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24.4 弧长和扇形公式（第二课时）分层作业
基础训练
1．已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】 ，
故选B．
2．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的
高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
【详解】解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为： ；故A正确；
圆柱的侧面积为： ；故B正确；
圆锥的母线为： ；故C错误；
圆锥的侧面积为： ；故D正确；
故选：C
3．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 cm，扇形的圆
心角 为120°，则该圆锥的母线l长为（ ）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【详解】解：根据题意得： ，
解得：l＝6，
即该圆锥母线l的长为6．
故选：C．
4．已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长 为 ，
∴圆锥侧面展开图的面积为 ，
故选B．
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长 ，
圆锥的底面周长为： ，
设圆心角的度数为n，
则 ，解得： ，
故圆心角度数为： ，
故选：C．
6．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形 ，粮堆母线 的中点P处有一老鼠正在
偷吃粮食，此时，小猫正在 处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（
）
A．3 B． C． D．4
【详解】解：圆锥的底面周长是 ，则 ，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中 ， ， 度．
在圆锥侧面展开图中 ．
故小猫经过的最短距离是 ．故选： ．
7．用半径为 ，圆心角为 的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（
）
A． B． C． D．
【详解】解：设这个圆锥底面半径为 ，
由题意得： ，
解得 ，即这个圆锥底面半径为 ，
故选：B．
8．如图，一块含 角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成
一个圆锥，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由题意得：
斜边为： ，
，
，
．
故选：B．
9．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形
的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（ ）
A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5
【详解】解：扇形的弧长是： ＝ ，
圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： ＝2π，
∴ ＝2，即：R＝4，
故选C．
10．如图所示，矩形纸片 中， ，把它分割成正方形纸片 和矩形纸片 后，分
别裁出扇形 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r
根据题意得 2 πr，
解得r＝1，
侧面积= ，
底面积=
所以圆锥的表面积= ，
故选：B．
11．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径
为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
故答案为： ．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的
圆心角 ，则该圆锥的母线长 为 ．【详解】圆锥的底面周长 cm，
设圆锥的母线长为 ，则： ，
解得 ，
故答案为 ．
13．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度
是 ．
【详解】设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴ =2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC= =4 ，
故答案为4 ．
14．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 与母线 长之比为 ．制作这种外包装需
要用如图所示的等腰三角形材料，其中 ， ．将扇形 围成圆锥时， ， 恰好重
合．
（1）求这种加工材料的顶角 的大小（2）若圆锥底面圆的直径 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留 ）
【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，
∴ 弧长 ，
∴ ，
∴ =90°；
（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵ ， =90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵ ，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S BAC= cm2，
△
∴ ，
∴S = S - =（100- ）cm2．
阴影 △BAC
15．在数学实验课上，小莹将含 角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆
锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边 旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB， ，
乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB， ，
∵ ，
∴ ，
故不认同小亮的说法．
16．如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重
叠），那么这个圆锥的高为多少？
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
根据题意得2πr＝ ，
解得r＝6，
所以这个圆锥的高＝ （cm）．
能力提升
1．如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长10为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案．
①树叶图案的周长为 ；
②树叶图案的面积为 ；
③若用扇形BAC围成圆锥，则这个圆锥底面半径为2.5；
④若用扇形BAC围成圆锥，则这个圆锥的高为 ；上述结论正确的有 ．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠B=90°，
∴弧长为： ，
∴树叶图案的周长为 ；
∴结论①是正确的；
阴影的面积为2 ，
∴结论②是错误的；
根据题意，得 =2πr，
解得r=2.5，
∴结论③是正确的；
根据题意，得锥高= ，
∴结论④是错误的；
故答案为：①③．
2．如图所示，已知圆锥底面半径 ，母线长为 ．(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线 的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为 ，
根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：
，
又∵ ．
，
解得： ．
∴它的侧面展开图的圆心角是90°；
（2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：
根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，
，B为 的中点，
由（1）知∴
∴它所走的最短路线长是 ．
3．已知：
(1)化简 ；
(2)如图， 、 分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为 ，求 的值．
【详解】（1）解：
．
（2）解： 圆锥侧面积为 ，
，
解得 ，
则 ．
拔高拓展
1．如图，在一张四边形 的纸片中， ， ， ，以点 为圆心，为半径的圆分别与 交于点 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)过点B作 的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)若用剪下的扇形 围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个
圆锥的底面？
【详解】（1）证明：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，
∴ 是 的半径，
又 ，
∴ 是 的切线；
（2）如图，作线段 的垂直平分线，交 于点 ，作直线 ，则 即为所求，理由，∵ ，
∴
∴ 是直角三角形，且
∴ 是 的切线；
（3）解：∵
∴ ，
∴
则圆锥的底面圆的半径为
如图，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，
则 与 相切，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可知 之间的距离为 ，
∴ ,
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形，∴
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴
设 的半径为 ，则 ，
∴
解得
∴ ,
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
又 ，
∴ ，
即 ，
∵ ．
∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．
