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专题13.25 轴对称中的折叠问题（分层练习）（基础练）
【知识要点】初中数学有关于折叠的问题，是初中数学几何内容中比较特殊的一种类型。同时也
是图形变化当中比较容易出考点的类型。
想要解决初中数学中存在的折叠问题，那么我们对折叠的性质要有比较清楚的认识。首先要明白
图形折叠前后图形的大小，形状都不发生改变，其次折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线。而且
折叠前后及对应边相等，对应角相等，这是我们解决折叠问题中最核心的内容。
另外，对于折叠问题，我们一般还有其重要的性质，就是将其转化为轴对称的问题，比如对称点
的连线被对称轴垂直平分，我们连接两对称点，就可以得到相等的两条线段，
一、单选题
1．如图， 中， ，沿 折叠 ，使点B恰好落在 边上的点E处．若
，则 等于（ ）
A．69° B．67° C．66° D．42°
2．如图，把一张长方形纸片沿对角线 折叠， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形纸片 ， 为 边的中点，将纸片沿 ， 折叠，使 点落在 处， 点
落在 处，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．将面积为80cm2的△ABC按图所示方式折叠，使点A落在BC边上的点P处，折痕为BD，若
△DBC的面积为50cm2，则BP与PC的长度比为（ ）A．3:2 B．5:3 C．8:5 D．13:8
5．如图，将一个直角三角形纸片 ，沿线段 折叠，使点B落在 处，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将长方形纸片沿 折叠后点B落在点E处，则下列关于线段 与 的关系描述正确的
是（ ）
A． B． 和 相互垂直平分
C． 且 D． 且 平分
7．如图，长方形纸片 ， 为 边的中点，将纸片沿 ， 折叠，使点 落在点 处，点
落在点 处，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．8．某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为
， ，若 ，且 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将长方形 沿 折叠，使点A落在 边上的点E处，点B落在点F处，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，把四边形 沿着 折叠，给出下列条件：① ；② ；③
；④ ．能得出 的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．长方形如图折叠， 点折叠到 的位置，已知 ，则 ．
12．将长方形纸片按如图方式折叠， 为折痕，则 的度数为 ．13．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则 的度数等于 ．
14．如图， 中， ， ，将其折叠，使点A落在边 上 处，折痕为 ，
则 的度数为 ．
15．如图，在 中， ， ， ，将 沿直线 折叠，恰好使点 与点 重合，
直线 交边 于点 ，那么 的周长是 ．
16．如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在
BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 ．
17．如图，在 中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将沿EF折叠，若点C与点O恰好重合，则 ．
18．如图， 在△ABC中，E是BC边上一点，沿AE折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，若
∠BAC=60°，BE=CD，则∠AED= 度．
三、解答题
19．如图所示，将长方形纸片 折叠，使点D与点B重合，点C落在点 处．折痕为 ，若
，求 的度数．
20．如图是个直角三角形纸片，且 ： ： ： ： ，按如图的两种方法分别将其折叠，使
折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为 ．
（1）若 ，求 的面积．
（2）若 ，求 的值．21．如图所示，一个四边形纸片 ， ，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边
上的 点， 是折痕．
（1）试判断 与 的位置关系；
（2）如果 ，求∠AEB的度数．
22．如图，在 中， ， ，点E为线段 的中点，点F在边 上，连接 ，
沿 将 折叠得到 ．
（1）如图1，当点P落在 上时，求 的度数；
（2）如图2，当 时，求 的度数．23．已知三角形纸片 （如图），将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕分别与边 、 交于
点 、 ，点 关于直线 的对称点为点 ．
（1）画出直线 和点 ；
（2）连接 、 ，如果 ，求 的度数；
（3）连接 、 、 ，如果 ，且 的面积为4，求 的面积．
24．阅读下列材料，回答问题．
如图1，小明将三角形纸片 折叠，使点 和 重合，折痕为 ，连接 ，展开纸片后小明认
为 和 的面积相等．理由如下：
由折叠知， ．
过点 作 于点 ， ， ，所以 ．
请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．参考答案
1．A
【分析】根据三角形内角和定理求出 的度数，根据翻折变换的性质求出 的度数，根据三角
形内角和定理求出 可得答案．
解：在 中， ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于
是解题的关键．
2．C
【分析】利用折叠的特性可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用长方形的性质∠ABC＝90°，则∠ABE＝
90°−∠EBC，结论可得．
解：由折叠可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，
则∠EBC＝∠CBD＋∠EBD＝50°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°−∠EBC＝40°，故C正确．
故选：C．【点拨】本题主要考查了角的计算，折叠的性质，利用折叠得出：∠CBD＝∠EBD是解题的关键．
3．D
【分析】利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．
解：∵∠1＝30 ，∠AMA ＋∠1＋∠DMD ＝180 ，
1 1
∴∠AMA ＋∠DMD ＝180 −30 ＝150 ．
1 1
∴∠BMA ＋∠CMD ＝75 ．
1 1
∴∠BMC＝∠BMA ＋∠CMD ＋∠1＝105 ．
1 1
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，角的计算．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，
它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
4．A
【分析】根据图形可得△ADB的面积为30cm2，可求出△PDB的面积为30cm2，△PDC的面积为
20cm2，再根据高相等，求出BP与PC的长度比.
解：∵△ABC的面积为80cm2，△DBC的面积为50cm2，
∴△ADB的面积为30cm2，
∵折叠，
∴△PDB的面积为30cm2，
∴△PDC的面积为20cm2，
∵△BDP与△CDP的高相等，
∴BP与PC的长度比等于其面积比，即为3:2，
故选A.
【点拨】此题主要考查折叠的性质，解题的关键是三角形的面积公式.
5．A
【分析】根据 ，求出 即可解答．
解： ， ，
，
由翻折的性质可知： ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．6．D
【分析】只要证明 是线段 的垂直平分线即可解决问题．
解： 是由 翻折得到，
， ，
， 平分 ，
故选：D．
【点拨】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分
线的判定，属于基础题，中考常考题型．
7．C
【分析】根据“折叠”前后的等量关系可以得知 和 分别是 和 的角平分线，再利
用平角是 ，计算求出 ．
解：
将纸片沿 ， 折叠，使点 落在点 处，点 落在点 处，
平分 ， 平分
故选：C．
【点拨】本题考查角的计算相关知识点．值得注意的是，“折叠”前后的两个图形是全等形，这在初
中数学几何部分应用的比较广泛，应熟练掌握．
8．B
【分析】根据平行线的性质得出 ，再根据折叠得出 ，进而
解答即可．
解：由折叠可知， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
由折叠可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理，折叠就
会出现对应角相等．
9．A
【分析】根据折叠求出 ， ，根据 ，求出
，得出 ，求出
即可．
解：根据折叠可知， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，求出
．
10．C
【分析】根据折叠的性质及平行线的判定定理求解即可．
解：解∶如图，∵ ，
∴ 同位角相等，两直线平行 ；
由折叠性质得到 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 内错角相等，两直线平行 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 同位角相等，两直线平行 ；
由 不能得出 ； ．
∴能得出 的个数为 ，
故选：C．
【点拨】此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质及平行线的判定定理是解题的关键，
11． /110度
【分析】先求得 的度数，根据图形折叠的性质，可求得 的度数，进而可求得答案．
解：∵ ，
∴ ．
根据图形折叠的性质可知
．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查根据图形的折叠求角的度数，牢记图形折叠的性质是解题的关键．
12． /90度
【分析】根据折叠的性质得到 ， ，然后根据平角
为 求解即可．解：∵将长方形纸片按如图方式折叠， 为折痕，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平
角的定义．
13． / 度
【分析】利用翻折不变性，平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
解：如图，
由翻折不变性可知： ，
∵宽度相等的纸条边缘平行，
∴ ，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查平行线的性质，翻折变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，属于中考常考题型．
14． /10度
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出 ，根据翻折变换的性质可得 ，然后根据三
角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵折叠后点A落在边 上 处，
∴ ，由三角形的外角性质得， ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
15．
【分析】由轴对称的性质可得 ，再利用三角形的周长公式进行计算即可．
解：∵将 沿直线 折叠，恰好使点 与点 重合，
∴ ，
∴ 的周长为： ，
∵ ， ，
∴ 的周长为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是轴对称的性质，熟练的确定轴对称现象中的相等线段是解本题的关键．
16．8
【分析】由折叠可得： 再求解 利用 从而可得答案.
解：由折叠可得：
故答案为：
【点拨】本题考查的是轴对称的性质，掌握“成轴对称的两个图形的对应边相等”是解本题的关键.
17．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再
求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求
出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定
理列式计算即可解：
解：如图，连接OB、OC，
，AO为 的平分线，
，
又 ，
，
是AB的垂直平分线，
，
，
，
为 的平分线， ，
，
点O在BC的垂直平分线上，
又 是AB的垂直平分线，
点O是 的外心，
,
，
将 沿 在BC上，F在AC上 折叠，点C与点O恰好重合，
，
，
在 中， ．
故答案为104°.
【点拨】本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性
质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，解题的关键是作辅助线，构造出等腰三角形．18．70
【分析】根据轴对称的性质可得，DE=BE，∠ADE=∠ABE，∠DAE=∠BAE= ∠BAC=30°，进而得知
△DEC是等腰三角形，根据外角的性质，知∠ADE=∠C+∠DEC=2∠C，在△ABC中，
∠BAC+∠ABC+∠C=180°，得到关于∠C的方程，进而在△ADE中求出∠AED的度数．
解：由折叠的性质可知，DE=BE，∠ADE=∠ABE，∠DAE=∠BAE= ∠BAC=30°，
∵BE=CD，
∴DE=DC，
∴∠C=∠DEC，
∴∠ADE=∠C+∠DEC=2∠C，
∴∠ABC=2∠C，
又∵∠BAC=60°，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC+∠C=180°－60°=120°，即3∠C=120°，解得：∠C=40°，
∴∠ADE=40°×2=80°，
∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE=180°－30°－80°=70°．
故答案为：70．
【点拨】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理和外角和性质，熟记三角形的外角等于与它不相
邻的两个内角的和是解题的关键．
19．
【分析】先求出 ，再由平行线的性质得到 ，由折叠的性质可得
，则由平角的定义可得 ，则
．
解：由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知折叠前后对应角相等是解题的关键．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）设 ，则 ，依据 ，即可得到
的值，即可求解；
（2）根据（1）的结论，根据 即可求解．
（1）解： ： ： ： ： ， ，
， ，
由折叠可得， ， ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
，即 ，
解得 ，
∴
（2）∵ ， ,
∴
【点拨】本题主要考查了折叠图形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和折叠图
形的性质是解答此题的关键．
21．（1） ，理由见分析；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质可得 ，再由 ，可得 ，即可求解；
（2）由（1）得， ，可得 ，再由折叠的性质可得 ，求出
，即可求解．
解：（1） ；
∵ 是 的折叠后形成的，∴ ，
∴ ；
（2）由（1）得， ，
∴ ，
由折叠可知，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质和
判定是解题的关键．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质证明 ，结合 ，得 ，从而计算 ；
（2）根据折叠和垂直得到 ，利用三角形内角和求出 ，从而求出
．
（1）解：∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ，
∵点E为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ；
（2）由折叠得 ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
则 ，
在 中， ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质得
到相等的线段和角．
23．（1）见分析；（2） ；（3）28【分析】（1）根据折叠的性质画出图形；
（2）根据折叠的性质可得 ，再由 ，可得到 的度数，再由对顶角相
等，即可；
（3）根据折叠的性质得到 ， ，根据等高的两个三角形的面积比等于底的比
求出 的面积，进而得到 的面积，即可．
（1）解：如图，直线 和点 即为所求；
（2）解：∵点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，
由折叠的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是翻折变换的性质、三角形的面积计算，掌握翻折变换是轴对称、翻折前后图形
的对应边、对应角相等是解题的关键．
24．作图见分析
【分析】作 （或 ）的垂直平分线交 （或 ）于 ，连接 （ ），即可求解．
解：如图，即为所作
【点拨】本题考查了三角形的中线的性质，作线垂直平分线，熟练掌握基本作图以及三角形中线的性
质是解题的关键．
