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18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第 1 课时 平行四边形的边、角的特征
∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出
AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义
1．理解平行四边形的概念；(重点) 推出即可．
2．掌握平行四边形边、角的性质；(重 证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2
点) ＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝
3．利用平行四边形边、角的性质解决问 ∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1
题．(难点) ＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行
四边形．
方法总结：平行四边形的定义既是平行
四边形的性质，也是判断一个四边形是平行
四边形的重要方法．
一、情境导入 探究点二：平行四边形的边、角特征
如图，平行四边形是我们常见的一种图 【类型一】 利用平行四边形的性质求边
形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样 长
的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，
二、合作探究 点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的
探究点一：平行四边形的定义 点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则
AD＝________．
解析：∵四边形ADEF为平行四边形，
∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB
如图，在四边形ABCD中，∠B＝ ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB
∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行 ＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF
四边形． ＝5＋2＝7，∴AD＝7.
解析：根据三角形内角和定理求出 方法总结：本题考查了平行四边形对边
第 1 页 共 3 页平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟 ∴PF＝PE.
练掌握各性质是解题的关键． 方法总结：平行四边形性质，等腰三角
【类型二】 利用平行四边形的性质求角 形的性质，全等三角形的性质和判定等常综
合应用，利用平行四边形的性质可以解决一
些相等的问题，在证明时应用较多．
【类型四】 判断直线的位置关系
如图，在平行四边形ABCD中，
CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度
数为( ) 如图，在平行四边形ABCD中，
A．35° B．55° AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，
C．25° D．30° 试问直线DM和MC有何位置关系？请证
解析：∵四边形ABCD是平行四边形， 明．
∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°， 解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的
∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°， 位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与
∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A. ∠BCD的平分线．又由平行线的性质可得
方法总结：平行四边形对角相等，邻角 ∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与
互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关 MC的位置关系．
系，可求出其他角，所以利用该性质可以解 解：DM与MC互相垂直．证明如下：
决和角度有关的问题． ∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝
【类型三】 利用平行四边形的性质证明 2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四
有关结论 边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，
则 ∠ MDC ＝ ∠ ADC ， 同 理 ∠ MCD ＝
∠BCD.∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠DCB＝
180°，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋
∠ADC＝90°.∵∠MDC＋∠MCD＋∠DMC
如图，点G、E、F分别在平行四边 ＝180°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相
形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC， 垂直．
CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP， 方法总结：根据平行四边形的性质，将
EP.求证：FP＝EP. 已知条件转化到同一个三角形中，即可判断
解析：根据平行四边形的性质推出 两条直线的关系．
∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出 探究点三：两平行线间的距离
∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据
“等角的补角相等”求出∠DCP＝∠FCP，
根据“SAS”证出△PCF≌△PCE即可得出
结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 如图，已知l∥l，点E，F在l 上，
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∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝ 点G，H在l 上，试说明△EGO与△FHO面
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DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝ 积相等．
∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋ 解析：结合平行线间的距离相等和三角
∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.在△PCF 形的面积公式即可证明．
和△PCE中，∵∴△PCF≌△PCE(SAS)， 证明：∵l∥l，∴点E，F到l 之间的距
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第 2 页 共 3 页离都相等，设为h.∴S ＝GH·h，S ＝
△EGH △FGH
GH·h，∴S ＝S ，∴S －S ＝
△EGH △FGH △EGH △GOH
S －S ，∴△EGO的面积等于△FHO
△FGH △GOH
的面积．
方法总结：根据两平行线间的距离可知，
夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，
而后可推出两三角形同底等高，面积相等．
三、板书设计
1．平行四边形的定义
2．平行四边形的边、角特征
3．两平行线间的距离
学生通过观看多媒体课件的演示和动
手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性
质，效果比较好．例题能够引导学生用不同
的方法去解决问题并加以变式练习，使教师
能根据学生的掌握情况及时解决学生在练
习的过程中发现问题，并通过投影指出错误，
规范说理过程，极大提高课堂效率．
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