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2023 年高考押题预测卷 03
文科数学·全解全析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．已知集合 ，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合 的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.
【详解】 ，
选项A中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示 ，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意，
故选：B
2．若 ，则 （ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】B
【分析】由题意求 ，进而可求其模长.
【详解】∵ ，则 ，
则 .
故选：B.
3．已知命题 ，有 成立；命题 “ ”是“ ”的充要条件，则下列命题中为真命
题的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分别判断命题 的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得解.
【详解】当 时， ，所以命题p是真命题，则 为假命题，
由 ，得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故命题q是假命题，则 为真命题，
所以 ， 为假命题， ， 真命题，则 为假命题.
故选：C．
4．将 的图象向左平移 个单位，所得图象与 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先求出与 关于 轴对称的解析式，然后一一分析选项即可.
【详解】与 关于 轴对称的三角函数为 ，
对A，平移后的解析式为 ，不合题意，舍去；
对B，平移后的解析式为 ，符合题意，
对C，平移后的解析式为 ，不合题意，舍去；
对D，平移后的解析式为 ，不合题意，舍去；
故选：B.
5．已知变量x，y满足 ，则 的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.
【详解】作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影四边形 （含边界），
，目标函数 ，即 表示斜率为 ，纵截距为 的平行直线系，
画直线 ，平移直线 到直线 ，当直线 过点 时，直线 的纵截距最小， 最大，即
，
所以 的最大值为4.
故选：A
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换运算求解.
【详解】由题意可得：
，
则 .
故选：B.
7．随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为 ，所对应的概率分别为
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用表格列举出所有可能的余数情况，并确定余数为 对应概率，即可得结果.
【详解】由题设，两枚骰子所得点数和除以4的余数情况如下：
除以4的余数 1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 1 2 32 3 0 1 2 3 0
3 0 1 2 3 0 1
4 1 2 3 0 1 2
5 2 3 0 1 2 3
6 3 0 1 2 3 0
由上表知：共36种情况，其中余数为 分别有9种、8种、9种、10种，
所以 .
故选：A
8．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断 的奇偶性，再根据 时的函数值的符号判断图象.
【详解】因为 ， ，
所以 ，故函数 的为奇函数，排除BD；
又 所以 ，故A错误.
故选：C
9．在正四棱柱 中， ， ， 为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且
，则点 的轨迹的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点 垂直于 的正四棱柱的截面即可计算
作答.【详解】在正四棱柱 中，连接 ，如图， ， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，又 平面 ，
，则 平面 ，又 平面 ，则 ，
取 中点 ，连接 ，在平面 内过 作 ，交 于 ，显然 ，
而 平面 ，则 平面 ，有 ，
又 平面 ， ，于是 平面 ，而 平面 ，因此 ，
因为 平面 ， ，从而 平面 ，
连接 ，则点 的轨迹为平面 与四棱柱的交线，即 ，
因为 ，即有 ，又 ，
于是 ，有 ， ，
所以点 的轨迹长为 .
故选：A
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几
何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点
中至少有两个点在几何体的同一平面上.
10．已知 是定义域为 的函数， 为奇函数， 为偶函数，则有① 为奇函数，②
关于 对称，③ 关于点 对称，④ ，则上述推断正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】解：（法一）根据 为奇函数，得到 关于 对称，再由 是 上的奇函数，得到 过 ，然后由 为偶函数，得到 关于 对称，再结合推出 的周期
为4即可.（法二）举例 判断；
【详解】解：（法一）因为 为奇函数，所以
关于 对称，
又 是 上的奇函数，过 ， 点，所以 过 ，所以有 ；
又 为偶函数，所以 ，所以 关于 对称；所以有
，
又 ，所以 ，所以 周期为4，
所以由 ，得 ，所以 为奇函数，所以①②④正确.
（法二）举例： 符合题意，再验证得到①②④正确.
故选：D.
11．已知椭圆 ，点 是 上任意一点，若圆 上存在点 、 ，使得
，则 的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，设直线 、 分别与圆 切于点A、B， ，根据题意得到 ，在直角
三角形中，利用正弦函数的定义得到 ，再结合 ，得到 的离心率的取值范围．
【详解】连接 ，当 不为椭圆的上、下顶点时，设直线 、 分别与圆 切于点A、B，
，∵存在 、 使得 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
连接 ，则 ，∴ ．
又 是 上任意一点，则 ，
又 ，∴ ，
则由 ，得 ，
又 ，∴ ．
故选：C．
12．设偶函数 在 上的导函数为 ，当 时，有 ，则下列结论一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将 变形为 ，从而可构造函数 ，判断其
单调性以及奇偶性，由此代入数值，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】当 时，有 ，即 ，
令 ，则 ，
即 在 上单调递增，
又 为偶函数，则 ，即 为偶函数，
故 ，即 ，
即 ，故A错误，C正确；
由 ，即 ，即 ，B错误；
而 ，故 ，则 不一定成立，D错误，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据已知不等式的结构特征，进行变形，从而构造出函数
，进而判断其单调性，即可解决问题.第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角大小为______．
【答案】
【分析】先求 ，再求 ，利用夹角公式可得答案.
【详解】因为 ， 是夹角为 的两个单位向量，
所以
，
，所以 ；
，所以 .
所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
14．如图， 分别是双曲线 的右顶点和右焦点，过 作双曲线的同一条渐近线
的垂线，垂足分别为 为坐标原点，若 ，则 的离心率为___________.
【答案】【分析】可分别求出右顶点和右焦点到渐近线的距离分别为 和 ，再利用面积比可得
，由三角形相似以及面积比等于相似比的平方即可得 .
【详解】由题意可知 ，不妨取渐近线方程 ，
则点 到渐近线的距离为 ，
点 到渐近线的距离为 ，
又因为 ，所以 ，且易知 ，
所以 ，即可得 ，
所以离心率 .
故答案为：
15．在 中， 若 的面积为2，则 ___________
【答案】
【分析】由条件将切化为弦，结合正弦的和角公式、辅助角公式先求出角 ，由面积公式可得答案
【详解】解：在 中， ，则 ,
所以 ，可得 ，
所以
所以
可得 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
又 则
所以 或 解得 或 (舍去)
所 ，解得 ．
故答案为： ．
16．如图，直角三角形 中，斜边 边上的垂直平分线 交 于 ，交 于 ，现沿 折成一
个三视图如下的四棱锥 ，则在四棱锥 中，给出下列判断：
① ；②平面 平面 ；
③ ；
④四棱锥 的外接球表面积为 .
其中正确的判断有______.
【答案】①②④
【分析】由三视图可知， 平面 ；根据线面垂直判定定理，可证明 平面 ，所以②正
确；由四棱锥的体积公式计算可知③错；四棱锥 的外接球等价于以 、 、 为棱的长方
体的外接球，可找到半径计算球的表面积，④正确.
【详解】由三视图可知 平面 ，所以 又 所以 平面 ，可证
所以①正确；由三视图可知 ，所以 ， ，所
以 平面 ，所以②正确； 所以③错；四棱锥
的外接球等价于以 、 、 为棱的长方体的外接球，可得： ，∴
，从而 ，所以④正确.
故答案为①②④.
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查线线垂直、面面垂直的证明，考查几何体体积公式和外接球
的表面积，考察了学生的空间想象能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：
2 2
温度 21 25 27 32 35
3 9
产卵个数 6
7 11 21 24 115 325
个 6
(1)画出散点图，根据散点图判断 与 哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型
（给出判断即可､不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及表中数据.建立 关于 的回归方程.
（附：可能用到的公式 ，可能用到的数据如下表所示：
27.430 81.290 3.612 147.700 2763.764 705.592 40.180
（对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.）
【答案】(1)散点图答案见解析，
(2)
【分析】（1）按照表格作图即可，并根据散点图判定回归方程类型；
（2）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，根据线性回归方程的计算公式结合数据，得出
，从而得出结果.
【详解】（1）散点图如图所示，.
根据散点图可以判断， 适宜作为产卵数 关于温度 的回归方程类型.
（2）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由数据得
.
所以 关于 的线性回归方程为
因此， 关于 的回归方程为 .
18．如图2，在三棱锥 中， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若点 在 上且 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在 ，由等腰三角形的性质可得 ，在 中利用勾股定理的逆定理可得
，求出 ，再利用勾股定理的逆定理可得 ，然后利用线面垂直的判定定理可证得
结论；（2）求出 的面积，则可求出三棱锥 的体积，再由 可求出 ，设点
到平面 的距离为 ，然后利用等体积法可求得结果.
【详解】（1）证明：在 中， 为 的中点．
则中线 ，且 ；
在 中， ，
所以 ，所以 ；
因为 ， 为 的中点，
所以 且 ；
所以 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ．
.
（2）解：由题可得 ，则 ，
所以 ．
又由（1）知 平面 ，
所以 ．
又 ，则 ，
由 得： ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
解得 ，
即点 到平面 的距离为 ．19．已知等差数列 与等比数列 满足 ， ， ，且 既是 和 的等差中
项，又是其等比中项.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，求证： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可求得 ，得出 的通项公式.根据等差中项和等比中项的性质，得出关于
方程组，求解方程组即可得出 的值，得出 ，代入即可得出 的通项公式；
（2）由（1）及不等式的性质，可推出 ，然后根据等比数列的前 项和，即可得出答案.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
由已知可得 ，
所以 ， ，
所以 .
因为 既是 和 的等差中项，又是其等比中项，
即 ，
代入已知整理可得 ，
解得 ，即 ，
所以 ..
（2）由（1）可知， ，所以 .
因为 ，故 ．
20．设抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C上， （其中O为坐标原点）的
面积为4．
(1)求a；
(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为 ，证明：直线l过定
点，并求出此定点坐标．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，定点 ．
【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值；
（2）先设出直线l的方程 ，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得 的关系，进而
求得直线l过定点的坐标．
【详解】（1）因为点 在抛物线C上，所以 ，即 ，
因为 的面积为4，所以 ，解得 ，所以 ．
（2）由（1）得 ， ．
当直线l斜率为0时，不适合题意；
当直线l斜率不为0时，设直线 ，设 ， ，
由 ，得 ，
则 ， ， ，
因为直线PA，PB的斜率之和为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，.所以
，整理得 ，
所以直线 ，
令 ，解之得 ，所以直线l过定点 ．
21．设函数 ．（其中 为自然对数的底数）
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)证明： ，当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求曲线在 处的切线方程；
（2）利用参数放缩将不等式转化为 ，构造函数利用导数证明此不等式即可.
【详解】（1）由已知得当 时， ，
，且 ．
由点斜式得 ，
，
在 处切线方程为
（2）证明：由题可得： ，则 ．
令 ，则 ．令 ，得 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立．
所以要证 ，则证： ．
令函数 ，则 ，令函数 ，则 ，令 ，则 ．
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减．
又 ，
故存在唯一 使得 ，
当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减．又 ，
故此时 恒成立，即不等式 得证，则原不等式得证．
【点睛】结论点睛：常用函数不等式：
① ，其加强不等式 ；
② ，其加强不等式 .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为
，直线l的普通方程为 ．
(1)将C的极坐标方程化为参数方程；
(2)设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出P的轨迹 的参数方程并判
断 与l的位置关系．
【答案】(1) 其中 为参数
(2) 其中 为参数, 与l相离．
【分析】（1）根据极坐标方程转化为直角坐标方程再转化为参数方程即可；（2）根据参数方程和向量的
坐标形式转化关系，以及参数方程转化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
曲线C的直角坐标方程为 ，
所以 其中 为参数．
则对应的参数方程为 其中 为参数．
（2）由（1）参数方程可设 ，
则由 ，
得 其中 为参数．
对应的直角坐标方程为 ，
圆心 到l距离 ，则 与l相离．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知 、 、 均为正实数，且 .
(1)证明： ；
(2)比较 与 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用柯西不等式可证得结论成立；
（2）由题中条件可得出 ，利用作差法结合基本不等式可得出 与 的大小．
【详解】（1）证明：由柯西不等式有
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
（2）解： ，所以， ，
所以，
，
若第一个等号成立，即 ，即 时，
第二个等号若要成立，则要满足 ，此时 ，故等式可成立．
所以， ，当且仅当 时，等号成立.
