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天津市南开中学 2023 届高三第三次月考
一、 选择题
1．设 为虚数单位，则复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线 ， ，则 是 的（ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4． 展开式中的常数项是（ ）
A． B．135 C． D．
5．已知 ， ， ，则 的大小关系是
A． B． C． D．
6．将函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，再向左平移 个单位，得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 过点 D． 在区间 上单调递增
7．设抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 上一点 ，满足直线 与 轴正半轴交于点 ，且 在
之间，若 ，且点 到抛物线准线的距离为 ，则点 的纵坐标为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，关于原点对称的两点 分别在双曲线的左．右两支
上， ， ，且点 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．
9．已知函数 若方程 有5个不等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一．高二这两个年级共 名学生中，采用分层抽样的方
法抽取 人进行调査．已知高一年级共有 名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________
11．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从
这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量 ，则 ______
12．等差数列 中， ， ，则数列 的前2023项和为___________.
13．已知 都是正数，则 的最小值是___________
14．已知圆 的圆心为 ，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线 与 交于
两点， ，则实数 __________
15．如图，在 中， ，点 满足 ， ， 为 中点，点 在线段
A
M
O
上移动（包括端点），则 的最小值是______ B C
三、解答题
16．在 ，中，记角 ， ， 的对边分别为 ，已知
(1)求角 ；
(2)已知点 在 边上，且 ，求 的面积.17．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
．
(1)．求证： 平面 ；
(2)．求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)．若点 在棱 上，且 平面 ，求线段 的长.18．已知椭圆 中心在原点，右焦点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆左右顶点分别为 和 ， 为椭圆位于第二象限的一点，在 轴上存在一点 ，满足 ，设
和 的面积分别为 和 ，当 时，求直线 的斜率.19．已知公差不为零的等差数列 ， 为等比数列，且满足 ， ， ， 成等
比数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．20．已知函数 .
（1）．当 ， 时，求 的单调区间；
（2）．若 在区间 内存在极值点 .
①．求实数 的取值范围；
②．求证： 在区间 内存在唯一的 ，使 ，并比较 与 的大小，说明理由.一、选择题
BDABC DDBA
二、填空题
10、30 11、 12、 13、 14、 或 15、
三、解答题
16、（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，所以 ，即 ，故 ，
又 ，所以 ，故 .
（2）在 中由余弦定理可得， ， ， 是等边三角形，
所以 ，即 的面积是 ．
17．(1)．略
（2）解：在 中，因为 ，
所以 ，所以 ．
所以，建立空间直角坐标系 ，如图所示．
所以 ，
易知平面 的一个法向量为 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ．
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
（3）解：因为点E在棱 ，所以 ．因为 ．
所以 ．
又因为 平面 ， 为平面 的一个法向量，
所以 ，即 ，所以 ．
所以 ，所以
18．（1）椭圆方程
（2）设直线 的方程为 ，显然 ，联立 ，所以
， 所 以 ， 设 ， 所 以
， 根 据 题 意 ，
，所以所求直线斜率为
19． (1)．
(2)．∵ ，
则 ，
，
，
，恒成立，
则 恒成立，
令 ，则 ，
，
，
，
故实数 的取值范围是
20．(1)． ， ，所以 在
，所以 在 单调递增
（2）．① ，又 ，则 且 ，
∴ ，即 在 上递增，故 ，
当 时，在 上 ，即 递增，又 ， ，
∴ 上 ， 上 ，则 在 上递减，在 上递增，
∴ 在 处取极小值，符合题设.
∴ .
②要证在 内存在唯一的 使 ，只需证 在 上有唯一零点 ，
∴ ，由（1）知： 在 上递减，在 上递增，又 时， ，即 在 上递增，
综上， 在 上递减，在 上递增，而 ， ，
∴ 在 无零点，在 上存在一个零点，故存在唯一 使 .
由①知： ，
∴ ，
令 且 ，则 ，
令 ，则显然 ，则 递增，
∴ ，即 ，故 在 上递增，则 ，
∴在 有 ，
即有 ，又 在 上递增且 ，
∴ .
