2025年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）_2025年全国各省市全科高考真题及答案_版本二（互相补充）_5、天津卷（全科，持续更新）_数学

2025年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。（题为回忆版，可能会有些许错误）
一、单选题：每小题给出的四个选项中，每小题只有一个选项符合要求
1.集合U=1,2,3,4,5A=1,3B=2,3,5，则C (A∪B)= ( )
U
A. {1,2,3,4} B. {2,3,4} C. {2,4} D. {1}
2.“x=0”是“sin2x=0”的 ( )
A. 允分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件
3.已知函数y=f(x)的图像如下，则f(x)的解析式可能为 ( )
x x |x| |x|
A. f(x)= B. f(x)= C. f(x)= D. f(x)=
1-|x| |x|-1 1-x2 x2-1
4.暂无
5.下列说法错误的是 ( )
A. X∼Nμ,σ2  ，若P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B. X∼N1,22  ,Y∼N2,22  ，则P(X<1)<P(Y<2)
C. |r|越接近于1，线性相关程度越强
D. |r|越接近于0，线性相关程度越弱
6.S
n
=-n2+8n．则a n前12项和 ( )
7.f(x)=0.3x- x的零点在 ( )
A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)
数学试题 第 1 页 共 4 页π π
8.f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)，在 - ,
 12 12

π
上单调递增，且x= 为它的一条对称轴，
12
π
 ,0
3

π
是它的一个对称中心，当x∈ 0,
 2
 时，f(x)的最小值为 ( )
3 1
A. - B. - C. 1 D. 0
2 2
x2 y2
9.双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，以右焦点F 为焦点的抛物线y2=2px(p>
a2 b2 1 2 2
0)与双曲线在第一象限的交点为P，若PF 1+PF 2=3F
1
F 2，则双曲线的离心率e= ( )
2+1 5+1
A. 2 B. 5 C. D.
2 2
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分
3+i
10.已知i是虚数单位，则 = ．
i
11.在(x-1)6的展开式中，x3项的系数为 ．
12.l:x-y+6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x+1)2+(y-3)2=r2交于C,D两点，|AB|=
1
3|CD|，则r= ．
13.小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第
二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，4圈子的概
率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连结跑4财，记合格周
数为X，则期望E(X)= .
     
1
14.ΔABC中，D为AB边中点，CE= CD,AB=a,AC=b，则AE= ；若|AE|=5，AE⊥CB，则
3
 
AE⋅CD= ．
15.若a,b∈ℝ，对∀x∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16（. 14分）
在ΔABC中，asinB= 3bcosA,c-2b=1,a= 7．
（1）求角A；
（2）求边c；
（3）求sin(A+2B)．
数学试题 第 2 页 共 4 页17（. 15分）
正方体ABCD-ABCD 的棱长为4,E,F分别为A,D,CB 中点，CG=3CG．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（1）求证：GF⊥平面EBF；
（2）求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值；
（3）求三棱一D-BEF的体积．
D C
1 1
E F
G
A
1 B
1
D C
A B
18.15分 
x2 y2
已知椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A,P为x=a上一点，且直线PF的斜率为
a2 b2
1 3 1
,ΔPFA的面积为 ，离心率为 ．
3 2 2
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB．
数学试题 第 3 页 共 4 页19（. 15分）
a
n
 是等差数列，b
n
 是等比数列，a =b =2,a =b +1,a =b ．
1 1 2 2 3 3
（1）求a
n
 ,b
n
 的通顶公式；
（2）∀n∈ℕ*有T =pab +p a b +⋯+p a b |p,p ,⋯,p ∈I
n 1 1 1 2 2 2 n n n 1 2 n
 ,I={0,1}．
（i）求证：∀t∈T，均有t<a b ；
n n+1 n+1
（ii）求T 所有元元之和．
n
20（. 16分）
己知函数f(x)=ax-(lnx)2．
1  a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
2  f(x)有3个零点x 1 ,x 2 ,x 3 ，且x 1 <x 2 <x 3  ．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：lnx 2 -lnx 1 
4e
⋅lnx < ． 3 e-1
数学试题 第 4 页 共 4 页