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内江市高中 ２０２３ 届第一次模拟考试题
数学（理科）参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共 小题，每小题分，共 分）
１２ ５ ６０ ．
１．Ａ ２．Ｄ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ｂ ６．Ａ ７．Ｄ ８．Ｃ ９．Ｂ １０．Ａ １１．Ｂ １２．Ａ
二、填空题（本大题共小题，每小题分，满分 分）
４ ５ ２０ ．
１３．２ １４．５０ １５． －５ １６．①③
三、解答题（共 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 题为必考题，
７０ １７ ～２１
每个试题考生都必须作答，第、 题为选考题，考生根据要求作答）
２２ ２３ ．
解：（）按性别分层抽样，参与调查的 名学生中，女生人数为 ５６０ （人），
１７． １ ６０ ６０ × ＝２８
１２００
所以， ，、 ， 分
ｘ＋ｙ＝２８ ｘ ｙ∈Ｎ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２
若 且 ，则（，）的取值结果有（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ，
ｘ≥１０ ｙ≥１０ ｘ ｙ １０ １８ １１ １７ １２ １６ １３ １５ １４
）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ），共种， 分
１４ １５ １３ １６ １２ １７ １１ １８ １０ ９ !!!!!!!!!!!!!!! ３
其中，满足 的结果有（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ），共种 分
ｘ＞ｙ １５ １３ １６ １２ １７ １１ １８ １０ ４ !!!!! ４
所以参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率 ４ 分
ｐ＝ !!!!! ６
９
（）参与调查的 名学生中，女生人数为 人，男生人数为 人，则 ，
２ ６０ ２８ ３２ ｍ＝３２ －２０ ＝１２
分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７
由 ，且 ，得 ， ， 分
ｘ＋ｙ＝２８ ｘ＝ｙ－８ ｘ＝１０ ｙ＝１８ !!!!!!!!!!!!!!!!! ９
列联表如下表所示：
参与过滑雪 未参与过滑雪
男生
２０ １２
女生
１０ １８
（ ）
６０ × ２０ ×１８ －１２ ×１０ ２ ３０ ， 分
Ｋ２ ＝ ＝ ≈４．２８６ ＜６．６３５ !!!!!!!!!!!!! １１
３２ ×２８ ×３０ ×３０ ７
故没有 的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关” 分
９９％ !!!!! １２
解：（）因为 （槡 ｘ ，）， （ ｘ ， ｘ ），
１８． １ ｍ珝＝ ３ｓｉｎ １ 珗ｎ＝ ｃｏｓ ｓｉｎ２
２ ２ ２
槡
所以（） · 槡 ｘ ｘ ｘ ３ １ －ｃｏｓｘ
ｆ ｘ ＝ｍ珝 珗ｎ＝ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ２ ＝ ｓｉｎｘ＋
２ ２ ２ ２ ２
（ π） １ ， 分
＝ｓｉｎ ｘ－ ＋ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３
６ ２
由已知（） ，得 （ π） １
ｆ ｘ ＝０ ｓｉｎ ｘ－ ＝ －
６ ２
又 （ π） ［π （ π）］ ［（ π）］ （ π） １
ｓｉｎ ２ｘ＋ ＝ｓｉｎ ＋ ２ｘ－ ＝ｃｏｓ ２ ｘ－ ＝１ －２ｓｉｎ２ ｘ－ ＝
６ ２ ３ ６ ６ ２
所以 （ π） １ 分
ｓｉｎ ２ｘ＋ ＝ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６
６ ２
槡
（）若选 ３ｃ ，
２ ① ＋ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝０
ａｃｏｓＢ
槡 槡
由正弦定理可得３ｓｉｎＣ ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ，即３ｓｉｎＣ ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ ，
＋ ＋ ＝０ ＋ ＝０
ｓｉｎＡｃｏｓＢ ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｓｉｎＡｃｏｓＢ ｃｏｓＡｃｏｓＢ
槡
３ｓｉｎＣ ｓｉｎＣ ， 分
＋ ＝０ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８
ｓｉｎＡｃｏｓＢ ｃｏｓＡｃｏｓＢ
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１ ４由于 ，所以槡 ， 槡， 分
ｓｉｎＣ≠０ ３ｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡ＝０ ｔａｎＡ＝ － ３ !!!!!!!!!!!!!! ９
由于 ，得 ２π，所以 π， 分
０ ＜Ａ＜π Ａ＝ ０ ＜Ｂ＜ !!!!!!!!!!!!!!!!! １０
３ ３
所以π π π，得 （ π） １ ，
－ ＜Ｂ－ ＜ ０ ＜ｓｉｎ Ｂ－ ＋ ＜１
６ ６ ６ ６ ２
即（）的取值范围是（，） 分
ｆ Ｂ ０ １ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２
若选（ ） ，
② ２ｃ＋ｂ ｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＢ＝０
由正弦定理可得 ，
２ｓｉｎＣｃｏｓＡ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝０
即 （ ） ， 分
２ｓｉｎＣｃｏｓＡ＋ｓｉｎ Ａ＋Ｂ ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ＋ｓｉｎＣ＝０ !!!!!!!!!!!!!! ８
由于 ，所以 １ ， 分
ｓｉｎＣ≠０ ｃｏｓＡ＝ － !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９
２
又 ，得 ２π，所以 π， 分
０ ＜Ａ＜π Ａ＝ ０ ＜Ｂ＜ !!!!!!!!!!!!!!!!!! １０
３ ３
所以π π π，得 （ π） １ ，
－ ＜Ｂ－ ＜ ０ ＜ｓｉｎ Ｂ－ ＋ ＜１
６ ６ ６ ６ ２
即（）的取值范围是（，） 分
ｆ Ｂ ０ １ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２
解：（）由已知 …（ ） （ ）·， ，
１９． １ ａ ＋２ａ ＋３ａ ＋ ＋ ｎ－１ ａ ＝２ ＋ ｎ－２ ２ｎ ｎ≥２ ①
当 时，有 １ ２ …３ （ ） ｎ－１ （ ）· ， 分
ｎ≥３ ａ ＋２ａ ＋３ａ ＋ ＋ ｎ－２ ａ ＝２ ＋ ｎ－３ ２ｎ－１ ② !!!!! ２
得，（ １） ２ （３ ） ｎ－２ （ ）（ ） 分
①－② ｎ－１ ａ ＝ ｎ－１ ２ｎ－１ａ ＝２ｎ－１ ｎ≥３ !!!!!!!!! ４
在中，令 ，得ｎ－１ ，满足（ ）；令ｎ－１ ，得 ，也满足（ ） 分
① ｎ＝２ ａ ＝２ ｎ＝３ ａ ＝４ !!!!!! ５
所以 ， １ ２ 分
ａ ＝２ｎ ｎ∈Ｎ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６
ｎ
（）由（）知， ２ｎ １ １ ， 分
２ １ ｂ ＝（ ）（ ）＝ － !!!!!!!!!!! ８
ｎ ２ｎ －１ ２ｎ＋１ －１ ２ｎ －１ ２ｎ＋１ －１
故 （ １ １ ） （ １ １ ） …（ １ １ ）
Ｔ ＝ － ＋ － ＋ ＋ －
ｎ ２１ －１ ２２ －１ ２２ －１ ２３ －１ ２ｎ －１ ２ｎ＋１ －１
１ ， 分
＝１ － !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９
２ｎ＋１ －１
于是， １
Ｔ ＜ｍ２ －３ｍ＋３１ － ＜ｍ２ －３ｍ＋３
ｎ ２ｎ＋１ －１
因为 １ 随的增大而增大，所以 ， 分
１ － ｎ ｍ２ －３ｍ＋３≥１ !!!!!!!!!! １０
２ｎ＋１ －１
解得， 或
ｍ≤１ ｍ≥２．
所以实数的取值范围是（ ，］ ［， ） 分
ｍ －∞ １ ∪ ２ ＋∞ !!!!!!!!!!!!!! １２
解：（） （） ， （） （ ）（ ）， 分
２０． １ ∵ ｆ ｘ ＝ｘ３ ＋ｘ２ －ｘ＋ａ ∴ ｆ′ ｘ ＝３ｘ２ ＋２ｘ－１ ＝ ３ｘ－１ ｘ＋１ !!! ２
由（） ，解得 １ 或 ；
ｆ′ ｘ ＞０ ｘ＞ ｘ＜ －１
３
由（） ，解得 １ ，
ｆ′ ｘ ＜０ －１ ＜ｘ＜
３
又 ［ ，］，所以（）在［ ，１ ］上单调递减，在［１ ，］上单调递增 分
ｘ∈ －１ ２ ｆ ｘ －１ ２ ． !!!! ４
３ ３
又（ ） ，（） ，（１ ） ５ ，
ｆ －１ ＝ａ＋１ ｆ ２ ＝１０ ＋ａ ｆ ＝ － ＋ａ
３ ２７
（）最大值是 ，最小值是５ 分
∴ ｆ ｘ １０ ＋ａ － ＋ａ． !!!!!!!!!!!!!!!!! ６
２７
（）设切点（， ）
２ Ｑ ｘ ｘ３ ＋ｘ２ －ｘ＋ａ
直线 的斜率为 （） ｘ３ ＋ｘ２ －ｘ＋ａ－４， 分
∴ ＰＱ ｋ ＝ｆ′ ｘ ＝３ｘ２ ＋２ｘ－１ ＝ !!!!!!! ７
ＰＱ ｘ－１
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２ ４整理得 ，由题意知此方程应有个不同解
２ｘ３ －２ｘ２ －２ｘ＋５ －ａ＝０ ３ ．
令（） ，
μ ｘ ＝２ｘ３ －２ｘ２ －２ｘ＋５ －ａ
（） （ ）（ ），
∴ μ′ ｘ ＝６ｘ２ －４ｘ－２ ＝２ ３ｘ＋１ ｘ－１
由（） 解得 或 １ ，由（） 解得１ ， 分
μ′ ｘ ＞０ ｘ＞１ ｘ＜ － μ′ ｘ ＜０ － ＜ｘ＜１ !!!!!!! ８
３ ３
函数（）在（ ， １ ），（， ）上单调递增，在（ １ ，）上单调递减
∴ μ ｘ －∞ － １ ＋∞ － １ ．
３ ３
当 １ 时，（）有极大值为（ １ ） １４５ ；
∴ ｘ＝ － μ ｘ μ － ＝ －ａ
３ ３ ２７
当 时，（）有极小值为（） ； 分
ｘ＝１ μ ｘ μ １ ＝３ －ａ !!!!!!!!!!!!!!!! １０
{ （ １ ） １４５
要使得方程（） 有个根，则μ － ＝ －ａ＞０，解得 １４５，
μ ｘ ＝０ ３ ３ ２７ ３ ＜ａ＜
（） ２７
μ １ ＝３ －ａ＜０
实数的取值范围为（，１４５） 分
∴ ａ ３ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２
２７
解：（）函数的定义域为［，］，当 １ 时，（） １ ，（） １ ，
２１． １ ０ π ａ＝ ｆ ｘ ＝ ｘ＋ｃｏｓｘ ｆ′ ｘ ＝ －ｓｉｎｘ
２ ２ ２
令（） ，得 π或５π， 分
ｆ′ ｘ ＝０ ｘ＝ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２
６ ６
当 （，π）时，（） ，（）单调递增，
ｘ∈ ０ ｆ′ ｘ ＞０ ｆ ｘ
６
当 （π，５π）时，（） ，（）单调递减，
ｘ∈ ｆ′ ｘ ＜０ ｆ ｘ
６ ６
当 （５π，）时，（） ，（）单调递增， 分
ｘ∈ π ｆ′ ｘ ＞０ ｆ ｘ !!!!!!!!!!!!!!!!! ４
６
所以函数的单调递增区间为［，π］和［５π，］ 分
０ π !!!!!!!!!!!!!!!! ５
６ ６
（）（） （） ，因为函数（）恰有两个极值点，
２ ｆ ｘ ＝ａｘ＋ｃｏｓｘｆ′ ｘ ＝ａ－ｓｉｎｘ ｆ ｘ
所以方程（） 有两个不相等的实根，设为、 且 ，
ｆ′ ｘ ＝ａ－ｓｉｎｘ＝０ ｘ ｘ ｘ ＜ｘ
１ ２ １ ２
当 时，函数 图象关于直线 π对称，
０≤ｘ≤π ｙ＝ｓｉｎｘ ｘ＝
２
则 ， ， 分
ｘ ＋ｘ ＝π ｓｉｎｘ ＝ｓｉｎｘ ＝ａ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６
易知１ ２ ， ，所１以 ２（，） 分
ａ≠０ ａ≠１ ａ∈ ０ １ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７
当 （， ）时，（） ，（）单调递增，
ｘ∈ ０ ｘ ｆ′ ｘ ＞０ ｆ ｘ
当 （ ，１ ）时，（） ，（）单调递减，
ｘ∈ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ＜０ ｆ ｘ
当 （１，２）时，（） ，（）单调递增，所以、 分别是函数（）的极大值点和极小
ｘ∈ ｘ π ｆ′ ｘ ＞０ ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ
值点， ２ １ ２
即 （ ） ， （ ） ，
ｍ＝ｆ ｘ ＝ａｘ ＋ｃｏｓｘ ｎ＝ｆ ｘ ＝ａｘ ＋ｃｏｓｘ
于是有 １ １（ １ ） ２（ ２ ），２
２ｍ－ｎ＝２ ａｘ ＋ｃｏｓｘ － ａｘ ＋ｃｏｓｘ
因为 ，所以１ １ ，所以２ ２ ，而 ，
ｘ ＋ｘ ＝π ｘ ＝π－ｘ ２ｍ－ｎ＝３ａｘ ＋３ｃｏｓｘ －ａπ ｓｉｎｘ ＝ａ
所以１ ２ ２ １ ， １ １ １ 分
２ｍ－ｎ＝３ｘ ｓｉｎｘ ＋３ｃｏｓｘ －πｓｉｎｘ !!!!!!!!!!!!!!!!!! ９
１ １ １ １
设（） ， π，则（） （ ） ，
ｈ ｘ ＝３ｘｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ－πｓｉｎｘ ０ ＜ｘ＜ ｈ′ ｘ ＝ ３ｘ－π ｃｏｓｘ
２
令（） ，得 π或π，
ｈ′ ｘ ＝０ ｘ＝
３ ２
当 π时， （） ，（）单调递减，
０ ＜ｘ＜ ｈ′ ｘ ＜０ ｈ ｘ
３
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３ ４当π π时， （） ，（）单调递增， 分
＜ｘ＜ ｈ′ ｘ ＞０ ｈ ｘ !!!!!!!!!!!!!!!!! １０
３ ２
所以当 π时，函数有最小值，即（） （π） ３ ，
ｘ＝ ｈ ｘ ＝ｈ ＝
３ ｍｉｎ ３ ２
又（） ，（π） π
ｈ ０ ＝３ ｈ ＝ ．
２ ２
π，因此（） ［３ ，），即 的取值范围是［３ ，） 分
３ ＞ ｈ ｘ ∈ ３ ２ｍ－ｎ ３ !!!!!!!!! １２
２ ２ ２
解：（）曲线的参数方程消去参数可得： （ ）
２２． １ Ｃ ｘ２ ＋ ｙ－１ ２ ＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α＝１
故曲线化为普通方程为： （ ） ， 分
Ｃ ｘ２ ＋ ｙ－１ ２ ＝１ !!!!!!!!!!!!!!!! ２
由槡 （ π） ，得 ， 分
２ρｃｏｓ θ＋ ＝ －２ ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝ －２ !!!!!!!!!!!!!!! ３
４
结合{ｘ＝ρｃｏｓθ 分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４
ｙ＝ρｓｉｎθ
所以直线的直角坐标方程为 分
ｌ ｘ－ｙ＋２ ＝０ !!!!!!!!!!!!!!!!! ５
（） 的普通方程可化为 ，
２ Ｃ ｘ２ ＋ｙ２ －２ｙ＝０
联立{ｘ２ ＋ｙ２ －２ｙ＝０，解得{ｘ＝ －１或{ｘ＝０， 分
!!!!!!!!!!!!!!!! ７
ｘ－ｙ＋２ ＝０ ｙ＝１ ｙ＝２
化为极坐标可得（槡，３π），（，π） 分
２ ２ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０
４ ２
解：（）当 时，原不等式可化为 分
２３． １ ａ＝２ ｜３ｘ－１｜ ＋ ｜ｘ－２｜≥３ !!!!!!!!! １
当 １ 时， ，解得 ， ； 分
① ｘ≤ １ －３ｘ＋２ －ｘ＝３ －４ｘ≥３ ｘ≤０ ∴ ｘ≤０ !!!!!!!!!! ２
３
当１ 时， ，解得 ， ； 分
② ＜ｘ＜２ ３ｘ－１ ＋２ －ｘ＝２ｘ＋１≥３ ｘ≥１ ∴ １≤ｘ＜２ !!!!!!! ３
３
当 时， ，解得 ３ ， ； 分
③ ｘ≥２ ３ｘ－１ ＋ｘ－２ ＝４ｘ－３≥３ ｘ≥ ∴ ｘ≥２ !!!!!!!!!! ４
２
综上所述：不等式 １ （） 的解集为｛ 或 ｝ 分
｜ｘ－ ｜ ＋ｆ ｘ ≥１ ｘ｜ｘ≤０ ｘ≥１ !!!!!!!! ５
３
（）由 １ （） ，知 ，
２ ｜ｘ－ ｜ ＋ｆ ｘ ≤ｘ ｜３ｘ－１｜ ＋ ｜ｘ－ａ｜≤３ｘ
３
［１ ，１ ］ ，
∵ Ｍ
３ ２
在［１ ，１ ］上恒成立， 分
∴ ｜３ｘ－１｜ ＋ ｜ｘ－ａ｜≤３ｘ !!!!!!!!!!!!!!! ６
３ ２
，即 ，
∴ ３ｘ－１ ＋ ｜ｘ－ａ｜≤３ｘ ｜ｘ－ａ｜≤１
，解得 ， 分
∴ －１≤ｘ－ａ≤１ ａ－１≤ｘ≤ａ＋１ !!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８
{ １
ａ－１≤
３ ，解得１ ４ ， 分
∴ － ≤ａ≤ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９
１ ２ ３
ａ＋１≥
２
即实数的取值范围为［ １ ，４ ］ 分
ａ － !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０
２ ３
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４ ４
