文档文本内容
2025年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。（题为回忆版，可能会有些许错误）
一、填空题（本大题共12题，第1∼6题每题4分，第7∼12题每题5分，共54分。考生应在答题纸的相应
位置直接填写结果。）
1.已知全集U={x|2≤x≤5,x∈R}，集合A={x|2≤x<4,x∈R}，则A= ．
x-1
2.不等式 <0的解集为 ．
x-3
3.已知等差数列a
n
的首项a =-3，公差d=2，则该数列的前6项和为 ．
1
4.在二项式(2x-1)5的展开式中，x3的系数为 ．
π π
5.函数y=cosx在 - ,
2 4
到的值域为 ．
5 6 7
6.已知随机变量X的分布为
0.2 0.3 0.5
，则期望E[X]= ．
7.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD 中，BD=4 2,DB =9，则该正四棱柱的体积为 ．
1 1 1 1 1
B C
1 1
A
1 D
1
B C
A D
1 1
8.设a,b>0,a+ =1，则b+ 的最小值为 ．
b a
9.4个家长和2个儿童去爬山．6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数
有 种.
10.已知复数z满足z2=(z)2,|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是 ．
数学试题 第 1 页 共 4 页11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．
某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接
触点分别为A,B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平
行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子
的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角θ=
结果用角弧度制表示，精确到0.01°
平
行
阳
光 杆
杆 B
θ
A
1 x>0
12.已知函数f(x)=0 x=0，a、b、c是平面内三个不同的单位向量．若f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0，
-1 x<0
则|a+b+c|的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且仅有一个正确选
项）
1 1
13.已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为P(A)= ，事件B发生的概率为P(B)= ，则事件A
2 2
∩B发生的概率P(A∩B)为 ( )
1 1 1
A. ． B. ． C. ． D. 0
8 4 2
14.设a>0,s∈R．下列各项中，能推出as>a的一项是 ( )
A. a>1，且s>0． B. a>1，且s<0．
C. 0<a<1，且s>0． D. 0<a<1，且s<0
15.已知A(0,1),B(1,2),C在Γ:x2-y2=1(x≥1,y≥0)上，则ΔABC的面积 ( )
A. 有最大值，但没有最小值． B. 没有最大值，但有最小值．
C. 既有最大值，也有最小值． D. 既没有最大值，也没有最小值
16.设λ=[0,1]，数列a =10n-9，数列b =2n．设c =λa +(1-λ)b ．若对任意λ∈[0,1]，长为a 、b 、c
n n n n n n n n
的线段均能构成三角形，则满足条件的n有 ( )
A. 1个． B. 3个． C. 4个． D. 无穷
三、解答题：解答题（本大题共5题，第17一19题每题14分，第20一21题每题18分，共78分。）
17（. 第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混
合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列：206.78、207.46、207.95、209.34、209.35、
210.68、213.73、214.84、216.93、216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=-0.311x+b，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军
队的成绩（精确到0.01秒）．
数学试题 第 2 页 共 4 页18（. 第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2．
π
（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积；
3
π
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧的长为 ,CD//AB．设点M在线段OC上，
3
证明：直线QM//平面PBD．
P
O
A B
19（. 第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知f(x)=x2-(m+2)x+mlnx,m∈R．
（1）若f(1)=0，求不等式f(x)≤x2-1的解集；
（2）若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值，求m的取值范围；
数学试题 第 3 页 共 4 页20（. 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
x2 y2
已知椭圆Γ: + =1(a> 5),M(0,m)(m>0),A是Γ的右顶点．
a2 5
（1）若Γ的焦点是(2,0)，求离心率e；
（2）若a=4，且Γ上存在一点P，满足PA=2MP，求m；
（3）若AM中垂线l的斜率为2,l与Γ交于C、D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围．
21（. 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数y=f(x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合M ={x|f(x+a)=f(x)}．
a
π
（1）若f(x)=sinx，判断 是否是M 中的元素，并说明理由；
3 π
x+2 x<0
（2）若f(x)= ,M ≠⌀，求a的取值范围；
x x≥0 a
（3）设y= f(x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f(x)=1-x，且对任意a∈(0,2)，均有M ⊆M ．写出y=
a 2
f(x),x∈(1,2)的解析式，并证明：对任意实数c，函数y=f(x)-c在[-3,3]上至多有9个零点．
数学试题 第 4 页 共 4 页
