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专题 12 圆与几何综合的两种考法
类型一、切线问题
例1．（连圆心，证半径）如图， 内接于 ， 是 的直径， 平分
交 于点E，过点E作 ，交 的延长线于点F．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，过点E作 于点M，交 于点G，交 于点N，求
的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接 ，由 是 的直径可得 ，进而可得
，再根据圆周角定理可得 ，进而可证
， ，即可证明 与 相切；
（2）连接 ， ，先证 是等边三角形，推出 ，再
根据圆周角定理证明 ，进而可得 ，再根据弧长公式即
可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
是 的直径， ，
平分 交 于点E，， ， ，
， ，
是 的半径， 与 相切；
（2）解：如图，连接 ， ，
， ， ，
， 是等边三角形， ，
，
， ， ，
， ，
， 是 的直径， ，
．即 的长为 ．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟
练应用圆周角定理是解题的关键．
例2（连半径，证垂直）．如图， 中， ， 过B、C两点，且 是
的切线，连接 交劣弧 于点P．
(1)证明： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析；(2)6
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的性质定理得到 ，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）设 的半径为r，则 ， ．在 中，利用勾股定理列出方程，
解方程即可得出结论．
【详解】（1）∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）设 的半径为r，则 ， ．
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
∴ 的半径为6．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练
掌握圆的有关性质是解题的关键．
【变式训练1】．如图， 内接于 是 的直径， 的切线 交 的延长
线于点 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 的半径为 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)相切，理由见解析；(2)【分析】（1）连接 ，证明 ，由全等三角形的判定与性质得出
，由切线的判定可得出结论；
（2）证明 是等边三角形，求出 ， ，由三角形面积公式和扇形的
面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：直线 与 相切．
理由如下：连接 ，
为圆 切线，
，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
， ，
， ，
又 为圆 的半径，
为圆 的切线；
（2） ， ， 是等边三角形，
， ，
， ，
， ，
阴影部分的面积为 ．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行
线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与
性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【变式训练1】．如图， 为 的直径， 是圆的切线，切点为 ， 平行于弦 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)直线 与 交于点 ，且 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据平行线的性质可得
， ，根据等边对等角可得 ，推得
，根据全等三角形的判定和性质可得 ，即可根据切
线的判定定理证明结论；
（2）设 的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出 的半径．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 是 的半径，∴DC是 的切线；（2）解：设 的半径为r，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等
边对等角，勾股定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的
关键．
【变式训练2】．如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交
于点D，过点D作直线 于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交
于点M．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角平分线的定
义得到 ，证明 ，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判
定定理证明即可；
（2）根据题意证得 ，再根据等边对等角即可证明．
【详解】（1）解：证明：连接 ，，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是 的半径，
直线 是 的切线；
（2） 线段 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半
径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
【变式训练3】．如图，在 中， ， 平分 交 于点D，O为
上一点，经过点A，D的 分别交 ， 于点E，F．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析；(2) 的半径为5．
【分析】（1）连接 ，可得 ，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得
，根据“内错角相等，两直线平行”可得 ，根据平行线的性质，
可得 ，再根据切线的判定方法，即可判定；
（2）过点O作 ，交 于点G，根据垂径定理可得 ，
故 ，根据矩形的判定和性质，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，则 ，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
为 的半径，点D在 上，
∴ 是 的切线；
（2）解：过点O作 ，交 于点G，如图，， ，
， ，
， ，
， ，
四边形 是矩形，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的
性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．
类型二、求长度
例．如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，D是 延长线的一点，
交 的延长线于E， 于F，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）要证 是 的切线，只要连接 ，再证 即可；
（2）由切线的性质及勾股定理可得 的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得
的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）证明：连接 ；
∵ ，又 ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质．要证某线是圆的
切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
【变式训练1】．如图，在 中， ，点D在边 上，点E在边 上．
以点D为圆心， 为半径作 与 相切于点F，已知 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据 与 相切于点F得到 ，结合 ，即可
得到 ，结合 ， ，得到 ，
即可得到证明；
（2）根据 ， 得到 ，即可得到 ，即
可得到 ，即可得到答案；
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 与 相切于点F，
∴ ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1） ，∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查圆的切线的性质，三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据三角形
全等的性质转换线段关系．
【变式训练2】．如图，在 中， ，O是边 上的点，以 为半径的圆分
别交边 、 于点D、E，过点D作 于点F．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，求劣弧 的长．
【答案】(1)详见解析；(2)
【分析】（1）连接 ，等边对等角推出 ，得到 ，进而推出
，即可得证；
（2）平行线的性质，求出 的度数，利用弧长公式进行求解即可．
【详解】（1）解：证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 于点F，
∴ ，
又 是 的半径，
即直线 是 的切线；（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，即圆的半径为1，
∴劣弧 的长 ．
【点睛】本题考查切线的判定，求弧长．解题的关键是掌握切线的判定定理以及弧长的计
算公式．
【变式训练3】．如图， 是 的直径，点 是 的中点，过点 的切线与 的延
长线交于 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析；(2) 的面积为
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质，则 ，则 ，根据点 是
的中点，等弧所对的圆周角相等可得 ，根据平行线的判定和性质，即可；
（2）连接 ，根据平行四边形的判定，得四边形 是平行四边形，根据 ，
则平行四边形 是菱形，则 是等边三角形，根据等边三角形的性质，得
， ；根据直角三角形中， 所对的直角边是斜边的一边，得
，再根据圆的面积公式，即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）解：连接 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为： ．
【点睛】本题考查圆，三角形，菱形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线，
等边三角形的性质，菱形的判定和性质．
【变式训练4】．如图1，在 中， 为 的直径，点 为 上一点， 为
的平分线交 于点 ，连接 交 于点E．(1)求 的度数；
(2)如图2，过点A作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．
若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解： 为 的直径，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ，
设 ，
则 ， ， ，为 的直径，
，
在 中， ，
由（1）得， ，
，
， ，
，
，
解得 或 （不合题意舍去）， ，
，
是 的切线， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆
周角定理和勾股定理是解题的关键．
课后训练
1．如图，以 为直径的 经过 的顶点C， ， 分别平分 和 ，
的延长线交 于点D，连接 ， .(1)求证： ：
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）由角平分线的定义和圆周角定理可知， ，
，可得 即可证明结论；
（2）连接 、 、 ， 交 于点 ，由题意易知
，进而可知 ，结合 ，可知 垂直平分
．易证 是等腰直角三角形， ，可得 ，可得 ．设
，则 ，在 和 中，根据 ，
可列方程 解出 的值，进而完成解答．
【详解】（1）证明：由圆周角定理可得： ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
（2）解：连接 、 ， 交 于点 ，
由圆周角定理可得： ，由（1）知 ，
∴ ．
∴ ．∵ ．
∴ 垂直平分 ．
∵ 为直径，
∴ ，则 是等腰直角三角形．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，解得：
∴ ．
设 ，则 ，
在 和 中， ，
即： ，解得 ，即 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，
证明 是等腰直角三角形是解题关键．
2．如图，在 中， 为直径， 为弦， 为 延长线上的一点，连接 ．
(1)若 的长为 ，求 的度数．
(2)若 ， ，求证： 是 的切线．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）连接 ，如图，设 的度数为 ，利用弧长公式得到 ，
求出n得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数；
（2）连接 ，如图，先利用圆周角定理得到 ，则利用勾股定理先计算出
，再计算出 ，所以 ，然后利用勾股定理的逆定理证明 为直
角三角形， ，所以 ，从而根据切线的判定定理得到结论．
【详解】（1）解：连接 ，如图，设 的度数为 ，∵ 的长为 ， 为直径， ，
∴ ，
解得 ，即 ，
∴ ；
（2）连接 ，如图，
∵ 为直径， ∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ， 而 为直径，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
也考查了圆周角定理、弧长公式和勾股定理的逆定理．
3．如图，在 中，A、B，C三点在 上，点O在 边上，点E在 外，
，垂足为F．(1)若 ，求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】（1）连接 和 ，四边形 是平行四边形得 ，则
，则 ，即可得到 ，
即可得到 ，又由 是 的半径即可得到结论；
（2）过点F作 交 于点G，四边形 是平行四边形，则 ，
，则 ，得四边形 为平行四边形，则 ，设
的半径为x，则 ，由垂径定理可得 ，在 中，由
勾股定理可得 则 ，解得 即可得到
， 则 ，再证 ，在 中，
即可得到 的长．
【详解】（1）证明：连接 和 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ，
是 的半径，是 的切线
（2）解：过点F作 交 于点G，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
，
设 的半径为x，则
∴ ，
在 中，
∴ ，
解得
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，
∴ ．
【点睛】此题考查了切线的判定定理、垂径定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等
知识，熟练掌握切线的判定定理和添加合适的辅助线是解题的关键．
4．如图1，已知 为 的直径，C为 上一点， 于E，D为弧 的中点，
连接 ，分别交 于点F和点G．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，连接 ，求证： ．【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而可得
∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然
后根据已知可得 ，从而可得 ，进而可得 ，最后根据对
顶角相等可得 ，从而可得 进而根据等角对等边即可解答；
（2）连接 ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得 ，然后
根据 证明 ，从而可得 ，进而可得 ，最后根据等
弧所对的圆周角相等可得 ，从而可得 ，进而利用等腰三角形的三
线合一性质即可解答．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．如图， 中两条互相垂直的弦 交于点P， 经过点O，E是 的中点，连
接 ，延长 交 于点F．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1) 的长为 ；(2)见解析
【分析】（1）根据垂径定理可得 垂直平分 ，从而可得 ，然后
在 中，利用勾股定理求出 的长，进行计算即可解答；（2）根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后利用直
角三角形斜边上的中线性质可得 ，从而可得 ，再利用对顶角相等，以
及同弧所对的圆周角相等可得 ，最后利用等量代换可得 ，
从而利用三角形内角和定理进行计算可得 ，即可解答．
【详解】（1）解：∵E是 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径
定理是解题的关键．
