文档内容
7.1.1 两直线相交（八大类型提分练）
类型一、对顶角与邻补角定义的理解
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，∠1和∠2不是对顶角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角定义：两个角有一
个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，逐一判断即可．
【详解】解：根据对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
延长线，
①∠1和∠2两边不是互为反向延长线，不是对顶角；
②∠1和∠2两边不是互为反向延长线，没有公共顶点，不是对顶角；
③∠1和∠2两边互为反向延长线，有一个公共顶点，是对顶角；
④∠1和∠2两边不是互为反向延长线，不是对顶角；
所以不是对顶角是①②④，共3个．
故选：C．
2．（22-23七年级下·广西南宁·期中）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个
角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案．
【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一
个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的∠1与∠2不互为邻补角；
根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角．
故选：D．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（ ）
①对顶角相等；
②互补的两个角是邻补角；
③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；
④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键．
根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可．
【详解】解∶①对顶角相等，说法正确；
②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误；
③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确；
④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误；
故选∶B．
类型二、对顶角与邻补角的性质
4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两直线交于点O，若∠1+∠3=100°，则∠2=（ ）
A．80° B．100° C．130° D．150°
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角；由对顶角的性质得∠1=∠3，由邻补角得∠1+∠2=180°，
即可求解；掌握对顶角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵∠1=∠3，∠1+∠3=100°，
∴∠1=50°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-50°
=130°，
故选：C．
5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一把剪刀，在使用过程中，若∠COD增加20°，则∠AOB
（ ）
A．减少20° B．增加20° C．不变 D．增加40°
【答案】B
【分析】本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义和性质．根据对顶角相等即可得到答案．
【详解】解：由题图可得∠COD和∠AOB互为对顶角，
所以∠COD=∠AOB，
所以当∠COD增加20°时，∠AOB也会增加20°．
故选B．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AE与CD相交于点B，∠ABC=60°,∠FBE=95°，则
∠CBF的度数是（ ）
A．35° B．85° C．145° D．155°
【答案】C
【分析】本题考查邻补角，掌握邻补角的定义是正确解答的前提．
根据邻补角的定义求出∠ABF=85°，进而求解即可．
【详解】∵∠FBE+∠ABF=180°,∠FBE=95°，
∴∠ABF=85°，
∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=145°．
故选：C．
类型三、对顶角与邻补角与生活应用
7．（2024七年级上·全国·专题练习）（跨学科试题·物理）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传
播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1=50°，折射角∠2=36°，则∠EDF的
度数为（ ）
A．14° B．16° C．18° D．25°
【答案】A
【分析】此题考查对顶角相等，关键是根据对顶角相等得出∠BDF=∠1解答．
根据对顶角相等得出∠BDF=∠1，进而解答即可．
【详解】解∶因为点F在CD延长线上，
所以∠1=∠FDB=50°，
所以∠EDF=∠FDB-∠2=14°．
故选A．
8．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在
黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的
度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和，邻补角，解题的关键是正确作出辅助线．延伸直线a，b交于A点，
根据∠1=120°，∠2=100°，可求出∠3，∠4，最后根据三角形的内角和，即可求解．
【详解】解：如图，延长直线a，b相交于点A，
∵∠1=120° ∠2=100°
， ，
∴∠3=180°-∠1=60°，∠4=180°-∠2=80°，
∴∠A=180°-∠3-∠4=40°，∴直线a，b所夹锐角的度数为40°，
故选：B．
类型四、邻补角与折叠问题
9．（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若
∠A=25°，∠BD A'=120°，则∠A'EC的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】A
【分析】利用折叠性质得∠ADE=∠A'DE=30°，∠AED=∠A'ED，再根据三角形外角性质得
∠CED=55°，利用邻补角得到∠AED=125°，则∠A'ED=125°，然后利用
∠A'EC=∠A'ED-∠CED，进行计算即可．
【详解】解：∵∠BD A'=120°，
∴∠ADA'=180°-∠BDA'=180°-120°=60°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
1
∴∠ADE=∠A'DE= ∠AD A'=30°°，∠AED=∠A'ED，
2
∵∠CED=∠A+∠ADE=25°+30°=55°，
∴∠AED=180°-∠CED=180°-55°=125°，
∴∠A'ED=125°，
∴∠A'EC=∠A'ED-∠CED=125°-55°=70°，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，求一个角的邻补角，折叠是一种对称变换，它属于
轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD
上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2=35°，则∠1的度数为（ ）A．62.5° B．72.5° C．55° D．45°
【答案】B
【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由∠2=35°可得∠AE A'=145°，再利
用折叠的性质求得∠AEF的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵∠2=35°，
∴∠AEA'=180°-35°=145°，
1
由折叠性质可得，∠AEF=∠A'EF= ∠AE A'=72.5°，
2
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AEF=72.5°，
故选：B．
11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一张长方形纸片ABCD的一角任意折向长方形内，使点B
落在点B'的位置，折痕为EF，再把CF折叠，使点C、D分别落在点C'、D'的位置，折痕为GF，C'F与
FB'在同一条直线上．
(1)分别直接写出∠1与∠CFE，∠2与∠BFG之间所满足的数量关系；
(2)∠1与∠2之间什么关系？
(3)∠EFG是什么角？
【答案】(1)∠1+∠CFE=180°，∠2+∠BFG=180°
(2)∠1与∠2互余
(3)∠EFG是直角
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，邻补角的性质，互余的定义等知识点，熟练掌握轴对称的性质是
解题的关键．
（1）根据邻补角的性质可得答案；
（2）由轴对称的性质可得∠2=∠GFB'，∠1=∠EFB'，进而可得∠1+∠2=90°，于是可得答案；（3）由轴对称的性质可得∠2=∠GFB'，∠1=∠EFB'，进而可得∠1+∠2=90°，然后根据
∠EFG=180°-(∠1+∠2)即可得出答案．
【详解】（1）解： 由邻补角的性质可得：
∠1+∠CFE=180°，∠2+∠BFG=180°；
（2）解：由轴对称的性质可得：∠2=∠GFB'，∠1=∠EFB'，
∴∠1+∠2+∠GFB'+∠EFB'=2∠1+2∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
答：∠1与∠2互余；
（3）解：由轴对称的性质可得：∠2=∠GFB'，∠1=∠EFB'，
∴∠1+∠2+∠GFB'+∠EFB'=2∠1+2∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠EFG=180°-(∠1+∠2)=90°，
答：∠EFG是直角．
类型五、对顶角与邻补角的角度计算问题
12．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知直线AB,CD相交于点O，∠COF与∠EOF互余，OF
平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数．
【答案】34°
【分析】此题考查了余角的定义，角的平分线，以及角的和差，关键是理清图中角之间的关系，利用数形
结合的思想求解．先计算出∠EOF的度数，进而可得∠AOF的度数，即可求得∠AOC的度数，由对顶
角的定义即可解答．
【详解】解：∵∠COF与∠EOF互余，∠COF=28°，
∴∠EOF=90°-28°=62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=62°，
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=62°-28°=34°
∴∠BOD=∠AOC=34°．
13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线AB与CD交于点O，OE是∠BOD内的射线，且OD平
分∠AOE，过点O作OF⊥OE．(1)∠AOC的对顶角是 ，∠BOF的邻补角是 ．
(2)若∠BOE=50°，求∠COF的度数
【答案】(1)∠BOD，∠AOF
(2)25°
【分析】（1）根据对顶角的定义（有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向
延长线，那么这两个角就叫做对顶角）和邻补角的定义（两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向
延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角）即可得；
（2）先根据邻补角的定义可得∠AOE=130°，再根据角平分线的定义可得∠DOE=65°，再根据平角的
定义可得∠COF=25°．
【详解】（1）解：∠AOC的对顶角是∠BOD，∠BOF的邻补角是∠AOF．
故答案为：∠BOD，∠AOF
（2）解：∵∠BOE=50°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-50°=130°，
∵OD平分∠AOE，
1 1
∴∠DOE= ∠AOE= ×130°=65°，
2 2
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠COF=180°-∠EOF-∠DOE=180°-90°-65°=25°．
【点睛】本题考查了对顶角和邻补角的定义、与角平分线、垂直有关的计算，熟练掌握各定义和运算法则
是解题关键．
类型六、方程思想在角度计算中的应用
14．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；(2)若∠EOC:∠EOD=2:3，求∠BOE的度数．
【答案】(1)35°
(2)144°
【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，以及邻补角的定义．
1
（1）由角平分线的定义可求出∠AOC= ∠EOC=35°，再根据对顶角相等即可求解；
2
（2）设∠EOC=2x，则∠EOD=3x，根据∠EOC+∠EOD=180°，可列出关于x的方程，解出x的
值，即可求出∠EOC的大小，进而可求出∠BOE的大小．
【详解】（1）解：∵OA平分∠EOC，
1 1
∴∠AOC= ∠EOC= ×70°=35°，
2 2
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）解：∵∠EOC:∠EOD=2:3，
设∠EOC=2x，则∠EOD=3x，
∴根据题意得2x+3x=180°，
解得：x=36°，
∴∠EOC=2x=72°，则∠EOA=36°，
∴∠BOE=180°-36°=144°．
15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，
1
∠COE= ∠BOE，∠DOE=70°，设∠COE=α，利用方程的思想，求得α= °．
3
【答案】20
【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系，利用方程的思想是解题关键．
设∠COE=α，由题意可得∠BOC=4α，进而得到∠AOC=180°-4α，再根据角平分线的定义，得到
∠COD=90°-2α，最后根据∠DOE=∠COD+∠COE，求出α即可．
【详解】解：设∠COE=α，
1
∵∠COE= ∠BOE，
3
∴∠BOE=3α，∠BOC=4α
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-4α，
∵OD平分∠AOC，
1
∴∠COD= ∠AOC=90°-2α，
2∵∠DOE=70°，
∴∠COD+∠COE=90°-2α+α=70°，
∴α=20°，
故答案为：20．
类型七、分类讨论思想在角度计算中的应用
16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线AB上一点，过点O作OC、OD、OE三条射线，
OD平分∠AOC，∠AOE=∠BOD．
(1)若∠AOC=60°，则∠BOE的度数为___________；
(2)若∠COE=3∠AOC，求∠BOE的度数；
(3)在（2）的条件下，若过点O作射线OF使得∠EOF=90°，求∠AOF的度数．
【答案】(1)30°；
(2)∠BOE的度数为20°；
(3)∠AOF的度数为70°或110°．
【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找
到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键．
（1）由条件OD平分∠AOC可得∠AOD=30°，再由条件∠AOE=∠BOD可得∠AOD=∠BOE，通
过等量代换即可得到∠BOE的度数；
（2）由条件∠COE=3∠AOC，并结合（1）的结论∠AOD=∠BOE，可得∠COE=6∠BOE，再利
用∠AOB为平角找出等量关系列出等式，即可求解∠BOE的度数；
（3）分射线OF在∠COE的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算∠BOF的度数，再
根据∠AOF与∠BOF互补的关系即可得解．
【详解】（1）∵OD平分∠AOC，
1
∴∠AOD= ∠AOC=30°．
2
∵∠AOE=∠AOD+∠DOE，
∴∠AOD=∠AOE-∠DOE
同理，∠BOE=∠BOD-∠DOE，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠BOE=∠AOD=30°．
1
（2）由题可知，∠BOE=∠AOD= ∠AOC，
2∴∠AOC=2∠BOE．
∵∠COE=3∠AOC，
∴∠COE=6∠BOE，
由题可知∠AOB为平角，
∴∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，
即2∠BOE+6∠BOE+∠BOE=180°，
∴∠BOE=20°，
∴∠BOE的度数为20°．
（3）当OF在∠COE内部时，如图①，
则∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°+20°=110．
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-110°=70°；
当OF在∠COE外部时，如图②，
则∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-20°=70°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-70°=110°．
综上所述，∠AOF的度数为70°或110°．
17．（2024七年级上·全国·专题练习）已知同一平面内，∠AOB=90°,∠AOC=30°．
(1)求∠COB的度数；
(2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．
【答案】(1)60°或120°
(2)∠DOE的度数为45°
【分析】（1）分OC在∠AOB的内部和外部两种情况解答．
（2）分OC在∠AOB的内部和外部两种情况解答．
本题考查了角的平分线，角的和，分类思想，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】（1）解：如图①所示，
当OC在∠AOB内部时，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°；
当OC'在∠AOB外部时，
∠BOC'=∠AOB+∠AOC'=120° .
故∠COB的度数为60°或120°．．（2）①如图②，当OC在∠AOB内部时，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
1 1
∴∠COD= ∠BOC=30°,∠COE= ∠AOC=15°,
2 2
∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；
②如图③，当OC在∠AOB外部时，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
1 1
∴∠COD= ∠BOC=60°,∠COE= ∠AOC=15°，
2 2
∴∠DOE=∠COD-∠COE=45°．
综上所述，∠DOE的度数为45°．
类型八、相交线的规律性问题
18．（23-24七年级下·全国·单元测试）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（
）个
A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键．
分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条
直线两两相交不交于同一点解答即可．
【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点；
②三条直线交于一点，有一个交点；
③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；
④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点．
综上，它们的交点可能有0，1，2或3个．
故选：B．
19．（22-23七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线(n≥2)，这n条直线两两相交，最多可以得到a
个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
n2-n+2
A．n(n-1) B．n2-n+1 C．n+1 D．
2
【答案】D【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有
一个交点．
分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线…的交点个数，找出规律即可解答．
【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点；
3条直线相交最多可以有1+2个交点，最少有1个交点；
4条直线相交最多可以有1+2+3个交点，最少有1个交点；
5条直线相交最多可以有1+2+3+4个交点，最少有1个交点；
6条直线相交最多可以有1+2+3+4+5个交点，最少有1个交点；
…
n(n-1)
n条直线相交最多可以有1+2+3+4+5+…+(n-1)= 个交点，最少有1个交点；
2
n(n-1)
所以a= ，而b=1，
2
n2-n+2
∴a+b= ．
2
故选：D．
20．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：
相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线
平行的n条直线产生的交点个数情况．（n是不小于3的正整数）
(1)【初探】当n=3时，交点个数有________个；当n=4时，交点个数有________个；
(2)【再探】当n=5时，交点个数最多有________个；
(3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的n条直线最多能产生多少个交点；
(4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有
多少对对顶角？
【答案】(1)2；3或5
(2)9
(n+1)(n-2)
(3)
2
(4)65；130对
【分析】（1）按要求画出图形，数一数即可；
（2）按要求画出图形，数一数即可；
（3）由（1）（2）的图及结果，按照不重不漏的原则，分别找出n取2、3、4、5等最多交点数与n之间的
关系，即可求解；
（4）代入（3）的代数式求解即可，根据对顶角的定义，可知每两条直线相交的一个交点处有两对对顶角，
从而可求．
【详解】（1）解：当n=3时，如图：故答案：2．
当n=4时，如图
故答案：3或5．
（2）解：当n=5时，如图
故答案：9．
（3）解：由（1）（2）得：
当n=3时，交点个数最多：2；
当n=4时，交点个数最多：2+3=5；
当n=5时，交点个数最多：2+3+4=9；
．．．．．．
n条直线时，交点个数最多：2+3+4+...+(n-1)
∴2+3+4+...+(n-1)
(n-1+2)×(n-1-2+1)
=
2
(n+1)(n-2)
=
2
(n+1)(n-2)
故答案： ．
2
(n+1)(n-2) (12+1)×(12-2)
（4）解：当n=12时， = =65，
2 265×2=130．
答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角．
【点睛】本题考查了以直线交点数为背景的探究规律问题，准确找出规律是解题的关键．
一、单选题
1．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，直线AB,CD相交于点O．若∠1+∠2=120°，∠3=125°，
则∠2的度数是（ ）
A．37.5° B．75° C．50° D．65°
【答案】D
【解析】略
2．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB，OD平分
1
∠AOB，射线OE使∠BOE= ∠EOC，当∠DOE＝72°时，∠EOC的度数为（ ）
2
A．36° B．72° C．108° D．72°或108°
【答案】B
【解析】略
3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图直线AB,CD相交于点O，∠AOC等于70°，OE把
∠BOD分成两部分，且∠BOE:∠EOD=2:3，则∠AOE=（ ）
A．162° B．152° C．142° D．132°【答案】B
【分析】根据对顶角相等和∠BOE:∠EOD=2:3可求∠EOD=42°，从而求出答案．
【详解】解：∵∠AOC等于70°，
∴∠BOD=70°，∠AOD=110°
∵OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE:∠EOD=2:3，
∴设∠BOE=2x，∠EOD=3x，
∴2x+3x=70°，解得：x=14°，
∴∠EOD=42°，
∴∠AOE=∠AOD+∠EOD=110°+42°=152°，
故选：B．
【点睛】本题考查相交线，涉及到对顶角相等等知识，熟记相关知识是解题关键．
4．（22-23七年级下·北京顺义·期末）如图，AB、CD交于点O，OE是∠AOD的角平分线，∠COB=140°，则
∠BOE的度数为（ ）
A．40° B．70° C．110° D．130°
【答案】C
【分析】根据对顶角的性质，可以得到∠AOD=∠COB=140°，进而得到∠BOD的度数；由OE是
∠AOD的角平分线，可以得到∠DOE的度数，从而求出∠BOE的度数．
【详解】∵ ∠COB=140°，
∴ ∠AOD=∠COB=140°，
∴ ∠BOD=180°-∠AOD=40°，
又∵ OE是∠AOD的角平分线，
∴ ∠DOE=∠AOE=70°，
即∠BOE=∠BOD+∠DOE=110°．
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键．
5．（22-23七年级上·湖南永州·期末）如图，O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OG
平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠EOG=90°；②∠DOE与∠BOF互补；③
1
∠AOC-∠BOD=90°；④∠DOG= ∠AOC，其中正确的有（ ）
2A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】设∠BOD=2α，根据题意得出∠BOF=∠ODF=α，∠COB=90°-∠BOD=90°-2α，则
∠AOE=90°+2α，根据平分线的定义得出∠AOE=COE,∠COG=∠BOG,∠BOF=∠DOF，然后
逐项分析判断即可求解．
【详解】解：设∠BOD=2α，∵OE平分∠AOC，
∴∠BOF=∠DOF=α，
∴∠COB=90°-∠BOD=90°-2α，则∠AOC=90°+2α，
∵OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=COE=45°+α,∠COG=∠BOG=45°-α
∴∠EOG=∠EOC+∠COG=45°+α+45°-α=90°，故①正确；
∵∠DOE+∠BOF=∠DOC+∠EOC+∠BOF=90°+45°+α+α=135°+2α，∵α未知，
故②不正确；
∠AOC-∠BOD=90°+2α-2α=90°，故③正确；
1
∠DOG=(45°-α+2α)= ∠AOC，故④正确，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
二、填空题
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC-2∠AOE=20°，射线
OF平分∠DOE，若∠BOD=60°，则∠AOF= ．
【答案】70°/70度
【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，由∠AOC与∠BOD是对顶
角，则∠AOC=∠BOD=60°，从而求出∠AOE=20°，故有∠DOE=100°，最后根据角平分线的定
义和角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=120°，
∵∠AOC-2∠AOE=20°，
∴∠AOE=20°，
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=100°，
∵ 射线OF平分∠DOE，
1
∴∠DOF= ∠DOE=50°，
2
∴∠AOF=∠AOD-∠DOF=120°-50°=70°，
故答案为：70°．
7．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图所示，若∠AOB=35°，则∠BOD= ；当剪刀口
∠AOB增大5°时，∠COD增大 ．
【答案】 145°/145度 5°/5度
【分析】本题主要考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握对顶角相等和邻补角互补是解题的关
键．
根据邻补角的性质和对顶角的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BOD+∠AOB=180°，
∴∠BOD=180°-∠AOB=180°-35°=145°，
∵对顶角相等，
∴∠COD=∠AOB=35°，
∴当剪刀口∠AOB增大5°时，∠COD增大5°．
故答案为：145°；5°．
8．（23-24七年级下·陕西·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，ON平分∠BOC，
∠1:∠2=7:1，则∠AON的度数为 °
【答案】110
【分析】本题主要考查了相交线，角平分线．熟练掌握角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，是解决问题的关键．
根据角平分线的定义得到∠BOD=2∠2，根据∠1:∠2=7:1得到∠1=140°，∠BOD=40°，由对顶角
的性质得到∠AOC=40°，∠BOC=140°，根据角平分线的定义得到∠CON=70°，即可得到结论．
【详解】∵OM平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠2，
∵∠1:∠2=7:1，
∴∠1:∠BOD=7:2，
∵∠1+∠BOD=180°，
∴∠1=140°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°，∠BOC=∠1=140°，
∵ON平分∠BOC，
1
∴∠CON= ∠BOC=70°，
2
∴∠AON=∠AOC+∠CON=110°．
故答案为：110．
9．（23-24七年级下·北京顺义·期末）如图，A是直线l上一点，若AB⊥AC，∠1:∠2=2:3，则∠3=
．
【答案】126°
【分析】本题考查了垂线的定义、几何图中角度的计算、利用邻补角求角的度数、一元一次方程的应用，
由垂线的定义得出∠BAC=90°，设∠1=(2x)°，∠2=(3x)°，由题意得出2x+3x=90，得出
∠2=(3x)°=54°，最后利用邻补角的定义计算即可得出答案．
【详解】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1:∠2=2:3，
∴设∠1=(2x)°，∠2=(3x)°，
∵∠1+∠2=∠BAC，
∴2x+3x=90，
解得：x=18，
∴∠2=(3x)°=54°，
∴∠3=180°-∠2=180°-54°=126°，故答案为：126°．
10．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，射线OE在
∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC=180°，∠DOE=65°，OM⊥OB，则∠MOE= ．
【答案】115°或65°
【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得
∠BOE的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已
知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB=90°，即可得到结果．
【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD ∠BOC
平分 ，
∴∠COD=∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC=180°，∠AOB+∠BOC=180°，
∴∠AOB=4∠BOE，即∠AOE=3∠BOE，
设∠BOE=α，则∠AOE=3α，∠BOD=65°-α=∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD=180°，
即3α+65°+65°-α=180°，
解得α=25°，
∴∠BOE=25°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB=90°，
∴∠MOE=∠BOE+∠MOB=25°+90°=115°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE=25°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB=90°，∴∠MOE=∠MOB-∠BOE=90°-25°=65°，
综上所述，∠MOE的度数为115°或65°．
故答案为：115°或65°．
三、解答题
11．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，已知直线AB、CD相交于O，EO⊥OF，OD平分∠EOB.
(1)图中∠AOC的对顶角为________，∠EOD的邻补角为________；
(2)若∠BOF=20∘，求∠COE的度数.
【答案】(1)∠BOD，∠COE
(2)145°
【分析】此题考查几何图形中求角的度数，对顶角及邻补角定义，角平分线定义，
（1）根据对顶角定义及邻补角定义解答即可；
（2）先根据垂直定义及角平分线定义求出∠EOD的度数，再利用邻补角求出∠COE的度数．
【详解】（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，
∵∠EOD+∠EOC=180°，
∴∠EOD的邻补角是∠EOC，
故答案为：∠BOD；∠EOC；
（2）解：∵EO⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠EOF-∠BOF=90°-20°=70°，
∵OD平分∠EOB，
∴∠EOD=35°，
∴∠COE=180°-∠EOD=180°-35°=145°．
12．（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)图中∠AOD的邻补角为______；
(2)若∠EOC:∠EOD=4:5，求∠BOD的度数．【答案】(1)∠AOC和∠BOD
(2)∠BOD=40°
【分析】本题主要考查邻补角以及与角有关的计算：
（1）直接根据邻补角定义解答即可；
（2）设∠AOC=x°，由角平分线定义得∠AOE=x°，得∠EOC=2x°，∠EOD=180°-2x°，根据
∠EOC:∠EOD=4:5列式求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC+∠AOD=180°,∠BOD+∠AOD=180°,
∴∠AOD的邻补角为∠AOC和∠BOD，
故答案为：∠AOC和∠BOD；
（2）解：设∠AOC=x°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE=∠AOC=x°
∴∠EOC=2∠AOE=2x°，
∴∠EOD=180°-2x°，
∵∠EOC:∠EOD=4:5
∵2x°:(180°-2x°)=4:5
解得，x=40，
∴∠BOD=40°
13．（22-23七年级下·广东东莞·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)写出图中∠AOD的所有补角；
(2)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
(3)若∠EOC:∠EOD=2:3，求∠BOD的度数．
【答案】(1)∠AOC,∠AOE，∠BOD
(2)∠BOD=35°
(3)∠BOD=36°
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的意义，结合图形即可得出答案；
（2）根据角平分线的意义和对顶角的性质，即可得出答案；
（3）根据平角、按比例分配，角平分线的意义、对顶角性质可得答案．
【详解】（1）∵OA平分∠EOC．
∴∠AOC=∠AOE，
∵∠AOD+∠AOC=180°，∠BOD=∠AOC
∴∠AOD的补角有∠AOC,∠AOE，∠BOD（2）∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，
1
∴∠AOE=∠AOC = ∠EOC=35°，
2
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD=35°，
（3）∵∠EOC：∠EOD=2：3，∠EOC+∠EOD=180°，
2 3
∴∠EOC=180°× =72°，∠EOD=180°× =108°，
5 5
∵OA平分∠EOC，
1
∴∠AOE=∠AOC = ∠EOC=36°，
2
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD=36°．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角、角平分线、平角的意义和性质，通过图形具体理解这些角的意义是正
确计算的前提．
14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OM为∠AOD的平分线，
∠1:∠2=2:3，求∠3的度数．
【答案】∠3的度数为135°．
【分析】本题考查了邻补角的概念，角平分线的定义，一元一次方程，由角平分线定义得
1
∠2=∠MOD= AOD，设∠1=2x，则∠2=3x，∠2=∠MOD=3x，然后根据邻补角的概念列方程，
2
解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵OM为∠AOD的平分线，
1
∴∠2=∠MOD= ∠AOD，
2
∵∠1:∠2=2:3，
设∠1=2x，则∠2=3x，∠2=∠MOD=3x，
∵∠1+∠2+∠MOD=180°，
∴2x+3x+3x=180°，解得：x=22.5°，
∴∠1=45°，
∵∠1+∠3=180°，∴∠3=135°，
答：∠3的度数为135°．
