文档内容
专题 3-1 利用导数解决切线（公切线）问题
目录
..................................................................................1
题型一：“在”型求切线.................................................................................................................1
题型二：“过”型求切线.................................................................................................................5
题型三：已知切线条数求参数.........................................................................................................9
题型四：判断切线条数...................................................................................................................13
题型五：公切线问题.......................................................................................................................16
题型六：距离最小值.......................................................................................................................19
题型七：等价转化为距离...............................................................................................................23
.............................................................27
题型一：“在”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C解：因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以切点为 ，切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ；
故选：C
例题2．（2022·四川·雅安中学高二期中（文））已知函数 在 上满足
，则曲线 在点 处的切线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵函数 在 上满足 ，用 替换 得：
，
∴
∴
令 ，则 ，∴ ，即
∴ ，∴ ，
∴曲线 在点 处的切线方程是： ，即 .
故选：C.
【提分秘籍】
已知 在点 处的切线方程步骤：①求 ；②
【变式演练】
1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知 满足 ，且当
时， ，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】已知 满足 ，∴ 为奇函数，
当 时， ，因此 ，
则x＞0时， ，
曲线 在点 处的切线斜率 ，
又 ，
∴曲线 在点 ，即(1，0)处的切线方程为 ，
整理得 ﹒
故选：C．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 的图象经过坐标原点，则
曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】因为函数 的图象经过坐标原点，
所以 ，所以 ，
所以
所以 ．
因为 ，所以 ．
所以所求切线方程为 ，
即 ．
故选：A.
3．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）设函数 ，则曲线
在点（3，－6）处的切线方程为（ ）
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
【答案】D
【详解】解：因为函数 ，所以 ，所以 ，
所以切线的斜率为 .
所以曲线 在点（3，－6）处的切线方程为y＋6＝－9（x－3），
即y＝－9x＋21.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 在 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】依题意， ，则 ，而 ，于是有 ，即
，
所以所求切线方程为： .
故选：A
题型二：“过”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高二课时练习）过点 作曲线 的切线，则切线
方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D．
【答案】A
【详解】设切点为（m，m3-3m）， 的导数为 ，
可得切线斜率k＝3m2-3，
由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），
代入点 可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），
解得m＝0或m＝3，
当m=0时，切线方程为 ，
当m=3时，切线方程为 ，
故选A．
例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知曲线
，过点 的直线 与曲线 相切于点 ，则点 的横坐标为
______________.
【答案】0或 或【详解】设 的坐标为 ， ，
过点 的切线方程为 ，
代入点 的坐标有 ，
整理为 ，
解得 或 或 ，
故答案为：0或 或 .
【提分秘籍】
函数 图象过点 处的切线方程：①设切线坐标 ，②求出切线方程为
，③代入 求得 ，从而得切线方程．
【变式演练】
1．（2022·山西太原·高三阶段练习）若过点 的直线与函数 的图象相切，则
所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 ，所以 ，
设切点为 ，则切线方程为： ，
将点 代入得 ，
即 ，解得 或 ，
所以切点横坐标之和为
故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）过点 作曲线 的切线，则切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，
设切点为
则 ，
∴切线方程为 ，
∵切线过点 ，
∴−ex＝ex(e−x)，
0 0 0
解得： ．
∴切线方程为 ，整理得： .
故选C.．
3．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知 ，过 作曲线
的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由 ，得 ，
设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
把点 代入并整理，得 ，解得 或 （舍去），
故切线斜率为 ．
故选：C．
4．（2022·陕西安康·高三期末（理））曲线 过点 的切线方程是
___________.
【答案】
【详解】由题意可得点 不在曲线 上，
设切点为 ，因为 ，
∴所求切线的斜率 ，
所以 .
因为点 是切点，所以 ，
∴ ，即 .
设 ，则 在 上单调递增，且 ，
所以 有唯一解 ，
则所求切线的斜率 ，
故所求切线方程为 .
故答案为： .
题型三：已知切线条数求参数
【典型例题】例题1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数 ，若过点
可以作出三条直线与曲线 相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设切点坐标为 ，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过
得关于 的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为 ，是三次方程，它有3
个解，则其极大值与极小值异号，由此可得 的范围．
【详解】设切点坐标 曲线 在
处的切线斜率为 ，
又 切线过点 切线斜率为 ， ，即
，
∵过点 可作曲线 的三条切线， 方程 有3个解．
令 ，则 图象与 轴有3个交点， 的极大值与极小值
异号， ，令 ，得 或2，
或 时， ， 时， ，即 在 及 上递增，
在 上递减， 是极大值， 是极小值，
,即 ，解得 ，
故选：D.
例题2．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）若过点 可作曲线 三
条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点为 ，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点 ，转化为方程有3个根，构造函数 ，利用导数可知函数的极值，根据题意
列出不等式组求解即可.
【详解】设切点为 ，
由 ，故切线方程为 ，
因为 在切线上，所以代入切线方程得 ，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令 ，则 或 ，
所以当 ， 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
且 时， ， 时， ，
所以只需 ，解得
故选：A
【提分秘籍】
过点 可做函数 的一条（或两条或三条）切线问题步骤：
①设切点 ，求斜率 ②求切线 ③将点
代入切线 方程中得 ④则问题转化为关于
的方程 就有几个解⑤转化为交点问题或极值问题求解.
【变式演练】
1．（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过 可做 的两条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】设切点为 ，切线的斜率 ，
则切线方程为： ，
把点 代入可得 ，
化为： ，则此方程有大于0的两个实数根．
则 ，即 ，则 ，
故选：A．
2．（2022·辽宁·高二期末）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设切点坐标为 ，由于 ，因此切线方程为 ，又切线过点，则 ， ，
设 ，函数定义域是 ，则直线 与曲线 有两个不同
的交点， ，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，不合题意；当 时，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，所以 ，结合图像知
，即 .
故选：D.
3．（2022·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数 ，过点
可作曲线 的三条切线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设切点为 ，
则 ，
所以切线的斜率为 ，
又因为切线过点 ，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，令 ，得 或 ，当 或 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极大小值 ，
因为过点 可作曲线 的三条切线，
所以方程 有3个解，
则 ，解得 ，
故选：D
题型四：判断切线条数
【典型例题】
例题1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数 ，过点
作曲线 的切线，则可作切线的最多条数是______．
【答案】3
【详解】∵点 不在函数 的图象上，∴点 不是切点，
设切点为 （ ），
由 ，可得 ，
则切线的斜率 ，
∴ ，
解得 或 或 ，故切线有3条.
故答案为：3.【提分秘籍】
过点 可做函数 的几条切线问题步骤：
①设切点 ，求斜率 ②求切线 ③将点
代入切线 方程中得 ④解出 即可判断切线
为几条.
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测（理））过点 作曲线 的切线，当 时，切
线的条数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设切点为 ，
， 切线斜率 ，
切线方程为： ；
又切线过 ， ；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， 恒成立，可得 图象如下图所示，则当 时， 与 有三个不同的交点，
即当 时，方程 有三个不同的解， 切线的条数为 条.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则过点 可作曲线
的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：因为 ，所以 ，
设切点为 ，
所以在切点 处的切线方程为 ，
又 在切线上，所以 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以过点 可作曲线 的切线的条数为2.
故选：C．
题型五：公切线问题
【典型例题】
例题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若直线 是曲线
与 的公切线，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线 与 的图象相切于点 ，与 的图象相切于点
，求出 ， ，由点 、点 在切线上，得切线方程，进
而即得.
【详解】设直线 与 的图象相切于点 ，与 的
图象相切于点 ，
又 ， ，
所以 ， ，
由点 在切线上，得切线方程为 ；
由点 在切线上，得切线方程为 ，
故 ，
解得 ， ，
故 .
故选：B.
例题2．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若直线 是曲线 和 的
公切线，则实数 的值是___________．
【答案】
【分析】设直线 与曲线 、 分别相切于点 、
，利用导数求出曲线 在点 处的切线方程，以及曲线 在点 处的切线方
程，可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，即可求得 的值.【详解】设直线 与曲线 、 分别相切于点 、
，
对函数 求导得 ，则 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
对函数 求导得 ，则 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
所以， ，化简可得 .
故答案为： .
【提分秘籍】
是 和 的公切线问题：
① 设 与 相 切 的 切 点 为 则 ， 求 出 切 线 方 程
② 设 与 相 切 的 切 点 为 则 ， 求 出 切 线 方 程
③联立两切线求解.
【变式演练】
1．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线 （ ）为曲线
与曲线 的公切线，则l的纵截距 （ ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【详解】设l与 的切点为 ，则由 ，有 .同理，设l与 的切点为 ，由 ，有 .
故 解得 或 则 或 .
因 ，所以l为 时不成立.故 ，
故选：D.
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l： 为曲线 与曲线
的公切线（其中 为自然对数的底数， ），则实数
b=___________.
【答案】 或 ## 或
【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求 .
设 与 的切点为 ，则由 ，有 .同理，设 与
的切点为 ，由 ，有 .
故 由①式两边同时取对数得： ，
将③代入②中可得： ，进而解得 或 .
则 或
故 或 .
故答案为： 或
题型六：距离最小值
【典型例题】例题1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）若点 ， 分别是函数
与 图象上的动点（其中 是自然对数的底数），则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．17
【答案】A
【详解】设 ， ，
令 且当 时， ， ；
当 时， ，
设与 平行且与 相切的直线与 切于
．
则 到直线 的距离为 ，即 ，
故选：A．
【提分秘籍】
本例中设 ， ，设与 平行且与 相切的直线与 切于
，由导数的几何意义可求出点 的坐标，则 的最小值转化为点 到直线
的距离
【变式演练】
1．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知点P在函数 的图像
上，点Q是在直线 上，记 ，则（ ）
A．M有最小值 B．当M取最小值时，点Q的横坐标是C．M有最小值 D．当M取最小值时，点Q的横坐标是
【答案】D
【详解】将 化为 ，
即直线l的斜率为 ，
因为 ，所以 ，
令 ，得 ，
∴当M最小时，点P的坐标为 ，
此时点P到直线 的距离为 ，
所以M的最小值为 ；
过点P且垂直于 的直线方程为 ，
联立 ，得 ，
即点Q的横坐标为 .
故选D
2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）直线 分别与曲线
， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题，设 到直线 的距离为 ，直线 的倾斜角为 ，则
，
又 ， ，故 最小即 最小，即为当过点 处的切线与直线
平行时最小，
由曲线 ，得 ，所以切点为 ，
可求得点 到直线 的距离最小值为
故 ，
故选：C
3．（2022·全国·高二专题练习）点A是曲线 上任意一点，则点A到直线
的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不妨设 ，定义域为：
对 求导可得：
令
解得： （其中 舍去）
当 时， ，则此时该点 到直线 的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校高三阶段练习（文））已知点 是函数
图象上的点，点 是直线 上的点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当与直线 平行的直线与 的图象相切时，切点到直线 的距离为
的最小值.
，解得 或 （舍去），
又 ，所以切点 到直线 的距离即为 的最小值，
即 .
故选：A.
题型七：等价转化为距离
【典型例题】
例题1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】 表示点 和 之间的距离的平方；
点 的轨迹为 ，点 的轨迹为 ，
的最小值即为 上的点与 上的点的距离的平方的最小值；
，令 ，解得： ，又 ，
与 平行的曲线 的切线方程为 且切点为 ，
上的点与 上的点的最短距离为点 到 的距离，
即最短距离 ，则 ， 的最小值为 .
故选：B.
【提分秘籍】
在本例中根据几何意义可知 表示点 和 之间的距离的平方，根据点
的轨迹方程，可将问题转化为 上的点与 上的点的距离的平方的最小值的
求解；利用导数可求得与 平行的曲线的切线及切点，可知所求最小值即为切点到
直线 距离平方的最小值，利用点到直线距离公式可求得结果.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c，d满足： ，其中e是自
然对数的底数，则 的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】因为实数a，b，c，d满足： ，所以 ， .
所以点 在曲线 上，点 在 上.
所以 的几何意义就是曲线 上的任一点到 上的任一点的
距离的平方.
由几何意义可知，当 的某一条切线与 平行时，两平行线间距离最小.
设 在点 处的切线与 平行，则有：
，解得： ，即切点为 .
此时 到直线 的距离为 就是两曲线间距离的最小值，
所以 的最小值为 .
故选：B
2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））已知 ， ，
的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】 可以转化为： 是函数
图象上的点， 是函数 上的点，
.
当与直线 平行且与 的图象相切时，切点到直线 的距离为 的最小值.
令 ，解得 或 ，（舍去），又 ，
所以切点 到直线 的距离即为 的最小值.所以 ，所以 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由已知可得 ， ，
则 的最小值即为曲线 的点到直线 的距离最小值
的平方，
设 ，则 ，令 ，解得 ，
，
曲线 与 平行的切线相切于 ，
则所求距离的最小值为点 到直线 的距离的平方，即 .
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 , ,点 在函数 上，点 在函数 上，
表示曲线 上点 到直线 的
点 距离.
由 ，可得 ，与直线 平行的直线的斜率为 ，
令 ，得 ，所以切点的坐标为 ，
切点到直线 的距离 .
的最小值为 .
故选：B
5．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知
， ，则 的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，则 ，又 ，
的最小值转化为： 上的点与 上的点的距离的平
方的最小值，
由 ，得： ，与 平行的直线的斜率为1，
∴ ，解得 或 （舍 ，可得切点为 ，
切点到直线 之间的距离的平方，即为 的最小值，
的最小值为： .故选：B.
一、单选题
1．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 ，所以 ，又 ，
所以切线方程为 ，即 ．
故选：A．
2．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数 的图像在 处的切
线过点 ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由 ， ， ，
则函数在 处的切线方程为 ，
将 代入切线方程可得 .
故选：B
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线 ： 既是曲线 的切线，又
是曲线 的切线，则 （ ）A．0 B． C．0或 D． 或
【答案】D
【详解】 , , ，设切点分别为 ，
则曲线 的切线方程为： ，化简得，
，
曲线 的切线方程为： ，化简得， ，
，故 ，
解得 e或 .
当 e，切线方程为 ，故 .
当 ，切线方程为 ，故 ，则 .
故 的取值为 或 .
故选：D
4．（2022·河南南阳·高三期中（理））若函数 在点 处的切线
方程为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ；故选：B
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若函数 与 的图象存在
公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得， ， ．
设公切线与 的图象切于点 ，
与 的图象切于点 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
∴实数a的最大值为 ，
故选：A．
6．（2022·江苏南通·高三期中）已知直线 与 是曲线
的两条切线，则 （ ）
A． B． C．4 D．无法确定
【答案】A【详解】解：由已知得，曲线的切线过 ，
时，曲线为 ，设 ，直线 在曲线上的切点为 ，
，
切线： ，又切线过
，∴ ， ，
同理取 ，曲线为 ，设 ，直线 在曲线上的切点为
， ，
切线： ，又切线过
， ，∴ ，
故选：A
7．（2022·山西太原·高三期中）若曲线 和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝
（ ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】A
【详解】设 ，则 ，
曲线 与切线相切于 ，
则切线方程为： ①
因为切线与y＝x2＋mx＋1②相切，联立①②：x2＋mx＋1= ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
则有 ，解得 ，
故选：A
8．（2022·江西赣州·高三阶段练习（理））已知曲线 与 的两条公切线
所成角的正切值为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 与 互为反函数，故图像关于 对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于 两点，且两条切线交点为 ，
如图，设 ，则 ，即 ，解得 或-3（舍去），
故 ，易求得曲线 的斜率为2的切线方程为
，
故曲线 的斜率为2的切线方程为 ，
的斜率为2的切线方程为 ，故曲线 的斜率为2的切线方
程为 ，
所以 ，则 ，则 .故A，B，D错误.
故选：C.
9．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知直线 是曲线 与曲线 的一条
公切线，直线 与曲线 相切于点 ，则 满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】记 得 ,记 得 ，设直线 与曲线
相切于点 ，由于 是公切线，故可得 ，
即 化简得 ，
故选：C
10．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知直线 与曲线 ，分别交于点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】B
【详解】解：设与直线 垂直，且与 相切的直线为 ，
设与直线 垂直，且与 相切的直线为 ，
所以， ，
设直线 与 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，
设直线 与 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，
此时 ，
所以，当直线 与直线 重合时， 最小，最小值为 .
故选：B
11．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数 ， 为曲线 在点
处的切线上的一个动点， 为圆 上的一个动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为 ，所以 ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
圆 的圆心坐标为 ，故圆心到直线 的距离为
，所以 的最小值为 .
故选：D
12．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））平面直角坐标系 中，已知
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】根据条件得到 表示的是曲线 上两点的
距离的平方.
∵ ，∴ ，由 ，可得 ，此时 .
∴曲线 在 处的切线方程为 ，即： .
直线 与直线 的距离为 ，
∴ 的最小值为 .
故选：C.
二、多选题
13．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知过点 作曲线 的
切线有且仅有1条，则 的可能取值为（ ）
A．－5 B．－3 C．－1 D．1
【答案】AC【详解】由已知得 ，则切线斜率 ，切线方程为
，
直线过点 ，则 ，化简得 ，
切线有且仅有 条，即 ，化简得 ，即
，解得 或 .
故选：AC.
三、填空题
14．（2022·浙江杭州·高三期中）已知 ，过点 可作曲线 的三条切
线，则 的范围是________．
【答案】
【详解】设切点坐标为 ，由 ，得 ，所以切线方程
为 ，将 代入切线方程，得 ，即 为方程
的解，设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取极小值，极小值为 ，当 时，函数 取极大
值，极大值为 ，因为过点 可作曲线 的三条切线，所以方程 有三
个不同的解， 与 的图像有三个不同的交点， 所以 ，即 的范围是
.
故答案为： .15．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若曲线 在点 处的切线与曲线
在点 处的切线重合，则 ___________．
【答案】0
【详解】解：由切点 ， ，则 在点 处的切线方程为
，
即 ，
由切点 ， ，则 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
由题知：两条直线是同一条直线，
则： ，
化简得： ．
∴ ．
故答案为：0．
16．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知曲线 与曲线 有
相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【答案】 ##0.5【详解】设曲线 与曲线 的切点分别为 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以切线为 ，即 ，
，即 ，
所以 ，
所以 ， ，即这条切线的斜率为 .
故答案为： .
