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专题 13.7 与轴对称图形有关的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 垂线段最短】..............................................................................................................................................2
【题型2 两点之间线段最短】..................................................................................................................................5
【题型3 平行线之间的距离】..................................................................................................................................9
【题型4 两动一定】................................................................................................................................................13
【题型5 两定一动(将军饮马)】.............................................................................................................................17
【题型6 两定两动型】............................................................................................................................................23
【题型7 两定一动(三点共线)】.............................................................................................................................29
【题型8 两动+定长】..............................................................................................................................................34
知识点1：垂线段最短
【模型分析】
如图，点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，则点P到直线l的距离为PH，即“垂线段最短”．
【温馨提示】解决最值问题常遵循：一找、二证、三计算．
【方法解读】
若所求线段不能直接利用“垂线段最短求最值”，需将其转化到定点和动点之间的线段，可借助矩形
的对角线相等或全等三角形的性质．
【题型1 垂线段最短】
【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期末）如图， 线段BC=10，A是线段BC外一点，连接AB、AC，D
、E分别是AB、AC的中点，连接BE、CD交于点F．当四边形ADFE的面积为10时，线段AB的最小值
为 ．
【答案】6【分析】本题考查了三角形中线等分面积，垂线段最短，关键是由三角形面积公式求出△ABC的面积．
【详解】解：过A作AH⊥BC于H，连接AF，延长AF交BC于M，
∵D E AB AC
、 分别是 、 的中点，
∴△ABE的面积=△ABC面积的一半，△BCD的面积=ABC面积的一半，
∴△ABE的面积=△BCD的面积，
∴△BCF的面积=四边形ADFE的面积=10，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴△BDF的面积=△ADF的面积，△CEF的面积=△AEF的面积．
∴△BDF的面积+△CEF的面积=△ADF的面积+△AEF的面积=四边形ADFE的面积=10，
∴△ABC的面积=10×3=30，
1
∴△ABC的面积= BC⋅AH=2×15=30，
2
∵BC=10，
∴AH=6，
∵AB≥AH，
∴线段AB的最小值是6．
故答案为：6．
【变式1-1】（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线
OB上的任一点，DE=4.2，则DF的长度不可能是（ ）
A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，过D点作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质
得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短进行判断即可．【详解】解：过D点作DH⊥OB于点H，如图所示：
∵OD ∠AOB，DE⊥AO
平分 ，
∴DH=DE=4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2，
∵3.69<4.2，
∴DF的长不能为3.69．
故选：C．
【变式1-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点C和D
，现有两种铺设管道的方案，若铺设管道单位长度的造价均相同，则下列说法正确的是（ ）
方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足为E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．
A．方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样
B．方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短
C．方案一比方案二省钱，因为垂线段最短
D．方案一与方案二无法比较
【答案】C
【分析】本题考查垂线段的性质，即垂线段最短．根据垂线段最短可得CEAB；两点之间线段最短
(2)①见解析；②小于
(3)见解析
【分析】本题考查直线、射线、线段等的作图以及两点之间、线段最短：
（1）根据两点之间线段最短判断即可；
（2）根据直线，射线，线段的定义以及题目要求作出图形即可；
（3）连接BD、CE，交于点O，根据两点之间线段最短即可判断点即为所求．
解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活应用所学知识解决问题．【详解】（1）解：根据两点之间线段最短得：BC+AC>AB，
故答案为：BC+AC>AB；两点之间线段最短．
（2）①如图所示，线段BE，射线ED、直线CD即为所求；
②如图：
∵KN90°，△ABC的面积为18，
AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）A．4 B．6 C．7 D．9
【答案】A
【分析】过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，则CP即为CE+EF的最小
值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值．
【详解】解：过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，
∴PE=EF，
∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．
∵△ABC的面积为18，AB=9，
1
∴ ×9×CP=18，
2
∴CP=4．
即CE+EF的最小值为4，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代
表性，是一道比较好的题目．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB
，AC上，则线段DE+DF的最小值是（ ）
A．BC边上高的长 B．线段EF的长度C．BC边的长度 D．以上都不对
【答案】A
【分析】作AD⊥BC于点D，当DE⊥AB、DF⊥AC时，线段DE+DF有最小值，根据等边三角形的
性质可得DE+DF=AD，进而得结论．
【详解】解：如图，作AD⊥BC于点D，当DE⊥AB、DF⊥AC时，线段DE+DF有最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
1 1
∴.DE= AD,DF= AD，
2 2
∴DE+DF=AD，
∴线段DE+DF的最小值是BC边上高的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性
质．
【变式4-3】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，
使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线
AR，交BC于点D．已知AB=AC=5，AD=4，BC=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动
点，则BM+MN的最小值为（ ）A．5 B．6.4 C．4.8 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短；过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，根据
等面积法，可得BH=4.8．作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M′N，可得M′H=M′N，进而可
以解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，
由作图可知，AD平分∠BAC，BM⊥AC，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
1 1
∵S = ⋅BC⋅AD= ⋅AC⋅BH，
△ABC 2 2
∴4×6=5BH，
∴BH=4.8．
∵AB=AC，AD⊥BC，
作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M′N，
∴M′H=M′N，
∴BH=BM′+M′H=BM′+M′N，则BM+MN的最小值为4.8．
故选C．
知识点3：两定一动
已知：在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．
【题型5 两定一动(将军饮马)】
【例5】（23-24八年级·宁夏银川·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，EF垂直
平分BC，点P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是 ．
【答案】4
【分析】由线段垂直平分线的性质可得BP=PC，可得当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小
值，最小值为AC的长．
【详解】解：连接PC．
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP=PC，
∴PA+BP=AP+PC，∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值为AC=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题
的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格
中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′．
(2)在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，△AB′C′即为所求．
（2）如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关
键．
【变式5-2】（23-24八年级·江西宜春·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直
平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【答案】(1)9
(2)9
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，
再由线段之间的关系即可求出BC的长；
（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°
1
∴∠B=∠C= (180°−∠BAC)=30°
2
∵AB边的垂直平分线交AB于点D，
∴BE=AE=3，
∴∠BAE=∠B=30°
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=120°−30°=90°
在Rt△CAE中，∠C=30°
∴CE=2AE=6
∴BC=BE+CE=3+6=9
（2）解：如图，
取点A关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线DE交于点P(E)，∵ PA=PB
∴ PA+PC=PB+PC
根据两点之间线段最短
则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9
【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分
利用是解题关键．
【变式5-3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）已知点P在∠MON内．
(1)如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接OG、OH、OP、CH．
①若∠MON=30°，则△OGH是什么特殊三角形？为什么？
②若∠MON=90°，试判断GH与OP的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若∠MON=30°， A、B分别是射线OM、ON上的点，AB⊥ON于点B，点P、Q分别为
OA、AB上的两个定点，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一动点E，试求PE+QE的最小值．
【答案】(1)①△OGH是等边三角形，理由见解析；②GH=2OP，理由见解析
(2)PE+QE的最小值为5．
【分析】（1）①由轴对称的性质可得OP=OG=OH，∠POM=∠GOM，∠PON=∠HON．根据
“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得出△OGH是等边三角形；②当∠MON=90°时，
∠GOH=180°，G、O、H在同一直线上，由此可得GH与OP的数量关系；
（2）过Q作ON的对称点Q′，连接PQ′，交ON于点E，连接QE，则PE+QE的最小值为PQ′，由已知条
件可得∠OAB=60°，易得AP=5，AQ′=5，由此可得△APQ′是等边三角形，即可得PQ′的长，即
PE+QE的最小值．
【详解】（1）解：①△OGH是等边三角形，
∵点P关于OM对称的点为G，
∴OP=OG，∠POM=∠GOM，
同理OP=OH，∠PON=∠HON，
∴OG=OH，∵∠MON=30°，
∴∠GOH=60°，
∴△OGH是等边三角形．
②GH=2OP，
当∠MON=90°时，∠GOH=180°，
∴G、O、H在同一直线上，OP=OG=OH．
∵GH=OG+OH=2OC，
∴GH=2OP；
（2）解：过Q作ON的对称点Q′，连接PQ′，交ON于点E，连接QE，
∴PE+QE 最小值为PQ′．
∵∠MON=30°，∠ABO=90°，
∴∠OAB=60°．
∵AQ=OP=2，QB=1.5，
∴AB=3.5，
∴OA=2AB=7，
∴AP=5．
∵点Q与Q′关于ON对称，
∴QB=Q′B=1.5，
∴AQ′=5，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=5，
即PE+QE的最小值为5．
【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴
对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．
知识点4：两定两动
已知：在平面直角坐标系中，点P （2，3），Q （3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使
四边形PQMN周长最小．作出M点和N点．【题型6 两定两动型】
【例6】（23-24·福建莆田·中考模拟）如图，CA=CM=CN=CB，∠ACM=∠MCN=∠NCB=30°，
AB=4，P、Q分别为CN、CM上的两个动点，则MP+PQ+QN的最小值为______．
【答案】4
【解析】解：如图，连接AQ，BP，
∵CA=CN，∠ACM=∠MCN=30°，CQ=CQ，
∴△ACQ≌△NCQ(SAS)，
∴AQ=QN，
同理可得：BP=PM，
∴MP+PQ+QN=BP+PQ+AQ，
∴当点B，点P，点Q，点A共线时，BP+PQ+AQ有最小值，即BP+PQ+AQ最小值为AB的长度，
∴MP+PQ+QN有最小值为4，故答案为：4．
由“SAS”可证△ACQ≌△NCQ，可得AQ=QN，BP=PM，由MP+PQ+QN=BP+PQ+AQ，可得
当点B，点P，点Q，点A共线时，BP+PQ+AQ有最小值，即可求解．
本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，证明AQ=NQ，BP=PM是本题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝
AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是
．
【答案】10
【分析】作A点关于BC的对称点A，连接AM，作E点关于DC的对称点E，连接EN，因此
1 1 1 1
AM＋MN＋EN=A M＋MN＋E N，所以最小值为A E ，用勾股定理算出即可．
1 1 1 1
【详解】解：如图，作A点关于BC的对称点A，连接AM，作E点关于DC的对称点E，连接EN，
1 1 1 1
∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A 关于BC对称，点E和点E 关于DC对称，
1 1
∴AM=A M，EN=E N，
1 1
∴AM＋MN＋EN=A M＋MN＋E N≥A E ，
1 1 1 1
∴AM＋MN＋EN的最小值是A E ，
1 1∵AD＝AB＝4，E是AD中点，
∴AB=A B=4，ED=E D=2，
1 1
∴A A =8，AE =6，
1 1
∵∠BAD＝90°，
∴A E =❑√62+82=10，
1 1
故答案为：10．
【点睛】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，
连接BE和BF，若AE=CF，AC−AB=4,AC−BC=2，则BE+BF的最小值是（ ）
A．4 B．10 C．6 D．20
【答案】B
【分析】如图，连接DF，BD，由全等三角形判定SAS可以证得△ABE≌△CDF，得到DF=BE，进而
得到BE+BF≥BD，再根据题意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接DF，BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=90°，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，
∵ BF+DF≥BD，∴BE+BF≥BD，
又∵ AC，BD为矩形的对角线，
∴AC=BD
∴BE+BF≥AC，
∵△ABC是直角三角形，AC−AB=4,AC−BC=2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴(AC−4) 2+(AC−2) 2=AC2
解得AC=10，或AC=2
∵AC−BC=2，则AC=2不符合题意，
∴AC=10，
∴BE+BF≥10，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一
元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程的方法是解题关键．
【变式6-3】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）在△ABC中，
20
∠BAC=90°，AB=5，AC= ，D，E分别为射线BC与射线AC上的两动点，且BD=AE，连接
3
AD，BE，则AD+BE最小值为 ．
【答案】3❑√10
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及勾股定理；过点B作FG⊥BC，使得BF=AB=5，过
点A作AG⊥GF于点G，连接DF，证明△ABE≌△BFD得出BF=BE AD+BE=AD+DF≥AF，则当
D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF的长，
【详解】解：如图，过点B作FG⊥BC，使得BF=AB=5，过点A作AG⊥GF于点G，连接DF，在△ABE,△BFD中，
{
AE=BD
)
∠EAB=∠DBF ，
AB=BF
∴△ABE≌△BFD(SAS)，
∴DF=BE，
∴AD+BE=AD+DF≥AF，
则当D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF的长，
20
∵∠BAC=90°，AB=5，AC= ，
3
∴BC=❑√AB2+AC2=❑
√
52+
(20) 2
=
25
3 3
1 1
∵S = BC×BG= AB×AC，
△ABC 2 2
20
5×
AB×AC 3
∴BG= = =4，
BC 25
3
在Rt△ABG中，AG=❑√AB2−BG2=❑√52−42=3，
∴FG=GB+BG=4+5=9，
∴AF=❑√AG2+GF2=❑√32+92=3❑√10，
故答案为：3❑√10．
【题型7 两定一动(三点共线)】
【例7】（23-24八年级·浙江宁波·开学考试）如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC
至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当|AM−DN)的值最大时，∠ACE的度数为 ．
【答案】130°/130度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点B
作BH直线l于点H．证明DN=BH，推出AM与AB重合时，|AM−DN)的值最大，此时
|AM−DN|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：如图，过点B作BH直线l于点H．
∵DN⊥ l BH⊥ l
直线 ， 直线 ，
∴∠DNC=∠BHC，
∵∠DCN=∠BCH，BC=CD，
∴△CDN≌△CBH(ASA)，
∴BH=DN，
∴|AM−DN)=|AM−BH)，
∵AM与AB重合时，|AM−BM|的值最大，
∴当DN与DP重合，AM与AB重合时，|AM−DN)=|AM−BH)的值最大，此时|AM−DN)=AB，
∵∠ABC=100°，∴∠CBM=180°−100°=80°，
∵AM⊥CE，
∴∠AMC=90°，
∴∠BCM=90°−80°=10°，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=(180°−100°)÷2=40°，
∴∠ACE=180°−∠ACB−∠BCM=180°−40°−10°=130°，
故答案为：130°．
【变式7-1】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中
线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是 ．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP，BP−PE=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边△ABC中，AB=6，P是△ABC的中线AD上的动点，∴AD是BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴BP−PE=CP-PE，
∵在△CPE中，CP-PE＜CE，
∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是AC边的中点，
∴BP−PE的最大值=6÷2=3．
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到BP−PE=CP-PE，是解题
的关键．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，AB=AC=4，在直线AB上方作等腰ΔBCD，
∠DBC=120°，BD=BC，连接AD，当AD最大时，∠ACD= ．
【答案】45°
【分析】构造等腰ΔABK，如图1，使AB=BK，∠ABK=∠DBC，则ΔABD≌ΔKBC(SAS)，
AD=KC≤AC+AK，当C、A、K三点共线时，AD最大，然后根据已知角及等腰三角形的性质即可求
解．
【详解】解：如图1，构造等腰ΔABK，使AB=BK，∠ABK=∠DBC，
则ΔABD≌ΔKBC(SAS)，AD=KC≤AC+AK，
∴当C、A、K共线时，AD最大，
此时，如图2所示，AC=AB=BK ∠ABK=120° ∠BAK=30°
， ，则 ，
∴∠ACB=15°，
∵BC=BD，∠DBC=120°，
∴∠BCD=30°，
∴∠ACD=∠BCD+∠ACB=15°+30°=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线，
找出当AD最大时的图形．
【变式7-3】（23-24八年级·河北张家口·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、
M、N都在格点上．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A B C ；
1 1 1
(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；
(3)在直线MN上找点Q使|QB−QA)最大，直接写出这个最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析；|QB−QA)最大值为3
【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A 、B 、C ，再顺次连接即可；
1 1 1
（2）作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为点P；（3）由于QA=QA ，则|QB−QA|=)QB−QA |，而由三角形的三边关系可得|QB−QA )≤A B，当
1 1 1 1
Q、A 、B三点共线时取等号，从而可得答案．
1
【详解】（1）解：△A B C 即为所求作的三角形，如图所示：
1 1 1
（2）解：如图，作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P；
∵点C与D关于MN的对称，
∴PC=PD，
∴PB+PC=PD+PB，
∵PB+PD≥BD，只有当点P、B、D三点共线时等号成立，
∴当点P、B、D三点共线时，PB+PD最小，即PB+PC最小；
（3）解：先作出A关于直线MN的对称点A ，连接BA 并延长交MN于一点，该点即为点Q，如图所
1 1
示：∵QA=QA ，
1
∴|QB−QA|=)QB−QA |，
1
根据三角形的三边关系可得|QB−QA )≤A B，当Q、A 、B三点共线时取等号，
1 1 1
∴|QB−QA)的最大值为A B=3．
1
【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌
握上述知识是解题的关键．
【题型8 两动+定长】
【例8】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)，B(8,0)，C(8,2)，M，N
是线段OB上的两个动点，且MN=2，则△AOM与△NCB周长和的最小值是 ．
【答案】6❑√2+12
【分析】将点C项左平移2个单位得到C′，找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′C′交x轴于一点即为最
短距离点，根据勾股定理即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
C +C =OA+BC+OM+NB+AM+CN=OA+BC+OB−2+AM+CN，
△AOM △NCB
∵A(0,4)，B(8,0)，C(8,2)，
∴当AM+CN最小即可得到答案，
点C项左平移2个单位得到C′，找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′C′交x轴于一点即为最短距离点，
如图所示，根据勾股定理可得，
AM+CN=A′C′=❑√62+62=6❑√2，
∴△AOM与△NCB周长和的最小值是：6❑√2+4+2+(8−2)=6❑√2+12，
故答案为：6❑√2+12．
【点睛】本题考查最短距离问题及勾股定理，解题的关键是根据轴对称的性质及两点间线段距离最短得到
最小距离位置．
【变式8-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=2，线段EF在边AB
上左右滑动，若EF=1，则DE+CF的最小值为 ．
【答案】5
【分析】取CG=EF=1，作D关于AB的对称点D′，连接D′G，得出四边形EFCG是平行四边形，继而可
得DE+CF =D′E+EG≥D′G，当D′,E,G三点共线时，DE+CF最小，最小值为D′G，勾股定理即可
求解．
【详解】解：如图，取CG=EF=1，作D关于AB的对称点D′，连接D′G，
∴DE=D′E，∵CG∥EF,CG=EF，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴EG=CF，
∴DE+CF =D′E+EG≥D′G，
∴当D′,E,G三点共线时，DE+CF最小，最小值为D′G，
此时DG=DC−CG=3,DD′=2DA=4，
在Rt△DD′G中，D′G=❑√32+42=5,
即DE+CF的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北恩施·阶段练习）已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，
BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：
AE+EF+FB的最小值为 ．
【答案】7❑√2+1/1+7❑√2
【分析】过点A作A A′∥CD且A A′=EF=1，作A′关于CD的对称点A ，连接A′ A 交CD于点O，连接
1 1
A B交CD于点F，过点A作AE∥A′F交CD于E，证明△ACE≌△A′OF，再根据全等三角形的性质，
1
得出AE=A′F，再根据轴对称的性质，得出A′F=A F，进而得出AE+FB=A F+FB，再根据两点之
1 1
间线段最短，得出AE+FB的最小值为A B的长，此时，AE+EF+FB的值最小，过点A 作A H⊥BD
1 1 1
交BD的延长线于H，再根据线段之间的数量关系，得出A H=7，BH=7，再根据勾股定理，得出
1
A B=7❑√2，进而即可得出答案．
1
【详解】解：过点A作A A′∥CD且A A′=EF=1，作A′关于CD的对称点A ，连接A′ A 交CD于点O，
1 1连接A B交CD于点F，过点A作AE∥A′F交CD于E，
1
∵AE∥A′F，
∴∠AEC=∠A′FO，
∵AC=A′O，∠C=∠AOF=90°，
∴△ACE≌△A'OF(AAS)，
∴AE=A′F，
∵A′关于CD的对称点A ，
1
∴A′F=A F，
1
∴AE=A F，
1
∴AE+FB=A F+FB，
1
∴AE+FB的最小值为A B的长，此时，AE+EF+FB的值最小，
1
过点A 作A H⊥BD交BD的延长线于H，
1 1
∴A H=CD−A A′=7，
1
∵AC=A′O=A O=DH，
1
∴BH=AC+BD=7，
∴A B=❑√BH2+A H=7❑√2，
1 1
∴AE+EF+FB的最小值为7❑√2+1．
故答案为：7❑√2+1
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、勾股定理，解本题的
关键在正确作出辅助线．【变式8-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（2，
0），点C，D是y轴上两个动点（点D在点C下方）且CD=2，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为
【答案】❑√13
【分析】过A做y轴的平行线并截取AM=CD=2，做M关于y轴的对称点N，过N作NE⊥y轴，垂足为E.连
接BN，然后在Rt△BNE中运用勾股定理即可解答．
【详解】解：将线段AC沿y轴方向向下平移两个单位，使C、D重合，设A点的对应点为AA,连接AA,作
1 1
线段AA 关于y轴的对称线段EA，连接BN交y轴于F,
1 2
由平移和对称的性质可得AC=DA=AA，EA=AA=2,
1 2 2 1
∵DA+BD≥AB
1 2
∴线段AB的长即为AC+BD的最小值
2
∵在Rt△BAE中，BE=2-（-1）=3，EA=2
2 2
∴A B=❑√32+22=❑√13．
2
∴AC+BD的最小值为❑√13．
故填❑√13．
【点睛】本题主要考查了运用轴对称解决最短路径问题、坐标与图形、勾股定理等知识点，灵活运用轴对
称知识和数形结合思想成为解答本题的关键．
