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专题4.8 三角函数的图象与性质-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
[ π]
1．（5分）（2022·四川省高三阶段练习（文））若x∈ 0, ，则函数f (x)=3sinxcosx+√3sin2x的
2
值域为（ ）
[ 3√3] [ √3]
A． 0, B． 0, C．[0,√3] D．[0,3+√3]
2 2
( π) √3 π
【解题思路】对f (x)进行降幂化简得f (x)=√3sin 2x- + ，再求出2x- 的范围，利用正弦函数
6 2 6
的单调性，即可得到f (x)值域.
3 1-cos2x
【解答过程】f (x)= sin2x+√3⋅
2 2
3 √3 √3 ( π) √3
= sin2x- cos2x+ =√3sin 2x- + ，
2 2 2 6 2
[ π] π [ π 5π ]
∵x∈ 0, ，∴2x- ∈ - , ，
2 6 6 6
∴当2x- π =- π ，即x=0时，f (x) =√3⋅ (- 1 )+ √3 =0，
6 6 min 2 2
π π π √3 3√3
当2x- = ，即x= 时，f (x) =√3+ = ，
6 2 3 max 2 2
[ 3√3]
故f (x)的值域为 0, ，
2
故选：A.
2 4 3 4 3
2．（5分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知实数a=sin ，b= sin ，c= cos ，则a，b，c的
3 3 4 3 4
大小关系为（ ）
A．ab>c D．a>c>b
【解题思路】直接利用正余弦函数的图像和单调性求出结果.
3 π 3 π π 3
【解答过程】由于0< < ，∴cos >cos =sin >sin ，
4 4 4 4 4 4
4 3 4 3
则c= cos >b= sin ，
3 4 3 42 3 π
由于0< < < ，
3 4 2
2 3 4 3
所以sin √2−1 B．a≥1 C．a>1−√2 D．a≥−1
【解题思路】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
π π
【解答过程】由题意，f' (x)=cosx−asinx≤0在 ( , ) 上恒成立，
4 2
cosx 1 π π
即a≥ = 在 ( , ) 上恒成立，
sinx tanx 4 2
π π
( )
因为y=tanx在 , 上单调递增，所以y=tanx>1，
4 2
π π 1
所以在x∈ ( , ) 时，0< <1，
4 2 tanx
所以a≥1.
故选：B.
( π)
4．（5分）（2022·河北·高三开学考试）已知函数f (x)=tan 2x− ，下列说法正确的有（ ）
4
π
①函数f (x)最小正周期为 ；
2
{ kπ π }
②定义域为 x|x∈R,x≠ + ,k∈Z
2 8
(kπ π )
③f (x)图象的所有对称中心为 + ,0 ,k∈Z；
4 8
(kπ π kπ 3π)
④函数f (x)的单调递增区间为 − , + ,k∈Z．
2 8 2 8
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.
( π) π
【解答过程】对①，函数f (x)=tan 2x− ，可得f (x)的最小正周期为T= ，所以①正确；
4 2π π 3π kπ
对②，令2x− ≠ +kπ,k∈Z，解得x≠ + ,k∈Z，
4 2 8 2
3π kπ
即函数f (x)的定义域为{x|x≠ + ,k∈Z}，所以②错误；
8 2
π kπ π kπ (kπ π )
对③，令2x− = ,k∈Z，解得x= + ,k∈Z，所以函数f (x)的图象关于点 + ,0 ,k∈Z
4 2 8 4 4 8
对称，所以③正确；
π π π kπ π kπ 3π
对④，令kπ− <2x− 0)图象的相邻两条对
π
称轴之间的距离为 ，则下列结论错误的是（ ）
2
( 3π )
A．f (x)的图象关于点 − ,0 对称
8
[ π π]
B．f (x)在 − , 上单调递增
12 4
[ π]
C．f (x)在 0, 上的值域为[−1,1]
2
π
D．将f (x)的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称
8
【解题思路】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出ω，即可得到函数的解析式，由
正弦函数的对称性可判断A；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断B；根据x的范围和正弦函数的性质
直接求解可判断C；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断D
( π)
【解答过程】解：f (x)=sinωx−cosωx=√2sin ωx− (ω>0)，
4
π
∵函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
2
π 2π
∴函数的最小正周期是 ×2=π，∴T=π= ，
2 ω
( π)
∴ω=2，f(x)=√2sin 2x− ，
4∵ f ( − 3π )=sin ( − 3π − π) =sin(−π)=0， ∴f (x)关于 ( − 3π ,0 ) 对称，故A正确；
8 4 4 8
π π π π 3π
由− +2kπ≤2x− ≤ +2kπ,k∈Z，解得− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
2 4 2 8 8
[ π 3π] [ π π] [ π 3π]
所以f (x)的一个单调增区间为 − , ，而 − , ⊆ − , ，
8 8 12 4 8 8
[ π π]
∴f (x)在 − , 上单调递增，故B正确；
12 4
π π π 3 √2 ( π)
当0≤x≤ 时，有0≤2x≤π，则− ≤2x− ≤ π，所以− ≤sin 2x− ≤1，
2 4 4 4 2 4
∴f (x)∈[−1,√2]，故C错误；
将 f (x) 的图象向右平移π个单位长度得到 y=√2sin [ 2 ( x− π ) − π] =√2sin ( 2x− π) =−√2cos2x 关于
8 8 4 2
y轴对称，故D正确.
故选：C.
π
8．（5分）（2022·四川省高二阶段练习（理））设函数f(x)=sin(ωx− )(ω>0)，若
4
π
|f(x )−f(x )|=2时，|x −x |的最小值为 ，则（ ）
1 2 1 2 3
π
A．函数f(x)的周期为
3
π
B．将函数f(x)的图像向左平移 个单位，得到的函数为奇函数
4
π π (π π]
C．当x∈( , )，f(x)的单增区间为 ,
6 3 6 5
D．函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个．
【解题思路】由题意得函数周期后求解ω，再由三角函数性质与图象变换对选项逐一判断，
2π π
【解答过程】由题意得f(x)的周期为 ，则ω=3，f(x)=sin(3x− )，则A错误，
3 4
π π π
对于B，f(x)的图像向左平移 得y=sin(3(x+ )− )=cos3x，不为奇函数，故B错误，
4 4 4
π π π π 2kπ π 2kπ
对于C，令3x− ∈[− +2kπ, +2kπ],k∈Z，得x∈[− + , + ],k∈Z，
4 2 2 12 3 4 3π π (π π]
当x∈( , )，f(x)的递增区间为 , ，故C错误，
6 3 6 4
π 13π 11π π
对于D，当x∈[−π,π]时，3x− ∈[− , ]，当3x− 取−3π,−2π,−π,0,π,2π时，x为
4 4 4 4
f(x)的零点，共6个，故D正确，
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
( π) [ π )
9．（5分）（2022·贵州省高二阶段练习（理））若函数f (x)=2sin 2x+ 在区间 ,θ 内不存在最小
6 12
值，则θ的值可以是（ ）
5π π π
A．π B． C． D．
6 3 6
【解题思路】先求函数的最小值点，由区间内不存在最小值，判断区间端点与最近的最小值点的大小，解
出θ的取值范围，最后根据范围选择可能的取值即可.
π 3π 2π
【解答过程】令2x+ = +2kπ，k∈Z，得x= +kπ为函数f(x)的最小值点，
6 2 3
2π [ π )
当k=0时，x= 是区间 ,θ 右侧第一个最小值点，
3 12
[ π )
因为区间 ,θ 内不存在最小值，
12
π 2π π π
所以 <θ≤ ，满足条件的θ的值有 ， .
12 3 3 6
故选：CD.
10．（5分）（2022·江苏苏州·高三期中）已知函数f(x)=cos2x−2cosxcos3x，则（ ）
π π
A．f (x)的最大值为1 B．f
( )=f (
−
)
6 3
π π π
C．f (x)在 ( − , ) 上单调递增 D．f (x)的图象关于直线x= 对称
12 6 4
【解题思路】对于A，先利用余弦的和差公式化得f (x)=−cos4x，由此易得f (x)的最大值为1；
π π
对于B，代入角易得f
( )=f (
−
)
；
6 3
π π π 2π π 2π
对于C，由− 0,ω>0,|φ|< )图象与y轴交于点
2
( 1) ( π )
0,− ，且 ,1 为该图像最高点，则（ ）
2 3
π
A．f(x)=sin ( 2x− )
6π
( )
B．f (x)的一个对称中心为 ,0
12
π π
C．函数f(x)图像向右平移 个单位可得y=sin ( 2x− ) 图象
6 3
7π
D．x= 是函数f(x)的一条对称轴
12
T π
【解题思路】利用待定系数法分别求出φ,ω，注意 > ，从而可求出函数f (x)的解析式，再利用代入检
2 3
验法结合正弦函数的对称性即可判断BD；根据平移变换的原则即可判断C.
π
( )
【解答过程】解：因为 ,1 为该图像最高点，
3
所以A=1，
( 1)
又函数f (x)的图象与y轴交于点 0,− ，
2
1
则f (0)=sinφ=− ，
2
π π
又|φ|< ，所以φ=− ，
2 6
π
则f(x)=sin ( ωx− )
6
π π π
f
( )=sin (
ω−
)=1，
3 3 6
π π π
则 ω− = +2kπ,k∈Z，
3 6 2
所以ω=2+6k,k∈Z，
T π π
由图可知 = > ，所以0<ω<3，
2 ω 3
所以ω=2，
π
所以f(x)=sin ( 2x− ) ，故A正确；
6
π π
对于B，因为f
( )=sin0=0，所以f
(x)的一个对称中心为
(
,0
)
，故B正确；
12 12
对于C，函数 f(x) 图像向右平移π个单位可得 y=sin [ 2 ( x+ π ) − π] =sin ( 2x+ π )图象，故C错误；
6 6 6 6(7π ) (7π π) 7π
对于D，f =sin − =0不是最值，所以x= 不是函数f(x)的一条对称轴，故D错误.
12 6 6 12
故选：AB.
12．（5分）（2022·湖北恩施·高二期中）已知函数f (x)=(sinx+cosx)⋅|sinx−cosx|，下列说法正确的
是（ ）
A．f (x)的最大值为2
π
B．直线x= 是f (x)图像的一条对称轴
4
[ π π]
C．f (x)在区间 − , 上是增函数
2 2
kπ
D．若|f (x )|+|f (x )|=2，则x +x = (k∈Z)
1 2 1 2 2
【解题思路】由题知f (x)=¿，再结合函数性质依次分析各选项即可得答案.
π 5π
【解答过程】解：当sinx≥cosx时，即 +2kπ≤x≤ +2kπ，k∈Z时，f (x)=−cos2x，
4 4
3π π
当sinx0=f ，f (x)在区间 − , 上不是增函数，
2 2 4 2 2
C错误；因为 且 ，则当 时， 且 ，
|f (x )|≤1 |f (x )|≤1 |f (x )|+|f (x )|=2 |cos2x |=1 |cos2x |=1
1 2 1 2 1 2
k π k π
则x = 1 且x = 2 ，k ,k ∈Z，
1 2 2 2 1 2
所以 (k +k )π kπ， ，D正确．
x +x = 1 2 = k +k =k∈Z
1 2 2 2 1 2
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
π
13．（5分）（2022·浙江·高一期末）已知函数f (x)=3cos ( 2x− )+1单调递增区间为
6
[ 5π π]
kπ− ,kπ+ ,k∈Z .
12 12
π
【解题思路】令2kπ−π≤2x− ≤2kπ,k∈Z，求得x的范围，即可求得f(x)的单调递增区间．
6
π
【解答过程】令2kπ−π≤2x− ≤2kπ,k∈Z，
6
5π π
解得kπ− ≤x≤kπ+ ,k∈Z，
12 12
[ 5π π]
故f(x)的单调递增区间为 kπ− ,kπ+ ,k∈Z．
12 12
[ 5π π]
故答案为： kπ− ,kπ+ ,k∈Z．
12 12
14．（5分）（2022·天津高三阶段练习）设f (x)=2√3cos (π +x ) sinx+(sinx+cosx)2-1，则f (x)
2
[π 5π ]
在 , 上的值域为 [-2-√3,0] .
6 6
【解题思路】先利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简f (x)，结合三角函数的性质可解出函数
f (x)的值域
【解答过程】f (x)=2√3cos (π +x ) sinx+(sinx+cosx)2-1=-2√3sin2x+2sinxcosx
2
π
=√3cos2x+sin2x-√3=2sin(2x+ )-√3，
3
[π 5π ] π [2π ]
因为x∈ , ，所以2x+ ∈ ,2π ，
6 6 3 3( π) [ √3]
所以sin 2x+ ∈ -1, ，所以f (x)∈[-2-√3,0]，
3 2
[π 5π ]
所以f (x)在 , 上的值域为[-2-√3,0]，
6 6
故答案为：[-2-√3,0].
1 √3
15．（5分）（2022·山东省高三期中）若将函数f (x)= sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像关
2 2
(π ) [ π π]
于点 ,0 对称，则函数g(x)=sin(x+φ)在 − , 上的最小值为 0.5 .
2 2 6
【解题思路】利用辅助角公式，再利用性质求出参数，从而得到相应函数的解析式，再利用函数的性质求
出最小值.
1 √3 ( π )
【解答过程】∵f (x)= sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)=sin 2x+ +φ ，
2 2 3
(π ) π π
∵图像关于点 ,0 对称，∴2⋅ + +φ=kπ，k∈ Z，
2 2 3
2π ( 2π)
∵0<φ<π，∴φ= ，故g(x)=sin x+ ，
3 3
π 2π 5π 1
∵ ≤x+ ≤ ，∴ ≤g(x)≤1.
6 3 6 2
[ π π] 1
g(x)在区间 − , 上的最小值为：
2 6 2
1
故答案为： 或0.5.
2
π π
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sin( +x)sin( −x)给出下列四个结论：
4 4
①f(x)的值域是[−1,1]；
π
②f(x)在[0, ]上单调递减：
2
③f(x)是周期为π的周期函数
π
④将f(x)的图象向左平移 个单位长度后，可得一个奇函数的图象
2
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【解题思路】先将f(x)化简，然后根据余弦函数的性质逐一判断即可
π π
【解答过程】f(x)=sin( +x)sin( −x)
4 4√2 √2 √2 √2
=( cosx+ sinx)( cosx− sinx)
2 2 2 2
1 1
= cos2x− sin2x
2 2
1
= cos2x
2
1 1
所以f(x)的值域为[− , ] ，故①错误；
2 2
π
令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z ，∴kπ≤x≤ +kπ,k∈Z
2
π
当k=0时，f(x)的一个单调递减区间为[0, ]，故②正确；
2
2π
f(x)的周期T= =π ,故③正确
ω
π
f(x)的图像向左平移 个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为
2
π 1 π 1
g(x)=f(x+ )= cos[2(x+ )]=− cos2x ，是偶函数，故④错误
2 2 2 2
故答案为：②③.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·广东·高三学业考试）已知函数f(x)=√3sin2x−cos2x.
(1)求函数f（x）的最小正周期和最大值；
(2)求函数f（x）的单调递减区间.
【解题思路】（1）用辅助角公式化简原函数，即可得到最小正周期和最值；
π
（2）将2x− 代入正弦函数的递减区间，解得x的范围即可.
6
【解答过程】（1） (√3 1 ) ( π).
f (x)=2 sin2x− cos2x =2sin 2x−
2 2 6
2π
∵ω=2，∴T= =π，
2
即函数f (x)的最小正周期为π.
( π)
∵−1≤sin 2x− ≤1，
6( π)
即−2≤2sin 2x− ≤2，
6
则f (x)的最大值为2.
π π 3π
（2）令 +2kπ≤2x− ≤ +2kπ,k∈Z，
2 6 2
π 5π
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
3 6
[π 5π ]
所以函数f (x)的单调递减区间为 +kπ, +kπ ,k∈Z.
3 6
18．（12分）（2022·重庆市高三阶段练习（理））已知向量
， 函数 ．
⃗a=(2sinx,cosx−sinx),⃗b=(cosx,√3(cosx+sinx)) f (x)=⃗a⋅⃗b−1
(1)求函数y=f (x)的值域;
(2)函数y=f (x)在x∈[0，m]上有 10 个零点， 求m的取值范围．
( π)
【解题思路】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换得f (x)=2sin 2x+ −1，再根据三
3
角函数性质求解即可；
( π) 1 π π 5π
（2）由题知sin 2x+ = ，再根据三角函数性质得 +10π≤2m+ < +10π，解不等式即可得答
3 2 6 3 6
案.
【解答过程】（1）解：
f (x)=⃗a⋅⃗b−1=2sinxcosx+√3(cosx−sinx)(cosx+sinx)−1
( π)
=sin2x+√3cos2x−1=2sin 2x+ −1，
3
所以，y=f (x)的值域为[−3,1].
( π) 1
（2）解：令f (x)=0， 即sin 2x+ = ，
3 2
π [π π]
因为x∈[0,m]，所以2x+ ∈ ,2m+ ，
3 3 3
因为函数y=f (x)在x∈[0,m]上有10个零点，
1 [π π]
所以方程sinx= 在 ,2m+ 上有10个实数根，
2 3 3
π π 5π 59π 21π
所以 +10π≤2m+ < +10π， 解得 ≤m< ．
6 3 6 12 4[59π 21π)
所以，m的取值范围为 , .
12 4
1
19．（12分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=cosx，g(x)=f(ωx+ φ)，其中
2
φ∈[0,2π]
1 π
(1)若ω= 且直线x= 是g(x)的一条对称轴，求g(x)的递减区间和周期；
2 2
2 π
(2)若ω=1，φ= π，求函数 ℎ(x)=f(−x)g(x)在(0, )上的最小值；
3 2
π
【解题思路】（1）根据题设中的对称轴可得φ=2kπ− ,k∈Z，根据其范围可求其值，再根据公式
2
和整体法可求周期及减区间.
（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.
【解答过程】（1）
1 1
可知g(x)=cos( x+ φ)，
2 2
π 1 π 1
因为直线x= 是g(x)图象的一条对称轴，故 × + φ=kπ,k∈Z，
2 2 2 2
π 3π 1 3
解得φ=2kπ− ,k∈Z，而φ∈[0,2π]，故φ= ，则g(x)=cos( x+ π)，
2 2 2 4
2π
则周期T= =4π，
ω
1 3 3 π
再令 x+ π∈[2kπ,π+2kπ],k∈Z，则x∈[− π+4kπ, +4kπ],k∈Z，
2 4 2 2
3 π
故g(x)的递减区间为[− π+4kπ, +4kπ],k∈Z.
2 2
（2）
π
可知g(x)=cos(x+ )，
3
π π
ℎ(x)=cos(−x)cos(x+ )=cosxcos(x+ )
3 3
1 √3 1 √3
=cosx( cosx− sinx)= cos2x− sinxcosx
2 2 2 2
1 1+cos2x √3 1 π 1
= ⋅ − sin2x =− sin(2x− )+
2 2 4 2 6 4π π π 5π
因为x∈(0, )，故2x− ∈(− , )，
2 6 6 6
π π π 1 1 1
则在2x− = 即x= 取 ℎ(x)最小值，其最小值为− + =− .
6 2 3 2 4 4
( π)
20．（12分）（2022·全国·高一课时练习）如图，函数f (x)=2√3cos(ωx+φ) ω>0,0≤φ≤ 的图象与y
2
轴交于点 ，最小正周期是 .
(0,√6) π
(1)求函数f (x)的解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
(2)已知点 (π )，点P是函数 图象上一点，点 ( √6)是PA的中点，且 [π ]，求 的
A ,0 f (x) Q x , x ∈ ,π x
2 0 2 0 2 0
值.
【解题思路】（1）根据周期是 可得 的值，再由图象与y轴交于点 ，求得 的值，从而可得函数
π ω (0,√6) φ
解析式，根据余弦函数的性质可求得函数f (x)=2√3cos(ωx+φ)图象的对称轴方程和对称中心；
（2）点 ( √6)是PA的中点，点 (π )，利用中点坐标公式求出 的坐标，点 是该函数图象上一
Q x , A ,0 P P
0 2 2
点，代入函数解析式，化简,求解x 的值.
0
【解答过程】（1）
2π
由题意，得ω= =2.
π
√2
由f (x)的图象与y轴交于点(0,√6)，得√6=2√3cosφ，可得cosφ= ，
2
π π
∵0≤φ≤ ，∴φ= .
2 4( π)
∴函数f (x)=2√3cos 2x+ .
4
π 1 π
由2x+ =kπ(k∈Z)，可得对称轴方程为x= kπ− (k∈Z)，
4 2 8
π π (1 π )
由2x+ =kπ+ (k∈Z)，可得对称中心为 kπ+ ,0 (k∈Z).
4 2 2 8
（2）
点 ( √6)是PA的中点，∴点P的坐标为( π ).
Q x , 2x − ,√6
0 2 0 2
又∵点P是函数 图象上一点，∴ [ ( π) π]，
f (x) √6=2√3cos 2× 2x − +
0 2 4
( 3π) √2
整理可得cos 4x − = .
0 4 2
[π ] 3π [5π 13π] 3π 7π 3π 9π
∵x ∈ ,π ，∴4x − ∈ , ，∴4x − = 或4x − = ，
0 2 0 4 4 4 0 4 4 0 4 4
5π 3π
解得x = 或x = .
0 8 0 4
( 2 ) 1
21．（12分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数f(x)=2sinxsin x+ π +
3 2
(1)求函数f(x)的单调增区间；
[ π 11 ]
(2)若函数y=f(x)−k在区间 − , π 上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
6 12
【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；
π [ π ] [ π ]
（2）令t=2x+ ,t∈ − ,2π ，g(t)=sint,t∈ − ,2π ，则函数y=f(x)−k在区间
6 6 6
[ π 11 ] [ π ]
− , π 上有且仅有两个零点，即曲线y=g(t)与直线y=k在区间 − ,2π 上有且仅有两个交点，
6 12 6
做出函数图象，数形结合即可得解.
【解答过程】（1）
( 2 ) 1
解：f(x)=2sinxsin x+ π +
3 2
=2sinx [ sinxcos 2 π+cosxsin 2 π ] + 1 =sin ( 2x+ π ) ，
3 3 2 6π π π
令− +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z，
2 6 2
π π
得− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
3 6
[ π π ]
所以函数f(x)的单调增区间 − +kπ, +kπ ,k∈Z；
3 6
（2）
[ π 11 ]
解：函数y=f(x)−k在区间 − , π 上有且仅有两个零点，
6 12
即曲线y=sin ( 2x+ π ) 与直线y=k在区间 [ − π , 11 π ] 上有且仅有两个交点，
6 6 12
[ π 11 ] π [ π ]
由x∈ − , π ，可得2x+ ∈ − ,2π ，
6 12 6 6
π [ π ] [ π ]
令t=2x+ ,t∈ − ,2π ，g(t)=sint,t∈ − ,2π ，
6 6 6
[ π ]
则曲线y=g(t)与直线y=k在区间 − ,2π 上有且仅有两个交点，
6
如图分别作出函数y=g(x),y=k的图象，
( 1)
由图可知，当函数y=g(x),y=k的图象有两个交点时，k∈ −1,− ∪(0,1)，
2
( 1)
所以实数k的取值范围为k∈ −1,− ∪(0,1).
2
22．（12分）（2022·河北·高三开学考试）设函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，该函数图象上
相邻两个最高点间的距离为4π，且f (x)为偶函数.
(1)求ω和φ的值；
(2)已知角A，B，C为△ABC的三个内角，若(2sin A−sinC)cosB=sinBcosC，求f2(A)+f2(C)的取
值范围.1 (1 )
【解题思路】（1）根据题意求得ω= ，得到f(x)=√2sin x+φ ，再结合f (x)为偶函数，即可求得φ
2 2
的值；
1 π 2π
（2）由题意结合三角恒等变换的公式，化简得到cosB= ，求得B= ，得到C= −A，
2 3 3
由（1）知f(x)=√2cos 1 x，化简f2 (A)+f2 (C)=sin ( A+ π) +2，结合三角函数的图象与性质，即可看
2 6
求解.
【解答过程】（1）
解：因为f (x)=√2sin(ωx+φ)的图象上相邻两个最高点间的距离为4π，
2π 1 (1 )
可得 =4π，解得ω= ，所以f(x)=√2sin x+φ ，
ω 2 2
π
又因为f (x)为偶函数，可得φ=kπ+ ，k∈Z，
2
π
因为0<φ<π，所以φ= .
2
（2）
解：因为(2sin A−sinC)cosB=sinBcosC，
可得2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，所以2sin AcosB=sin(B+C)，
1
又因为A+B+C=π，且0
