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专题 09 中考热点勾股定理与网格中的作图及计算（解析版）
类型一 求网格中角的度数
（一）角的顶点是格点
1．（2023秋•鼓楼区月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，
A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝ 4 5 °．
【分析】连接AC，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，再根据
AC＝BC=❑√5，从而可得△ABC是等腰直角三角形，即可解答．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC2＝12+22＝5，
BC2＝12+22＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC=❑√5，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
（二）角的顶点不是格点
2．（2023春•微山县期中）在3×2的网格中（如图所示），每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD
的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数等于（ ）A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】取格点E，连接AE，BE，可证∠BAE＝∠BOD，根据勾股定理和逆定理可判断△ABE为等腰
直角三角形，即可解答．
【解答】解：取格点E，连接AE，BE，则AE∥CD，
∴∠BAE＝∠BOD，
由勾股定理，得AB2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10，
∴AB2+BE2＝AE2，AB＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠BOD＝∠BAE＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的
关键．
（三）求角的和或差
3．（2023秋•北京期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠DAB+∠DBA＝ 4 5 °．（点D，A，B是网
格线交点）
【分析】构造等腰直角三角形DTB，再利用三角形的外角的性质解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到T，连接BT．则TD2＝BT2＝1+22＝5，DB2＝12+32＝10，
∴TD2+TB2＝DB2，
∴∠DTB＝90°，
∴∠TDB＝∠DAB+∠DBA＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．（2023秋•南召县期末）如图，A，B，C，O四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠AOB﹣∠BOC＝
45 °．
【分析】根据轴对称图形的性质得到∠DOB＝∠COB，可得∠AOB﹣∠BOC＝∠AOD，根据勾股定理和
勾股定理的逆定理得到△DAO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，找到C点关于OB的对应点，连结OD，AD，
则∠DOB＝∠COB，
则∠AOB﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠BOD＝∠AOD，
∵AO＝AD=❑√22+12=❑√5，
OD=❑√32+12=❑√10，
（❑√5）2+（❑√5）2＝（❑√10）2，
∴△DAO是等腰直角三角形，
∴∠AOD＝45°，即∠AOB﹣∠BOC＝45°．
故答案为：45．【点评】此题主要考查了轴对称、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，得出∠AOB
﹣∠BOC＝∠AOD是解题关键．
5．（2023 春•庐阳区期中）如图，在正方形网格内，A、B、C、D 四点都在小方格的格点上，则
∠BAC+∠DAC＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】作B关于AC的对称点B'，连接B'A'，B'D，则∠BAC＝∠B′AC，在网格中运用勾股定理得到
线段长，进而证明△AB'D是等腰直角三角形，得到∠B'AD＝45°，即∠BAC+∠DAC＝45°．
【解答】解：作B关于AC的对称点B'，连接B'A'，B'D，如图所示：
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵B′ A=❑√12+32=❑√10，B′D=❑√12+32=❑√10，AD=❑√22+42=2❑√5，
∴AB'＝B'D，B'A2+B'D2＝AD2，
∴△AB'D是等腰直角三角形，
∴∠B'AD＝45°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B'AC+∠DAC＝∠B'AD＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查网格中求角度问题，涉及勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．
6．（2023秋•惠安县期末）如图是2×4正方形网格图，点A、B、C、D、E都是格点，则∠BAC﹣∠BDE
＝ 4 5 °．
【分析】作△AFG≌△DBE，连接BF，∠BAF＝∠BAC﹣∠BDE，可证△ABC≌△BFE，所以∠BAC＝
∠FBE，AB＝BF，即△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°即为所求．
【解答】解： ，
作△AFG≌△DBE，连接BF，
∴∠FAG＝∠BDE，
∠BAC﹣∠BDE＝∠BAC﹣∠FAC＝∠BAF，
∵AC＝BE，∠BEF＝∠ACB，BC＝EF，
∴△ABC≌△BFE，
∴∠BAC＝∠FBE，AB＝BF，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠FBE＝90°，
即∠ABF＝90°，
∵AB＝BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BAF＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，关键是作辅助线将∠BAC﹣∠BDE转化成∠BAF．
7．（2022秋•集贤县期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，
则∠2+∠3的度数为（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】如图所示（见详解），证明△ABE≌△CDE（SAS）可得，∠2+∠3＝∠DCE+∠3＝∠DCB，在
正方形HCFB中，BC是对角线，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，
∵AB＝CD＝2，BE＝DE＝1，∠ABE＝∠CDE＝90°，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴∠2＝∠DCE，
∴∠2+∠3＝∠DCE+∠3＝∠DCB，
在正方形HCFB中，BC是对角线，
∴∠DCB＝45°，
∴∠2+∠3＝45°，
故选：B．
【点评】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据
全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
8．（2023春•滨州期末）如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E
均在格点上，连接AC，AD．
（1）∠DAC的大小为 9 0 （度）；
（2）∠ABC﹣∠DCE＝ 4 5 （度）．【分析】（1）根据勾股定理可以得到AD、AC和CD的长，再根据勾股定理的逆定理可以判断△DAC
的形状，然后即可得到∠DAC的度数；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质，可以得到∠ABC和∠ACE的关系，从而可以得到∠ABC
﹣∠DCE的值．
【解答】解：（1）由图可得，
AD=❑√12+22=❑√5，AC=❑√12+22=❑√5，CD=❑√12+32=❑√10，
∴AD2+AC2＝CD2，AD＝AC，
∴△DAC是等腰直角三角形，∠DAC＝90°，
故答案为：90；
（2）由图可得，
CA＝CB，
∴∠ABC＝∠CAB，
∵AB∥CE，
∴∠CAB＝∠ACE，
∴∠ABC﹣∠DCE＝∠ACE﹣∠DCE＝∠ACD，
由（1）知：△DAC是等腰直角三角形，∠DAC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
即∠ABC﹣∠DCE＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（2023秋•青秀区月考）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 9 0 度．【分析】证明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1＝45°，根据网格的特点可知∠3＝45°，即
可求解．
【解答】解：如图，
在△ABC与△DEF中，
{
AC=DF
)
∠ACB=∠DFE ，
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵FD∥CG，
∴∠2＝∠FDC，
同理可得△DCG≌△CEB，
∴EC＝ED，∠2＝∠BEC，
∵∠BEC+∠ECB＝90°，
∴∠2+∠EBC＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
即∠4+∠FDC＝∠1+∠2＝45°，
根据网格的特点可知∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故答案为：90．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得∠1+∠2＝45°是
解题的关键．
10．（2023秋•张店区期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G，H，I都在格点上，则
∠IAH+∠IBG+∠ICF+∠IDF+∠IEF＝ 22 5 °．
【分析】首先利用勾股定理求出 AI＝IE=❑√10，BI＝ID=❑√13，再根据 SSS 证明△AHI≌△IFE，
△BGI≌△IFD，得出∠IAH＝∠EIF，∠IBG＝∠DIF，根据直角三角形两锐角互余求出∠IAH+∠IEF＝
90°，∠IBG+∠IDF＝90°，由△ICF是等腰直角三角形可得∠ICF＝45°．
【解答】解：假设每个小正方形的边长为1．
由勾股定理可得，AI＝IE=❑√32+12=❑√10，BI＝ID=❑√32+22=❑√13．
在△AHI与△IFE中，
{AH=IF=3
)
HI=FE=1 ，
AI=IE
∴△AHI≌△IFE（SSS），
∴∠IAH＝∠EIF，
∴∠IAH+∠IEF＝∠EIF+∠IEF＝90°，
同理∠IBG＝∠DIF，
∴∠IBG+∠IDF＝∠DIF+∠IDF＝90°，
∵IF＝CF＝3，∠F＝90°，∴△ICF是等腰直角三角形，
∴∠ICF＝45°，
∴∠IAH+∠IBG+∠ICF+∠IDF+∠IEF＝90°+90°+45°＝225°．
故答案为：225．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形、等腰直角三角形的判定与性质，求出∠IAH＝∠EIF，
∠IBG＝∠DIF是解题的关键．
类型二 求线段的长度
11．（2023秋•于洪区期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
【解答】解：如图所示：
AB=❑√32+42=5，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．
4❑√13
12．（2022秋•高碑店市期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若AC=
3
，则BC的长为（ ）2❑√13
A． B．❑√13 C．2❑√13 D．3❑√13
3
【分析】根据勾股定理求得AB的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
4❑√13
【解答】解：∵AB=❑√62+42=2❑√13，AC= ，
3
4❑√13 2❑√13
∴BC＝AB﹣AC＝2❑√13− = ，
3 3
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2
＝c2．
13．（2023秋•市中区期中）如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的线段长为有理数的有（ ）条．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用勾股定理求出每条线段的长即可得到答案．
【 解 答 】 解 ： 由 勾 股 定 理 和 网 格 的 特 点 可 得 AB=❑√12+22=❑√5， CD=❑√32+42=5，
HG=❑√22+22=2❑√2，EF=❑√12+32=❑√10，
∴4条线段长为有理数的只有1条，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理与网格问题，正确理解勾股定理求出对应线段的长是解题的关键．
14．（2023秋•薛城区期末）如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示❑√5长的线段是（ ）
A．OA B．OB C．OC D．OD
【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可．【解答】解：由勾股定理得，OA=❑√12+12=❑√2
OB=❑√12+22=❑√5，
OC=❑√12+32=❑√10，
OD=❑√12+42=❑√17，
∴表示❑√5应为线段OB．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握利用勾股定理求线段的长是解题关键．
15．（2023秋•深圳期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆
心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．❑√13 B．❑√5 C．2.2 D．3−❑√5
【分析】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△ACD中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD=❑√AD2−AC2=❑√32−22=❑√5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，明确AD＝AB＝3是解题的关键．
16．（2023•雁塔区二模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，
若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）❑√10 3❑√10
A． B．❑√10 C． D．3❑√10
2 2
【分析】由勾股定理求出 BC＝5，AC＝3❑√10，AB＝5，得出AB＝BC，由等腰三角形的性质得出
BD⊥AC，AD＝CD，根据勾股定理可求出答案．
【解答】解：由题意可得，BC=❑√32+42=5，AB＝5，AC=❑√32+92=3❑√10，
∴AB＝BC，
∵BD是∠ABC的平分线，
1 3
∴BD⊥AC，AD＝CD= AC= ❑√10，
2 2
√ 3 ❑√10
∴BD=❑√AB2−AD2=❑52−( ❑√10) 2= ，
2 2
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（2023春•泗水县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC的三个顶
点A，B，C都在格点上，已知D是边AC的中点，连接BD，则BD的长为（ ）
5
A．2 B． C．3 D．5
2
【分析】根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出∠ABC＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解答】解：∵AB2＝22+12＝5，BC2＝42+22＝20，AC2＝42+32＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵BD是AC边上的中线，
1 5
∴BD= AC= ，
2 2
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半即可得到结论．
类型三 求三角形的高或者点到直线的距离
18．（2023秋•电白区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边
长的高为（ ）
❑√30 8 ❑√13 4
A． B． ❑√5 C． D． ❑√5
2 5 2 5
1
【分析】先由勾股定理求出AC=❑√5，设AC边长的高为h，再由面积法得出 AC×h＝4，然后求出h即
2
可．
【解答】解：由勾股定理得：AC=❑√22+12=❑√5，
设AC边长的高为h，
1 1 1 1
∵S△ABC ＝3×4−
2
×2×3−
2
×1×2−
2
×2×4＝4，S△ABC =
2
AC×h，
1
∴ AC×h＝4，
24 4 8
= = = ❑√5
∴h 1 1 5 ，
AC ×❑√5
2 2
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、矩形面积和三角形面积的计算，由面积法列出关于 AC边长的高h的方
程是解题的关键．
19．（2023春•桥西区期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到
AB的距离为（ ）
3❑√10 2❑√10 5❑√10 4❑√10
A． B． C． D．
10 5 4 5
【分析】连接AC、BC，利用割补法求出S△ABC ＝一个矩形面积﹣三个三角形面积＝4，根据勾股定理求
1
出AB=❑√10，设C点到AB的距离为h，根据S = AB⋅ℎ =4，即可求出h的值．
△ABC 2
【解答】解：如图，连接AC、BC，
1 1 1
∵S =3×3− ×3×1− ×3×1− ×2×2=4，
△ABC 2 2 2
∴AB=❑√32+12=❑√10，
设C点到AB的距离为h，
1
∵S = AB⋅ℎ =4，
△ABC 2
8 4❑√10
∴ℎ = = ．
❑√10 5故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的
平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
类型四 求点的坐标
20．（2023秋•南昌期末）在3×3的网格中，有A（1，1）、B（3，0）、C三个格点，当△ABC是直角三
角形时，则点C的坐标可以是 （ 1 ， 0 ）或（ 3 ， 1 ）或（ 2 ， 3 ） ．
【分析】根据勾股定理逆定理求解即可．
【解答】解：如图，
∵AC ＝BC ＝1，BC ＝AC ＝2，AB＝AC =❑√12+22=❑√5，BC =❑√12+32=❑√10，
1 2 1 2 3 3
∴ AC 2+BC 2=12+22 ＝ 5=(❑√5) 2=AB2 ， AC 2+BC 2=12+22 ＝ 5=(❑√5) 2=AB2 ， AB2
1 1 2 2
+AC 2=(❑√5) 2+(❑√5) 2=10=(❑√10) 2=BC 2，
3 3
∴△ABC 、△ABC 、△ABC 是直角三角形，
1 2 3
∴点C的坐标可以是（1，0）或（3，1）或（2，3），
故答案为：（1，0）或（3，1）或（2，3）．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
21．（2023春•上高县期末）如图，在数轴上方作边长为1的小正方形网格，以原点O为圆心，OB的长为
半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为 ❑√10 ．【分析】根据网格特点及勾股定理可求解OB的长，由作图可知OA＝OB，可得OA的长，再结合数轴
的特点可求解．
【解答】解：由图可知：OB=❑√32+12=❑√10，
∵OA＝OB，
∴OA=❑√10，
∴A点表示的数为❑√10．
故答案为：❑√10．
【点评】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，求解OA的长是解题的关键．
22．（2023秋•白银期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），以点O为圆心，OA的长为半
径画弧，交网格线于点B（a，2），则a的值是 ❑√6 ．
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，则OD＝a，再由勾股定
理求出a的值即可．
【解答】解：∵点A（1，3），
∴OA=❑√12+32=❑√10，
∵以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交网格线于点B（a，2），
∴OB＝OA=❑√10，
连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点B（a，2），
∴OD＝a，∴a2+22＝（❑√10）2，
解得a＝±❑√6（负值舍去）．
故答案为：❑√6．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜
边长的平方是解题的关键．
类型五 通过计算判断三角形的形状
23．（2023秋•忻州期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【解答】解：A、三角形的三边为❑√5，2❑√2，3，(❑√5) 2+(2❑√2) 2≠32，则这个三角形不直角三角形，
本选项不符合题意；
B、三角形的三边为❑√5，❑√10，❑√17，(❑√5) 2+(❑√10) 2≠(❑√17) 2，则这个三角形不直角三角形，本选项
不符合题意；
C、三角形的三边为❑√10，❑√10，2❑√5，(❑√10) 2+(❑√10) 2=(2❑√5) 2，则这个三角形是直角三角形，本
选项符合题意；
D、三角形的三边为❑√10，❑√10，2❑√2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形
就是直角三角形．也考查了勾股定理．
24．（2023春•玉州区期中）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，
所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，根据勾股定理的
逆定理得出直角三角形即可．
【解答】解：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，
BD2＝12+22＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，
注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
25．（2023春•思明区期末）如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，
A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（
）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【分析】先利用勾股定理求出 AB 的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足 AB2+CD2＝EF2或
CD2+EF2＝AB2，即为直角三角形，解出EF的长，进而得出点F的位置．
【解答】解：由题意可得，CD＝2，AB=❑√22+32=❑√13．
∵以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，
∴AB2+CD2＝EF2或CD2+EF2＝AB2，
即13+4＝EF2或4+EF2＝13，
解得EF=❑√17或3，
F点的位置如图所示．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形
就是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
26．（2023秋•佛山期末）如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使△ABC为
直角三角形，则点C的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【分析】根据网格的特点，以及直角三角形的定义即可求解．
【解答】解：如图所示，
共有6个格点使△ABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图
形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
27．（2023秋•泾阳县期末）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你
根据所学的知识解决下面问题．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
【分析】（1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：（1）AB=❑√32+22=❑√13，AC＝8，BC=❑√62+32=3❑√5，
∴△ABC的周长=❑√13+8+3❑√5；
（2）△ABC不是直角三角形，
理由：∵小方格边长为1，
∴AB2＝22+32＝13，AC2＝82＝64，BC2＝62+32＝45，
∴AB2+BC2≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形．
【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题要运用勾股定理的逆定理：若三角形
ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
28．（2023秋•莲湖区期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】根据网格可得AB2+BC2＝AC2，∠BAC＝90°，所以可得△ABC是直角三角形．
【解答】解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AB2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AC2＝32+42＝25，
∴AB2+BC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，
b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
类型六 求三角形（图形）的面积
29．（2023秋•南昌期末）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在
格点上．
（1）点A的坐标为 （ 3 ， 4 ） ，点B的坐标为 （ 0 ， 2 ） ；
（2）图中线段BC的长为 ❑√17 ；
（3）△ABC的面积为 5. 5 ；
17 5
（4）点P在y轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，则点P的坐标为 （ 0 ， ）或（ 0 ， − ）
3 3
．【分析】（1）根据图形即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到答案；
（4）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（0，2）；
故答案为：（3，4），（0，2）；
（2）BC=❑√12+42=❑√17；
故答案为：❑√17；
1 1 1
（3）S△ABC ＝4×3−
2
×2×3−
2
×1×4−
2
×1×3＝5.5；
故答案为：5.5；
（4）设P（0，m），
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
1
∴ |m﹣2|×3＝5.5，
2
17 5
解得：m= 或− ，
3 3
17 5
∴点P的坐标为（0， ）或（0，− ）．
3 3
17 5
故答案为：（0， ）或（0，− ）．
3 3
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，坐标与图形性质，熟练掌握勾股定理是解题的关
键．
30．（2023秋•长春期末）如图，A、B、C、D在边长为1的正方形网格的格点上．
（1）求四边形ABCD的周长．（2）直接写出四边形ABCD的面积为 7 ．
【分析】（1）由勾股定理求出AD，AB的长，即可求出四边形ABCD的周长；
（2）求出矩形MNPQ的面积、△AQD的面积、△PAB的面积，即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）由勾股定理得：AD＝BC=❑√12+12=❑√2，AB＝CD=❑√32+42=5，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝2❑√2+10．
1 1 1
（2）∵△AQD的面积＝△BCN的面积= ×1×1= ，△PAB的面积＝△MDC的面积= ×3×4＝6，矩
2 2 2
形MNPQ的面积＝4×5＝20，
∴四边形ABCD的面积＝矩形MNPQ的面积﹣△AQD的面积﹣△BCN的面积﹣△PAB的面积﹣△MDC
1
的面积＝20− ×2﹣6×2＝7．
2
故答案为：7．
【点评】本题考查勾股定理，三角形、矩形的面积，关键是由勾股定理求出AD，AB的长．
31．（2023•新昌县模拟）一青蛙在如图所示的8×8的正方形网格（每个小正方形的边长为1）的格点上跳
跃，它每次所跳的距离均为❑√5，从点A开始连续跳8次正好回到点A，构成一个封闭图形，则封闭图
形面积的最大值为（ ）A．16 B．20 C．24 D．28
【分析】青蛙在格点上，从点A开始连续跳8次正好跳回到点A，它所跳过的线段组成的图形是八边形，
且边长为❑√5，求八边形的面积即可．
【解答】解：如图，
青蛙从点A开始连续跳8次正好跳回到点A，它所跳过的线段组成的图形是八边形，且边长为❑√5，八
1
边形的面积为6×6−4×1×1−8× ×1×2=24．
2
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型七 在网格中作特殊三角形
32．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下
列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2❑√2，❑√5；
（3）在图3中，画一个三角形，使它的三边都是无理数，并且构成的三角形是直角三角形．
【分析】（1）直接利用三角形三边长分别为3，4，5得出答案；
（2）结合勾股定理得出符合题意的答案；
（3）结合勾股定理得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示：
（3）如图3所示：
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确结合勾股定理分析是解题关键．
类型八 仅用无刻度的直尺在网格中作图
33．（2023春•武昌区期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是一个单位，每个小正方形的顶点叫
做格点．已知A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺作出符合下列问题的图形．（1）在图1中，线段AB＝ ❑√26 ，∠ACB＝ 9 0 度；
（2）在图1中，在AB上作出点D，使得DA＝DC；
（3）在图2中，AB交其中一条网格线于点E，在平面中作一个点F，使得EF=❑√10；
（4）在图3中，点A是格点，点P在网格线上，将线段AP向左平移三个单位得线段MN．
【分析】（1）根据网格上的单位长度求出AB、AC、BC，再利用勾股定理的逆定理即可解答；
（2）根据题意可知作AC的垂直平分线即可得到点D；
（3）根据网格的单位长度计算出MN，再利用平移即可得到解答；
（4）根据题意平移AP即可解答．
【解答】解：（1）由图可知：AB=❑√52+12=❑√26，AC=❑√22+22=❑√8，BC=❑√32+32=❑√18，
∵AC2+AB2＝26，AB2＝26，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
故答案为：❑√26，90°；
（2）如图所示即可所求，
∵DA＝DC，
∴作线段AC的垂直平分线与线段AB相交于点D，点D即为所求．
（3）如图所示EF即为所求，∵MN=❑√32+12=❑√10，
∴将点M平移到点E即可得到点F，
（4）∵线段AP向左平移三个单位得线段MN，
∴如图MN即为所求；
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，平移的性质，学会运用勾股定理
是解题的关键．
类型九 网格中的画图与计算的综合应用
34．（2023春•海淀区期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，
其中格点A已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）．
（1）在图中画一个△ABC，使其三边长分别为AB=❑√2，AC＝2❑√2，BC=❑√10；
2❑√10
（2）在（1）的条件下，计算：S△ABC ＝ 2 ；BC边上的高为
5
（直接写出结果）；
（3）设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a，b及h，
1 1 1
+ =
求证： ．
a2 b2
ℎ
2【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可．
（2）过点A作AH⊥BC于H．首先证明∠BAC＝90°，再利用面积法解决问题即可．
1 1
（3）设斜边为c，根据勾股定理即可得出c=❑√a2+b2，由 ab= ch，可得ab=❑√a2+b2×h，即a2b2＝
2 2
a2h2+b2h2，再变形可得结论．
【解答】（1）解：如图，△ABC即为所求作．
（2）解：过点A作AH⊥BC于H．
∵AB=❑√2，AC＝2❑√2，BC=❑√10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
1 1
∴S△ABC =
2
•AB•AC =
2
×❑√2×2❑√2=2，
1
∵ •BC•AH＝2，
2
2❑√10
∴AH= ，
5
2❑√10
故答案为：2， ．
5（3）证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c=❑√a2+b2，
1 1
∵ ab= ch，
2 2
∴ab=❑√a2+b2×h，即a2b2＝a2h2+b2h2，
a2b2 a2
ℎ
2 b2
ℎ
2
∴ = + ，
a2b2
ℎ
2 a2b2
ℎ
2 a2b2
ℎ
2
1 1 1
+ =
∴ ．
a2 b2
ℎ
2
【点评】本题属于几何变换综合题，三角形的面积，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利
用面积法解决问题，属于中考常考题型．
35．（2021春•新洲区期中）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出
PA+PB的最小值： 6❑√2 ；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出❑√x2+32+❑√(7−x) 2+42的最小值： 7❑√2 ．
【分析】（1）根据题意标出点B即可；
（2）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则此时PA+PB的值最小，根据勾股定
理求出结论即可；
（3）将条件中的数表示为直角三角形的直角边，画对应图形，作轴对称图形，求出最小值即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）如图所示，PA+PB的最小值=❑√62+62=6❑√2；（3）如图，AP=❑√x2+32，BP=❑√(7−x) 2+42，
∴PA+PB的最小值即为A′B=❑√72+72=7❑√2，
∴❑√x2+32+❑√(7−x) 2+42的最小值为7❑√2，
故答案为：6❑√2，7❑√2．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，正确的作出图形是解题的关
键．
36．（2019春•高阳县期中）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为❑√5、❑√10、❑√13，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时．先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点
△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高．而借用
网格就能计算出它的面积．
7
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
2
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为❑√2，❑√13，❑√17，请利
用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．并求出它的面积
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为❑√5a、2❑√2a、❑√17a（a＞0），请利用图（2）的正方形网格（每个小正
方形的边长为a）画出相应的△ABC．并求出它的面积．
（4）若△ABC三边的长分别为❑√m2+16n2、❑√9m2+4n2，2❑√m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运
用构图法求出这个三角形的面积．
【分析】（1）利用割补法求解可得；
（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为❑√2，❑√13，❑√17的首尾相接的三条线段，再利用割补法求
解可得；
（3）在网格中利用勾股定理分别作出边长为❑√5a、2❑√2a、❑√17a（a＞0）的首尾相接的三条线段，再
利用割补法求解可得；
（4）在网格中构建边长为6m和6n的矩形，同理作出边长为❑√m2+16n2、❑√92+4n2，2❑√m2+n2的三
角形，最后同理可得这个三角形的面积．
1 1 1 7
【解答】解：（1）△ABC的面积为3×3− ×1×2− ×1×3− ×2×3= ，
2 2 2 2
7
故答案为： ；
2
（2）如图②，AB=❑√17，BC=❑√13，AC=❑√2，1 1 1 5
由图可得：S△ABC ＝2×4−
2
×1×1−
2
×1×4−
2
×2×3=
2
；
（3）如图②，AB＝2❑√2a，BC=❑√5a，AC=❑√17a，
1 1 1
由图可得：S△ABC ＝2a×4a−
2
×a×2a−
2
×2a×2a−
2
×a×4a= 3a2；
故答案为：3a2；
（ 4 ） 构 造 △ ABC 所 示 ， AB=❑√(2m) 2+(2n) 2=2❑√m2+n2， AC=❑√m2+(4n) 2=❑√m2+16n2， BC
=❑√(3m) 2+(2n) 2=❑√9m2+4n2
1 1 1
S△ABC ＝3m×4n−
2
×m×4n−
2
×3m×2n−
2
×2m×2n＝5mn．【点评】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，
熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行
解答．
