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第九章专项训练 平面直角坐标系中的规律问题
一．选择题
1．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，
4，6，8，…，顶点依次用A ，A ，A ，A ，…表示，则顶点A 的坐标是（ ）
1 2 3 4 55
A．（13，13） B．（﹣13，﹣13） C．（14，14） D．（﹣14，﹣14）
【分析】观察图象，每四个点一圈进行循环，每一圈第一个点在第三象限，根据点的脚标与坐标寻找
规律．
【解答】解：∵55＝4×13+3，∴A 与A 在同一象限，即都在第一象限，
55 3
根据题中图形中的规律可得：
3＝4×0+3，A 的坐标为（0+1，0+1），即A （1，1），
3 3
7＝4×1+3，A 的坐标为（1+1，1+1），A （2，2），
7 7
11＝4×2+3，A 的坐标为（2+1，2+1），A （3，3）；
11 11
…
55＝4×13+3，A （14，14），A 的坐标为（13+1，13+1）；
55 55
故选：C．
【点评】本题是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置及所
在的正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．
2．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表
示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：
如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O （1，0），再将
1
O （1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O （0，﹣1），再将O （0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到
1 2 2
O （﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为（ ）
3A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，0） C．（1，0） D．（1，1）
【分析】根据变换的定义解决问题即可．
【解答】解：点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）经过011变换得到点
（0，1），点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1），
故选：A．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
3．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为
半径作90°圆弧 ， ， ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接 P P ，P P ，P P ，…
^P P ^P P ^P P 1 2 2 3 3 4
1 2 2 3 3 4
得到螺旋折线（如图），已知点P （0，1），P （﹣1，0），P （0，﹣1），则该折线上的点P 的坐
1 2 3 9
标为（ ）A．（﹣6，24） B．（﹣6，25） C．（﹣5，24） D．（﹣5，25）
【分析】观察图象，推出P 的位置，即可解决问题．
9
【解答】解：由题意，P 在P 的正上方，推出P 在P 的正上方，且到P 的距离＝21+5＝26，
5 2 9 6 6
所以P 的坐标为（﹣6，25），
9
故选：B．
【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P 的位置．
9
4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，
0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第100个点的
坐标为（ ）
A．（14，8） B．（13，0） C．（100，99） D．（15，14）
【分析】由图形得出点的个数依次是 1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由
1+2+3+…+13＝91，1+2+3+…+14＝105，可得第91个点的坐标为（13，0），第100个点横坐标为
14，继而求得答案．
【解答】解：由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，∵1+2+3+…+13＝91，1+2+3+…+14＝105，
∴第91个点的坐标为（13，0），第100个点横坐标为14．
∵在第14行点的走向为向上，
∴纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8；
∴第100个点的坐标为（14，8）．
故选：A．
【点评】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比
较典型，但是一道比较容易出错的题目．
5．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点P （1，1），第二
1
次运动到点P （2，1），第三次运动到点P （3，0），第四次运动到点P （4，﹣2），第五次运动到
2 3 4
点P （5，0），第六次运动到点P （6，2），按这样的运动规律，点P 的纵坐标是（ ）
5 6 2023
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】根据图象可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标
每6次运动组成一个循环：P （1，1），P （2，1），P （3，0），P （4，﹣2），P （5，0），P
1 2 3 4 5 6
（6，2），P （7，0），P （8，1）...，再根据规律直接求解即可．
7 8
【解答】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P （1，1），第二次运动到点P （2，
1 2
1），第三次运动到点P （3，0），第四次运动到点P （4，﹣2），第五次运动到点P （5，0），第
3 4 5
六次运动到点P （6，2），运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每 6次
6
运动组成一个循环：P （1，1），P （2，1），P （3，0），P （4，﹣2），P （5，0），P （6，
1 2 3 4 5 6
2），P （7，0），P （8，1）…，
7 8
∵2023＝7×289，
∴动点P 的坐标是（2023，0），
2023
∴动点P 的纵坐标是0，
2023故选：B．
【点评】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
二．填空题
6．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1次从原点运动到点（1，1），第2
次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2024次运
动后，动点P的坐标是 （ 202 4 ， 0 ） ．
【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数
一个循环，按照此规律解答即可．
【解答】解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
………，
按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循
环，
由于2024÷4＝506，
所以经过第2024次运动后，动点P的坐标是（2024，0）．
故答案为：（2024，0）．
【点评】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C，D的坐标分别为（1，1），（3，1），（3，3），
（1，3）．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA→AB→⋯⋯的路线运
动．当运动2025秒时，点P的坐标为 （ 2 ， 1 ） ．【分析】由题意得出四边形ABCD的边长为2，周长为8，结合2025÷8＝253…1得出当运动2025秒时，
点P运动到点A与点B的中点，由此即可得解．
【解答】解：∵点A，B，C，D的坐标分别为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∴四边形ABCD的周长为2+2+2+2＝8，
∴点P运动一周需要8秒，
∵2025÷8＝253…1，
∴当运动2025秒时，点P运动到点A与点B的中点，
∴点P的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形、点的坐标规律探究，得到规律是关键．
8．（2022•毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个
单位，得到点A （1，1）；把点A 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A （﹣1，3）；
1 1 2
把点A 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A （﹣4，0）；把点A 向下平移4个单位，
2 3 3
再向右平移4个单位，得到点A （0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A 的坐标为 （﹣ 1 ，
4 10
11 ） ．
【分析】根据题目规律，依次求出A 、A ……A 的坐标即可．
5 6 10
【解答】解：由图象可知，A （5，1），
5将点A 向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A （﹣1，7），
5 6
将点A 向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A （﹣8，0），
6 7
将点A 向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A （0，﹣8），
7 8
将点A 向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A （9，1），
8 9
将点A 向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A （﹣1，11），
9 10
故答案为：（﹣1，11）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中
考常考题型．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），A （0，2），点A ，A ，……在直线l上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，……在x轴的正半轴上，若△A OB ，△A B B ，△A B B ，……，依次均为等腰直角三角形，直
3 1 1 2 1 2 3 2 3
角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1 B n 顶点B n 的横坐标为 2 n + 1 ﹣ 2 ．
【分析】先求出B 、B 、B …的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
1 2 3
【解答】解：∵A（﹣2，0），A （0，2），
1
∴OA＝OA ＝2，
1
∵△A OB 为等腰直角三角形，
1 1
∴OB ＝OA ＝2，
1 1
同理可得：B B ＝B A ＝4，B A ＝B B ＝8，……，
1 2 1 2 2 3 2 3
∴B （2，0），B （6，0），B （14，0），……，
1 2 3
∵2＝22﹣2，6＝23﹣2，14＝24﹣2，……，
∴B 的横坐标为2n+1﹣2，
n
故答案为：2n+1﹣2．
【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，
探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点（1，0），（2，0）的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点C落在点（3，0）
的位置，第2次滚动使点D落在点（4，0）的位置…，按此规律滚动下去，则第2024次滚动后，顶点
A的坐标是 （ 202 5 ， 0 ） ．
【分析】列举几次滚动后的A点坐标，找到滚动次数与点A坐标之间的规律，进而求出第2024次滚动
后顶点A的坐标．
【解答】解：第1次滚动点A 的坐标为（2，1），
1
第2次滚动点A 的坐标为（4，1），
2
第3次滚动点A 的坐标为（5，0），
3
第4次滚动点A 的坐标为（5，0），
4
滚动5次后，A （4+2，1）；
1
滚动6次后，A （4+4，1）；
2
滚动7次后，A （4+5，0）；
3
滚动8次后，A （4+5，0）；
4
…，
∴每滚动4次一个循环，
∴A （4n+2，1），A （4n+4，1），A （4n+5，0），A （4n+5，0），
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
∵2024÷4＝506，
∴A （4×505+5，0），
2024
即A （2025，0），
2024
故选：D．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点A随滚动次数的变化规律．
三．解答题
11．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每
次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：
A （ 0 ， 1 ），A （ 1 ， 0 ），A （ 6 ， 0 ）；
1 3 12
（2）写出点A 的坐标（n是正整数）；
4n
（3）指出蚂蚁从点A 到A 的移动方向．
100 101
【分析】（1）在平面直角坐标系中可以直接找出答案；
（2）根据求出的各点坐标，得出规律；
（3）点A 中的n正好是4的倍数，根据第二问的答案可以分别得出点A 和A 的坐标，所以可以
100 100 101
得到蚂蚁从点A 到A 的移动方向．
100 101
【解答】解：（1）A （0，1），A （1，0），A （6，0）；
1 3 12
（2）当n＝1时，A （2，0），
4
当n＝2时，A （4，0），
8
当n＝3时，A （6，0），
12
所以A （2n，0）；
4n
（3）点A 中的n正好是4的倍数，所以点A 和A 的坐标分别是A （50，0），A （50，1），
100 100 101 100 101
所以蚂蚁从点A 到A 的移动方向是从下向上．
100 101
【点评】本题主要考查的是在平面直角坐标系中确定点的坐标和点的坐标的规律性．
12．如图：在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA B ，第二次将三角形变换成△OA B ，第三次
1 1 2 2
将△OA B ，变换成△OA B ，已知A（1，3），A （3，3），A （5，3），A （7，3）；B（2，0），
2 2 3 3 1 2 3
B （4，0），B （8，0），B （16，0）．
1 2 3
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA B 变换成△OA B ，
3 3 4 4
则A 的坐标是 （ 9 ， 3 ） ，B 的坐标是 （ 3 2 ， 0 ） ．
4 4
（2）若按（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA B ，比较每次变换中三角形顶点有
n n
何变化，找出规律，推测A 的坐标是 （ 2 n + 1 ， 3 ） ，B 的坐标是 （ 2 n + 1 ， 0 ） ．
n n【分析】对于A ，A ，A 坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现A 的横坐标为2n+1，而纵坐标都
1 2 n n
是3，同理B ，B ，B 也一样找规律．
1 2 n
【解答】解：（1）已知A（1，3），A （3，3），A （5，3），A （7，3）；
1 2 3
对于A ，A ，A 坐标找规律比较从而发现A 的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3；
1 2 n n
同理B ，B ，B 也一样找规律，规律为B 的横坐标为2n+1，纵坐标为0．
1 2 n n
由上规律可知：（1）A 的坐标是（9，3），B 的坐标是（32，0）；
4 4
（2）A 的坐标是（2n+1，3），B 的坐标是（2n+1，0）
n n
【点评】本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案．
13．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，按图中顺序运动，即P（1，2）→P （2，0）→P
2 3
（3，﹣4）→P （4，0）→P （5，2）→P （6，0）→..按这样的运动规律，完成下列任务：
4 5 6
（1）点 P 的坐标为 （ 15 ，﹣ 4 ） ，点 P 的坐标为 （ 16 ， 0 ） ；点 P 的坐标为
15 16 2023
（ 202 3 ，﹣ 4 ） ；
（2）在动点P的上述运动过程中，若有连续四点（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ），
1 1 2 2 3 3 4 4
请直接写出x ，x ，x ，x 之间满足的数量关系为 x ﹣ x ＝ x ﹣ x ＝ x ﹣ x ＝﹣ 1 ，y ，y ，y ，y 之
1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4
间满足的数量关系为 y + y + y + y ＝﹣ 2 ．
1 2 3 4
【分析】（1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，再运算求解；
（2）根据（1）中的规律求解．
【解答】解：（1）点P 的坐标为（15，﹣4），点P 的坐标为（16，0）；
15 16
∵2023÷4＝505……3，∴P 的纵坐标与P 的纵坐标一样，
2023 3
点P 的坐标为 （2023，﹣4），
2023
故答案为：（15，﹣4），（16，0）；（2023，﹣4）；
（2）x ﹣x ＝x ﹣x ＝x ﹣x ＝﹣1；y +y +y +y ＝2+0+0+（﹣4）＝﹣2，
1 2 3 4 2 3 1 2 3 4
故答案为：x ﹣x ＝x ﹣x ＝x ﹣x ＝﹣1；y +y +y +y ＝﹣2．
1 2 3 4 2 3 1 2 3 4
【点评】本题考查了点的坐标规律，找到变化规律是解题的关键．
14．综合与实践：
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，0），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个
点，并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P （ 2 ， 1 ） ，P （﹣ 1 ，
1 2 1 2
﹣ 2 ） ．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的
1 1 2 2
x +x y + y
中点坐标为 ( 1 2， 1 2 ) ．
2 2
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H
（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，
求点H的坐标．
【分析】（1）在坐标系中描出A、B、C、D然后找到线段AB和CD中点P 、P 即可；
1 2
（2）根据（1）所求即可得到中点坐标公式；
（3）分当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，当线
段HE的中点与线段FG的中点坐标重合时，三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）如图1所示，A、B、C、D为所求，点P 的坐标为（2，1），点P 的坐标为（﹣
1 21，﹣2），
故答案为：（2，1）；（﹣1，﹣2）；
（2）由题意得若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的中点坐标为
1 1 2 2
x +x y + y
( 1 2， 1 2 )，
2 2
x +x y + y
故答案为：( 1 2， 1 2 )；
2 2
（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），
3 5
∴线段EF的中点坐标为（1， ），线段EG的中点坐标为（0，3），线段FG的中点坐标为（2，
2 2
），
x+1 y+4 3
当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，则 =1， = ，
2 2 2
∴x=1，y=−1，
∴点H的坐标为（1，﹣1）；
同理当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，点H的坐标为（﹣3，5）；当线段HE的中点与线段
FG的中点坐标重合时，点H的坐标为（5，3），
综上所述，点H的坐标为（1，﹣1）或（﹣3，5）或（5，3）．
【点评】本题主要考查了在坐标系中描点，两点中点坐标公式，正确理解题意利用分类讨论的思想求
解是解答本题的关键．
