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专题03 勾股定理实际应用模型
勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股
定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在
的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②
若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把
另一边用含有未知数的式子表示出来）。
....................................................................................................................................................1
模型1.梯子滑动模型.......................................................................................................................................1
模型2.轮船航行模型.......................................................................................................................................4
模型3.信号站（中转站）选择模型...............................................................................................................7
模型4.台风（噪音）、爆破模型...................................................................................................................9
模型5.超速模型.............................................................................................................................................14
模型6.风吹莲动模型.....................................................................................................................................17
模型7.折竹抵地模型.....................................................................................................................................19
模型.8不规则图形面积模型.........................................................................................................................21
..................................................................................................................................................25
模型1.梯子滑动模型
相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。
解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。
梯子滑动模型解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；
2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；
3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
例1．（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）一架云梯长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端
B放在距离墙根C点7米处，另一头A靠墙．(1)这架云梯的顶端A距地面有多高？(2)如果云梯的顶端下滑
了4米，那么它的底部在水平方向滑动了多少米？
例2．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，
梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，
顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．
例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水
平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米
时，滑块B滑动了 厘米．例4．（2023春·广东广州·八年级校考期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工
作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为 的岸上点C，工作人员用
绳子拉船移动，开始时绳子 的长为 ，工作人员以 米/秒的速度拉绳子，经过 秒后游船移动到
点D的位置，问此时游船移动的距离 的长是多少？
模型2.轮船航行模型
相关模型背景：轮船航行等。
解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。
航行模型解题步骤：
1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；
2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；
3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
例1．（2023春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口
O同时出发，1号舰沿东偏南 方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西 方向以
节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
例2．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度
向南偏东 航行，乙船向北偏东 航行，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若CB两岛相距40
海里，(1)直接写出 的度数；(2)求乙船的航速是多少？
例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉
私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5
海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与
其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
模型3.信号站（中转站）选择模型相关模型背景：信号塔、中转站等。
解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
信号塔、中转站模型解题步骤：
1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；
2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；
3）根据斜边长相等建立方程求解。
例1．（2023春·湖北·八年级校考期中）如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于
点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16 km，CB=11 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得
C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
例2．（2024·河南平顶山·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在
点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦
截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路
程BC是多少？
例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，
CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D
两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
模型4.台风（噪音）、爆破模型
相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。
解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。
台风、爆破模型解题步骤：
1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；
2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；
3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
例1．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要
爆破，已知点 与公路上的停靠站 的距离为300米，与公路上另一停靠站 的距离为400米，且
，如图，为了安全起见，爆破点 周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 段是
否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
例2．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形 为某街心花园的平面图，经测量
， ，且 ．(1)试判断 的形状，并说明理由；(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点 处安装一个监控装置来监控道路
的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过 ．已知摄像头能监控的最大范围为周围 （包含
），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据 ， ）
例3．（2023春·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点
A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡
车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
例4．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风
中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度
沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风
力为几级？模型5.超速模型
相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。
解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。
超速模型解题步骤：
1）根据勾股定理计算行驶的距离；
2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；
3）比较实际行驶速度和规定速度。
例1．（2023春·湖北咸宁·八年级期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．
某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，
在公路1上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路1上由B向A
匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千
米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据： ＝1.41， ＝1.73）．
例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出
发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．
已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟
时，遥控信号是否会产生相互干扰？例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线 横渡，由于受水
流的影响，实际沿着 航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现 比河宽 多10米．
(1)求该河的宽度 ；（两岸可近似看作平行）(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度
为每秒4米，求航行总时间．
模型6.风吹莲动模型
相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。
解题关键：“莲花”高度为不变量。
风吹莲动模型解题步骤：
1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
例1．（2023·四川成都·八年级校考期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池
一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，
1丈 尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1
尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（ ）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
例2．（2024·广东深圳·八年级校考期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度 ，将
它往前推送 （水平距离 时，秋千的踏板离地的垂直高度 ，秋千的绳索始终拉得很直，
求绳索 的长度．
例3．（2023·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为 ，高
为 ，今有一支 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为
（）
A． B． C． D．不能确定
模型7.折竹抵地模型相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。
解题关键：“竹子”高度为不变量。
折竹抵地模型解题步骤：
1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
例1．（2023春·江苏南通·九年级统考阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵
地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一
丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，
求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3
米C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量 米，则树原高为 米．
例3．（2023春·新疆昌吉·八年级统考期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问
题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．
(1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂
直于 ，在L上取点B，使 ，以原点O为圆心， 为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数．
(2)应用场景2——解决实际问题．如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 m，将它往前推6m至
C处时，水平距离 m，踏板离地的垂直高度 m，它的绳索始终拉直，求绳索 的长．模型.8不规则图形面积模型
相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。
解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。
面积模型解题步骤：
1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；
2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；
3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；
4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。
例1．（2024·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了
一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC
＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
例2．（2024·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1， 的顶点都在格点上， ．(1)写出 另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3) 的面积为______．
例3．（2024·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形
网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求 的面积．如图1，在正方形网
格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要
求 的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则 的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为 ，点B为 ，则线段 的长为___________；②若点A为
，点B为 ，则线段 的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小： _______ （填“>”或“<”）；
(4)若 三边的长分别为 、 、 （ ， ．且 ），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出 ，并求出它的面积（结
果用m，n表示）．
1．（2023春·河北邢台·八年级校考期末）如图，钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ．
钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿 转到 的位置，此时露在水面上的鱼线 长为 ，则
的长为（ ）A． B． C． D．
2．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）一条河流的 段长 ，在 点的正北方 处有一村庄 ，
在 点的正南方 处有一村庄 ，在 段上有一座桥 ，把 建在何处时可以使 到 村和 村的距
离和最小，那么此时桥 到 村和 村的距离和为（ ）
A．10 B． C．12 D．
3．（2023·广西贺州·八年级统考期中）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需
要（ ）．
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
4．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为 和 ，高
为 ，将一支长为 的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（ ）A． B． C． D．
5．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子
底端到左墙角的距离 为 ，梯子顶端到地面的距离 为 ．如果保持梯子底端位置不动，将梯
子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为 ，则小巷的宽为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如右图，小旭放风筝时线断了，风筝挂在了树上．他想知道
风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后
拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．则风筝距离地面的高度 为 米．
7．（2023·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图， 船位于 船正东方向5 km处．现在 船以2 km/h
的速度朝正北方向行驶，同时 船以1 km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了
h．
8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，
然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为米．
9．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如
图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这
辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．
10．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，
顶部 着地且离旗杆底部的距离 ．(1)求旗杆折断处 点距离地面的高度 ；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的
旗杆从点 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的 处，形成一个直角 ，请求出 的长．
11．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳
子另一端向右走，绳端从点 移动到点 ，同时小船从点 移动到点 ，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知 ________ （填“ ”“ ”“ ”）；
(2)若 米， 米， 米，求男孩需向右移动的距离 （结果保留根号）．
12．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三
位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P
处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得
∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
13．（2023秋·广东·八年级专题练习）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子
的长度未知；【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分
绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗
杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度 为x米，通过计算即可求得旗杆
的高度．(1)依题知 ___________米，用含有x的式子表示 为___________米，(2)请你求出旗杆的
高度．
14．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，某天上午海岸瞭望塔 接到位于其北偏西 方向且相距12海里的渔船 的求救信号，于是立即通知处在瞭望塔正西方向B处的北斗救援队前往救援，救援队
测得渔船 位于 的东北方向，求此时救援队与渔船之间的距离 ．（结果保留根号）
15．（2023春·陕西渭南·八年级校考期末）如图，港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开
港口，各自沿一个固定方向航行，甲船沿西南方向以每小时12海里的速度航行，乙船沿东南方向以每小时
16海里的速度航行，它们离开港口5小时后分别位于 、 两处，求此时 之间的距离．
16．（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单
位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高
出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇
的长度分别是多少？17．（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图，一架梯子 长2.5米，顶端A靠在垂直于地面的墙
上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在 的位置上，测得 长为0.9米，计算
梯子顶端A下滑的距离．
18．（2024·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子
底端到左墙角的距离 为0.7米，梯子顶端到地面的距离 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将
梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为1.5米．（1）梯子 的长是多少？（2）求小巷的宽．
19．（2024·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，该路 和铁路 在P点处交汇，点A
处是第九十四中学， 米，点A到铁路 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受
到吸音影响，火车在铁路 上沿 方向行驶时．(1)学校是否会受到影响？请说明理由；
(2)如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒那么学校受到影响的时间是多久？20．（2023春·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累
计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已
知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且
千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？
为什么？(2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，
参考数据 ， ， ）
21．（2023·江西景德镇·八年级期中）（1）已知 三边长分别为 ， ， ，小迪在解决这一
问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外
接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出 的面积．请你帮助小迪计算出 的面
积；
（2）若 三边长分别为 ， ， ，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出
格点三角形DEF，并求出 的面积；（3）若 三边长分别为 ， ，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出
的面积．
