文档内容
专题02 平行线重难点模型（四大题型）
重难点模型归纳
模型一：“铅笔模型”
模型二：“猪蹄模型”
模型三：“臭脚模型”
模型四：“抬头模型”
模型一：“铅笔模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例1】如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
【变式1-1】从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．(1)如图1，AB∥CD，点E为AB、CD之间的一点．求证：
∠1+∠MEN+∠2=360°．
(2)如图2，AB∥CD，点E、F、G、H为AB、CD之间的四点．则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______．
(3)如图3，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+⋯+∠n=______．
【答案】(1)证明见详解；
(2)900°；
(3)180°(n−1)；
【分析】（1）过点E作OE∥AB，可得OE∥AB∥CD，根据平行线的性质可得
∠1+∠MEO=180°，∠OEN+∠2=180°，再计算角度和即可证明；
（2）分别过点E、F、G、H作AB的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁
内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；
（3）由（2）解答可知在AB、CD之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合
图3找出n和线段条数的关系便可解答；
【详解】（1）证明：如下图，过点E作OE∥AB，
∵AB∥CD，OE∥AB，
∴OE∥CD，
根据两直线平行同旁内角互补可得：
∠1+∠MEO=180°，∠OEN+∠2=180°，
∴∠1+∠MEO+∠OEN+∠2=360°，∴∠1+∠MEN+∠2=360°；
（2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作O E∥AB，O F∥AB，O G∥AB，
1 2 3
O H∥AB，
4
结合（1）解答在两相邻平行线间可得：
∠AME+∠MEO =180°，
1
∠O EF+∠EFO =180°，
1 2
∠O FG+∠FGO =180°，
2 3
∠O GH+∠GHO =180°，
3 4
∠O HN+∠HNC=180°，
4
将所有角度相加可得：
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×5=900°；
（3）解：由（2）解答可知在AB、CD之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，
由图3可知：
当AB、CD之间有2条线段时，n=3，
当AB、CD之间有3条线段时，n=4，
当AB、CD之间有4条线段时，n=5，
当AB、CD之间有5条线段时，n=6，
…，
当AB、CD之间有(n−1)条线段时，n=n，
∴∠1+∠2+∠3+⋯+∠n=180°(n−1)；
【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过
作辅助线将角度按组计算是解题关键．
【变式1-2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小
明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°
+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由：
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点
不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明．
【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，证明见解析；（2）当P在A左侧时，
∠β=∠α+∠CPD；当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD；证明见解析．
【分析】（1）先作辅助线，利用平行线的性质得到三个角的关系；
（2）分P在A的左边和P在B、O之间两种情况作图，利用平行线性质和三角形外角
定理得出三个角的关系．
【详解】解：（1）如图3：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
过P作PE∥AD，交CD于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）如图，当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD．
∵AD∥BC，
∴∠β=∠COD，∵∠COD是△POD的外角，
∴∠COD=∠CPD+∠ADP，
∴∠β=∠α+∠CPD；
如图，当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD．
∵AD∥BC，
∴∠α=∠BEP，
∵∠BEP是△PEC的外角，
∴∠BEP=∠PCB+∠CPD，
∴∠α=∠β+∠CPD．
【点睛】本题考查平行线性质，作辅助线，利用三角形的外角性质是求解本题的关键．
模型二：“猪蹄模型”
【方法技巧】
模型二“猪蹄”模型（M模型）
“猪蹄”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
【典例2】【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小
猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．（1）如图①，AB∥CD，M是AB,CD之间的一点，连接BM,DM，若∠M=100°，
求∠B+∠D的度数；
【灵活运用】
1
（2）如图②，AB∥CD,M,N是AB,CD之间的两点，当∠B−∠C= ∠BMN时，
3
请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，AB∥CD,E,F,G均是AB，CD之间的点，如果
∠E+∠F=2∠G=70°，直接写出∠B+∠D的度数．
2
【答案】（1）100°；（2）∠MNC= ∠BMN，理由见解析；（3）∠B+∠D=35°
3
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关
键．
（1）过点M作ME∥AB，证明AB∥ME∥CD，则∠B=∠1,∠D=∠2，进而得
∠B+∠D=∠1+∠2=∠BMD，由此可得∠B+∠D的度数；
（2）过点M作MF∥AB，则∠B=∠1，证明MF∥CD，由（1）得
∠C+∠2=∠MNC，则∠C=∠MNC−∠2，进而得
∠B−∠C=∠1+∠2−∠MNC，再根据∠1+∠2=∠BNM，
1
∠B−∠C= ∠BMN即可得出∠BMN和∠MNC之间的数量关系；
3
（3）过点G作GH∥AB，依题意得∠E+∠F=70°,∠EGF=∠1+∠2=35°，证
明AB∥GH∥CD，由（1）得∠E=∠B+∠1,∠F=∠D+∠2，则
∠E+∠F=∠B+∠1+∠D+∠2，由此可得∠B+∠D的度数．
【详解】解：（1）过点M作ME∥AB，如图①所示：
∵AB∥CD
，
∴AB∥ME∥CD，
∴∠B=∠1,∠D=∠2，
∴∠B+∠D=∠1+∠2，
∵∠1+∠2=∠BMD=100°，∴∠B+∠D=∠BMD=100°；
2
（2）∠BMN和∠MNC之间的数量关系是：∠MNC= ∠BMN，理由如下：
3
过点M作MF∥AB，如图②所示，
∴∠B=∠1
，
∵AB∥CD，MF∥AB，
∴MF∥CD，
由（1）得：∠C+∠2=∠MNC，
∴∠C=∠MNC−∠2，
∴∠B−∠C=∠1−(∠MNC−∠2)=∠1+∠2−∠MNC，
∵∠1+∠2=∠BMN，
∴∠B−∠C=∠BMN−∠MNC，
1
又∵∠B−∠C= ∠BMN，
3
1
∴∠BMN−∠MNC= ∠BMN，
3
2
∴∠MNC= ∠BMN；
3
（3）∠B+∠D=35°，理由如下：
过点G作GH∥AB，如图③所示：
∵∠E+∠F=2∠EGF=70°
，
∴∠E+∠F=70°,∠EGF=35°，
∴∠1+∠2=∠EGF=35°，
∵AB∥CD，GH∥AB，
∴AB∥GH∥CD，
由（1）得：∠E=∠B+∠1,∠F=∠D+∠2，
∴∠E+∠F=∠B+∠1+∠D+∠2，∴70°=∠B+∠D+35°，
∴∠B+∠D=35°．
【变式2-1】如图 ① ，直线l ∥l ，直线EF和直线l 、l 分别交于C、D两点，点A、B
1 2 1 2
分别在直线l 、l 上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
1 2
(1)猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC=15°，∠PBD=40°，求∠APB的
大小
(2)探究：如图 ① ，若点P在线段CD上，写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量
关系并说明理由．
(3)拓展：如图 ② ，若点P在射线CE上或在射线DF上时，写出∠PAC、∠APB、
∠PBD之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)55°
(2)∠APB=∠PAC+∠PBD，理由见解析
(3)∠APB=∠PBD−∠PAC或∠APB=∠PAC−∠PBD，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握好平行线的性质是解本题的关键是．
（1）根据平行线的性质和∠PAC=15°，∠PBD=40°即可得∠APB的大小．
（2）过点P作PG∥l , l ∥l ，根据平行线的性质可得∠APG=∠PAC，
1 1 2
∠GPB=∠PBD，即可得出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
（3）如图②所示：分两种情况画出图形，当点P在DC延长线上时或当点P在CD延长
线
【详解】（1）如图①所示：过点P作PG∥l ,
1∵PG∥l , ∠PAC=15°,
1
∴∠APG=∠CAP=15°,
∵l ∥l ,
1 2
∴PG∥l ,
2
∵∠PBD=40°,
∴∠GPB=∠PBD=40°,
∴∠APB=∠APG+∠BPG=15°+40°=55°；
（2）猜想：∠APB=∠PAC+∠PBD
如图①所示：过点P作PG∥l ,
1
∵PG∥l ,
1
∴∠APG=∠PAC，
∵l ∥l ,
1 2
∴PG∥l ,
2
∴∠GPB=∠PBD，
∴∠APB=∠APG+∠GPB=∠PAC+∠PBD，
∠APB=∠PAC+∠PBD；
（3）①当点P在DC延长线上时，有∠APB=∠PBD−∠PAC．理由如下：
过点P作PG∥l ，
1∴∠PAC=∠APG,
∵ l ∥l ，
1 2
∴ PG∥l ,
2
∴ ∠PBD=∠GPB,
∴ ∠APB=∠GPB−∠APG=∠PBD−∠PAC,
∴ ∠APB=∠PBD−∠PAC,
②当点P在CD延长线上时，有∠APB=∠PAC−∠PBD．理由如下：
过点P作PG∥l ，
1
∴ l ∥l ∥PG，
1 2
∴ ∠APG=∠PAC，∠BPG=∠PBD，
∴ ∠APB=∠APG−∠BPG=∠PAC−∠PBD,
∴综上所述：当点P不在线段DC上时，
∠APB=∠PBD−∠PAC或∠APB=∠PAC−∠PBD．
【变式2-2】综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学
活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点O发出的灯光照射到凹面镜上反射出的
光线BA,CD都是水平线，即BA∥CD．【探索发现】
（1）如图1，∠ABO,∠OCD,∠BOC之间的数量关系为______．
【深入探究】
（2）如图2，直线AB∥CD,E,G分别为直线AB,CD上的点，F是平面内的任意一
点，连接EF，GF．P,Q都是直线CD上的点，且∠PFQ=∠EFG=90°，直线
MN∥FG，交FQ于点K，试猜想∠FKN与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠NKQ=∠AEF，试探究∠CPF与∠EFK之间的数量关
系．
【答案】（1）∠ABO+∠OCD=∠BOC；（2）∠FKN=∠PFE；理由见解析；
（3）∠CPF=2∠EFK
【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助
线是解题关键．
（1）过O作OH∥AB，利用平行公理得到OH∥CD，利用平行线的性质得到
∠ABO=∠BOH，∠OCD=∠COH，两式相加可得结论；
（2）设∠FKM=∠NKQ=α，利用邻补角定义可得∠FKN=180°−α；利用平行线
的性质可推导出∠PFE=∠PFQ+∠EFK=180°−α，进而可得结论；
（3）过点F作RS∥AB，设∠AEF=∠NKQ=α，利用平行线的性质即可求证．
【详解】解：（1）如图所示，过O作OH∥AB，
∵BA∥CD
，
∴OH∥CD，
∴∠ABO=∠BOH，∠OCD=∠COH，
∴∠ABO+∠OCD=∠BOH+∠COH=∠BOC，
即∠ABO+∠OCD=∠BOC；
（2）∠FKN与∠PFE之间的数量关系为∠FKN=∠PFE，理由如下：设∠FKM=∠NKQ=α，
∴∠FKN=180°−∠NKQ=180°−α，
∵MN∥FG，
∴∠FKM=∠GFQ=α，
又∵∠PFQ=∠EFG=90°，
∴∠EFK=∠EFG−∠GFQ=90°−α，
∴∠PFE=∠PFQ+∠EFK=180°−α，
∴∠FKN=∠PFE；
（3）设∠AEF=∠NKQ=α，
过点F作RS∥AB，
∵AB∥CD
，
∴RS∥CD，
∴∠EFS=∠AEF=α，∠CPF=∠SFP，
由（2）知，∠PFE=180°−α，∠EFK=90°−α
∴∠SFP=∠PFE−∠EFS=180°−2α，
∴∠CPF=∠SFP=180°−2α，
∴∠CPF=2∠EFK．
【变式2-3】【探究】（1）如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE，
CE，试说明：∠BAE+∠DCE=∠AEC．请完成下面的解题过程．
解：过点E作EF∥AB，
∴∠1=∠ （ ）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（ ），
∴∠2=∠ ，
∴∠BAE+∠DCE=∠1+∠2，∴∠BAE+∠DCE=∠AEC；
【应用】（2）如图2，AB∥CD，点F在AB，CD之间，FE与AB交于点M，FG与
CD交于点N．若∠EFG=115°，∠EMB=55°，求∠DNG的度数；
【拓展】（3）如图3，直线CD在直线AB，FE之间，且AB∥CD∥EF，点G，H
分别在AB，FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH．
若∠GQH=70°，直接写出∠AGQ+∠EHQ的度数．
【答案】（1）A，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，C；
（2）60°；（3）70°或290°
【分析】本题考查了平行线的判定及性质；
（1）由平行线的判定方法得AB∥CD∥EF，由平行线的性质得∠1=∠A，
∠2=∠C，则∠BAE+∠DCE=∠AEC，即可得证；
（2）利用（1）中的结论可知，∠MFN=∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数为
60°，由对顶角相等可得∠DNG=60°，即可求解；
（3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：∠AGQ是钝角或∠AGQ是锐角时两种情
况，分别根据平行线的性质求解即可．
掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键．
【详解】解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠2=∠C，
∴∠BAE+∠DCE=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（2）由（1）中探究可知，∠MFN=∠AMF+∠CNF，
∵∠AMF=∠EMB=55°，且∠MFN=115°，∴∠CNF=115°−55°=60°，
∴∠DNG=∠CNF=60°；
故答案为：A，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，C；
（3）如图，当∠AGQ为钝角时，
由（1）中结论可知，
∠GQH=∠BGQ+∠FHQ=70°，
∴∠AGQ+∠EHQ
=360°−(∠BGQ+∠FHQ)
=290°；
当∠AGQ为锐角时，如图，
由（1）中结论可知，
∠GQH=∠AGQ+∠EHQ，
即∠AGQ+∠EHQ=70°，
综上，∠AGQ+∠EHQ的度数为70°或290°．
【变式2-4】如图，直线PQ∥MN．
（1）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图甲方式放置，点D，E，F
是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，则∠BDF＝ 度；
（2）若点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个点，且∠1与∠2都是锐角，如图乙，写出∠DCE与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图甲中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，
∠GEN
点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求 的值．
∠BDF
∠GEN
【答案】（1）60；（2）∠1+∠2=∠DCE，理由见解析；（3） 值为2．
∠BDF
【分析】（1）过点C作CS//PQ，先根据对顶角相等求得∠MEC=∠AEN，根据
PQ//CS//MN，进而求得∠BDF=∠BCS，结合已知条件即可求得；
（2）过点C作CH//PQ，利用平行线的性质即可得出∠DCE=∠1+∠2；
（3）设∠CEG=∠CEM=x,得到∠GEN=180°−2x，再根据（2）中的结论可得
∠GEN
∠CDP=90°−∠CEM=90°−x，据此可得 的值．
∠BDF
【详解】（1）过点C作CS//PQ，
∵ ∠AEN＝∠A,∠A＝30°，
∴∠MEC=∠AEN=30°，
∵PQ//MN，
∴PQ//CS//MN，
∴ ∠SCE=∠CEM=30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCS=90°−30°=60°，
∵CS//PQ，
∴∠BDF=∠BCS=60°．
故答案为：60°．
（2）∠DCE=∠1+∠2，理由如下：
如图，过点C作CH//PQ，∵PQ//MN，
∴PQ//CH//MN，
∴∠1=∠DCH,∠2=∠ECH，
∴∠DCE=∠DCH+∠ECH=∠1+∠2．
∴ ∠DCE=∠1+∠2．
（3）设∠CEG=∠CEM=x, ∠GEN=180°−2x，
由（2）可知：∠CDP=90°−∠CEM=90°−x，
∴∠BDF=∠CDP=90°−x，
∠GEN 180°−2x
∴ = =2．
∠BDF 90°−x
【点睛】本题考查了平行线的性质的综合应用，邻补角的性质，作辅助线构造内错角
是解题的关键．
【变式2-5】如图，已知AB∥CD，点E,F分别在直线AB,CD上，点G在AB和CD之间．
【习题回顾】
（1）如图1，若∠BEF=60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数；
【变式思考】
（2）如图2，连接EG,GF，求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD=360°；
【深入探究】
（3）如图3，连接EG,GF，若∠AEG=60°，∠GFC=40°，∠AEG和∠GFC的
平分线交于点P，求∠P的度数．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）50°
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识．
（1）根据平行线的性质得到∠CFE=60°，再根据角平分线的定义即可解答；
（2）过点G作GH∥CD，则AB∥CD∥GH，根据平行线的性质得到
∠DFG+∠FGH=180°,∠BEG+∠EGH=180°，即可得出结论；
（3）过点G作GH∥CD，过点P作PQ∥CD，则AB∥CD∥PQ∥GH，由平行线
的性质推出∠GFC=∠FGH,∠AEG=∠EGH，
∠PFC=∠FPQ,∠AEP=∠EPQ，得到∠EPF=∠EPQ+∠FPQ，再根据角平
分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）∵AB∥CD，∠BEF=60°，
∴∠CFE=∠BEF=60°，
∵FG平分∠EFC，
1
∴∠GFC= ∠CFE=30°；
2
（2）如图，过点G作GH∥CD，则AB∥CD∥GH，
∴∠DFG+∠FGH=180°,∠BEG+∠EGH=180°，∠FGH+∠EGH=∠EGF，
∴∠BEG+∠EGF+∠GFD=360°；
（3）如图，过点G作GH∥CD，过点P作PQ∥CD，则AB∥CD∥PQ∥GH，
∴∠GFC=∠FGH=40°,∠AEG=∠EGH=60°，
∠PFC=∠FPQ,∠AEP=∠EPQ，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ，∵PE平分∠AEG，PF平分∠GFC，
1 1
∴∠EPQ=∠AEP= ∠AEG=30°,∠FPQ=∠CFP= ∠GFC=20°，
2 2
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=50°．
【变式2-6】（1）如图①，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么？并说明理由；
（2）如图②，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的关系是什么？请直接写
出结论；
（3）如图③，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的关系是什么？
请直接写出结论．
【答案】（1）∠2=∠1+∠3，见解析；（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；（3）
∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7
【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形
结合思想的应用．
（1）过点E作EF∥AB，从而推出AB∥EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等，
可知∠1=∠BEF，∠3=∠CEF，从而推出∠2与∠1+∠3的关系；
（2）分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，从而推出
AB∥CD∥EF∥GH∥MN，根据两直线平行，内错角相等，可推出∠2+∠4与
∠1+∠3+∠5的关系；
（3）分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，
PQ∥AB，从而知道AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，根据两直线平行，内
错角相等，可推出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的关系．
【详解】解：（1）∠2=∠1+∠3，理由如下：
如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥EF AB∥CD
， ，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠3=∠CEF，
∴∠2=∠1+∠3；
（2）同理（1）得：∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由如下：
分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5
（3）同理（1）得：∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
理由如下：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
KL∥AB，PQ∥AB，
∵AB∥CD
，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，
∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．模型三：“臭脚模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
【典例3】已知AB∥CD，
(1)如图1，若∠ABE=160°，∠CDE=120°，求∠BED的度数；
(2)如图2，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与∠BED有怎样的数量
关系，并说明理由
【答案】(1)40°
(2)∠BED=2∠BFD，理由见解析
【分析】（1）如图所示，过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，根据平行线的性
质分别求出∠BEF=20°，∠≝=60°，则∠BED=∠≝−∠BEF=40°；
（2）如图所示，过点F作FH∥AB，过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG∥FH，
则有∠DEG+∠CDE=180°，∠BEG+∠ABE=180°，
∠DFH=∠CDF，∠BFH=∠ABF，再根据角平分线的定义得到
∠CDE=2∠CDF，∠ABE=2∠ABF，再证明∠BED=2∠ABF−2∠CDF，
∠BFD=∠ABF−∠CDF，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，∴∠≝+∠CDE=180°，∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=160°，∠CDE=120°，
∴∠BEF=20°，∠≝=60°，
∴∠BED=∠≝−∠BEF=40°
（2）解：∠BED=2∠BFD，理由如下：
如图所示，过点F作FH∥AB，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠DEG+∠CDE=180°，∠BEG+∠ABE=180°，
∠DFH=∠CDF，∠BFH=∠ABF，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDF，∠ABE=2∠ABF，
∵∠BED=∠DEG−∠BEG，∠BFD=∠BFH−∠DFH，
∴∠BED=180°−2∠CDF−(180°−2∠ABF)，∠BFD=∠ABF−∠CDF，
∴∠BED=2∠ABF−2∠CDF，
∴∠BED=2∠BFD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线并
且熟知平行线的性质是解题的关键．
【变式3-1】如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，
∠ABD:∠DBN＝3:2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE:∠ECP＝3:2，设
∠A＝α，则∠E为度数用含α的式子一定可以表示为（ ）2 3
A．2α B．72+ α C．108− α D．90﹣α
5 5
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作
AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH，由题意可设
∠ABD=3x,∠DBN=2x，∠ACE=3 y,∠ECP=2y，则∠6=∠4=2x，
∠7=∠3=2y，∠1=180°−5x，∠GAC=∠ACP=5 y，因此∠DEC=2(x+ y)，
180°+α 1
∠CAB=5(x+ y)−180°=α，x+ y= =36°+ α，则
5 5
2
∠DEC=2(x+ y)=72°+ α．
5
【详解】解：过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，
∵MN∥PQ，
∴MN∥PQ∥AG∥EH，
∵∠ABD:∠DBN=3:2，∠ACE:∠ECP=3:2
∴设∠ABD=∠5=3x,∠DBN=∠4=2x，∠ACE=∠2=3 y,∠ECP=∠3=2y，
∵MN∥PQ∥AG∥EH，
∴∠6=∠4=2x，∠7=∠3=2y，∠1=180°−(∠4+∠5)=180°−5x，
∠GAC=∠ACP=∠2+∠3=5 y，
∴∠DEC=∠6+∠7=2(x+ y)，∠CAB=∠GAC−∠1=5(x+ y)−180°=α，
180°+α 1
∴x+ y= =36°+ α，
5 52
∴∠DEC=2(x+ y)=72°+ α.
5
故选：B．
【变式3-2】如图，已知AB ∥ DE，∠ABC=150°，∠CDE=70°，则∠BCD的度数
为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．45°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解
决问题的关键．
过点C作CF∥AB，则AB∥DE∥CF，根据平行线的性质可得到
∠BCF=∠ABC=150°，∠DCF=180°−∠CDE=110°，即可求得
∠BCD=∠BCF−∠DCF=40°．
【详解】解：如图，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴AB∥DE∥CF．
∴∠BCF=∠ABC=150°，∠DCF+∠CDE=180°．
∵∠CDE=70°，
∴∠DCF=180°−70°=110°．
∴∠BCD=∠BCF−∠DCF=150°−110°=40°．
故选B．
【变式3-3】如图，AB∥CD，∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠E=46°，则
∠H为( )A．22° B．23° C．24° D．25°
【答案】B
【分析】过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，
∵AB∥CD，
∴EQ∥AB∥CD∥HI，
∵EQ∥AB∥CD，
∴∠QEB+∠ABE=180°，∠QED+∠EDC=180°，
∴
∠BED=∠QED−∠QEB=(180°−∠EDC)−(180°−∠ABE)=∠ABE−∠EDC，
同理∵AB∥CD∥HI，
∴∠IHD+∠CDH=180°，∠IHB+∠ABH=180°，
∴
∠BHD=∠IHB−∠IHD=(180°−∠ABH)−(180°−∠CDH)=∠CDH−∠ABH，
∵∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，
1 1
∴∠FBA= ∠ABE，∠GDC= ∠EDC，
2 2
∴∠BHD=∠CDH−∠ABH
=(180°−∠GDC)−(180°−∠FBA)
=∠FBA−∠GDC
1
= (∠ABE−∠EDC)
2
1
= ∠BED
21
= ×46°
2
=23°．
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的
性质解答．
模型四：“抬头模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例4】已知，AB∥DE，点C是直线AB，DE下方一点，连接BC，DC．(1)如图1，求证：∠B+∠D−∠C=180°；
(2)如图2，若BF，DG分别平分∠ABC和∠CDE，BF、DG所在的直线相交于点
H，若∠H=α°，求∠C的度数；（用含α的式子表示）
(3)如图3，若BF，DG分∠ABC和∠CDE为两部分，且∠ABF=n∠FBC，
∠EDG=n∠CDG，直线BF，DG相交于点H，则∠H=____________．（用含n
和∠C的式子表示）
【答案】(1)证明见解析；
(2)∠C=180°−2α°；
180°−n∠C
(3) ．
n+1
【分析】本题考查平行线的性质，四边形内角和，角平分线相关计算，熟练掌握四边
形内角和等于360°解题关键是．
（1）过点B作BG∥DE交CD于点F，根据BG∥DE证明∠D=∠CFG，再利用
∠ABC+∠CBF+∠CFB+∠CFG=360°，且∠CBF+∠CFB=180°−∠C，即
可证明∠B+∠D−∠C=180°；
（2）利用角平分线以及四边形内角和等于360°可得：
( 1 ) ( 1 )
∠H+ 180°− ∠ABC + 180°− ∠CDE +∠C=360°，整理可得：
2 2
1 1
∠H+∠C= (∠ABC+∠CDE)，再结合（1）结论可得 ∠C=90°−∠H，进一
2 2
步可求出∠C=180°−2∠H=180°−2α°；
（3）设∠FBC=x，∠CDG= y，则∠ABF=nx，∠EDG=ny，由四边形内角和等
于360°可得：(180°−x)+(180°−y)+∠H+∠C=360°，即∠H+∠C=x+ y，由
180°−n∠C
（1）结论可得：(n+1)(x+ y)=180°+∠C，即可求出∠H= ．
n+1
【详解】（1）证明：过点B作BG∥DE交CD于点F，∵BG∥DE，
∴∠D=∠CFG，
∵∠ABC+∠CBF+∠CFB+∠CFG=360°，且∠CBF+∠CFB=180°−∠C，
∴∠ABC+∠D−∠C=180°，即∠B+∠D−∠C=180°．
（2）解：∵BF，DG分别平分∠ABC和∠CDE，
1 1
∴∠CBF= ∠ABC，∠CDG= ∠CDE，
2 2
1
∴∠CBH=180°−∠CBF=180°− ∠ABC，
2
1
∠CDH=180°−∠CDG=180°− ∠CDE，
2
∵∠H+∠CBH+∠C+∠CDH=360°，
( 1 ) ( 1 )
∴∠H+ 180°− ∠ABC + 180°− ∠CDE +∠C=360°，
2 2
1
整理可得：∠H+∠C= (∠ABC+∠CDE)，
2
由（1）可得：∠ABC+∠CDE−∠C=180°，
1 1
∴∠H+∠C=90°+ ∠C，即 ∠C=90°−∠H，
2 2
∵∠H=α°，
∴∠C=180°−2∠H=180°−2α°．
（3）解：∵∠ABF=n∠FBC，∠EDG=n∠CDG，
设∠FBC=x，∠CDG= y，则且∠ABF=nx，∠EDG=ny，
由四边形内角和等于360°可得：∠CBH+∠CDH+∠H+∠C=360°，
即(180°−x)+(180°−y)+∠H+∠C=360°，
∴∠H+∠C=x+ y，
由（1）可得：∠ABC+∠CDE−∠C=180°，∴(n+1)x+(n+1)y−∠C=180°，即(n+1)(x+ y)=180°+∠C，
180°+∠C
∴∠H+∠C=x+ y= ，
n+1
180°−n∠C
整理得：∠H= ．
n+1
180°−n∠C
故答案为：
n+1
【变式4-1】（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP=30°，∠CFP=155°，
求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则
∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系?并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和
∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）．
1
【答案】（1）55°；（2）∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析；（3） α
2
【分析】（1）过点P作PM∥AB，由平行线定理可得AB∥CD∥PM，根据平行
线的性质可得∠BEP=∠EPM=30°，∠CFP+∠MPF=180°，即∠MPF=25°，
即可求解；
（2）如图，PF与AB相交于点N，根据平行线的性质可得∠PFC=∠PNA，再根据
三角形内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得∠PNA=∠PEA+∠EPF，即
可得证；
（3）如图，GE与PF相交于点O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得
1 1
∠G+ ∠PFC=α+ ∠PEA，∠G+∠GFO=∠P+∠PEO，再由角平分线的定
2 2义可得由（2）可得，∠PFC=∠PEA+∠EPF，进行等量代换即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠BEP=∠EPM=30°，∠CFP+∠MPF=180°，
∴∠MPF=180°−155°=25°，
∴∠EPF=∠EPM+∠MPF=30°+25°=55°；
（2）∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由如下：
如图，PF与AB相交于点N，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PNA，
∵∠PNA+∠PNE=180°，∠PNE+∠PEA+∠EPF=180°，
∴∠PNA=∠PEA+∠EPF，
∴∠PFC=∠PEA+∠EPF；
（3）如图，GE与PF相交于点O，
∵∠GOF=∠POE，
∴∠G+∠GFO=∠P+∠PEO，
∵GE平分∠PEA，GF平分∠PFC，
1 1
∴∠GFO= ∠PFC，∠PEO= ∠PEA，
2 21 1
∴∠G+ ∠PFC=α+ ∠PEA，
2 2
由（2）可得，∠PFC=∠PEA+∠EPF，
1 1
∴∠G+ (∠PEA+α)=α+ ∠PEA，
2 2
1 1 1 1
∴∠G=α+ ∠PEA− ∠PEA− α= α．
2 2 2 2
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角
平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
【变式4-2】【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之
间．设∠BMP=∠α，∠DNP=∠β，求证：∠MPN=∠α+∠β．
证明：如图2，过点P作PQ∥AB，∴∠MPQ=∠BMP=∠α．
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，
∴∠QPN=∠PND=∠β，
∴∠MPN=∠MPQ+∠NPQ=∠α+∠β．
【类比应用】
（1）如图3，AB∥CD，∠C=30°，∠GBA=45°，求∠GPC的度数．
（2）如图4，AB∥CD，点M在直线CD上，点P在直线AB的上方，连接PB，PM．
设∠B=∠α，∠PMD=∠β，则∠α，∠β与∠BPM之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图5，AB∥CD，点M在直线CD上，点P在直线AB的上方，连接PB，PM．
∠PMC的平分线与∠PBA的平分线所在的直线交于点Q，请直接写出
1
∠BPM+∠Q的度数．（不要求写过程）
2
【答案】（1）∠GPC=75°；（2）∠BPM=∠α+∠β−180°，见解析；（3）
180°．
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加
辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）过点P作PQ∥AB，先根据平行线的性质可得∠BPQ=∠GBA=45°，再根据
平行公理推论可得PQ∥CD，根据平行线的性质可得∠CPQ=∠C=30°，然后根据
角的和差即可得；
（2）过点P作PQ∥AB，先根据平行线的性质可得∠BPQ=180°−∠α，再根据平
行公理推论可得PQ∥CD，根据平行线的性质可得∠QPM=∠PMD=∠β，然后根
据角的和差即可得；
（3）设∠ABN=x，∠CMQ= y，先根据角平分线的定义可得
∠PBA=2∠ABN=2x，∠PMC=2∠CMQ=2y，再根据（2）的结论可得
∠BPM=2x−2y，根据材料的结论可得∠Q=180°−x+ y，然后代入计算即可得．
【详解】解：（1）如图3，过点P作PQ∥AB，
∴∠BPQ=∠GBA=45°．∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ=∠C=30°，
∴∠GPC=∠GPQ+∠CPQ=45°+30°=75°．
（2）∠BPM=∠α+∠β−180°．
理由：如图4，过点P作PQ∥AB，
∴∠B+∠BPQ=180°，
∴∠BPQ=180°−∠B=180°−∠α．
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPM=∠PMD=∠β，
∴∠BPM=∠QPM−∠BPQ=∠β−(180°−∠α)=∠α+∠β−180°，
即∠BPM=∠α+∠β−180°．
1
（3） ∠BPM+∠Q=180°．
2
设∠ABN=x，∠CMQ= y．
∵BN平分∠PBA，MQ平分∠CMP，
∴∠PBA=2∠ABN=2x，∠PMC=2∠CMQ=2y，
∴∠DMP=180°−∠PMC=180°−2y．
由（2）可知，∠BPM=∠ABP+∠PMD−180°=2x−2y．
由材料的结论可知，∠Q=∠ABQ+∠CMQ=180°−x+ y，1 1
∴ ∠BPM+∠Q= (2x−2y)+180°−x+ y=180°．
2 2
【变式4-3】如图，AB∥CD，点E，G分别在直线AB，CD上，F是平面内任意一点，
连接EF，FG．
(1)探究：如图1，当点F在直线EG的左侧时，试说明：∠EFG=∠AEF+∠FGC．
(2)问题迁移：如图2，当点F在AB的上方时，∠EFG，∠AEF，∠CGF之间有何
数量关系？请说明理由．
(3)联想拓展：如图3，若∠EFG=β，∠FEB的平分线和∠FGD的平分线交于点P，
用含β的式子表示∠EPG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠EFG=∠AEF−∠CGF，理由见解析
1
(3)∠EPG= β
2
【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线．
（1）如图1，过点F作FH∥AB，根据平行线性质得出∠AEF=∠EFH．再结合
AB∥CD，得出FH∥CD，得出∠CGF=∠HFG，即可证明．
（2）如图2，过点F作FM∥AB，根据平行线性质得出∠AEF=∠MFE．结合
AB∥CD，得出FM∥CD，根据平行线性质得出∠CGF=∠MFG，即可证明
∠EFG=∠AEF−∠CGF．
（3）如图3，过点F作FN∥AB，过点P作PQ∥AB，得出∠NFE=∠FEB，
∠QPE=∠PEB．证明FN∥CD，PQ∥CD，根据平行线性质得出
∠NFG=∠FGD，∠QPG=∠PGD．结合角平分线的定义即可求解；
【详解】（1）解：如图1，过点F作FH∥AB，
∴∠AEF=∠EFH．
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，∴∠CGF=∠HFG．
∵∠EFG=∠EFH+∠HFG，
∴∠EFG=∠AEF+∠FGC．
（2）解：∠EFG=∠AEF−∠CGF．
理由：如图2，过点F作FM∥AB，
∴∠AEF=∠MFE．
∵AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠CGF=∠MFG．
∵∠EFG=∠EFM−∠GFM，
∴∠EFG=∠AEF−∠CGF．
（3）解：如图3，过点F作FN∥AB，过点P作PQ∥AB，
则∠NFE=∠FEB，∠QPE=∠PEB．
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，PQ∥CD，
∴∠NFG=∠FGD，∠QPG=∠PGD．
∵∠EFG=∠NFG−∠NFE，∠EPG=∠QPG−∠QPE，
∴∠EFG=∠FGD−∠FEB，∠EPG=∠PGD−∠PEB．
∵∠FEB的平分线和∠FGD的平分线交于点P，
1 1
∴∠PEB= ∠FEB，∠PGD= ∠FGD，
2 2∴
1 1 1 1 1
∠EPG=∠QPG−∠QPE=∠PGD−∠PEB= ∠FGD− ∠FEB= (∠FGD−，∠FEB)= (∠NFG−∠NFE)= ∠EFG
2 2 2 2 2
1
∴∠EPG= β．
2
