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15.2 画轴对称的图形
题型一 车牌号码的镜面对称
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为 ，
它的实际车牌号是 ．
【答案】GFT2567
【分析】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．关于倒影，相
应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．
【详解】解：实际车牌号是：GFT2567．
故答案为：GFT2567．
2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌
照号码为 ．
【答案】
【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌
照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解．
【详解】解：作汽车牌照在水中的倒影 关于水平方向的轴对称图形，如图所示：
∴该汽车牌照号码为 ．
故答案是： ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为 ．
【答案】FM5379
【分析】由题意得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解．
【详解】解：根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，且关于水面上下对称，因此
在倒影的上面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形，如图所示，
故该车牌号码为FM5379．
故答案为：FM5379．
【点睛】解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
4．（2023八年级上·江苏·专题练习）一轿车的车牌在水中的倒影是 ，则该车的牌照
号码为 ．
【答案】鄂
【分析】根据轴对称的定义求解，对称轴取原图象下方的水平直线．
【详解】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂 ．
．
故答案为：鄂 ．
【点睛】本题考查轴对称的定义，理解轴对称的定义是解题的关键．题型二 钟表的镜面对称
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则
此刻的实际时间应该是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了镜面反射的原理与性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺
序颠倒成为解题的关键．
根据镜面对称的性质求解即可．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻 与 成轴对称，所以此时实际时刻为：
．
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·河南漯河·期中）平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在
梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜
面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，因此 的真实图像应该是 ．
故答案为：
3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，这是小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间，此刻
的实际时间应该是 ．
【答案】
【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，数字 的镜面对称数字是 ，据此即可求解．
【详解】解：此刻的实际时间应该是 ，
故答案为：4．（21-22八年级上·江苏盐城·期中）在镜子中看到时钟显示的时间 ，则实际时间是 ．
【答案】21:05
【分析】根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，再根据轴对称的性质求解即可．
【详解】解：根据题意可得，根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，
由轴对称的性质可得，实际时间是为21:05．
故答案为：21:05．
【点睛】此题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握轴对称图形的有关性质．
题型三 设计轴对称图案
1．（24-25八年级上·吉林·期中）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学
家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等
领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方
形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，
这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据图形中已有的阴影正方形的位置和轴对称图形的定义作
图．
【详解】解：如下图所示，（答案不唯一）
2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在图 分别补充 个小方块，在图 中分别补充 个小方
块，分别使它们成为轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义解答即可，解题的关键是掌握轴对称图形的
定义，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：如图，（答案不唯一）
3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）请在下列 的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图
中的三角形经过轴对称变换得到的图形，且所画的三角形的顶点都在格点上（如图），并将所画的三角形
涂上阴影．（注：所画的三角形不能重复）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案．利用轴对称图形的性质，分别选择不同的直线当对称轴，
得到相关图形即可．【详解】解：如图1和图2所示．
4．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形
涂黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
图乙与图丙是一种涂法，请在图 中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全
等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图 轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可．
【详解】解：如图所示，题型四 轴对称在坐标系中的应用
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 的顶点都在格点上，其中 ， ， ．
(1)画出 关于 轴对称的图形 并写出点 ， ， 的坐标；
(2)画出 关于直线 对称的 ，若点 是 内一点，请写出 内对称点 的坐
标
【答案】(1)图见解析， ， ，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了轴对称作图，坐标的计算，熟练掌握轴对称的性质和作图是解题的关键．
（1）根据关于 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定对应的坐标，后连点构造
图形即可；
（2）根据关于平行x轴的直线对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标平移得到，确定对应的坐标，后
连点构造图形即可．
【详解】（1）解：由 ， ， ，
则 关于 轴对称的图形 对称点 ， ， 的坐标分别为： ， ， ，
画图如下：．
（2）解：根据题意，得直线 ，由 ， ， ，
得三点到直线 的距离分别为3，1，5，故三点分别向下平移6，2，10单位长度得到对称点 ，
， 的坐标，
故 ， ， ，画图如下：
由点 ，得点P 到直线 的距离为 ，故点P向下平移 得到点 的坐标，
故 ，即 ．
2．（24-25八年级上·天津·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 、 、 ．(1)将 沿y轴翻折，画出 关于y轴对称的图形 ，并直接写出 点的坐标 ；
(2)直接写出点 关于x轴对称的点 的坐标 ；
(3)若以D、B、C为顶点的三角形与 全等，请画出所有符合条件的 （ 点D与点A重合除
外）．
【答案】(1)见解析，
(2)
(3)见解析
【分析】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置；
（2）直接利用关于x轴对称点的特点写出点 的坐标即可；
（3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置．
【详解】（1）解：画出 关于y轴对称的图形 ，如图所示，翻折后点A的对应点的坐标是： ；
（2）解：点 关于x轴对称的点 的坐标为 ；
（3）解：所有符合条件的 （ 点D与点A重合除外）如图所示．
， ， ．
3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图， 在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下： ，
， ．(1)作 关于 轴对称的图形 ．其中 ， ， 分别和 ， ， 对应；
(2)点 ， ， 对应的坐标分别为 ___________； ____________； ___________；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ； ；
(3)5
【分析】本题考查了轴对称作图，求平面直角坐标系中点的坐标，割补法求面积．
（1）根据轴对称的定义作图即可；
（2）根据图象作答即可；
（3）根据割补法计算即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）由图象可知：点 ， ， 对应的坐标分别为 ； ； ；故答案为： ； ； ；
（3） ．
4．（24-25八年级上·安徽六安·期末） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点
上．
(1)作出 关于x轴对称的 ；
(2)在y轴上求作点D，使得 的值最小，点D的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）取点B关于y轴的对称点 ，连接 ，交y轴于点D，则点D即为所求，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：如图，取点B关于y轴的对称点 ，连接 ，交y轴于点D，连接 ，
此时 ，为最小值，
则点D即为所求．由图可得，点D的坐标为
故答案为：
题型一 线段问题
1．（24-25八年级上·北京·期中）在 中， ，射线 的夹角为 ，过点
作 于点 ，直线 交 于点 ，连接 ．
(1)如图 ，射线 都在 的内部．
设 ，则 _______（用含有 的式子表示）；
在直线 上取一点 ，使得 ，则线段 与图 中已有线段_______的长度相等．
(2)如图 ，射线 在 的内部，射线 在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段
之间的数量关系，并证明．【答案】(1) ；
；
(2) ，证明见解析．
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等
三角形．
根据角的和与差可得 ，把 和 的度数代入计算即可；
根据轴对称的性质可得 ，根据 ，等量代换可得 ；
在 的延长线上截取 ，连接 ，可证 ，利用 可证 ，根据
全等三角形的性质可证 ，根据 ，可证 ．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为： ；
如下图所示，连接 ，
， ，
，
又 ，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
证明：如下图所示，在 的延长线上截取 ，连接 ，
则有 ， ，
又 ，
，设 ，
则 ，
，
又 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
又 ，
，
2．（24-25八年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为
．(1)画出 关于 轴的对称图形为 ，并写出顶点 的坐标；
(2)画出 关于直线 所对称的图形 ，并写出顶点 的坐标；
(3)在 轴上画出点 ，使 的周长最小．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析，
(3)见解析
【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，轴对称 最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关
键．
（ ）根据轴对称的性质作图即可；
（ ）根据轴对称的性质作图，再根据图形写出坐标即可；
（ ）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，由轴对称可知 ，所以
，根据两点之间线段最短，可知此时 最小，即 的周长最小，故点
即为 所求；
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
由图可得， ；
（2）解：如图所示， 即为所求，由图可得， ；
（3）解：如图所示，点 即为所求．
3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系中，已知点 ，直线l
是第二、四象限的角平分线．
(1)操作：连结线段 ，作出线段 关于直线l的轴对称图形 ．(2)发现：请写出坐标平面内任一点 关于直线l的对称点 的坐标．
(3)应用：请在直线l上找一点Q，使得 最小，并写出点Q的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是图形旋转变换以及一次函数综合题，涉及到关于直线 的点的坐标特点问题等
知识，难度适中．
（1）根据轴对称的性质得出对应点 位置，再连接即可；
（2）根据轴对称的性质得出点 关于直线l的对称点 的坐标；
（3）连接 交直线l于点Q，点Q即为所求．
【详解】（1）如图，线段 即为所作；
（2）由题意得， 关于直线l的对称点 的坐标为 ；
（3）如图，点Q即为所作， ，
4．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）(1)如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
(2)如图2，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使彻E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，保留作图痕迹．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由于 的周长 ，而 是定值，故只需在直线 上找一点 ，使
最小．如果设 关于 的对称点为 ，使 最小就是使 最小；
（2）如图 ，作 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ， 于 ，此时使
得 、 、 、 ，四点组成的四边形的周长最短．
【详解】（1）如图 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ．则点 就是所要求作的点．
理由如下：
在 上取不同于 的点 ，连接 、 ．
和 关于直线 对称，
， ，而 ，
，
．
即 周长小于 周长；
（2）如图 ，作 关于 的对称点 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ， 于 ，则
点 ， 就是所要求作的点．理由如下：
在 ， 上取不同于 ， 的点 ，连接 、 ， ．
和 关于直线 对称，
， ， ， ，
．【点睛】本题考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置
是解题的关键．
题型二 面积问题
1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为
， ， （每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)请在下图中画出与 关于y轴对称的 ；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使得 ，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)存在， 或
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵
活运用是解此题的关键．
（1）根据关于y轴对称的特征作出点 、 、 ，再顺次连接即可得解；
（2）利用割补法求三角形面积即可；（3）设 ，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）如图所示：
的面积为 ；
（3）存在，理由如下
设点P的坐标为 ，
由（1）得 ， ，
则 以 为底边时，高为 到轴的距离，即2，
，
∵ ，
∴ ，∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
所以点P的坐标为 或 ．
2．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，过点 作x轴的垂
线l，点A关于直线l的对称点为B．
(1)点B的坐标为_____________；
(2)已知点 ，点 ，在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D．
①在四边形 内部有一点P，满足 且 ，则此时点P的坐标为_____________，
_____________；
②在四边形 外部是否存在点Q，满足 且 ，若存在，直接写出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ．
(2)① ， ．② ，理由见解析
【分析】（1）根据对称性可知点A和点B到直线l的距离相等，且纵坐标相等即可求解；（2）①根据点A，B，C，D的坐标可得点A和点B关于直线l对称，点C和点D关于直线l对称，
， ， ，由 ，可知点P在直线l上，设点P ，再根据
可得 ，求解即可得点P坐标，进而即可求解 ；
②与①同理，设 ，根据 ，可得 ，解方程进而即可求解．
【详解】（1）∵点 坐标为 ，过点 作x轴的垂线l，
∴点 到直线l的距离为1，
∵点A和点B关于直线l的对称点，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图所示：顺次连接A，B，C，D，可以发现四边形 是等腰梯形，且关于直线 对称，
①∵点 ，点 ，点 ，点 ，
∴点A和点B关于直线l对称，点C和点D关于直线l对称， ， ， ，
∵在四边形 内部有一点P，满足 ，
则点P在直线l上，设点P ，
∵ ，∴ ，即 ，
整理得： ，
解得： ，
∴点 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
②存在，
理由：∵
∴点Q在对称轴 上，
设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴点 ．
【点睛】本题考查坐标与图形—对称，三角形面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想和参数
构造方程解决问题．
3．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，依已知 ， ，
．(1)作出 关于 轴对称的 ；
(2)求 的面积；
(3)若点 在 轴上，求 的最小值．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，
（ ）根据轴对称的性质作图即可；
（ ）利用割补法求三角形的面积即可；
（ ）连接 ，与 轴的交点即为所求的点 ，则 的最小值即为 的长，由勾股定理可得出答
案；
熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）如图， 即为所求；
（2） 的面积为：；
（3）如图，连接 ，
∴ 的最小值即为 的长，
由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ．
4．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
(1)在图中作出 关于y轴的对称图形 ．
(2)写出点 ， ， 的坐标．
(3)求出 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，(3)
【分析】本题考查了轴对称变换作图及点的坐标特征，三角形求面积；
（1）利用关于y轴对称图形的点的坐标特征是“横坐标相反，纵坐标不变”得到对应点的位置即可画出图
形；
（2）利用关于y轴对称图形的点的坐标特征即可得到答案；
（3）利用三角形面积公式 ， 的长为底， 到 的距离为高即可求解；
【详解】（1）如图， 即为所求的三角形：
（2）由图可知， ， ， ．
（3）
题型三 最值问题
1．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点
A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图1中画出与 关于直线l成轴对称的 ；
(2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与
△ABC全等的格点三角形；
(3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）先画出点C和点B关于直线l的对称点，再依次连接即可；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）先画出点C关于直线的对称点 ，再连接 ，与l相交于点P．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）如图所示，可以作3个．
（3）如图，点P即为所求．【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
2．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下
列各题．
(1)画出格点 关于直线 对称的 ；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作 中 边上的高；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在 上画出点P，使 最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称作图，尺规作图—作垂线，熟练掌握相关性质和作图步骤是解题的关键．
（1）先画出点A、B、C关于 对称的对应点，再依次连接即可；
（2）以点C为圆心， 长为半径画弧，交 于一点，再以该点和点B为圆心，大于该点到点B距离的
一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C和两弧交点，交 于点H， 即为所求；
（3）连接A、 ， 与 的交点即为所求点P．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解：如图所示，点P即为所求．
3．（21-22八年级上·河南焦作·期末）如图，已知 的顶点分别为 ， ， ．
(1)作出 关于x轴对称的图形 ，并写出点 的坐标；
(2)若点 是 内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是________．
(3)在x轴上找一点P，使得 最小（画出图形，找到点P的位置）．
【答案】(1)图见解析，点 的坐标为 ；
(2) ；
(3)见解析．
【分析】（1）分别找出A，B，C关于x轴对称的点A，B，C ，再顺次连接点即可；
1 1 1
（2）利用“关于谁对称谁不变，不关谁对称谁全变”可求出P的对称点坐标；
（3）过x轴作点A的对称点为A，连接AC交于x轴的点即为点P，使得 最小．
1 1【详解】（1）解：先找出点A，B，C关于x轴对称的点A，B，C ，再顺次连接A，B，C ．
1 1 1 1 1 1
如图所示， 即为所求：
的坐标为 ．
（2）解：∵P关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成原来的相反数，
∴点P关于y轴对称的点的坐标是 ．
（3）解：过x轴作点A的对称点为A，连接AC交于x轴的点即为点P，使得 最小．点P如图所
1 1
示：
【点睛】本题考查作轴对称图形，找关于坐标轴对称的点的坐标，以及动点问题．关键是掌握画轴对称图
形的方法：先找对称点，再连线；熟记关于坐标轴对称的点的坐标变化特征；利用对称性解决动点问题．
4．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线 于点B， ，点D为 中点，一条光
线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．(1)求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点F，连接 交 于点H， ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是 边上的动点，连接 ， ， ， ，求
的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）由 可证 ，可得 ；
（2）由 可证 ，可得 ，由余角的性质可得结论；
（3）由 可证 ，可得 ，则当点E，点P，点D三点共线时， 有最小值，
即 有最小值为 的长，由面积法可以求解．
【详解】（1）证明：如图1，过点D作 ，
由题意可得： ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ；
（2）证明∶ ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解∶ 在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点E，点P，点D三点共线时， 有最小值，即 有最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
1．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ，将经过点 垂直于x轴的
直线记为直线 ，将经过点 且垂直于y轴的直线记为直线 ．对于点P给出如下定义：将点P
关于直线 对称得到点 ，则称点 为点P关于直线 的“一次对应点”，再将点 关于直线
对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“二次对应点”．
已知 顶点坐标为 ．
(1)如图1，若点 ．
①将点 关于直线 对称得到点 ，再将点 关于直线 对称得到点 ，则点关于点M“二次对应点”为 ．请直接写出点 关于直线 的“一次对应点”：_________；点
关于点M的“二次对应点”：___________；
②若点 和点 关于M的“二次对应点”分别为点 和点 ，且线段 与 的边
没有公共点，求n的取值范围；
(2)若点B关于点M的“二次对应点”为点 ，且以A、B、 为顶点的三角形恰与 全等，请直接
写出所有满足条件的点M的坐标：___________．
【答案】(1)① ， ；② 或 或
(2) 或 或 或
【分析】本题是轴对称与平面直角坐标系的综合，全等三角形的性质与判定．
（1）①根据题目的新定义求解即可；
②根据新定义表达出点 和点 ，再分三种情况讨论即可；
（2）先求出点 关于M的“二次对应点”为 ，再由 可得以A、B、 为顶
点的三角形恰与 全等，则分 和 两种情况讨论，过 作 轴于
点D，过 作 轴于点 ，再证明 或 ，利用坐标列方程求解即
可．
即可求出M的坐标．
【详解】（1）解：①∵将点 关于直线 对称得到点 ，
∴点 关于直线 的“一次对应点”为 ，
∵点 ，∴将点 关于直线 对称得到点 ，再将点 关于直线 对称得到点 ，
∴点 关于M的“二次对应点”为 ，
故答案为： ， ；
②∵点 ，
∴将点 关于直线 对称得到点 ，再将点 关于直线 对称得到点 ，
将点 关于直线 对称得到点 ，再将点 关于直线 对称得到点 ，
∴点 关于M的“二次对应点”为 ，点 关于M的“二次对应点”为
，
线段 与 的边没有公共点有三种情况：
第一种情况：如图，线段 在 上方，
∴ ，
解得 ；
第二种情况：如图，线段 在 内部，∴ ，
解得： ；
第三种情况：如图，线段 在点C下方，
∴ ，
解得 ；
综上所述，n的取值范围是 或 或 ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴将点 关于直线 对称得到点 ，再将点 关于直线 对称得到点，
∴点 关于M的“二次对应点”为 ，
∴以A、B、 为顶点的三角形恰与 全等，有两种情况：
当 时，如图，过 作 轴于点D，过 作 轴于点 ，则 ，
， ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
当 在第一象限时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，此时点M的坐标为 ；
当 在第四象限时， ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
此时点M的坐标为 ；
同理，当 时， ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
解得 ， ，
∴点M的坐标为 或 ；
综上所述，所有满足条件的点M的坐标 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）情景探究
【问题情景】学习了“最短路径问题”后，张老师结合七年级学习的坐标系的知识，将课本上的“饮马问
题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中， ，在x轴上找一
点C，使得 的值最小．你能求出点C的坐标吗？
【方法探究】
（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点C，则此时
的值最小；然后连接 ，利用 列方程求出点C的坐标．请按小明的方法完
成画图，并求出点C的坐标；
【类比推广】
（2）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址”问题放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，在平面直
角坐标系中， ，直线m经过点 ，且与x轴平行，分别在x轴和直线m上找点M，
N，使得 轴，且 的值最小，请在图2中画出点M和点N的位置，并求出点M，N的坐标；
【拓展创新】
（3）如图3，在平面直角坐标系中， ，C是 的中点， 交 于点D，求点D
的坐标．【答案】（1）画图见解析， ；（2）画出点M和点N的位置见解析， ， ；
（3） ．
【分析】（1）根据题意作图即可，由题意可知 ，设 ，则可求出 ，
， ．再根据 ，列方程求解即可；
（2）作点D关于x轴的对称点，连接 交直线m于点N，过点N作 轴于点M，则点M和点N
即为所作，即得出 ．设 ，则 ，可求 ， ，
．再根据 ，列方程求解即可；
（3）过点A作 交 延长线于点F，过点D作 轴于点E．证明 为等腰直角三角形，
即得出 ．又可证 ，即得出 ．最后根据
列等式可求出 ，从而即可求解．
【详解】解：（1）完成画图，如图，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）如图，作点D关于x轴的对称点，连接 交直线m于点N，过点N作 轴于点M，则点M和
点N即为所作．
∴ ．
设 ，则 ，
∵ ，∴ ， ，
．
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ；
（3）如图，过点A作 交 延长线于点F，过点D作 轴于点E．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵C是 的中点，∴ ．
∵
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，利用等积
法求解等知识，利用数形结合的思想是解题关键．
3．（23-24八年级上·北京东城·期末）对于平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下定义：
若图形 上存在点 ，满足 ，则称图形 是点 的“ 关联图形”．(1)已知原点 是点 的“ 关联图形”，则点 的坐标是_______；
(2)如图1，已知点 ， ，当线段 是点 的“ 关联图形”时，在图1中画出所有满足条
件的点 所形成的图形，并指出线段 可以通过怎样的几何变换得到该图形；
(3)如图2，已知 是点 的“ 关联图形"，其中点 ， ， ．
①当点 在第一、三象限角平分线上时， 的取值范围是_______；
②当 时，请在图3中画出所有满足条件的点 所形成的区域，并直接写出该区域的面积．
【答案】(1)
(2)图见解析，线段 可以通过沿直线 进行翻折得到该图形
(3)① ；②图见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，坐标与图形：
（1）根据等腰进行求解即可；
（2）先根据A、B坐标得到点B平移到点A的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，
设点 是线段 上一点，则点B平移到点Q的平移方式为向右平移 个单位长度，向上平移
个单位长度，由线段 是点 的“ 关联图形”，推出 ，进而得到所有满足条件的
点P所形成的图形即为线段 ，其中 ；则线段 可以通过沿直线 进行翻折得到线
段 ；
（3）①由 在第一、三象限角平分线上，得到 ，设 为 上一点，可得 ；当点
在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，则 ，可得 ；
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，则 ，可得；当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，则
， 可得 ；综上所述， ；
②设 为 上一点，则 ，当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为
，则 ，当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为
，则 ； 当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为
，则 ；同（2）可得，当点Q在线段 上时围成的区域为四边形
，当点Q在线段 上时，围成的区域为四边形 ，当点Q在线段 上时，围成的区域为四
边形 ；再利用割补法求出对应区域的面积即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴点B平移到点A的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，
设点 是线段 上一点，则点B平移到点Q的平移方式为向右平移 个单位长度，向上平移
个单位长度，∴ ，
∵线段 是点 的“ 关联图形”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，当 时， ，
∴所有满足条件的点P所形成的图形即为线段 ，其中 ；
∴线段 可以通过沿直线 进行翻折得到线段 ；
（3）解：①∵ 在第一、三象限角平分线上，
∴ ，
设 为 上一点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，∴ ；
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， ；
②设 为 上一点，
∴ ，
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
∴同（2）可知，当点Q在线段 上时围成的区域为四边形 ，当点Q在线段 上时，围成的区域
为四边形 ，当点Q在线段 上时，围成的区域为四边形 ；
∴所有满足条件的点P所形成的区域的面积为 ．
4．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系 中，经过点 ，且平行于x轴的
直线记作直线 ．我们给出如下定义：点 先关于y轴对称得到点 ，再将点 关于直线
对称得到点 ，则称点 为点P关于y轴和直线 的“青一对称点”．举例：如图， 先关于y轴
对称得到点 ，再将点 关于直线 对称得到点 ，则称 为点P关于y轴和直线
的“青一对称点”．(1)点 关于y轴和直线 的“青一对称点” 的坐标是______．
(2)点 关于y轴和直线 的“青一对称点” 的坐标是 ，求m和n的值．
(3)若 关于y轴和直线 的“青一对称点” 在第四象限，且得到关于x的取值范围内的
所有整数解之和为5，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的值为4， 的值为2
(3) 或
【分析】（1）依照新定义计算即可；
（2）依照新定义计算出 ，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可；
（3）依照新定义计算出 ，根据 在第四象限求出x的取值范围，再由关于x的取值范围内的所有整数
解之和为5，列不等式组得出m的取值范围．
【详解】（1）解：点 关于y轴的点为 ，再关于直线 对称的点为 ，
故答案为： ；
（2）点 关于y轴的点为 ，再关于直线 对称的点为，
故点 关于y轴和直线 的“青一对称点” 的坐标是 ，
的坐标是 ，
解得， ，
故 的值为4， 的值为2；
（3）故点 关于y轴和直线 的“青一对称点”的坐标是 ，
在第四象限，
，解得 ，
关于x的取值范围内的所有整数解之和为5，
或 ，
解得， 或 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，解题的关键是对新定义“青一对称点”的理解．
