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云南省曲靖市第一中学2023届高三上学期第二次月考数学
试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．为了得到函数 的图象，需要把函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3．若复数 满足 ，其中i为虚数单位，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
4．若O（0，0），A（1，3），B（3，1），则 ＝
A． B． C． D．
5．已知函数 ，则函数 的定义域为
A． B．(0,10) C． D．
6．设函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 ，若 ，且的最小正周期大于 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 有唯一零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有（ ）
A．至少一次正面朝上的概率是
B．恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样
C．一次正面朝上，一次反面朝上的概率是
D．在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是
10．下列命题中真命题是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，且 ，则 的最大值为2
C．已知向量 满足 ，则 与 夹角是
D．若 分别表示 的面积，则
11．已知函数 ，则有（ ）
A． 是 的一个对称中心
B． 的最小正周期为
C． 的图像关于直线 对称
试卷第2页，共3页D．在区间 上单调递减
12．设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在 上为减函数 D．方程 仅有6个实数解
三、填空题
13．已知点 为角 的终边上一点，则 的值为___________.
14．若 ，则 ＝_____________．
15．已知函数 ，则 的最小值为___________.
16．已知在直角三角形 中， ，点 在以 为圆心且与
相切的圆上，则 的最大值为___________.
四、解答题
17．在 中，角 所对的边分别为 ，已知
(1)求 的值；
(2)若 ，则 的面积.
18． 年 月 日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除
的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某
单位有老年员工 人，中年员工 人，青年员工 人，现采用分层抽样的方法，从
该单位员工中抽取 人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：
专项员工人 子女 住房贷款 住房租
继续教育 大病医疗 赡养老人
数 教育 利息 金
老员工
中年员工
青年员工
（Ⅰ）在抽取的 人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；
（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取 人，记 为选出的中年
员工的人数，求 的分布列和数学期望.
19．已知函数
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 的图像在点 处的切线斜率为 ，设 ，若函数
在区间 内单调递增，求实数 的取值范围.
20．设向量 ，定义一种向量积: ．已知
，点P在 的图象上运动，Q是函数 图象上的点，
且 为坐标原点）
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的单调递减区间.
21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：
经过抛物线C的焦点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线1与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切
线相交于点P.求 面积的最小值.
试卷第4页，共3页22．已知 是自然对数的底数，函数 的导函数为 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．参考答案：
1．C
【分析】根据题意求得集合 ， ，然后求交集即可.
【详解】由题意得 ，解 得 ， ，所以
， .
故选：C.
2．C
【分析】直接利用函数 的图象变换规律，可得结论．
【详解】 函数 ，根据图像左加右减的变换原则，
只需把函数 的图象向左平移 个单位长度，
即可得到函数 的图象，
故选： ．
3．C
【解析】设复数 ，利用相等，求得 ，进而可求复数的模.
【详解】设复数 ，
则 ，则 ，
所以 ，所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.
4．B
【分析】先根据向量数量积计算 ，再根据三角函数平方关系求 .
【详解】∵ ， ，∴ ，∴ ，故选
B．【点睛】本题考查利用向量数量积求夹角，考查基本求解能力.
5．D
【分析】根据对数函数真数大于零得不等式 ，解得函数定义域.
【详解】由题意 的定义域为 ，在 中 ，
故选D．
【点睛】本题考查对数函数定义域以及复合函数定义域，考查基本求解能力.
6．A
【分析】根据题意分类讨论 、 ，结合指数函数、幂函数的单调性解不等式
【详解】当 时，则 ，解得
当 时，则 ，解得
综上所述： 的取值范围是
故选：A.
7．B
【分析】由 可得周期 ，从而得出 ，根据 可求出 .
【详解】由题可知： ， ，
得 ，解得： ，
所以 ，即 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ， .
故选：B.
答案第2页，共2页8．D
【分析】将函数变形，换元后得到 ，研究得到 为偶函数，由
有唯一零点，得到函数 的图象与 有唯一交点，结合 为偶函数，可得此交点的
横坐标为0，代入后求出 .
【详解】 有零点，则 ，
令 ，则上式可化为 ，
因为 恒成立，所以 ，
令 ，则 ，
故 为偶函数，
因为 有唯一零点，所以函数 的图象与 有唯一交点，
结合 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，
故 .
故选：D
9．AD
【分析】根据古典概型及相互独立事件的概率即可判断选项的正误.
【详解】将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次共有正正，正反，反正，反反四个结果
对于A， ，正确；
对于B，恰有一次正面向上概率 ，恰有两次正面向上概率 ， ，错误；
对于C，一次正面朝上，一次反面朝上的概率是 ，错误；对于D， 第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是 ，正确.
故选：AD
10．BCD
【分析】A选项：利用不等式的性质判断即可；
B选项：利用基本不等式和对数运算求最值即可；
C选项：根据 得到 ，再结合 得 ，然后根据余弦值
求角即可；
D选项：根据线性运算得到 ，再结合中位线的性质得到 ，最后根据
面积公式求面积比即可.
【详解】A选项：当 ， 时， ，所以 ，故A错；
B选项：因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，又
，所以 ，故B正确；
C选项： ，又 ，所以
，联立得 ， ，又 ，所以
，故C正确；
D选项：如图：D，E分别是 的中点
答案第4页，共2页，∴ ，∴ ，∴ ，
所以 ，则 ，故D正确；
故选：BCD.
11．BC
【分析】根据二倍角公式得到 ，然后利用正弦函数的图象和性质判断对称
中心、最小正周期、对称轴和单调区间即可.
【详解】因为 ，没有对称中心，故A错；
最小正周期 ，故B正确；
令 ，得 ，故C正确；
令 ，根据 得 ，函数 在 上不单调，故D错；
故选：BC.
12．ABD
【分析】由题干条件可以得到 关于 对称，关于 对称， 周期为8，从而
求出 ，A正确；根据周期与奇偶性判断出B选项，先根据奇
偶性与单调性得到 在 单调递增，再根据周期求出 在 上单调递增，画出
与 的函数图象，判断出交点个数，从而得到D选项正确.
【详解】 为偶函数，故 ，令 得： ，
为奇函数，故 ，令 得： ，其中，所以 ，A正确；
因为 为奇函数，所以 关于 对称，又 为偶函数，则 关于
对称，所以 周期为 ，故 ，所以
，从而 为奇函数，B正
确；
在 上单调递增，又 关于 对称，所以 在 上单调
递增，且 周期为8，故 在 上单调递增，C错误；
根据题目条件画出 与 的函数图象，如图所示：
其中 单调递减且 ，所以两函数有6个交点，故方程 仅有
6个实数解，D正确.
故选：ABD
【点睛】抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若 ，则函数 关于 对称；
若 ，则函数 关于 中心对称；
若 ，则 是 的一个周期.
13．
答案第6页，共2页【分析】利用诱导公式化简 ，然后利用终边上点的坐标求三角函数值即可.
【详解】 .
故答案为： .
14．
【分析】先根据两角差正切公式求 ，再根据二倍角正切公式求结果.
【详解】 ，∴ ．
【点睛】本题考查两角差与二倍角正切公式，考查基本求解能力.
15．
【分析】求导，利用三角函数的性质得到导函数的正负，从而得到 的单调性，即可得
到最小值.
【详解】解： ，当 时， ，
递减； 时， ， 递增；则 .
故答案为： .
16． ##
【分析】取 中点D，由平面向量数量积的运算律化简后求解
【详解】由题意得 ，圆的半径 ，取 中点为 ，
则 ，
由圆的性质得 ，
故 的最大值为 ，
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据 求 ，然后利用正弦定理和 求 即可；
（2）利用余弦定理和 得到 ，然后利用面积公式求面积即可.
（1）
由于 ，则 ，因为 ，
由正弦定理知 ，则 .
（2）
因为 由余弦定理，得 ，
答案第8页，共2页即 ，解得 ，而 ，
所以 的面积 .
18．（Ⅰ）老年员工、中年员工、青年员工分别有 人、 人、 人；（Ⅱ）分布列见解析，
.
【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中
老年、中年、青年员工的数量即可；
（Ⅱ）随机变量 的可取值为 、 、 ，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个
的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.
【详解】（Ⅰ）该单位员工共 人，
抽取的老年员工 人，中年员工 人，青年员工 人；
（Ⅱ） 的可取值为 、 、 ，
， ， .
所以 的分布列为：
数学期望 .
【点睛】本题考查利用分层抽样求抽取的人数，同时也考查了超几何分布列以及随机变量
数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分类讨论 ， 和 三种情况讨论单调性即可；
（2）根据导数的几何意义求出 ，然后根据 在 单调递增，得到 在上恒成立，然后求最值即可.
（1）
当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；
当 时， 不是单调函数.
（2）
∵ ，∴ ，解得 ，
∴
又
要在区间 上单调递增，只需 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 ，又在 上
∴ .
20．（1） ；（2）
【分析】(1)设 ， ，根据定义得 消 得 的解析
式；(2)先化简 ，再根据正弦函数性质求单调区间,最后根据定义区间求交集.
【详解】（1）设 ， ，
答案第10页，共2页由新的运算可得 ，
∵ ，∴ ，代入 ，
∴ ．
（2）∵ ，
由题意，只需求函数 的单调递增区间，
由 ， ，
得 ，
∴函数 的单调递减区间为 ， ，
又∵ ，
∴函数 的单调递减区间为 ．
【点睛】函数 的性质
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由 求增区间;由 求减区间
21．(1)
(2)9
【分析】（1）设抛物线C的方程为 ，根据题意得到 ，求得 ，
即可
求得抛物线C的方程；
（2）设 ､ ，联立方程组得到 ，求得 ，化简抛物
线方程，结合导数的几何意义求得点 和点 处的切线方程，联立方程组求得点 的坐标
和到直线的距离 ，得出 的面积，即可求解.
（1）
解：由题意，设抛物线C的方程为 ，
因为直线 经过抛物线C的焦点 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 .
（2）
解：设 ､ ，
联立方程组 ，整理得 ，
因为 ，且 ， ，
所以 ，
答案第12页，共2页由 ，可得 ，则 ，
所以抛物线 经过点 的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，所以 ，
所以 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
因为 ，所以 ，
即当 时， ，所以 面积的最小值为 .
22．（1） ；（2） ．
【分析】（1）函数在切点处的导数即曲线在切点处的斜率，根据点斜式即可得到切线方程；
（2）利用二次求导，判断 在 上的单调性，以及隐零点
的处理策略，得出m的取值范围.
【详解】解：（1） ，
， ．
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）实数 的取值范围为 ．，对任意 ，都有 ，
即对任意 ，都有 ．
成立，故 ．
下面证明当 时，对任意 ，都有 ．
设 ，则 ．
设 ，
在 单调递增，
又 ， ．
存在唯一实数 ，使 ．
当 时， ；当 时， ．
在 单调递减，在 单调递增．
又 ， ，
当 时， ，故 在 单调递减．
当 时， ，故 在 单调递增．
当 时， ，即 ．
答案第14页，共2页当 时， ，即 ．
的取值范围为 ，
对任意 ，都有 ，即 ．
【点睛】对导数的几何意义要深刻理解，结合直线方程点斜式，可以得到切线方程，对复
杂函数的单调性判断，往往用到二次求导，以及隐零点的处理策略，分离参数等办法来求
解.
