文档内容
专题 1.5 分式全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 分式
1．分式的概念（1）分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．分式 中，A叫做分
子，B叫做分母．
（2）一个式子是分式需满足的三个条件：
①是形如 的式子；
②A，B为整式；
③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
【注意】
（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子
与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如 也可以表示为（a-1）÷（a+1），但
（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合 的形式．
2．分式有意义、无意义的条件
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0．
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0．
【注意】
（1）分式有无意义与分母有关，与分子无关．
（2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分
式就没有意义了．
3．分式的值为0的条件
分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且__________不等于0时，分式的值为0．
分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式 的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不
可．【拓展】对于分式 ，
（1）若 的值为正数，则 或 ；
（2）若 的值为负数，则 或 ；
（3）若 的值为1，则A=B且B≠0；
（4）若 的值为-1，则A+B=0且B≠0．
4．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
用式子表示为： = （C≠0），其中A，B，C是整式．
分式的基本性质是分式变形的理论依据．
【注意】
①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另
强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条
件．
②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做
“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．
③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同
一个整式C．
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．
用式子表示为：
或
5．约分、最简分式（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
（1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【归纳】
（1）约分的依据是分式的基本性质： ，其中A，B，C都是整式．
（2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．
（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将
分子、分母分解因式，再约分．
（4）约分的结果是整式或最简分式．
（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．
6．通分
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式
的通分．
约分与通分的联系与区别：
（1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即
每个分式变形之后都不改变原分式的值．
（2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．
（3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式．
最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最
简公分母．
【注意】
（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变．
确定最简公分母的方法：
（1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的
字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确
定．
通分的步骤：
（1）求各分式的最简公分母；
（2）用这个最简公分母除以分式的分母；（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．
【典例1】下列各式1，x， 4 ，2a−5， x ，m−n，x2+2x+1， c 中，分式共有（
x 3 3b3+5 π x2−y2 m+n x2+2x+1 3(a−b)
）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【典例2】下列分式中，不论x取何值，一定有意义的是（ ）
x−1 x−1 x−1 x−1
A． B． C． D．
x+1 x x2−1 x2+1
x+3
【典例3】若分式 有意义，则x的值为（ ）
|x|−3
A．x≠±3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≥﹣3且x≠3
x2−2x
【典例4】若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x−2
A．±2 B．0或2 C．0 D．﹣2
xy
【典例5】如果分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
3x+2y
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
【典例6】已知x 2，则 x2−3xy+2y2 的值是（ ）
=
y 7 2x2−3xy+7 y2
28 4 20 7
A． B． C． D．
103 103 103 103
【典例7】下列各式中，正确的是（ ）
−3x 3x a+b −a+b
A．− = B．− =
5 y −5 y c c
a a −a−b a−b
C．− = D． =
b−a a−b c −c
【典例8】计算．
（1）约分：a2+4ab+4b2；
a2−4b2
b a−b
（2）通分： ， ．
a2−ab a2+ab知识点2 分式的运算
1．分式的乘除
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为
【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．
（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化
为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的
分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定
符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式
子，然后依照分式除法法则计算．
（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．
（5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．
2．分式的乘方
分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
【注意】
（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把 写成 ．
（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正
数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．
（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．
3．分式的加减
（1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为 ．
（2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为 ．
【注意】
（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．
（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不
支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．
（3）异分母分式相加减的一般步骤：
①通分：将异分母分式转化成同分母分式；
②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；
③合并：分子去括号，合并同类项；
④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．
4．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘
方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活
地运用运算律，使运算尽量简便．
（2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要
把“-”号提到分式的前边．
5．整数指数幂与科学记数法
（1）整数指数幂：
若m，n为正整数，a≠0，则 ．
又因为 ，所以 ．
一般地，当n是正整数时， ，这就是说， 是 的倒数．
整数指数幂的运算性质
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．
上述式子中，m，n均为任意整数．（2）科学记数法
用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面
所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10．
【典例1】2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻≤8nm技术，标志着
我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米＝0.000000008米，0.000000008用科学记数法
可表示为（ ）
A．8×109 B．8×10﹣9 C．8×1010 D．8×10﹣10
1 −2 1 0
【典例2】若a=3−2，b=−32，c=(− ) ，d=(− ) ，则它们的大小关系是（ ）
2 3
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d D．c＜a＜d＜b
【典例3】计算；
x2 y2 1
（1）(− ) 2 ⋅(− ) 3 ⋅(− ) 4；
y x x
2x
（2）4x2y÷(
)
2；
−y
b2
（3）( ) 3÷(−b6c)；
ac
（4） x−y x2−y2 x−y ；
− ÷ ⋅
x+2y x2+4xy+4 y2 x+2y
（5） m2−n2 (n−m) 2 m+n．
⋅ ÷
(m−n) 2 m2n2 m
【典例4】计算：
m+2n n 2m
（1） + − ；
n−m n−m m−n
x2
（2） −x−1．
x−1
【典例5】计算化简
① a2b −c2 bc ；
( ) 3 ⋅( )÷( ) 4
c2 a2b a
12 2
② − ；
m2−9 m−3a2+b2
③ −a+b；
a−b
m−1 2m 1
④( + )÷ ．
m+1 m2−1 m2−1
3 a2−4a+4
【典例6】已知分式A＝（a+1− ）÷ ．
a−1 a−1
（1）化简这个分式；
（2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a＞2时，分式B的值较原来分
式A的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值．
【典例7】先化简 a2 a ，然后从﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为a的值代入求
( −a−2)÷
a−2 a2−4a+4
值．
知识点3 分式方程
1．分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
【归纳】
（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．
（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的
解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
（3）解分式方程产生不适合原方程解的原因：在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而
对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无
解．
3．分式方程的应用
分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题
的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求
出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
1 2x+1 1−3x x x
【典例 1】下列关于 x 的方程中（1） =1；（2） =1+ ；（3） + =1；（4）
x 3 4 b b
x 2x+3 y
−3=a+4；（5） +1=0，其中是分式方程的有（ ）
a π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
m 6
【典例2】已知关于x的分式方程 + =1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
x−1 1−x
A．m＞5 B．m≥5 C．m≥5且m≠6 D．m＞5且m≠6
mx−1 1
【典例3】关于x的方程 + =2有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ）
x−2 2−x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2m+x 2
【典例4】对于关于x的分式方程 −1= ，以下说法错误的是（ ）
x−3 x
A．分式方程的增根是x＝0或x＝3
3
B．若分式方程有增根，则m=−
2
1 3
C．若分式方程无解，则m=− 或m=−
2 2D．分式方程的增根是x＝3
【典例5】某文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，面包车的租金为180元，出发时又增
加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了 3元车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为
（ ）
180 180 180 180
A． − =3 B． − =3
x−2 x x+2 x
180 180 180 180
C． − =3 D． − =3
x x−2 x x+2
【典例6】某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时
3500 3500
“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程 = +8，根据已有信息，题中用“×××”
x−15 x
表示的缺失的条件应补充为（ ）
A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成
B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成
C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成
D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成
【典例7】某化工厂用A，B两种型号的机器人搬运化工原料，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小
时多搬运30kg，每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等．
（1）求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某化工厂有4500kg化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由
8个A型机器人搬运2小时，再增加若干个B型机器人一起搬运，问至少增加多少个B型机器人才能按
要求完成任务？
