程组 x −2x +x =b , 有解,则( ). 1 2 3 2  2x 1 +kx 2 +3x 3 =b 3 A. 当 k −5 时, ( b 1 , b 2 , b 3 ) T 为任意非零列向量 B. 当 k =−5 时, ( b 1 , b 2 , b 3 ) T 为任意列向量 C. 当 k =−5 时, b 1 + b 3 = 4 b 2 D. 当 k −5 时, b 1 + b 3 = 4 b 2 (6) 设矩阵 A ,B ,则 ( ) . mn nm A. 当 mn 时, AB 必可逆 B. 当 mn 时,必有 A B = 0 C. 当 n  m 时,必有 r ( A B )  m D. 当 n  m 时, ABx=0 必有唯一解880 · 线代 10.线性方程组 二、填空题 x +2x +x =3, 1 2 3  (1) 设方程组 2x +(k+4)x −5x =6, ,有无穷多解,则 1 2 3  −x 1 −2x 2 +kx 3 =−3 第 47 页，共91页 k = ________ . (2) 设 A =  1 2 1 2 3 a a 1 + − 2 2  , β 1 = (1 , 3 , 4 ) T , β 2 = ( 0 ,1 , 2 ) T ,若方程组 A X = β 1 有解,且 A X = β 2 无解,则 a=________ . 三、解答题 2x −x +4x −3x =−4, 1 2 3 4  x +x −x =−3, (1) 求方程组  1 3 4 的通解. 3x +x +x =1,  1 2 3  7x 1 +7x 3 −3x 4 =3880 · 线代 10.线性方程组 2x +x −x =1, 1 2 3  (2) 设方程组 x −x +x =2, 问: 当  为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多 1 2 3  4x 1 +5x 2 −5x 3 =−1, 解? 当有无穷多解时, 求其通解. (3) 设有方程组 (1) 第 48 页，共91页  x x 1 2 + − x x 2 4 = = 0 0 , 与 (2)  x x 1 2 − − x x 2 3 + + x x 3 4 = = 0 0 , . 求: (I) 方程组 (1) 与 (2) 的基础解系; (II) 方程组 (1) 与 (2) 的非零公共解.880 · 线代 10.线性方程组 (4) 设有方程组 (I) 第 49 页，共91页  x x 1 2 + − x x 2 4 = = 0 0 , , (II) A x = 0 ,其中 (II) 的基础解系为 α 1 = ( − 1 , 2 , 2 ,1 ) T , α =(0,−1,−1,0)T ,求方程组 (I) 与 (II) 的非零公共解. 2 (5) 设有方程组:(1)  x x − 1 2 4 − − x x 4 x 4 − 2 = = x 3 − 2 − 4 + , , 6 x 4 = 2 1 , ( 2 )  x b x 1 x 3 + 2 − a − 2 x x x 2 3 4 − − = x − 3 2 x 4 − c x 4 = − + 1 . = 1 − 1 , 5 , (I) 求方程组 (1) 的通解; (II) 当 a , b , c 为何值时,方程组 (1) 与 (2) 同解?880 · 线代 10.线性方程组 (6) 设 第 50 页，共91页 n 阶矩阵 A 满足 A = 0 , A ij 为 A 的元素 a ij 对应的代数余子式,且 A 1 1  0 ,求 方程组 A * x = 0 的基础解系和通解. (7) 已知 4  3 矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ,非齐次线性方程组 A x = β 的通解为 ( 1 , 2 , − 1 ) T + k ( 1 , − 2 , 3 ) T , k 为任意常数,令 B = ( α 1 , α 2 , α 3 , β + α 3 ) ,求方程组By=α −α 的通解. 1 2 (8) 设 A 是 54 矩阵, r ( A ) = 2 ,已知 α 1 , α 2 , α 3 是非齐次线性方程组 A x = b 的三个解 向量,且 α 1 + α 2 = ( 4 , 6 , − 8 , 4 ) T , α 3 = ( 1 , 2 , − 1 ,1 ) T ,又 ( 0 ,1 , − 3 , 0 ) T 是 Ax=0 的解,求 Ax=b 的 通解.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 10.线性方程组 (9) 设 第 51 页，共91页 A , B 均为 3 阶矩阵, A =  1 2 1 0 a 1 1 0 − 1  , r ( B ) = 2 , r ( A B ) = 1 .求 a 的值,并求方程组 A x = 0 的通解. 综合题 一、选择题 (1) 设 A 是 m  n 矩阵, m  n ,且 A 的行向量组线性无关, b,b 分别为 1 2 m 维、 n 维非零列向量,则下 列选项错误的是 ( ). A. A T x = 0 只有零解 B. A T A x = 0 必有非零解 C. A x = b 1 必有无穷多个解 D. A T = b 2 必有唯一解 (2) 设 A 是mn矩阵,则非齐次线性方程组 A x = b 有无穷多解的充分必要条件是( ). A. r(A b)n B. A x = 0 有非零解 C. A x = b 有两个不同解 D. A 的列向量组线性相关880 · 线代 10.线性方程组 (3) 设 第 52 页，共91页 A T = ( α 1 , α 2 , , α n − 1 ) 是 n  ( n − 1 ) 矩阵, r ( A T ) = n − 1 , β 1 , β 2 是与 α 1 , α 2 , , α n − 1 都 正交的两个不同的 n 维列向量, k 是任意常数,则方程组 Ax=0 的通解为( ). A. k ( β 1 − β 2 ) B. k ( β 1 + β 2 ) C. k β 1 D. k β 2 二、填空题 (1) 设 α 1 , α 2 , α 3 , β 均为三维列向量, A = ( β − α 1 − 2 α 2 − 3 α 3 , α 1 , α 2 , α 3 ) ,则方程组 A x = β 的 一个特解为______. (2) 设 A= ( a ) 为实矩阵,且 ij B3 A ij = a ij ( i , j = 1 , 2 , 3 ) ,其中 A 为 ij a ij 的代数余子式, a 3 3 = 1 , A = 1 x  0 1     ,则方程组 A x = 0 的解为________ .  2       x 3 1880 · 线代 10.线性方程组 三、解答题 (1) 设 A 是 第 53 页，共91页 m  n 矩阵, r(A)=n−2 ,非齐次线性方程组 A x = b 的 3 个解向量 α 1 , α 2 , α 3 满足 α 1 + α 2 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , α 2 + 2 α 3 = ( − 2 ,1 , 5 , 3 ) T , 2 α 3 + 3 α 1 = ( 1 1 , 5 , − 6 , 7 ) T ,求方程组 A x = b 的通解. (2) 设 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是 4 阶矩阵,非齐次线性方程组 A x = β 的通解为 (1,2,2,1)T +k(1,−2,4,0)T,k为任意常数,记 B=(α ,α ,α ,β−α ) . 3 2 1 4 (I) 证明: r ( B ) = 2 ; (II) 求方程组 B x = α 1 − α 2 的通解.880 · 线代 10.线性方程组 (3) 设 第 54 页，共91页 A 为 3  4 矩阵, r(A)=1 ,若向量组 α 3 = ( 1 , − 1 , a , 5 ) T α 1 = ( 1 , 2 , 0 , 2 ) T , α 2 = ( − 1 , − 1 ,1 , a ) T , , α 4 = ( 2 , a , − 3 , − 5 ) T 与方程组 A x = 0 的基础解系等价,求 A x = 0 的通解. (4) 设 A 是 3 阶方阵, A = ( a ij ) s 3 ,且 a ij = A ij , i , j = 1 , 2 , 3 ,其中 A ij 为 a ij 的代数余子 式, a 3 3  0 , b=(a ,a ,a )T ,求非齐次线性方程组 13 23 33 A x = b 的解. (5) 设 A 是 mn 矩阵, b 为 m 维列向量,证明: 线性方程组 A T A x = A T b 必有解.880 · 线代 10.线性方程组 (6) 设 第 55 页，共91页 A 是 3 阶矩阵,向量 β = ( 3 , 3 , 3 ) T ,非齐次线性方程组 Ax= β 的通解为 k 1 ( 1 , 2 , − 2 ) T + k 2 ( 2 ,1 , 2 ) T + ( 1 ,1 ,1 ) T , k 1 , k 2 为任意常数. (I) 证明: 任意 3 维列向量 α 可由 A 的三个特征向量线性表示; (II) 若 α = ( 1 , 2 , − 1 ) T ,求 A α . (7) 设 n 阶方阵 A 的行列式 A = 0 , A 有一个代数余子式 A ij  0 ,证明: A x = 0 的通解 为 k ( A i1 , A i2 , , A in ) T , k 为任意常数. (8) 设 4 维列向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ,且 α 1 , α 2 , α 3 线性无关, α 4 = α 1 + α 2 + 2 α 3 , B=(α −α ,α +α ,−α +kα +α ) ,方程组 1 2 2 3 1 2 3 B x = α 4 有无穷多解. 求: (I) k 的值; (II) 方程组的通解.880 · 线代 10.线性方程组 拓展题 解答题 (1) 设 第 56 页，共91页 A =  a a 1 2 3 1 1 − a a 2 2 2 3 2 a a 3 2 3 3 3  有特征向量 α 1 = ( 1 , 2 ,1 ) T , α 2 = ( − 1 ,1 ,1 ) T , α 3 = ( − 1 , 3 , 2 ) T ,且 r ( A ) = 1,求方程组  x a a 1 2 3 − x 1 x 1 2 1 1 x + + 2 a a + 2 2 3 2 3 x x x 2 2 3 + + = a a − 1 , x 2 3 3 x 3 3 3 = = 3 2 , 的通解. (2) 设 A = 1 2  1 − 1 2 2 2 a 2 c − 1 2 b 2  . (I) 若 A 是正交矩阵,求 a , b , c 的值; (II) 当 A 为正交矩阵时,求方程组 A x =  1 1 1  的解.880 · 线代 11.相似矩阵 第十一章 相似矩阵 基础题 一、选择题 (1) 设 第 57 页，共91页 2  = 是矩阵 A 的一个特征值,且 A  0 −1 1  ,则 A2 有一个特征值为( ).   3  A. 4 3 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 4 (2) 设 4 阶实对称矩阵 A 的特征值为 0 ,1 , 2 , 3 ,则 r ( A ) = ( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (3) 设 C = d ia g ( 1 , 2 , 2 ) , A =  2 0 0 0 2 0 0 1 1  , B =  2 0 0 1 2 0 0 0 1  ,则( ). A. A 与 C 相似, B 与 C 不相似 B. A 与 C 相似, B 与 C 相似 C. A 与 C 不相似, B 与 C 相似 D. A 与 C 不相似, B 与 C 不相似880 · 线代 11.相似矩阵 (4) 下列矩阵中, 不能相似于对角矩阵的是( ). A. 第 58 页，共91页 A =  − 1 1 3 − 1 2 0 3 0 6  B. B =  1 0 5 0 2 0 0 0 3  C. C =  0 0 1 0 0 2 0 0 3  D. D =  1 0 0 2 0 0 0 3 0  (5) 设矩阵 A 与 B 相似,则必有 ( ). A. 矩阵 E A  − 与 E B  − 相等 B. A , B 同时可逆或不可逆 C. A 和 B 有相同的特征向量 D. A 和 B 均与同一个对角矩阵相似 (6) 设 A 为3阶方阵,A的三个特征值为 1 ,1 , 2 , α 1 , α 2 , α 3 分别为对应的三个特征向量,则( ). A. α 1 , α 2 , α 3 必为 2E−A 的特征向量 B. α 1 + α 3 必为 2 E − A 的特征向量 C. α 1 − α 2 必为 2 E − A 的特征向量 D. α ,α 必为 1 2 2 E − A 的特征向量, α 不是 3 2 E − A 的特征向量880 · 线代 11.相似矩阵 二、填空题 1 2 2   (1) 已知 A= 2 1 2 与     2 2 1 第 59 页，共91页 B =  − 1 0 0 0 5 0 0 0 a  相似,则 a = ________ . (2) 设 n 阶方阵 B = A A * ,则 B 的特征值为______. (3) 设方阵 A 满足 A 2 + 2 A + E = O ,则 A 有特征值_______.880 · 线代 11.相似矩阵 (4) 设 第 60 页，共91页 A 是 3 阶实对称矩阵, A 的特征值为 1 ,1 , − 2 ,且  =−2 对应的特征向量为 3 ξ 3 = ( 1 ,1 , − 1 ) T , 则 A=________ . (5) 设 A =  2 0 0 0 0 1 0 1 a  与 B =  2 0 0 − 0 3 2 0 4 b  相似,则 a = ________ . (6) 设 A =  3 a 3 − 2 2 b − − 1 2 1  有一个特征向量 α =(1,−2,3)T ,则 1 a = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 11.相似矩阵 三、解答题 (1) 设 第 61 页，共91页 A =  1 2 2 2 1 2 2 2 1  . 求: (I) A 的全部特征值和特征向量; (II) 可逆矩阵 P ,使得 P−1AP= Λ ; (III) 正交矩阵 Q ,使 Q − 1 A Q =  . (2) 判别下列矩阵 A 与 B 是否相似. 若相似,求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B . (I) A =  1 1 1 1 1 1 1 1 1  , B =  3 0 0 0 0 0 0 0 0  ; (II) A =  2 0 0 0 0 1 0 1 0  , B =  1 0 0 − − 0 1 6 0 0 2  .880 · 线代 11.相似矩阵 (3) 设矩阵 第 62 页，共91页 A =  − 2 5 1 − 1 a b − 2 3 2  有特征向量 α = ( 1 ,1 , − 1 ) T . (I) 确定参数 a , b 及 α 对应的特征值  ; (II) 问 A 能否相似于对角矩阵? 说明理由.  1 −1 1   (4) 设 A= x 4 y ,AΛ ,且 =2 是     −3 −3 5 A 的二重特征值,求 x,y 的值及可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = Λ .880 · 线代 11.相似矩阵 (5) 设 第 63 页，共91页 A 是 3 阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是线性无关的 3 维列向量,且 A α 1 = α 1 + α 2 + α 3 , Aα =2α +α ,Aα =2α +3α . 求: 2 2 3 3 2 3 (I) A 的全部特征值; (II) 可逆矩阵 P 及 Λ ,使得 P − 1 A P = Λ ,并计算 A − 2 E . (6) 设实矩阵 A =  − a 1 1 0 1 0 2 1 0  有三个线性无关的特征向量. 求: (I) a 的值; (II) 可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P 为对角矩阵.880 · 线代 11.相似矩阵 (7) 设 第 64 页，共91页 A 是 3 阶实对称矩阵, A  B , B =  1 2 3 2 4 6 3 6 9  , A 的二重特征值对应的特征向量为 α 1 = ( 1 ,1 , 0 ) T , α 2 = ( 0 , 2 ,1 ) T . 求: (I) A 的特征值与特征向量; (II) 可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = Λ . 1 a −1 b      (8) 已知 AB,A= 1 5 1 ,B= b ,求         4 12 6   c a , b , c 的值.880 · 线代 11.相似矩阵 (9) 设 3 阶实对称矩阵 第 65 页，共91页 A 的特征值为 1 2 1 , 3 1 , α 1 ( 1 ,1 ,1 ) T , α 2 ( 2 , 2 ,1 ) T    = = = − = = 是 1  = 2 1  = 对应的特征向量. 求: (I) A 的属于  =−1 的特征向量; 3 (II) 矩阵 A . (10) 题目如下: (I) 设 A 是 n 阶实对称矩阵,且 A2 =A,r(A)=r(rn) ,计算 3 E − A ; (II) 设 A 是 n 阶矩阵,且 A 2 = A , r ( A ) = r ( r  n ) ,计算 3 E − A .880 · 线代 11.相似矩阵 (11) 设 第 66 页，共91页 A =  2 0 4 0 0 6 0 0 4 0 a 0 − 0 0 0 2  与 Λ =  6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 b 0 − 0 0 0 2  相似. 求: (I) a , b 的值; (II) 一个正交矩阵 P ,使得 P−1AP= Λ . (12) 题目如下: (I) 设 A 与 B 是 n 阶方阵, A 可逆,且 AB ,证明: A* B* ; (II) 若 A  B ,证明: 存在可逆矩阵 P (非数量矩阵),使得 A P  B P .880 · 线代 11.相似矩阵 综合题 一、选择题 (1) 设 第 67 页，共91页 A , B 是 n 阶可逆矩阵,且 A − 1  B − 1 ,则下列结果① A B  B A ;② A  B ; ③ A 2  B 2 ; ④ A T  B T 其中正确的个数为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (2) 设矩阵 B 相似于 A =  1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2  ,则 r1 = r ( B ) , r2 = r ( B − E ) , r3 = r ( B − 2 E ) 满足 ( ) A. r1  r2  r3 B. r2  r3  r1 C. r3  r1  r 2 D. r1  r3  r2 (3) 与 Λ =  0 1 − 1  既相似又合同的矩阵是 ( ). A. A =  1 0 0 0 1 2 − − 0 1 2  1 0 0   B.B= 0 −1 −2 C.     0 −2 −4 C =  1 0 0 − 0 1 21 2 − 0 1 21 2  D. D =  1 0 0 − 0 1 2 0 2 2 880 · 线代 11.相似矩阵 (4) 下列矩阵中,与矩阵 第 68 页，共91页  1 0 0 1 1 0 0 1 1  相似的是 ( ). A.  1 0 0 1 1 0 − 1 1 1  B.  1 0 0 0 1 0 − 1 1 1  C.  1 0 0 1 1 0 − 1 0 1  D.  1 0 0 0 1 0 − 1 0 1  (5) 设 n 阶矩阵 A 有特征值 1 1 , 2 1   = = − ,对应的特征向量为 α ,α ,k 为任意常数,则下 1 2 列选项中 正确的是 ( ). A. k α 1 必是 A 的特征向量 B. α 1 − α 2 必是 A 的特征向量 C. α 1 + α 2 必是 A 的特征向量 D. α 1 + α 2 必是 A 2 的特征向量 二、填空题 (1) 设 A 是 3 阶方阵, α 为 3 维列向量, P= ( α,Aα,A2α ) 为可逆矩阵, B=P−1AP ,且 A 3 α + 2 A 2 α = 3 A α ,则 A+E =________ .880 · 线代 11.相似矩阵 (2) 设 第 69 页，共91页 A 3  3 是秩为 1 的实对称矩阵, 1 2  = 是 A 的一个特征值,对应的特征向量为 α 1 = ( − 1 ,1 ,1 ) T ,则方程组 A x = 0 的基础解系为______. (3) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 0 ,1 , 2 , B = A 3 − 2 A 2 ,则 r ( B ) = ________ . 三、解答题 (1) 设 A =  1 2 1 2 4 k 1 k 1  有一个特征值为 0,求 k 的值. 并求一个正交矩阵 Q ,使得 Q T A Q = Λ .880 · 线代 11.相似矩阵 (2) 已知 第 70 页，共91页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) 是 3 阶可逆矩阵, B 是 3 阶矩阵,且 B A = ( α 1 , − 4 α 3 , − α 2 ) . 求: (I) B 的全部特征值; (II) 可逆矩阵 P 和对角矩阵 Λ ,使得 P − 1 B P = Λ . (3) 设 A 是 n ( n  2 ) 阶矩阵, α 1 , α 2 , , α n 是 n 维列向量,且 , A α n − 1 = α n A α 1 = α 2 , A α 2 = α 3 , , A n 0 , n 0 .   =  (I) 证明: α 1 , α 2 , , α n 线性无关; (II) 求可逆矩阵 P 及三角矩阵 B ,使得 P − 1 A P = B .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 11.相似矩阵 (4) 设 第 71 页，共91页 A S V S ? 有三个不同的特征值 1 , 2 , 3    ,它们对应的特征向量分别为 α 1 , α 2 , α 3 ,令 β=α +α +α . 1 2 3 (I) 证明: β , A β , A 2 β 线性无关; (II) 若 A 3 β = A β ,求 r(A−E) . (5) 设 A =  1 0 0 0 a 1 0 0 − 0 2 1 0 − 2 0 b 1  有四个线性无关的特征向量. 求: (I) 可逆矩阵 P ,使得 P−1AP= Λ ; (II) ( 2 E − A 2 ) − 1 .880 · 线代 11.相似矩阵 (6) 设 第 72 页，共91页 α = ( a 1 , a 2 , , a n ) T , β = ( b 1 , b 2 , , b n ) T 均为非零列向量, A = α β T . (I) 求 A 的全部特征值; (II) 当 α T β 满足什么条件时, A 可以相似于对角矩阵 Λ ? 并求可逆矩阵 P ,使 P − 1 A P = Λ . (7) 设 n ( n  2 ) 阶矩阵 A =  a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a  . 求: (I) 可逆矩阵 P 及对角矩阵 Λ ,使得 P − 1 A P = Λ ; (II) r ( A * ) .880 · 线代 11.相似矩阵 (8) 设 第 73 页，共91页 A 是 3 阶实对称矩阵,存在可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = d ia g ( 1 , 2 , − 1 ) ,且 α 1 = ( 1 , k + 1 , 2 ) T , α 2 = ( k − 1 , − k ,1 ) T 分别为 A 的特征值 =1, =2 的特征向量, A* 的特 1 2 征值  对应的特征向量 β= 0 ( 2 , − 5 k , 2 k + 1 ) T . 求: (I) 0  与 k 的值; (II) 矩阵 ( A − 1 ) * . (9) 设 α , β 为 3 维单位列向量,且 α T β = 0 ,记 A = α β T + β α T . (I) 证明: A 相似于对角矩阵; (II) 若存在 3 维列向量 0   ,使得 A 0  = ,记 P = ( γ , 2 ( α + β ) , β − α ) ,求 P − 1 A P .880 · 线代 11.相似矩阵 (10) 设 第 74 页，共91页 A =  1 1 1 a a a 1 2 2 2 3 2 a a a 1 3 2 3 3 3  可逆, B 是 3 阶实对称矩阵,且满足 B A =  1 1 1 2 2 2 a a a 1 2 2 2 3 2 2 2 2 a a a 1 3 2 3 3 3  . 求: (I) B 的特征值和对应的特征向量; (II) 正交矩阵 Q ,使得 Q T B Q = Λ . (11) 设 A , B 均是 n 阶矩阵. (I) 证明: A B 与 B A 有相同的特征值; (II) 若 A B = B A ,且 A 有 n 个不同的特征值,证明: B 相似于对角矩阵.880 · 线代 11.相似矩阵 (12) 设 第 75 页，共91页 A 是 n 阶实对称矩阵, α 1 , α 2 , , α n 是 A 的 n 个单位正交特征向量,对应的特 征值为 1 , 2 ,   , n  ,证明: A 1 α 1 α T1 2 α 2 α T2 n α n α Tn .    = + + + (13) 设 A,B 均是 3 阶方阵, A B = A − B , A 有三个不同的特征值 ,, . 证明: 1 2 3 (I) −1(i=1,2,3) ; i (II) 存在可逆矩阵 P ,使 P − 1 A P , P − 1 B P 同时为对角矩阵.880 · 线代 11.相似矩阵 (14) 设 第 76 页，共91页 A 是 2 阶矩阵, α 是非零向量,且 α 不是 A 的特征向量. (I) 证明: α,Aα 线性无关; (II) 记 P = ( α , A α ) ,若 A 2 α − 2 A α = 8 α ,证明: A 相似于对角矩阵,并求 P − 1 A P . (15) 设向量 β = ( b ,1 ,1 ) T 可由 α 1 = ( a , 0 ,1 ) T , α 2 = ( 1 , a − 1 ,1 ) T , α 3 = ( 1 , 0 , a ) T 线性表示,且表示法 不唯一. 记 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) . 求: (I) a , b 的值,并写出 β 由 α 1 , α 2 , α 3 表示的线性表达式. (II) 一个可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = Λ ( Λ 为对角阵).880 · 线代 11.相似矩阵 拓展题 解答题 (1) 设 第 77 页，共91页 A 是 3 阶实对称矩阵,且 A 2 − 2 A = O , r ( A ) = 1 . 方程组 A x = 0 的通解为 k 1 ( 1 ,1 , 0 ) T + k 2 ( 1 , 0 ,1 ) T ( k 1 , k 2 为 任 意 常 数 ) . (I) 求可逆矩阵 P 及对角矩阵 Λ ,使得 P − 1 A P = Λ ; (II) 求矩阵 A . (2) 设 A =  − − 1 k 3 5 − 2 3 8 − − 2 1 6  , B =  1 0 0 0 2 4 − 2 0 1  ,且 A  B ,求 k 的值及可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B .880 · 线代 11.相似矩阵 (3) 设数列 第 78 页，共91页  a n  , b n  满足 a 0 = 1 , b 0 = − 1 ,且  a b n n = = a − n a − 1 n − + 1 2 + b 4 n b , − 1 n − 1 , 记 α n =  a b n n  ,矩阵 A b 满足Aα =α ,求 An 及 lim n . n−1 n n→a n880 · 线代 12.二次型 第十二章 二次型 基础题 一、选择题 (1) 二次型 第 79 页，共91页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 的矩阵为 ( ). A.  1 0 0 0 1 0 0 0 1  B.  0 1 21 2 1 2 0 1 2 1 21 2 0  C.  1 1 21 2 1 2 1 1 2 1 21 2 1  D.  1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2  (2) 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 + ( x 3 − x 1 ) 2 的标准形为( ). A. f = y 21 + y 22 + y 23 B. f = 2 y 21 + 3 2 y 22 C. f = y 21 + y 22 − y 23 D. f = 2 y 21 + 3 2 y 22 + y 23880 · 线代 12.二次型 (3) 设 第 80 页，共91页 A =  1 2 3  与 B =  2 3 1  合同,则合同变换矩阵 P = ( ) . A.  1 0 1 0 0 0 0 1 0  B.  0 1 0 0 0 1 1 0 0  C.  0 1 0 1 0 0 0 0 1  D.  0 1 0 0 0 0 1 0 1  (4) 设 A 是 n 阶方阵,将 A 的第 i 列与第 j 列互换,再交换第 i 行与第 j 行得到 B ,则( ). A. A 与 B 等价、相似且合同 B. A 与 B 相似、合同但不等价 C. A 与 B 相似但不合同 D. A 与 B 等价但不相似 (5) 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 4 x 22 + 4 x 23 − 4 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 − 8 x 2 x 3 的规范形为( ). A. f =z2 B. f =z2 −z2 1 1 2 C. f = z 21 + z 22 + z 23 D. f = z 21 + z 22 − z 23公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 12.二次型 二、填空题 已知二次型 第 81 页，共91页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 4 x 22 + 4 x 23 + 2 a x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 正定,则 a 的取值范围 为 ________ . 三、解答题 (1) 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 21 + 5 x 22 + 5 x 23 + 4 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 8 x 2 x 3 . (I) 求一个正交变换 x = Q y ,将 f 化为标准形; (II) 利用配方法,将 f 化为标准形. (2) 已知二次型 f =2x2+3x2+3x2+2ax x (a0) ,经过正交变换化成标准形 1 2 3 2 3 y2 +2y2 +5y2 ,求 参数 a 及所用的正交变换. 1 2 3880 · 线代 12.二次型 (3) 证明: 第 82 页，共91页 n 阶矩阵 A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵 P ,使得 A = P T P . 综合题 一、选择题 (1) 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 + x 2 x 3 的正、负惯性指数分别为 ( ). A. p=1,q=1 B. p=1,q=2 C. p=1,q=0 D. p=0,q=2 (2) A 是 n 阶实对称矩阵,则 A 合同于矩阵 B 的充分必要条件是( ). ① r ( A ) = r ( B ) ; ② A 与 B 的正惯性指数相等; ③ A 与 B 均正定矩阵; ④ B 是实对称矩阵. A. ① 成立 B. ④ 成立 C. ①②(4) 均成立 D. ③ 成立880 · 线代 12.二次型 (3) 设 第 83 页，共91页 n 元二次型 f ( x 1 , x 2 , , x n ) = ( x 1 + a 1 x 2 ) 2 + ( x 2 + a 2 x 3 ) 2 + + ( x n + a n x 1 ) 2 ,其中 a i ( i = 1 , 2 , , n ) 均为实数,若二次型正定,则( ). A. 1 + ( − 1 ) n + 1 a 1 a 2 a n  0 B. 1 + ( − 1 ) n + 1 a 1 a 2 a n = 0 C. 1 − ( − 1 ) n + 1 a 1 a 2 a n  0 D. 1 − ( − 1 ) n + 1 a 1 a 2 a n = 0 (4) 设 A =  − 2 1 1 0  , B =  1 0 1 1  , C =  1 1 0 1  , D =  1 0 0 1  ,则正确的是( ). A. A 与 B 相似, B 与 C 合同 B. A 与 D 相似, B 与 D 合同 C. A 与 D 合同, B 与 C 相似 D. B 与 D 相似, C 与 D 合同 (5) 设 A 是 3 阶实对称矩阵,且 A =2,A*=A−E ,其中 A* 是 A 的伴随矩阵,则二次型 x T A x 的 规范形为 ( ). A. y2 + y2 + y2 B. −y2 −y2 −y2 C. y2 +y2 −y2 D. −y2 −y2 +y2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3880 · 线代 12.二次型 (6) 设 第 84 页，共91页 A =  1 2 2 1  , B =  1 1 4 1  ,则正确的是 ( ). A. 必存在正交矩阵 Q ,使得 Q − 1 A Q = B B. 必存在可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B C. 必存在可逆矩阵 P ,使得 P T A P = B D. 必存在可逆矩阵 P ,使得 A = P T P (7) 设 3 阶实矩阵 A 的特征向量为 α 1 = ( − 1 ,1 , 0 ) T , α 2 = ( 1 ,1 ,1 ) T , α 3 = ( − 1 , − 1 , 2 ) T ,则 A 必 为 ( ). A. 可逆矩阵 B. 正交矩阵 C. 对称矩阵 D. 正定矩阵 二、填空题 (1) 若 3 阶实对称矩阵 A 与 B =  1 0 0 0 0 3 0 3 0  合同,则二次型 xTAx 的规范形为________ .880 · 线代 12.二次型 (2) 设 第 85 页，共91页 A 是 n 阶矩阵,方程组 A x = b 有唯一解,则二次型 x T ( A T A ) x 的正惯性指数为 ________ . (3) 设 A 是 3 阶实对称矩阵,二次型 x T A x 经过正交变换 x = Q y 后的标准形为 y 21 + y 22 − y 23 , A * 是 A 的伴随矩阵,则二次型 xTA*x 的规范形为________ . 三、解答题 (1) 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x = x 21 + a x 22 + x 23 + 2 x 1 x 2 − 2 a x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 的正负惯性指数都是1. 求: (I) a 的值; (II) 可逆线性变换 x = B y ,将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形.880 · 线代 12.二次型 (2) 设 3 阶实对称矩阵 第 86 页，共91页 A = ( a ij ) 3  3 有特征值 1 2 2   = = 3 ,且 a =1,α=(1,0,−2)T 是方程 ii i=1 组 A * x = 4 α 的解向量. 求: (I) 矩阵 A ; (II) 正交变换 x = Q y ,将二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 化为标准形. (3) 设二次型 f (x,x , ,x )=nx2 +nx2 + +nx2 −(x +x + +x )2 . 求: 1 2 n 1 2 n 1 2 n (I) 二次型 f ( x 1 , x 2 , , x n ) = x T A x 的秩; (II) 可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = Λ ,并求二次型的正惯性指数.880 · 线代 12.二次型 (4) 设方程组 第 87 页，共91页  ( 2 ( k k k + x 1 − 3 + 3 ) x 1 ( k ) x 1 + − − x 2) 1 3 x + x 2 2 + 2 + x 3 x 3 k x 3 = = = 0 , 0 , 0 3 1 2   ,有非零解,且 A= 1 k −2 是正定矩阵.     2 −2 9 (I) 求 k 的值; (II) 设 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ,求 x T x = 1 时, x T A x 的最大值. (5) 设 n 阶实对称矩阵 A 只有两个不同的特征值 1 1  = 和 2  ,且 A 属于 1 1  = 的特 征向量仅有 k ( 1 , 0 , , 0 ,1 ) T ,其中 k  0 . (I) 求矩阵 A ; (II) 当 2  满足什么条件时, A 是正定矩阵?880 · 线代 12.二次型 (6) 设 第 88 页，共91页 A 是实对称矩阵,证明: A 可逆的充要条件是存在方阵 B ,使得 AB+BTA 为正定 矩阵. (7) 设二次型 f (x,x ,x )=ax2−ax2+ax2+2xx 与 1 2 3 1 2 3 1 3 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = − y 21 − y 22 + a 2 y 23 + 2 y 1 y 2 的秩相等 ( a  0 ) . (I) 当 a 为何值时,存在可逆 (非正交) 线性变换 x=Py ,可将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) ? 求 一个可逆矩阵 P . (II) 当 a 为何值时,存在正交变换 x = Q y ,将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) ?说明理由.880 · 线代 12.二次型 (8) 设二次型 第 89 页，共91页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x = a x 21 + a x 22 + ( a − 1 ) x 23 + 2 x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 ( a 为常数, A T = A ). (I) 求一个正交变换 x=Qy 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形; (II) 设 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ,求方程 x T ( a E − A ) 2 x = 0 的全部解. (9) 设二次型 xTAx=a ( x2+x2+x2) +2xx +2bxx +2x x ,在正交变换 1 2 3 1 2 1 3 2 3 x = Q y 下的标准 形 为 y2 + y2 +4y2 ,其中 AT = A . 1 2 3 (I) 求 a , b 的值及正交矩阵 Q ; (II) 若正定矩阵 B 满足 B 2 = A + A * ,其中 A * 是 A 的伴随矩阵,求 B .880 · 线代 12.二次型 拓展题 解答题 (1) 设二次型 f (x ,x ,x )=2x x +3x x +4x x ,求可逆线性变换 x=Pz ,使得 1 2 3 1 2 2 3 1 3 第 90 页，共91页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形, 并求二次型的秩及正、负惯性指数. (2) 设 A 为 3 阶实对称矩阵,二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 在正交变换 x=Qy 下的标准形 为 − y 21 + 2 y 22 + a y 23 ,其中 Q 的第 1 列为  1 3 , 1 3 , 1 3  T ,且 A = − 4 . (I) 求 a 的值; (II) 求正交矩阵 Q .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 线代 12.二次型 (3) 设二次型 第 91 页，共91页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ( A T = A ) 经正交变换 x = Q y 化为 b y 22 + c 2 y 23 ,其中 Q = 1 2  1 0 b 0 c 0 a 0 1  ( b  0 , c  0 ) . (I) 求 a,b,c 的值及矩阵 A ; (II) 求可逆矩阵 P ,使得 A + E = P T P .